Lista Aproximação Estatística e Ensemble Microcanonico

Segunda Lista Física Estatística 2024I Aproximação estatística e ensemble microcanônico Questão 1 Considere um sistema composto de N 5 dipolos magnéticos não interagentes com momento magnético μ e spin 12 em um campo magnético H A energia de um spin pode assumir μH ou μH quando está orientado na direção do campo ou contrário a ele respectivamente Sabendo que a energia do sistema é E μH a Identifique quantos e quais são os microestados associados a essa energia b Qual a probabilidade do sistema ser encontrado em um dos microestados c Determine o valor médio do primeiro spin Questão 2 Um sistema composto por dois osciladores harmônicos de frequência natural ω0 e energia n12ħω0 em que n é inteiro positivo Especifique as energias deixando claro às possíveis combinações entre os dois osciladores e suas respectivas energias Questão 3 O modelo do sólido de Einstein foi proposto como tentativa de explicar a dependência com a temperatura do calor específico dos sólidos Ele é constituído por N osciladores harmônicos quânticos não interagentes que possuem a mesma frequência de oscilação ω A energia por oscilador é dada n 12ħω a Encontre o número de autoestados acessíveis ao sistema com energia E b Encontre uma expressão da energia por oscilador como uma função da temperatura c Calcule o calor específico como uma função da temperatura Esboço o seu resultado e verifique que o calor específico vai para KB a altas temperaturas Nota A energia total do sistema pode ser escrita como E N ħω2 Mhω com M n1 n2 nN Questão 4 Considere um sistema de N partículas magnéticas interagentes com hamiltoniana dada por H μ Σi1ᴺ S²i em que a variável de spin Si pode assumir um 1 0 ou 1 Considere que a energia do sistema seja E fixa a Encontre o número de microestados acessíveis ao sistema b Calcule a entropia por spin 1 a n 10 microestados b Temos N 2⁵ 32 microestados Logo a probabilidade é P nN 1032 03125 c Nos microestados associados a E μH o primeiro spin é 12 em 6 vezes e 12 4 vezes c Calcule o calor específico c em função da temperatura faça um gráfico esboçando c T Questão 5 Considere um gás ideal clássico monoatômico bidimensional com N partículas numa caixa de volume L² Calcule a energia o calor específico e a pressão desse gás Questão 6 Considere um gás de rede constituído por N partículas distribuídas em V células com N V Suponha que cada célula possa estar vazia ou ocupada por uma única partícula O número de estados microscópicos do sistema será dado por ΩV N V NV N a Obtenha uma expressão para a entropia por partícula com uma função de v VN b Obtenha a equação de estado pT em termo de ρ 1v c Verifique que o primeiro termo da expressão na letra b é consistente com a lei de Boyle d Encontre o do potencial químico Faça um esboço da razão μT contra ρ Questão 7 O número total de estados microscópicos acessíveis ao gás de Boltzmann com energia total E e número de partículas N pode ser escrito na forma ΩE N ΣN1 N2 N N1N2 com as restrições Σj Nj N e Σj εjNj E Escreva uma expressão formal para a entropia desse sistema no limite termodinâmico em termos da distribuição de valores dos números de ocupação no equilíbrio Mostre que a entropia depende da temperatura de acordo com um termo do tipo KB T ln T Logo o valor médio é s1 6 12 4 12 10 s1 3 2 10 s1 110 2 A energia total é a soma das energias individuais de cada oscilador E E1 E2 Enm n 12 ħω0 m 12 ħω0 n m 1 ħω0 O par nm designa um estado onde n é a contribuição do primeiro oscilador e m do segundo Vamos diagramar nm E 00 ħω0 10 01 2ħω0 20 11 02 3ħω0 30 21 12 03 4ħω0 40 31221304 5ħω0 Logo podemos escrever Ep p 1 ħω0 p 012 onde p n m e com isso finalizamos a Tabela nm E p0 p11 1 p1 0p p 1 ħω0 3 Temos E Nħω2 Mħω M m1 m2 mN a Vamos fazer a seguinte analogia Suponha que temos M bolas e N1 cubos dispostos de qualquer maneira numa linha O O O O O O O O O O O O Temos 3 quanta bolas no primeiro modo 2 quanta no segundo 0 no terceiro 2 quanta no modo N Logo o número de maneiras que podemos distribuir M quanta nos N modos é o número de permutações de N1 M objetos Ω N1 M N1 M Logo se M Eħω N2 Ω Eħω N2 1N1 Eħω N2 b Vamos usar a fórmula de Stirling ln Ω Eħω N2 1 lnEħω N2 1 N1 lnN1 Eħω N2 lnEħω N2 Eħω N2 1 N 1 Eħω N2 Daí a entropia por oscilador é fazendo EN u e tomando E1 e N1 SuN su kBN N uħω 12 lnuħω 12 ln N N ln N N uħω 12 lnuħω 12 Logo su kB uħω 12 ln uħω 12 kB uħω 12 ln uħω 12 Ora su 1T kBħω ln uħω 12 ln uħω 12 ħωkB T ln uħω 12 uħω 12 uħω 12 uħω 12 e ħωkB T Logo uħω 12 uħω 12 e ħωkB T de modo que uħω 1 e ħωkB T 12 d2 Dai uħω 12 1 e ħωkB T 1 e ħωkB T 12 2 e ħωkB T 1 1 uħω 12 1e ħωkB T 1 u ħω2 ħωe ħωkB T 1 c Temos c UT kB ħωkB T2 e ħωkB T e ħωkB T 12 De T 1 e ħωkB T 1 ħωkB T logo c kB ħωkB T2 1 ħωkB T ħωkB T2 kB 1 ħωkB T kB Como c 0 se T 0 temos uma curva do tipo 4 Seja N0 o número de configurações com S0 N o número para S1 e N para S1 Logo o número de configurações possíveis é Ω ΣN0 N N NN N N0 com N N N N0 e E u N u N Logo eliminando N e N0 Ω ΣN 0Eu N N Eu N Eu N N N Eu Eu ΣN0Eu Eu Eu N N Logo Ω 2Eu N N Eu Eu 1 uu b Assumindo que podemos usar a fórmula de Stirling temos fazendo EN u 1 N ln Ω u u ln 2 ln N 1 1 u u ln 1 u u 1 u u u u ln u u u u ln N Logo su kB N ln Ω su kB u u ln 2 1 u u ln 1 u u u u ln u u c Vamos encontrar ut primeiramente Como S U 1 T 1 kB T ln 2 u 1 u ln 1 u u 1 1 u ln u u 1 logo u kB T ln 2 1 u u u u u 2 u e u kB T 1 2 e u kB T Daí c U T 2 u2 kB T2 e u kB T e u kB T 22 Se fizermos u 1 kB 1 podemos plotar c x T facilmente 5 Partindo da expressão da multiplicidade do gás ideal em 3D para valores grandes de N temos Ω3D 1 N VN h3N π3N2 3N2 2 m U3N Logo se V L2 A e reduzimos a dimensão de 3 2 Ω2D 1 N AN h2N πN N 2 m U2N Daí ln Ω2D N ln A h N ln π N ln 2 m U 2 N ln N 2 N Daí temos 1 kB T U ln Ω2D N U Logo U N kB T O calor específico é C U T N kB Por fim a pressão pode ser calculada por p T S A V Mas como S kB ln Ω2D logo p T kB N A ln A h Logo p T kB N A p N kB T L2