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Engenharia Civil ·
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Diferenciabilidade e diferencial total DEFINIÇÃO Se f for uma função de duas variáveis x e y então o incremento de f no ponto x0 y0 denotado por Δfx0 y0 é dado por Δfx0 y0 Δfx0 Δx y0 Δy fx0 y0 DEFINIÇÃO Se f for uma função de duas variáveis x e y e f for diferenciável em x y então a diferencial total de f será a função df tendo valores funcionais dados por dfx y Δx Δy D1fx yΔx D2fx yΔy 01 Resolva 1 Se fx y 3x² 2xy y² ache a Δf14 o incremento de f em 14 b Δf14 quando Δx 003 e Δy 002 c df1 4 Δx Δy a diferencial total de f em 14 d df1 4 003 002 2 Se fx y 2x² 5xy 4y² ache a Δf2 1 o incremento de f em 2 1 b Δf2 1 quando Δx 001 e Δy 002 c df2 1 Δx Δy a diferencial total de f em 2 1 d df2 1 001 002 3 Se gx y xyexy ache a Δg2 4 o incremento de g em 2 4 b Δg2 4 quando Δx 01 e Δy 02 c dg2 4 Δx Δy a diferencial total de g em 2 4 d dg2 4 01 02 4 Se hx y x yx y ache a Δh30 o incremento de h em 3 0 b Δh3 0 quando Δx 004 e Δy 003 c dh3 0 Δx Δy a diferencial total de h em 3 0 d dh3 0 004 003 A REGRA DA CADEIA 1661 TEOREMA A Regra da Cadeia Se u for uma função diferenciável de x e y definida por u fx y onde x Fr s y Gr s e xr xs yr ys todas existirem então u será uma função de r e s ur uxxr uyyr us uxxs uyys 02 Aplicando as regras das derivadas parciais por meio da regra da cadeia calcule u x² y² x 3r s y r 2s ur us u 3x 4y² x 5pq y 3p² 2q up uq u 3x² xy 2y² 3x y x 2r 3s y r s ur us u x² xy x r² s² y 3r 2s ur us u xy xz yz x rs y r² s² z r s² ur us u x² xy x r² s² y 3r 2s ur us u xy xz yz x rs y r² s² z r s² ur us 03 Determine a derivada total dudt aplicando a regra da cadeia em cada derivada u yex xey x cos t y sen t u ln xy y² x et y et u x² y² z² x tg t y cos t z sen t 0 t 12 π u t et y et x 3 sen t y ln t 1 a Δfx y fx Δx y Δy fx y Δf14 f1 003 4 002 f1 4 b Com Δx 003 e Δy 002 Δf14 f103 4 002 f14 Δf14 f3 103² 2 103 398 398² 3 1² 2 1 4 4² Δf14 31827 81988 158401 3 8 16 Δf14 44589 5 Δf14 05411 c dfx y Δx Δy D1fx y Δx D2fx y Δy dfx y Δx Δy fx Δx fy Δy dfx y Δx Δy 6x 2y Δx 2x 2y Δy df1 4 Δx Δy 6 1 2 4 Δx 2 1 2 4 Δy df1 4 Δx Δy 14 Δx 6 Δy d df1 4 003 002 15 003 6 002 df1 4 003 002 054 2 a Δf2 1 f2 Δx 1 Δy f2 1 Δf2 1 2 2 Δx² 5 2 Δx 1 Δy 4 1 Δy² 8 10 4 Δf2 1 8 8 Δx 2 Δx² 10 10 Δy 50x 50 Δxy 4 8 Δy 4 Δy² 2 Δf2 1 3 Δx 2 Δx² 5 Δx Δy 4 Δy² 2 Δy b Se Δx 001 e Δy 002 Δf2 1 3 001 2 001² 5 001 002 4 002² 2 002 Δf2 1 00108 c dfx y Δx Δy fx Δx fy Δy dfx y Δx Δy 4x 5y Δx 5x 8y Δy df2 1 Δx Δy 3 Δx 2 Δy df2 1 001 002 001 3 a Dg21 f2Dx 1Dy f21 Dg21 2 Dx 1 Dy exp2 Dx1 Dy 21 exp21 Dg21 8 2Dy 9Dx Dx Dy exp8 2Dy 9Dx Dx Dy 00027 b Se Dx 01 e Dy 02 Dg21 8 2 02 901 01 02 exp8 2 02 901 01 02 00027 Dg21 722 exp722 00027 Dg21 0002581 c dfxy Dx Dy fx Dx fy Dy DgxyDxDy y exy xy2 exy Dx x exy x2 y exy Dy d g21 Dx Dy 12 e2 2 12 e2 Dx 2 e2 22 1 e2 Dy Dg21DxDy 00096 Dx 00047 Dy d dg210102 00096 01 00047 02 dy 000188 4 a Dhxy hxDxy Dy hxy Dhxy x Dx y Dy x Dx y Dy x y x y Dh30 3 Dx Dy 3 Dx Dy 1 3 Dx Dy 3 Dx Dy 3 Dx Dy Dh30 2 Dy 3 Dx Dy b Para Dx 0098 e Dy 003 Dh30 2 003 3 001 003 Dh30 001954 c Fg Fg Fg g2 h x y x y dfxyDxDy 2hx Dx 2hy Dy dfxyDxDy 1x y x y1 x y2 Dx 1x y x y1 x y2 Dy dfxy Dx Dy 2y x y2 Dx 2x x y2 Dy df30 2 Dy 3 d dh30001003 2 003 3 dh30001003 002 2 a u x2 y2 x 3r s y r 2s u r u xx r u yy r u r 2x3 2y1 u r 6x 2y u s 2x1 2y2 u s 2x 4y b u 3x 4y2 x 5pq y 3p2 2q u p 35q 8y6p u p 15q 48py uq 35p 8y2 uq 15p 16y c u 3x2 xy 2y2 3x y x 2r 3z y r 2 ur 6x y 32 x 4y 11 ur 12x 2y 6 x 4y 1 ur 13x 2y 5 uz 6x y 33 x 4y 11 uz 18x 3y 9 x 4y 1 uz 17x 7y 10 d u x2 xy x r2 z2 y 3r 2z ur 2x y2r x3 ur 4xr 2yr 3x uz 2x y2z x2 uz 4xz 2yz 2x e u xy xz yz x r2 y r2 z2 z r2 2rz z2 ur y z2r x z2r x y2r 2z ur yz z 2xr 2zr 2xr 2yr 2xz 2yz ur yz z 4xr 2zr 2yr 2xz uz y zr x z2z x y2r 2z uz yr zr 2xz 2yz 2xr 2ys uz yr zr 2yz 2xr 2yz 3 a u yex xey x cost y sent dudt ux xt uy yt dudt yex eysent ex xey cost dudt sentyex ey costxey ex b u lnxy y2 x et y et dudt 1xet 1y 2yet dudt etx ety 2yet c u x² y² z² x t gt y cost z sant 0ctπ2 dudt x x² y² z² sec² t y x² y² z² sant z x² y² z² cost dudt x sec² t y sant z cost x² y² z² d u t ln t eᵗ eˣ y eᵗˣ dudt 1ln t eᵗ t 1t eᵗ ln t eᵗ² eˣ y eᵗˣ 3 cost eˣ eᵗˣˣ 1 x eˣ² 1t dudt ln t eᵗ 1 t eᵗ ln t eᵗ² 3 eˣ cost y eᵗˣ eᵗˣˣ eˣ t x eˣ²
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