Trabalho de Calculo 1

Questões Cálculo 1 Prof Matheus 323 Podemos usar a definição de derivada e algumas identidades trigonométricas Seja y arcsinx então temos que siny x Derivando ambos os lados em relação a x usando a regra da cadeia obtemos ddxsiny ddxx cosy dydx 1 Isolando dydx obtemos dydx 1cosy Agora usando a identidade trigonométrica cos2y 1 sin2y podemos substituir cos2y por 1 x2 já que siny x cosy sqrt1 sin2y sqrt1 x2 Portanto dydx 1sqrt1x2 Isso é válido para x em 1 1 já que fora desse intervalo a função arcsinx não está definida Agora para a função arccosx podemos proceder de maneira semelhante Seja y arccosx então temos que cosy x Derivando ambos os lados em relação a x usando a regra da cadeia obtemos ddxcosy ddxx siny dydx 1 Isolando dydx obtemos dydx 1siny Usando a identidade trigonométrica sin2y 1 cos2y podemos substituir sin2y por 1 x2 já que cosy x siny sqrt1 cos2y sqrt1 x2 Portanto dydx 1sqrt1x2 Isso também é válido para x em 1 1 já que fora desse intervalo a função arccosx não está definida 325 a Para mostrar que os gráficos de fx xn e gx xm são tangentes em 0 0 primeiro encontramos as derivadas dessas funções fx nxn1 e gx mxm1 Agora avaliando essas derivadas em x 0 obtemos f0 0 e g0 0 Isso significa que as retas tangentes aos gráficos de fx e gx em 0 0 são as próprias retas y 0 que coincidem Portanto os gráficos são tangentes em 0 0 Agora para mostrar que eles só são tangentes em 1 1 se m n vamos usar a definição de tangência As retas tangentes aos gráficos de fx e gx em 1 1 são dadas por y f1x 1 1 nf1x 1 1 e y g1x 1 1 mf1x 1 1 Para que essas retas coincidam precisamos que n m b Sejam f a b a b uma bijeção tal que f e f1 são deriváveis Se os gráficos de f e f1 são tangentes em um ponto Ax0 y0 calcule os possíveis valores do produto fx0 f1y0 Pela regra da cadeia temos f1 fx x f1fx fx 1 Avaliando essa expressão em x x0 obtemos f1y0 fx0 1 Portanto fx0 f1y0 1 Isso implica que fx0 f1y0 1 326 Para provar que se a função x x fx x I é derivável em x0 então f também é derivável em x0 podemos utilizar a definição de derivada Seja gx x fx Sabemos que gx é derivável em x0 então a derivada de gx em x0 existe Vamos denotar essa derivada como gx0 A derivada de gx em x0 é dada pela seguinte expressão gx0 limh0 gx0 h gx0h Substituindo gx x fx nessa expressão obtemos gx0 limh0 x0 h fx0 h x0 fx0h Podemos reorganizar essa expressão como gx0 limh0 x0 h fx0 hh x0 fx0h Podemos agora dividir o limite em duas partes e aplicar as propriedades do limite Primeiro vamos analisar o termo x0 h fx0 hh limh0 x0 h fx0 hh x0 limh0 fx0 hh Agora como a função x x fx é derivável em x0 o limite limh0 fx0 hh existe o que implica que limh0 x0 h fx0 hh x0 fx0 onde fx0 é a derivada de fx em x0 Agora para o segundo termo x0fx0h é claro que x0 é uma constante e fx0h vai para 0 quando h 0 Portanto temos gx0 x0 fx0 0 x0 fx0 Ou seja a derivada de gx em x0 é igual a x0 fx0 Agora vamos analisar a função gx x fx A derivada de gx em x0 é igual à derivada da função x fx em x0 que é x0 fx0 Portanto concluímos que fx0 existe e é igual a gx0x0 que é uma função contínua Assim se a função x xfx é derivável em x0 então f também é derivável em x0 329 a Para provar que o gráfico de f é o semicírculo de centro na origem do plano cartesiano contido no semiplano superior do mesmo e com raio R podemos mostrar que fx é igual ao raio R do círculo para qualquer x em R R Note que fx sqrtR2 x2 Como R 0 temos R2 x2 então R2 x2 0 para todo x em R R Assim fx é real para todo x em R R Além disso para x em R R o valor de R2 x2 é positivo então sqrtR2 x2 é real e positivo ou seja fx é sempre positivo Isso implica que o gráfico de f está contido no semiplano superior do plano cartesiano Com isso para x em RR temos R2 x2 R2 então R2 x2 R o que significa que fx é menor que o raio R do círculo Isso mostra que o gráfico de f é o semicírculo de centro na origem do plano cartesiano contido no semiplano superior do mesmo e com raio R b Para encontrar fx0 começamos derivando fx R2 x2 com a regra da cadeia fx 12R2 x2 2x fx xR2 x2 Portanto fx R2 x2 c Dado x0 em RR e Ax0 fx0 queremos mostrar que a reta tangente ao gráfico de f coincide com a reta que passa por A e é perpendicular ao raio OA A equação da reta que passa por A e O00 é dada por y fx0x0 x A derivada