Análise de Vigas de Concreto Armado Utilizando Modelos de Bielas e Tirantes

ANÁLISE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO UTILIZANDO MODELOS DE BIELAS E TIRANTES Daniel dos Santos Dissertação apresentada à Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia de Estruturas ORIENTADOR José Samuel Giongo São Carlos 2006 A grande virtude é persistir por mais um momento quando tudo parece perdido Ao querido tio Euclydes Pereira in memorian que apesar de não ter sido engenheiro civil amava como poucos essa profissão AGRADECIMENTOS A Deus por estar sempre presente em minha vida zelando por mim e mostrandome o melhor caminho a tomar mesmo que nele existam inúmeras barreiras necessárias para o meu crescimento Aos meus pais que dedicaram sua vida exclusivamente à criação dos filhos pela doação e apoio incondicionais Certamente nós eu e meu irmão nunca poderemos retribuir à altura tamanha dedicação Ao José Samuel Giongo que muito mais que orientador por muitos anos foi meu tutor um verdadeiro pai em São Carlos Agradeço imensamente pela paciência pela compreensão e especialmente pelo apoio nos momentos difíceis Agradeço também pelos ensinamentos não só relativos a engenharia mas também a ética pessoal e profissional política economia educação e todos os demais setores que fazem parte de nossas vidas À minha Mi pelo amor e pela compreensão intermináveis Ao meu irmão Michel meu espelho para agir corretamente por suas dicas na elaboração da dissertação Aos amigos de São Carlos Moacir Anibal Fredão Julião e Slow pelo companheirismo pelas boas risadas e pelos inesquecíveis momentos felizes que pude desfrutar ao longo desses anos Ao Paná e ao Marião acima de tudo pela amizade mas também pelo constante e irrestrito apoio e pelos momentos que deixam essa vida menos dura Aos demais companheiros de São Carlos em especial ao Zé Sérgio Ricardinho Gordão Pedrão Anselmo Sudano e Gustavão pelas dicas conselhos e trocas de conhecimento que contribuíram com esse trabalho A toda a minha família que sempre me apoiou e que foi imprescindível nos momentos difíceis Ao tio Pereira in memorian meu grande incentivador nessa profissão Aos professores do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESCUSP que muito contribuíram para o meu crescimento profissional Aos funcionários do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESCUSP pela competência na realização de seus serviços e por estarem sempre dispostos a ajudar À CAPES pelo apoio financeiro à pesquisa Sumário I SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS IX LISTA DE TABELAS XII RESUMOXV ABSTRACTXVII 1 INTRODUÇÃO1 11 PRELIMINARES 1 12 OBJETIVO 2 13 JUSTIFICATIVA2 14 MÉTODOS E TÉCNICAS3 15 APRESENTAÇÃO DA DISSERTAÇÃO4 2 AS VIGAS E O MODELO DE BIELAS E TIRANTES5 21 PRELIMINARES 5 22 ANÁLISE ESTRUTURAL6 221 INTRODUÇÃO6 222 POSIÇÕES DE VIGAS E LAJES8 223 DESENHOS PRELIMINARES DE FORMAS9 23 MECANISMOS DE RUÍNA EM VIGAS FUSCO 1984 9 231 GENERALIDADES 9 232 TIPOS DE RUÍNA10 24 A ANALOGIA CLÁSSICA DA TRELIÇA11 241 PRELIMINARES 11 242 HIPÓTESES BÁSICAS12 Sumário II 2421 Posição relativa dos banzos 13 2422 Inclinação das diagonais θ 13 2423 Inclinação da armadura transversal α 13 2424 Limitação da tensão na armadura transversal 14 2425 Deslocamento do diagrama de momentos fletores14 25 ANALOGIA DA TRELIÇA GENERALIZADA PRINCIPAIS IMPERFEIÇÕES DA TRELIÇA CLÁSSICA 15 26 MODELO PLÁSTICO DE TRELIÇA17 27 DEDUÇÃO DAS EXPRESSÕES SEGUNDO O CÓDIGO MODELO CEBFIP 1990 18 271 GENERALIDADES 18 272 CONDIÇÕES PARA APLICAÇÃO DOS MODELOS 19 273 EXPRESSÕES PARA DIMENSIONAMENTO 19 2731 Banzo tracionado 21 27311 Força solicitante de cálculo 21 27312 Força resistente de cálculo22 27313 Condição de segurança23 2732 Banzo comprimido 23 27321 Força solicitante de cálculo 23 27322 Força resistente de cálculo24 27323 Condição de segurança24 2733 Bielas 24 27331 Força solicitante de cálculo 24 27332 Força resistente de