Cálculo de Integrais

ATIVIDADE INTEGRAL DEFINIDA TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO Calcule as áreas das regiões limitadas pelas curvadas dadas 1 y 4 x² y x 2 x 2 x 3 2 y x² y x⁴ 4x² 4 3 x y² 1 x y1 y² 4 y senπx2 y x 5 y 1x1 ln x² y 3x Calcule as áreas da regiões limitadas pelas curvas dadas 1 y 4 x² y x 2 x 2 e x 3 Solução A região limitada pelas curvas acima está esboçada na figura abaixo Os pontos de interseção entre as curvas y 4 x² e y x 2 ocorrem quando 4 x² x 2 x² x 2 0 x 2 e x 1 Assim a área A da região delimitada pelas curvas é dada por A A₁ A₂ onde A₁ 2 to 1 x 2 4 x² dx 2 to 1 x² x 2 dx x²2 2x x³3 2 1 12 2 13 2 4 83 76 23 116 e A₂ 2 to 3 x 2 4 x² dx 2 to 3 x² x 2 dx x²2 2x x³3 2 3 92 6 9 2 4 83 32 103 116 Logo A 113 2 y x² y x⁴ 4x² 4 Solução A região limitada pelas curvas acima está esboçada na figura abaixo Os pontos de interseção entre as curvas y x² e y x⁴ 4x² 4 ocorrem quando x² x⁴ 4x² 4 x⁴ 5x² 4 0 x 2x 1x 1x 2 0 o que implica em x 2 x 1 x 1 e x 2 Assim a área A da região entre as curvas é dada por A A₁ A₂ A₃ onde A₁ 21 x² x⁴ 4x² 4 dx 21 x⁴ 5x² 4 dx x⁵5 5x³3 4x 21 15 53 4 325 403 8 2215 A₂ 11 x⁴ 4x² 4 x² dx 11 x⁴ 5x² 4 dx x⁵5 5x³3 4x 11 15 53 4 15 53 4 7615 e A₃ 12 x² x⁴ 4x² 4 dx 12 x⁴ 5x² 4 dx x⁵5 5x³3 4x 12 325 403 8 15 53 4 2215 Logo A 2215 7615 2215 12015 8 3 x y² 1 x y1y² Solução A região limitada pelas curvas acima está esboçada na figura abaixo Os pontos de interseção entre as curvas x y² 1 e x y1 y² ocorrem quando x 1 e x 1 e assim a área A é dada por A 11 y1 y² y² 1 dy 11 y1 y² dy 11 y² 1 dy y3y1 y²32 11 y³3 y 11 13 1 13 1 2 Observação Para resolver a integral y1 y² dy note que y1 y² yy y 1 y² dy e considere a substituição u 1 y² Então du 2y dy e y1 y² dy 12 u du 12 23 u32 13 1 y²32 C Logo y1 y² dy y3y 1 y²32 C 4 y senπx2 y x Solução A região limitada pelas curvas acima está esboçada na figura abaixo Os pontos de interseção entre as curvas y senπx2 e y x ocorrem quando x 0 x 1 e x 1 Assim a área A da região limitada pelas curvas é dada por A A₁ A₂ onde A₁ 10 x senπx2 dx 10 x dx 10 senπx2 dx x²2 10 2π cosπx2 10 12 2π e A2 01 senπx2 x dx 01 senπx2 dx 01 x dx 2π cosπx201 x2201 2π 12 Assim A 2 2π 12 4π 1 5 y 1x1 ln2x y 3x Solução A região limitada pelas curvas acima está esboçada na figura abaixo Os pontos de interseção entre as curvas ocorrem quando 1x1 ln2x 3x x 3x 1 ln2x x2 9x2 1 ln2x x2 9x2 9x21 ln2x x28 9x2 ln2x 9x2 ln2x 8 lnx 223 x1 e223 e x2 e223 Ou seja os pontos P1 e P2 indicados na figura acima Assim a área A da região delimitada pelas curvas é dada por A x1x2 3x 1x1 ln2x dx x1x2 3x dx x1x2 1x1 ln2x dx 3 lnx e223 e223 arcsenlnx e223 e223 3 223 3 223 arcsen223 arcsen223 42 2 arcsen 223 Observação Para resolver a integral 1x1 ln2x dx considere a substituição u lnx Então du dxx e 1x1 ln2x dx du1 u2 arcsenu Desfazendo a substituição temos que 1x1 ln2x dx arcsenlnx C