de fx R2 x2 é fx xR2 x2 Avaliando em x x0 obtemos fx0 x0R2 x02 A inclinação da reta tangente ao gráfico de f em Ax0 fx0 é dada pela derivada fx0 A inclinação da reta que passa por A e O é fx0x0 Para mostrar que essas retas são perpendiculares vamos verificar se o produto de suas inclinações é igual a 1 fx0 fx0x0 x0R2 x02 R2 x02x0 1 Portanto a reta tangente ao gráfico de f coincide com a reta que passa por A e é perpendicular ao raio OA 331 b Para calcular a derivada de fx x ³x x4 usamos a regra do produto e a regra da potência x ³x x4 x ³x x4 x ³x x ³x 4x3 x ³x 1 ³x x 13 x23 ³x x3 ³x2 x4 4x3 Agora somamos essas derivadas fx ³x x3 ³x2 4x3 e Para achar a derivada de fx x³ sinx usamos a regra do produto e a derivada do seno x³ sinx x³ sinx x³ sinx 3x² sinx x³ cosx Portanto as derivadas das funções são b fx ³x x3 ³x2 4x3 e fx 3x² sinx x³ cosx 333 c Para calcular a derivada de fx 1 x1 x usamos a regra da cadeia fx 121 x1 x 1 x1 x 1 x1 x 121 x1 x 1 x1 x 121 x1 x 0 1 x 1 x21 x1 x Substituindo a derivada interior na derivada de fx temos fx 121 x1 x 1 x21 x1 x f x 1 x 41 x1 x g Calculemos a derivada de fx tanx 1x3 usamos a regra do quociente e a derivada da tangente f x 1 x3 d dxtanx tanx d dx1 x3 1 x32 1 x3 sec2x d dxx tanx 3x2 1 x32 A derivada da tangente e d dxtanx sec2x entao d dxtanx sec2x d dxx sec2x 1 2x A derivada de 1 x3 e simplesmente 3x2 entao d dx1 x3 3x2 Substituindo essas derivadas na derivada de fx temos f x 1 x3 sec2x 1 2x tanx 3x2 1 x32 Portanto as derivadas das funcoes sao c f x 1x 41x1x g f x 1x3sec2x 1 2x tanx3x2 1x32 339 Para calcular f x0 derivando implicitamente a equacao cosxyx2 0 onde x0 y0 1 π seguimos os seguintes passos 1 Derivamos implicitamente a equacao em relacao a x 2 Isolamos y 3 Substituımos x0 y0 e y na expressao resultante 1 Derivando implicitamente cosxy x2 0 em relacao a x obtemos d dxcosxy d dxx2 0 6 Aplicamos a regra do produto e a derivada de cosu sinxy y dy dx 2x 0 2 Isolamos y dy dx 2x y sinxy 3 Substituımos x0 1 y0 π e y na expressao f 1 2 1 π sinπ 2 π 0 indeterminado Aqui o resultado e indeterminado porque sinπ 0 o que leva a uma divisao por zero Isso sugere que a derivada pode nao existir ou que precisamos investigar mais a fundo a funcao e a equacao original em torno do ponto 1 π 342 Para mostrar que fx fx0 f x0x x0 1 2f x0x x02 primeiro aplicamos a formula de Taylor de segunda ordem para aproximar fx em torno de x0 A formula de Taylor para uma funcao fx centrada em x0 e dada por fx fx0 f x0x x0 1 2f cx x02 para algum c entre x e x0 Dado que f e constante podemos simplesmente avalialo em x0 entao f c f x0 Substituindo f x0 em f c obtemos fx fx0 f x0x x0 1 2f x0x x02 Portanto para qualquer x em I onde I e o intervalo em que f e definida temos que fx pode ser expressa como fx fx0 f x0x x0 1 2f x0x x02 Isso significa que fx e um polinˆomio de grau 2 em x com os coefi cientes fx0 f x0 e 1 2f x0 Portanto fx e ou identicamente nula ou um polinˆomio de grau 2 7 348 Para calcular limx0 fxgx primeiro encontramos fx e gx fx x32 sin1x gx x13 cosx 1 Agora substituímos essas expressões no limite limx0 fxgx limx0 x32 sin1x x13 cosx 1 Antes de aplicar a regra de LHôpital precisamos verificar se o limite assume a forma indeterminada 00 ou Vamos analisar cada termo individualmente 1 limx0 x32 Este termo vai para 0 conforme x se aproxima de 0 2 limx0 sin1x Este termo oscila entre 1 e 1 quando x se aproxima de 0 mas não tem um limite finito 3 limx0 x13 Este termo vai para 0 conforme x se aproxima de 0 4 limx0 cosx Este termo é 1 quando x 0 Portanto o limite assume a forma indeterminada 00 Podemos aplicar a regra de LHôpital para calcular o limite Derivamos tanto o numerador quanto o denominador em relação a x limx0 fxgx limx0 ddxx32 sin1x ddxx13 cosx 1 limx0 32 x12 sin1x x12 cos1x 13 x23 sinx Agora substituímos x 0 nesta expressão Note que a função sin1x não possui um limite finito quando x 0 então precisamos usar outra técnica para avaliar este limite Vamos analisar a parte superior e inferior separadamente Para a parte superior limx0 32 x12 sin1x x12 cos1x Observe que x12 sin1x é limitada entre x e x enquanto x12 cos1x oscila entre e Portanto o limite desta expressão não existe Para a parte inferior limx0 13 x23 sinx 13 023 sin0 sin0 0 Portanto o limite limx0 fxgx não existe