cálculo25 27333 Condição de segurança26 2734 Tração na armadura transversal 26 27341 Força solicitante de cálculo 26 27342 Força resistente de cálculo26 27343 Condição de segurança26 274 DETERMINAÇÃO DA INCLINAÇÃO DAS BIELAS 27 28 O MODELO DE BIELAS E TIRANTES 28 281 HISTÓRICO28 282 CONSIDERAÇÕES INICIAIS SOBRE O MODELO30 Sumário III 283 PRINCÍPIOS BÁSICOS DO MODELO DE BIELAS E TIRANTES 32 284 DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA DO MODELO 34 285 REGIÕES CONTÍNUAS B E DESCONTÍNUAS D35 286 TIPOS FUNDAMENTAIS DE NÓS 37 287 PARÂMETROS DE RESISTÊNCIA DAS REGIÕES NODAIS40 2871 SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 41 28711 Nó N1 42 28712 Nó N2 42 28713 Nó N3 43 28714 Nó N4 44 28715 Nó N5 44 28716 Nó N6 45 28717 Nó N7 46 28718 Nó N8 46 28719 Nó N9 47 2872 MACGREGOR 198848 2873 Apêndice A do ACI 318 2002 49 288 PARÂMETROS DE RESISTÊNCIA DAS BIELAS 49 2881 Norma canadense CSAA23394 1994 49 2882 Resistência das bielas segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 199150 2883 Resistência das bielas segundo o Apêndice A do ACI 318 2002 50 289 PARÂMETROS DE RESISTÊNCIA DOS TIRANTES51 3 COMPORTAMENTO E VERIFICAÇÃO DE VIGAS SEGUNDO AS NORMAS PROPOSTAS 52 31 CRITÉRIOS DA NBR 61182003 52 311 GENERALIDADES 52 312 VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO53 3121 Modelo de cálculo I 53 3122 Modelo de cálculo II 54 Sumário IV 313 ARMADURA MÍNIMA E ESPAÇAMENTOS 55 314 RELAÇÃO ENTRE A NBR 61182003 E O CÓDIGO MODELO CEBFIP 1990 55 3141 Verificação da compressão diagonal do concreto56 31411 NBR 6118200356 31412 MC CEBFIP 1990 56 31413 Compatibilização 57 3142 Cálculo da armadura transversal 58 31421 NBR 6118200358 31422 MC CEBFIP 1990 58 31423 Compatibilização 58 32 CRITÉRIO DO EUROCODE 2 199259 321 GENERALIDADES 59 322 VERIFICAÇÃO DA RUPTURA DO CONCRETO60 323 CÁLCULO DA ARMADURA TRANSVERSAL 60 324 ARMADURA MÍNIMA E ESPAÇAMENTO60 33 CRITÉRIO DO ACI 318M 1995 61 331 GENERALIDADES 61 332 CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO62 333 DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL63 334 ARMADURA MÍNIMA E ESPAÇAMENTO64 4 DETERMINAÇÃO DO COMPRIMENTO DE ANCORAGEM DAS ARMADURAS DAS VIGAS65 41 INTRODUÇÃO65 42 FUNDAMENTOS TEÓRICOS RECOMENDAÇÕES DA FIB 1999 66 421 MODELAGEM ANALÍTICA DO COMPRIMENTO DE ANCORAGEM 66 4211 Idealizações e simplificações assumidas na modelagem 66 422 APROXIMAÇÕES DO MC CEBFIP 1990 PARA MODELAGEM DE EMENDA 67 Sumário V 4221 Relação simplificada entre a tensão de aderência e o escorregamento da armadura67 4222 Equação diferencial da emenda67 4223 Resistência de cálculo do concreto69 4224 Comprimento básico de transferência70 423 MODELOS ANALÍTICOS AVANÇADOS PARA CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ANCORAGEM 70 424 IMPORTÂNCIA DA LIGAÇÃO ENTRE BARRA DE AÇO E CONCRETO PARA A SEGURANÇA ESTRUTURAL72 425 REGIÕES DE ANCORAGEM 72 4251 Comportamento da ancoragem de barras retas ganchos curvas laços e telas soldadas72 4252 Comprimento de ancoragem necessário 73 4253 Comprimento mínimo de ancoragem74 4254 Ancoragem de feixe de barras74 426 DISPOSITIVOS DE ANCORAGEM 74 427 ANCORAGEM FORA DO APOIO E NO APOIO75 4271 Ancoragem fora do apoio75 4272 Ancoragem no apoio76 428 EMENDAS DE BARRAS EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS76 4281 Emendas por traspasse de barras tracionadas76 4282 Comprimento necessário para emendas por traspasse de barras tracionadas 77 43 ADERÊNCIA 79 431 ANÁLISE DA ADERÊNCIA COMO INDICADO EM NORMAS 79 4311 Introdução79 4312 Condições de aderência 79 4313 Tensão de aderência entre a armadura e o concreto 80 43131 Cálculo da tensão de aderência de cálculo na ancoragem segundo o Eurocode 2 1992 80 43132 Cálculo da tensão de aderência de cálculo na ancoragem segundo a NBR 6118200381 Sumário VI 4314 Valores das tensões de aderência de projeto segundo o Eurocode 2 1992 e segundo a NBR 61182003 82 432 ANCORAGEM 83 4321 Introdução83 4322 