Cálculo de Integrais Utilizando Substituição Trigonométrica

1 x³4x²932 dx x² x4x²932 dx u4x²9 du8x dx x² u94 Aplicando a substituição u94 8 u32 du 132 u9u32 du Dividindo o numerador e o denominador por u32 temos 132 u12 9 u32 du 132 u1212 9u1212 C 132 4x²91212 9 4x²91212 C 2 xx² dx x x² 12² 12² dx x² x 12² 12² dx x 12² 12² dx 12² x 12² agora podemos aplicar a substituição trigonométrica x 12 12 sin θ x12 sin θ2 dx cos θ 2 12² x 12² 12 cos θ Realizando as substituições 12 cos θ cos θ 2 dθ 14 cos² θ dθ 18 1 cos 2 θ dθ 18 θ sin2θ2 C Da equação x 12 12 sin θ θ arcsin 2x1 e sin θ 2x1 cos θ 2 xx² 18 arcsin 2x1 2 sin θ cos θ 2 C arcsin2x1 8 2x1 xx²4 C Calcule as seguintes integrais ir 1 x³4x²932 dx 2 xx² dx 3 x²32xx² dx 4 x²34x4x²32 dx 5 x²1x²2x2² dx int x2 sqrt32xx2 dx int x2 sqrt4 1 2x x2 dx int x2 sqrt4 x2 2x 1 dx int x2 sqrt4 x12 dx Agora podemos aplicar a substituição trigonométrica x 1 2 sin heta x 2 sin heta 1 dx 2 cos heta d heta int 12 sin heta2 sqrt4 2 sin heta2 2 cos heta d heta int 14 sin heta 4 sin2 heta sqrt4 4 sin2 heta 2 cos heta d heta int 1 4 sin heta 4 sin2 heta sqrt4 cos2 heta 2 cos heta d heta int 1 4 sin heta 4 sin2 heta 2 cos heta 2 cos heta d heta 4 int 1 4 sin heta 4 sin2 heta cos2 heta d heta 4 int cos2 heta 4 sin heta cos2 heta 4 sin2 heta cos2 heta d heta Vamos integrar as partes dessa soma uma por vez cos2 heta fraccos 2 heta 12 int cos2 heta frac12 int cos 2 heta 1 int cos2 heta frac12 frac12 sin 2 heta heta C int 4 sin heta cos2 heta d heta o u cos heta du sin heta d heta int 4 u2 du frac4 u33 C frac4 cos3 heta3 C int 4 sin2 heta cos2 heta d heta int sin 2 heta2 d heta int frac1 cos 4 heta2 d heta frac12 heta frac14 sin 4 cdot heta C Somando as 3 integrais ficamos com 4 left frac12 frac12 sin 2 heta heta frac4 cos3 heta3 frac12 heta frac14 sin 4 heta right C Da expressão x 1 2 sin heta o heta arcsin leftfracx12right 4 int fracx24x2 4x 3frac32 dx int fracx241 x frac122frac32 dx x frac12 sin heta dx cos heta d heta 41 sin2 heta 4 cos2 heta 4 cos2 hetafrac32 8 cos3 heta Portanto int fracsin heta frac128 cos3 heta cos heta d heta int fracsin2 heta sin heta frac14 heta cos2 heta d heta frac18 int fracsin2 hetacos2 heta d heta frac18 int fracsin hetacos2 heta frac132 int frac1cos2 heta d heta Podemos resolver as integrais individualmente frac18 int fracsin2 hetacos2 heta frac18 int an2 heta d heta frac18 int sec2 heta 1 d heta frac18 an heta heta int fracsin hetacos heta d heta o u cos heta du sin heta d heta int frac1u2 du frac1u frac1cos heta frac18 sin heta C frac132 int frac1cos2 heta frac18 int sec2 heta d heta frac18 an heta Somando o resultado dos integrais frac18 an heta heta frac18 sec heta frac132 an heta C heta sendo heta arcsin leftxfrac12right x2 1 x2 2x 22 x2 1 x 12 12 x 1 tanθ dx sec2θ dθ x 12 tan2θ 1 sec2θ Substituindo na integral temos tan2θ 2sec4θ sec2θ dθ sec2θ 1sec2θ dθ 1 cos2θ dθ Resolvendo a integral individualmente 1 dθ θ cos2θ 1 cos 2θ2 θ2 sin2θ4 Somando os resultados θ θ2 sin2θ4 C Sendo θ arctanx 1 Cálculo usando a subs substituição trigonométrica