Integração Múltipla: Teoremas e Propriedades

Integração Múltipla Para determinarmos o integral dupla aplicaremos as propriedades operatórias e teoremas para integrar funções de uma variável vistas em Cálculo Diferencial e Integral I Portanto para aplicarmos essas propriedades e os teoremas sempre observaremos a variável na qual faremos a integral Integral Dupla Em cálculo Diferencial Integral I a função de uma variável foi definida no intervalo fechado no conjunto dos números reais ℝ Para a função de várias variáveis a integral será definida em uma região fechada no conjunto dos números formados pelo produto cartesiano dos números reais ℝ que representa o espaço Se g é uma função definida em uma região retangular fechada R e essa região retangular se torna cada vez mais fina ou seja a base de cada retângulo tende a temos uma soma infinita de áreas O limite dessa soma é denominado soma de Riemann que corresponde às partições retangulares quando se tornam mais finas Ou seja essas partições n tendem chamada da integral dupla de g sobre R e escrita como gxydxdy se existir limite Da mesma forma que o integral de uma variável é interpretada geometricamente em termos da área de uma região plana a integral dupla pode ser interpretada geometricamente em termos de volume de um sólido tridimensional Com isso podemos observar que a área de uma determinada região pode ser calculada por meio da integral dupla como também podemos determinar o volume por meio da integral dupla Dessa forma podemos representar a área da base sendo ΔxΔy e com uma altura gx k y k Observe que a fórmula do volume as integrais estão definidas no ℝ Ex1 Determine o cálculo da integral dupla x³2ydx dy Para determinarmos a integral dupla indefinida vamos aplicar as propriedades operatórias vista em Cálculo Diferencial e Integral I e Cálculo Diferencial e Integral II Vamos iniciar observando qual variável integraremos primeiro pois o fator de derivação dA determina qual será a primeira variável que integraremos Em seguida faremos a integral em relação à segunda variável da integral aplicando as regras de integração x³2ydx dy x⁴42ydy x⁴42y²2 c x⁴4 y² c Ex2 Seja R o interior do triângulo no plano cujos vértices são A00 B102 e C23 determine dxdy Para determinarmos a área de um triângulo ABC usaremos o cálculo dos determinantes dos pontos A B e C Assim a área S do triângulo ABC ½ D em que D é o determinante formado pelos pontos A B e C Se uma função g tem valores nãonegativos sobre a região R o volume do sólido abaixo do gráfico de g e acima da região R Ex3 seja R é uma região interior ao círculo x²y²9 e g definida Verifique que o gráfico da função g será um hemisfério de raio r 3u e a região R forma a base desse hemisfério Portanto o sólido gerado pela região R e o gráfico de g é um sólido hemisférico de raio r 3 u Seu volume será a metade do volume da esfera V 1243 πr³ 1243 π3 18πuvp Ex4 Determine o volume do sólido limitado pela superfície gxy 13x² 18y² pelos planos x 2 y 3 e pelos três planos coordenados Vamos encontrar o volume do sólido gerado do gráfico g da região R pelas retas x da reta y e os planos coordenados Para determinarmos o volume desse sólido será necessário o cálculo da integral assim definido V lim n ΣgxyΔxΔy gxydxdy Aplicando os planos x e y na integral encontramos o valor do volume V ²₀3 13x² 18y²dy Propriedades Básicas da Integral Dupla Para podermos utilizar os cálculos das integrais duplas é necessário compreendermos primeiramente algumas propriedades básicas de integração Essas propriedades servirão como base para aplicação da integral dupla no cálculo de áreas de uma determinada região ou o cálculo de volume de um sólido qual quer determinado a partir de uma função e as retas ou planos que limitem o sólido Vejamos as propriedades básicas da integral dupla Área se k é uma constante e R uma região de área A então R k dxdy kA Ex5 calcule a integral dupla utilizando o método da iteração R x cos xy dxdy R 1 x 4 e π2 y 2πx Podemos determinar a área entre curvas aplicando a integral dupla definida Com o processo de integração por iteração podemos determinar a área entre curvas ou entre uma curva e um plano Esse processo de integração é utilizado no cálculo de áreas ou volumes de formas não planas como por exemplo na engenharia biológica