Comprimento básico de ancoragem 83 43221 Comprimento básico de ancoragem segundo o Eurocode 2 1992 83 43222 Comprimento básico de ancoragem segundo a NBR 61182003 84 43223 Comprimento básico de ancoragem segundo o ACI 318 1995 84 4323 Métodos de ancoragem 85 43231 Recomendações segundo o Eurocode 2 1992 85 43232 Recomendações segundo a NBR 61182003 85 4324 Diâmetros mínimos dos pinos de dobramento86 4325 Armadura transversal86 4326 Comprimento de ancoragem necessário 87 43261 Comprimento de ancoragem necessário segundo o Eurocode 2 1992 87 43262 Comprimento de ancoragem necessário segundo a NBR 61182003 88 43263 Comprimento de ancoragem necessário segundo o ACI 318 1995 89 433 EMENDAS POR TRASPASSE PARA BARRAS OU FIOS89 4331 Arranjo das emendas89 4332 Armadura transversal90 434 ANCORAGEM DE ESTRIBOS E DE ARMADURA DE CISALHAMENTO 90 5 O PROGRAMA CAST 92 51 CONCEITOS GERAIS 92 52 A MODELAGEM NO CAST 2000 PASSOAPASSO93 521 DESCRIÇÃO DO PROJETO 94 Sumário VII 522 DEFINIÇÃO DO ELEMENTO ESTRUTURAL95 523 OBTENÇÃO DAS FORÇAS NO MODELO DE BIELAS E TIRANTES 95 524 DEFINIÇÃO DAS PROPRIEDADES DOS ELEMENTOS96 525 VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES 98 6 MODELAGENS DAS VIGAS E ANÁLISE DOS RESULTADOS 99 61 ROTINA PARA VERIFICAÇÕES DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO DE SEÇÕES RETANGULARES SUBMETIDAS A FLEXÃO SEGUNDO A NBR 6118200399 62 MODELOS VB VIGAS DE CONCRETO ARMADO BIAPOIADAS SUBMETIDAS A CARREGAMENTOS UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDOS 102 621 MODELO VB1 PROPRIEDADES INICIAIS 104 6211 Propriedades gerais104 6212 Determinação de kc ks e As 105 6213 Cálculo de Mdlim Vdu e Vdmin 105 6214 Verificação das bielas segundo o MC CEBFIP 1990 105 6215 Verificação das bielas segundo a NBR 61182003 107 6216 Resultados da modelagem 107 622 MODELO VB2 VB1 COM ACRÉSCIMO DE CARREGAMENTO 124 6221 Geometria e ações124 6222 Determinação de kc ks e As 124 6223 Cálculo de Mdlim Vdu e Vdmin 125 6224 Verificação das bielas segundo o MC CEBFIP 1990 125 6225 Verificação das bielas segundo a NBR 61182003 126 6226 Resultados da modelagem 126 623 MODELO VB3 MUDANDOSE A INCLINAÇÃO DAS BIELAS 135 6231 Geometria e ações135 6232 Determinação de kc ks e As 135 Sumário VIII 6233 Cálculo de Mdlim Vdu e Vdmin 135 6234 Verificação das bielas segundo o MC CEBFIP 1990 136 6235 Verificação das bielas segundo a NBR 61182003 137 6236 Resultados da modelagem 137 63 MODELO VF VIGA DE CONCRETO ARMADO COM FURO NA ALMA SUBMETIDA A CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO E A CARREGAMENTOS PONTUAIS 145 631 Introdução145 632 Resultados da modelagem 146 7 CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS164 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 168 Lista de figuras IX LISTA DE FIGURAS Figura 21 Tipos de ruína segundo FUSCO 198411 Figura 22 Cobertura do diagrama de força de tração solicitante pelo diagrama resistente NBR 6118200315 Figura 23 Modelo fundamental da alma MC CEBFIP 199018 Figura 24 Esquemas para dedução das forças nos membros da treliça MC CEBFIB 199020 Figura 25 Processo do caminho de carga32 Figura 26 Modelo de bielas e tirantes aplicado a um apoio em dente de uma viga34 Figura 27 Regiões B e D para uma viga36 Figura 28 Regiões B e D e modelo de treliça para uma viga SILVA GIONGO 200036 Figura 29 Exemplo básico de nós contínuos e nós singulares em modelo de bielas e tirantes37 Figura 210 Nó N1 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 199142 Figura 211 Nó N2 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 199143 Figura 212 Nó N3 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 199143 Figura 213 Nó N4 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 199144 Lista de figuras X Figura 214 Nó N5 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 199145 Figura 215 Nó N6 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 199145 Figura 216 Nó N7 