Cálculo de Erros e Diferencial Total em Volume e Funções

Diferenciabilidade e diferencial total Solução Seja V cm³ o volume da caixa cujas dimensões são x cm y cm e z cm Então V xyz O valor exato do erro é encontrado de ΔV contudo vamos usar dV como uma aproximação a ΔV De 8 para três variáveis independentes dV Vx dx Vy dy Vz dz yz dx xz dy xy dz Da informação dada Δx 002 Δy 002 e Δz 002 Para encontrar o erro máximo no volume tomamos o erro máximo cometido na medida das três dimensões Assim tomando dx 002 dy 002 dz 002 e x 10 y 12 z 15 temos dV 1215002 1015002 1012002 9 Logo ΔV 9 então o máximo erro possível no cálculo do volume com as medidas dadas é de aproximadamente 9 cm³ O erro relativo é encontrado ao dividirmos o erro pelo valor real Logo o erro relativo no cálculo do volume a partir das medidas dadas é ΔVV dVV Como dVV 9 1800 0005 Assim sendo o erro percentual aproximado é de 05 01 Resolva 1 Se fx y 3x² 2xy y² ache a Δf14 o incremento de f em 14 b Δf14 quando Δx 003 e Δy 002 c f14 Δx Δy a diferencial total de f em 14 d f14 003 002 2 Se fx y 2x² 3xy y² ache a Δf21 o incremento de f em 2 1 b Δf21 quando Δx 001 e Δy 002 c f21 Δx Δy a diferencial total de f em 2 1 d f2 1 001 002 A REGRA DA CADEIA Lembrese de que com a notação de Leibniz a regra da cadeia para uma função de uma única variável é a seguinte se y for uma função de u e dudx existir então y será uma função de x e dydx existe sendo dada por dydx dydu dudx 1661 TEOREMA A Regra da Cadeia Se u for uma função diferenciável de x e y definida por u fx y onde k Frs y Gr s e xr ys todas existirem então u será uma função de r e s EXEMPLO 1 Dada u lnx² y² x reᵉ y reˢ encontre ur e us Solução ux x x² y² uy y x² y² xr eˢ ys reˢ Da regra da cadeia obtemos ur uxxr uyyr xx² y²eˢ yx² y²eˢ xeˢ yeˢ x² y² EXEMPLO 2 Dada u xy x² y² x r cos t y r sen t ache ur e ut Solução Da regra da cadeia ur uxxr uyyr uzzr y 2x1 x ysen t y z x cos t x sen t y sen t r cos t r sen t cos t sen tcos t r sen t 2rcos t sen t r² cos t 2rcos t sen t r sen t 2 EXEMPLO 5 Use a lei do gás ideal veja o Exemplo 5 Seção 164 com k 10 para encontrar a taxa segundo a qual a temperatura está variando no instante em que o volume do gás é 120 m³ e o gás está sob uma pressão de 8 Nm² enquanto o volume está aumentado a uma taxa de 2 ms e a pressão está decrescendo a uma taxa de 01 Nm² por segundo 02 Aplicando as regras das derivadas parciais por meio da regra da cadeia calcule 03 Determine a derivada total dudt aplicando a regra da cadeia em cada derivada