Vibrações Livres de Partículas - Análise e Equações do Movimento Harmônico Simples

VibraçõesLivresdePartículas considerandoumcorpode massa m queestáligado a uma mola deconstante K Vamostambémconsiderarocorpocomo uma partícula Situação da figura01 Quandocolocamos opeso na mola ela esticae fica em um equilíbrioestático Analisamosduasforçasatuamsobre nábitFmada ocorpo Se forçada molas Ii KSest Lei de Hooke mudastFGff foi p Forçapeso P m g Sesté oquanto a mola sedeformaquandocolocadoo amo ciijajiiie piEieitatiiequilíbrioestáticotemos ÉEEjiEooI I P Eq 01 Aforçaresultante nestasituação Figura01 considerandoFIEPÓIteremos Eq 02 FR O Eq03 AEq03sóreforçaquetemos um corpoestático Situação da figura02 Se deslocarmos o pesodaposiçãodeequilíbrio a uma distância hm destaposiçãoe liberada com uma velocidade inicialnulateremos um corpooscilandoemtorno do pontode equilíbrioe nos extremos entre ame um Vamossuporque o corpoesta na posição a então vamos analisarqualé aforçaresultantesobre ocorponestepontoserá É Fast Fi sabendoque ver aeqEFEaEEFEiI um FR kSesi KSesi Ka 1 FR Kr Figura02 Oqueperceberemos équeaforçaexercida nocorpoépítpolocional ao deslocamentodocorpoemrelaçãoa posiçãodeequilíbrio Utilizando a segundaleideNewtonnaequação06 teremos m A KK Profa Dra Ariane Braga Vibrações Livres Sem Amortecimento matkx O Eq 07 LembrandoquepelanotaçãodeNewtontemos a representaçãodeaceleração ede velocidadeigual v GI Â a notaçãodeNewton Substituindo as notaçõesdeNewton na equação07entãoteremos má KR O Eq 08 EquaçãodoMovimento HarmônicoSimples Aequação 08 defineo movimentoharmônicosimples MAS Esta equaçãoé uma EquaçãoDiferencialOrdinária EDOquepossui uma soluçãogeralexpressa R C Xi Cara C ser f CacosFF Eq 09 O n daequaçãoacimaé uma funçãoperiódicadotempot Ocoeficientedo tempoé a frequêncianaturalcircular Wh FÉ Eq 10 Aequação09podeserreescritacomo X C senwnt cacosWnt Eq 11 Aequação08será impe emX O À whn O Eq12 AvelocidadeEE EYinaenwtnEEEwnsenwnt Ea 13 Jáaceleraçãopodeserescritacomo a À Cwisencent Czwicoswnt Eq14 Osvalores C e Ca dependem das condiçõesiniciaisdomovimento Quando o blocoparte de uma posição no no tempo t o teremos Ro C Sen uno CzCostunO No Ca 1 Ca 20 Eq 15 Quandooblocopartedaposiçãodeequilíbrio n o comvelocidadeinicial vo no tempo t o temos vo CWncostwnÉ CawnsentwnÉ V0 C Un Costo CzWn sem O V0 C Un Ci En Eq15 EquaçãodoMHSdeduzidodomovimento Vamosanalisar omovimentode um blocopreso a uma mola naverticalquefoi esticadoaté o um e ésolto com velocidadeinicialiguala zero Estemovimentosem atrito éigualao movimento harmônicosimplesjáestudado Afiguraabaixodemonstraisso E a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x m 1 3 e Observe aimagemabaixo em que o bloco esta na posiçãoP Adistância ÕPé o valor a queestádescrito na equação 11 queé aprojeçãodo vetor x no eixo x O vetorOQé o valor um queécompostopordoisvetoresC e Ca como estáapresentado na circunferênciaabaixo Um it 3 op QQ f M T Lembrando que é a posiçãoinicial deQ nocírculo e échamadodeangu Õefôitãgiraemtornodacircunferência comvelocidadeangular wn e é seno Wnt sentunt D Em km km semCunt km EF 8 900900 0 wnt 8 0 Wnt Comodeduzimos a equação11 podeser escrita daseguinteforma 2 km Sen Wnt D Eq16 Avelocidade e aaceleração doblocoserão v à km wncos Wnt Eq17 a à semWnSen Wnt D Eq18 Como se trata de uma analise em movimentooscilatório devemosconsiderar também Período T fim Egl9 FrequênciaNatural f YI 920 Conforme a equação 17 e 18 a velocidade e a aceleraçãomáximaserão respectivamente um amwn Eq21 Am semwi Eq22 Oângulode fase pode ser encontrado atravesdarelaçãotrigonométrica tan D E923 G 0175m m 8kg Ar 01m 0 150mA Equação Ne t 0221 a mg KCstay m a jt 4 0 mg rsmiIE KS KS KAy maat mDy o jtwy OKmg K 8j9 K 44846N Mj Y74aPy oW FE 749raf Jt5614 0 b SoluçãodaEDO 2 02sem 749022 01 los 749022 E rearam 9 Pq 012mg 01m Um Um Am 60m18 f 4OHz Wn ZAF 21740 8017rads Am Um wn 60 amlari Fã FFFjo M 915104m Um 0239mA M 4kg K 600N M y 006m equação ami Wn Al Jtwny O j 111225124 O j 11504 o E O 006m Whiff 1225rads a EITEEEint Cz no 006m b 2m C CE sem 006m f 12125 195Hz 14 800NIM M 2kg y 50103m Equação wn E F UNMEEE E EEIEaosm jtwny o jtaay o 4 005 senzot M 2kg K 800NM V0 2M A no 015m Equação Wh ftpf 2ON my Cisenwnt C2caswntCi F 01m 2 20 015m Jt4004 0 y O senzotto 15caswntNm VCi cE 018m E m 15kg P TI mig ksk mgg 150191 73575ft ii É ftpjiaiEE m E piT 7oa jtwny O Jt724 0 Jt494 0 Solução y C sentunt CacosWnt 4 011 sentt 01costt G QQ 977 011m 2 20 01m ângulodefase tand D arctanff 4227 ou 074rad m 800kg P TI KG 4000 K 002 14 4000 E 9ms 14 200KNIM 6m11 f Ei F2ommwnifFR 1581rad s wiziffaz 1781 2524g EDO jtwny o Jt15874 0 Jt2504 0 Solução y Cisenwt cacoswt y 038sem1581 y 038m G Em E038m 02 0 EFEEEEEEE Fe op