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 199146 Figura 217 Nó N8 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 199147 Figura 218 Nó N9 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 199148 Figura 51 Todos os passos da modelagem no CAST 200094 Figura 61 VB1 Carregamento e comprimento efetivo104 Figura 62 VB1 A treliça e seus elementos108 Figura 63 VB1 Aplicação das forças aos nós110 Figura 64 Propriedades dos elementos111 Figura 65 Propriedades dos nós111 Figura 66 VB1 Forças nos membros da treliça116 Figura 67 VB1 Fatores de utilização dos elementos116 Figura 68 VB1 Disposição das armaduras dos tirantes da treliça121 Figura 69 VB1 Resumo123 Figura 610 VB2 Forças nos membros da treliça129 Figura 611 VB2 Fatores de utilização dos elementos129 Figura 612 VB2 Disposição das armaduras dos tirantes da treliça133 Figura 613 VB2 Resumo134 Figura 614 VB3 Forças nos membros da treliça139 Lista de figuras XI Figura 615 VB3 Fatores de utilização dos elementos139 Figura 616 VB3 Disposição das armaduras dos tirantes da treliça143 Figura 617 VB3 Resumo144 Figura 618 VF Carregamento e comprimento efetivo146 Figura 619 ae VF Forças nos membros da treliça150151 Figura 620 ad VF Fatores de utilização dos elementos152153 Figura 621 ae VF Disposição das armaduras dos tirantes da treliça161162 Figura 622 VF Resumo163 Lista de tabelas XII LISTA DE TABELAS Tabela 21 Limites inferior e superior para o ângulo formado entre as diagonais comprimidas e a armadura longitudinal da viga40 Tabela 31 Taxas mínimas de armadura transversal ρwmin segundo o Eurocode 2 199261 Tabela 41 Tensão de aderência de projeto fbd segundo o Eurocode 2 199282 Tabela 42 Tensão de aderência de projeto fbd segundo o a NBR 6118200382 Tabela 43 Diâmetros mínimos dos pinos de dobramento segundo o Eurocode 2 199286 Tabela 44 Diâmetros mínimos dos pinos de dobramento segundo a NBR 6118200386 Tabela 51 Propriedades dos nós segundo as normas e expressões disponíveis no CAST 200096 Tabela 52 Propriedades das bielas segundo as normas e expressões disponíveis no CAST 200097 Tabela 61 Rotina para o cálculo da área de armadura transversal em vigas100 Tabela 62 VB1 Propriedades geométricas dos elementos108 Lista de tabelas XIII Tabela 63 VB1 Propriedades geométricas dos nós109 Tabela 64 VB1 Propriedades dos elementos112 Tabela 65 VB1 Propriedades dos nós113 Tabela 66 VB1 Fatores de utilização dos elementos da treliça117 Tabela 67 VB1 Fatores de utilização dos nós da treliça118 Tabela 68 VB1 Armaduras necessárias para a viga determinadas pelo CAST 2000121 Tabela 69 VB2 Propriedades dos elementos126 Tabela 610 VB2 Propriedades dos nós128 Tabela 611 VB2 Fatores de utilização dos elementos da treliça129 Tabela 612 N2 Fatores de utilização dos nós da treliça130 Tabela 613 VB2 Armaduras necessárias para a viga determindas pelo CAST 2000133 Tabela 614 VB3 Propriedades dos elementos137 Tabela 615 VB3 Propriedades dos nós138 Tabela 616 VB3 Fatores de utilização dos elementos da treliça140 Tabela 617 VB3 Fatores de utilização dos nós da treliça141 Tabela 618 VB3 Armaduras necessárias para a viga determindas pelo CAST 2000143 Tabela 619 VF Propriedades dos elementos146 Tabela 620 VF Propriedades dos nós148 Tabela 621 VF Fatores de utilização dos elementos da treliça153 Lista de tabelas XIV Tabela 622 VF Fatores de utilização dos nós da treliça155 Tabela 623 VF Armaduras necessárias para a viga determindas pelo CAST 2000160 Resumo XV RESUMO SANTOS D 2006 Análise de vigas de concreto armado utilizando modelos de bielas e tirantes São Carlos Dissertação Mestrado Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo O modelo de bielas e tirantes apresenta como uma de suas vantagens a generalidade ou seja é capaz de representar de modo aproximado porém realista e sistemático grande parte dos elementos de concreto estrutural da atualidade Além disso permite ao engenheiro fácil visualização físicointuitiva do comportamento do concreto estrutural Por outro lado o modelo ainda tem um enorme potencial não aproveitado Ainda não se tem um critério exato para determinação dos nós e das seções transversais das bielas de alguns elementos Apesar de haver certas incertezas no caso de vigasparede e principalmente de blocos de fundação nas vigas esses elementos do modelo podem ser determinados sem grandes dificuldades Possivelmente a solução seria variar as dimensões das bielas e as posições dos nós ambas hipotéticas a fim de confrontar várias situações com resultados experimentais Daí a grande importância da difusão do modelo de bielas e tirantes um maior número de análises de modelagens e de resultados de ensaios levará a um maior domínio sobre o modelo Este trabalho consiste na análise de vigas de concreto armado utilizando modelos de bielas e tirantes São apresentados os conceitos que levaram à concepção do modelo desde a Analogia Clássica da Treliça chegando aos critérios para verificação dos elementos da treliça e às recomendações atuais de normas e pesquisadores Com o auxílio do programa computacional CAST 2000 foram modeladas quatro vigas sendo as três primeiras biapoiadas sem descontinuidades e a quarta com balanço e Resumo XVI descontinuidade geométrica abertura na alma A primeira viga biapoiada teve algumas de suas características iniciais alteradas a fim de gerar o segundo e o terceiro modelos procurandose estabelecer limites de carregamentos e análises comparativas Os resultados das modelagens permitiram comparações com os resultados das verificações realizadas segundo os critérios da NBR 61182003 e do MC CEBFIP 1990 e permitiram também identificar os aspectos de maior dificuldade na concepção de um modelo de bielas e tirantes e os pontos críticos dos mesmos nos quais há maior possibilidade de falha nas verificações Palavraschave concreto armado modelo de bielas e tirantes viga Abstract XVII ABSTRACT SANTOS D 2006 Analysis of reinforced concrete beams using strut and tie models São Carlos Dissertação Master Degree Thesis Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo One of the main advantages presented by the strutandtie model is generality This model is able to approximately represent in a realistic and systematic way the majority of todays reinforced concrete elements Furthermore it allows the physicsintuitive visualization of the behavior presented by structural concrete On the other hand its potentials are not fully explored yet Up to date there is no accurate criterion for the determination of nodes and transverse sections of some strut elements Despite presenting some uncertainties related to the determination of wallbeams and mainly of foundation blocks the model can determine beams without major difficulties Probably the key is to vary the dimensions of the struts and the positions of the nodes both hypothetical in order to confront various situations with experimental data Hence it is very important to diffuse the strutandtie model the bigger the number of modeling analysis and experimental data the better the comprehension of the model This work aims to analyze reinforced concrete beams employing the strutandtie model Here are presented the concepts that led to the development of the model ranging from the Truss Classic Analogy to the criteria employed to verify truss elements and the recommendations from researchers and established standards rules or norms Four examples of beams were modeled Three of them were doublebased and the fourth presented balance and no geometric discontinuity with an opening Some of the characteristics of the first doublebased beam were altered in order to Abstract XVIII generate the second and the third model thus establishing loading limits and comparative analysis The modeling allowed comparisons between the verifications performed in accordance with the NBR 61182003 and MC CEB FIP criteria It also allowed the identification of major difficulties and critical aspects related to the development of struts and ties the ones that are most prone to failure in the verification process Keywords reinforced concrete strut and tie model beam Capítulo 1 Introdução 1 1 INTRODUÇÃO 11 PRELIMINARES Ao se projetar vigas de concreto armado o procedimento empregado é o que utiliza o dimensionamento relativo à teoria da flexão momento fletor e força cortante Porém não só no aspecto científico mas também em outros aspectos como prático e até didático o cálculo de vigas de concreto armado utilizando o modelo de bielas e tirantes pode ser muito valioso Este modelo tem como principais vantagens a melhor visualização do comportamento da estrutura podendose verificar de modo mais claro a distribuição das tensões e a facilidade na identificação das regiões mais solicitadas da estrutura O modelo também permite que o projetista o utilize em toda a estrutura tanto nas regiões sem descontinuidades quanto nas regiões com descontinuidades O trabalho pretendeu desenvolver rotina de projeto para vigas de concreto armado adotando o modelo de bielas e tirantes Para isso foi feita extensa revisão bibliográfica considerando os trabalhos publicados desde o início das pesquisas até os mais recentes que levaram ao desenvolvimento de programas computacionais Para as modelagens utilizouse o programa computacional CAST Computer Aided StrutandTie 2000 específico para cálculo de estruturas de concreto simples armado ou protendido utilizando os princípios do modelo de bielas e tirantes Com isso visouse garantir a segurança dos banzos comprimido e tracionado de tal modo que para este se considere a retirada de serviço das barras longitudinais da armadura Os nós as diagonais comprimidas e os estribos tiveram suas seguranças verificadas com as condições de resistência do concreto e das barras ou fios de aço Por fim os comprimentos de ancoragem foram convenientemente considerados Capítulo 1 Introdução 2 12 OBJETIVO Esta pesquisa visou o dimensionamento de vigas de concreto armado utilizandose modelos de bielas e tirantes Procurouse atentar para todos os critérios de verificação necessários para se garantir a segurança da viga tanto em serviço como nos estados limites últimos Pretendeuse desse modo elaborar uma opção de verificação para vigas O objetivo geral que se pretendeu atingir com esta dissertação foi apresentar estudar e avaliar as prescrições das normas em relação às vigas de concreto armado e em seguida com o auxílio do programa computacional CAST Computer Aided StrutandTie 2000 propor um método para o dimensionamento de vigas de concreto armado em que não é necessário fazer a decalagem do diagrama de momentos fletores para a determinação dos pontos de interrupção das barras da armadura longitudinal como é feito pelo modo tradicional 13 JUSTIFICATIVA A proposta de se analisar solução alternativa para o projeto de estruturas de concreto armado estimulou este trabalho Um dos elementos estruturais mais comuns em vários tipos de construções a viga é elemento fundamental de sustentação da maioria das edificações de concreto armado Ao mesmo tempo o modelo de bielas e tirantes é uma das mais geniais idéias de concepção e análise estrutural do século XX e até da própria história do concreto Esse modelo passou por evoluções e até hoje é usado e proposto por códigos e normas para o cálculo de estruturas não usuais de concreto armado apesar de poder ser usado também para dimensionar estruturas usuais como vigas biapoiadas sem descontinuidades geométricas Capítulo 1 Introdução 3 Em virtude da falta de trabalhos desse gênero pode ser de grande importância esta pesquisa que analisa compara e discute o dimensionamento de vigas usuais submetidas a flexão simples segundo algumas das principais Normas em vigência bem como segundo um programa especializado em resolver estruturas pelo modelo de bielas e tirantes A proposta de se encontrar um método alternativo para a determinação dos pontos de interrupção das barras da armadura longitudinal sem a necessidade do já tradicional cobrimento do diagrama de momentos fletores da viga parece oportuna e surge como valiosa alternativa para os usuários de programas computacionais 14 MÉTODOS E TÉCNICAS Este trabalho analisa o comportamento de vigas de concreto armado tomandose por base os critérios da NBR 61182003 do ACI 318M 1995 do EUROCODE 2 1992 do Código de Recomendações da fib 1999 e do MC CEBFIP 1990 Posteriormente compara os resultados obtidos com simulação feita em computador utilizando o programa CAST 2000 o qual utilizandose especificamente dos princípios do modelo de bielas e tirantes permite realizar verificações de estruturas de concreto Em relação ao dimensionamento de vigas foi realizado um estudo que abrange desde a analogia de treliça proposta por MÖRSCH no início do século XX passando pelas grandes contribuições de SCHLAICH SCHAFER 1987 1988 1991 e chegando ao dimensionamento segundo cada uma das normas Apresentamse então exemplos de verificação de vigas de concreto armado submetidas a flexão Em seguida discutemse alguns aspectos relativos ao comportamento e à modelagem de vigas de concreto armado utilizandose o programa computacional CAST 2000 Posteriormente serão apresentados os resultados das modelagens realizadas e as conclusões em relação aos resultados obtidos pretendendose avaliar o método proposto Capítulo 1 Introdução 4 15 APRESENTAÇÃO DA DISSERTAÇÃO O Capítulo 1 apresenta preliminares em relação à utilização do modelo de bielas e tirantes os objetivos deste trabalho as justificativas que estimularam a elaboração do mesmo e os métodos empregados em seu desenvolvimento No Capítulo 2 são abordados aspectos gerais da análise estrutural os possíveis mecanismos de ruptura das vigas as analogias das treliças Clássica e Generalizada as hipóteses de Bernoulli e são deduzidas as expressões para dimensionamento segundo o MC CEBFIP 1990 Em seguida há uma apresentação do histórico do modelo de bielas e tirantes e todas as características relativas às verificações pertinentes ao modelo O Capítulo 3 apresenta as verificações necessárias às vigas submetidas a esforços de flexão segundo a NBR 61182003 o MC CEBFIP 1990 o Eurocode 2 1992 e o ACI 318M 1995 No Capítulo 4 foi realizada extensa abordagem da ancoragem das barras das armaduras das estruturas de concreto armado e de todos os critérios necessários para o cálculo do comprimento de ancoragem de barras nas mais diversas situações O Capítulo 5 faz uma abordagem geral do CAST 2000 desde seu histórico passando por suas características peculiares até a descrição de todas as etapas necessárias na modelagem As modelagens das vigas VB1 VB2 VB3 VF constam no Capítulo 6 que apresenta as propriedades geométricas e dos materiais as condições de contorno os modelos de treliças definidos as solicitações e as tensões nos elementos de todos os quatro modelos Por fim no Capítulo 7 são relacionadas considerações finais com base nos resultados obtidos e são fornecidas sugestões para pesquisas futuras utilizando modelos de bielas e tirantes Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 5 2 AS VIGAS E O MODELO DE BIELAS E TIRANTES Este capítulo apresenta a fundamentação teórica que possibilitou o desenvolvimento do trabalho Em resumo apresentamse a seguir os fundamentos teóricos a respeito da análise estrutural do comportamento e verificação de vigas pelas normas propostas do modelo de bielas e tirantes e da determinação do comprimento de ancoragem das armaduras das vigas 21 PRELIMINARES O projeto usual de vigas de concreto armado é realizado com os esforços solicitantes momento fletor e força cortante com os critérios de verificação do equilíbrio das resultantes internas no concreto comprimido e nas barras das armaduras tracionadas Ao se estudar o equilíbrio da treliça de MÖRSCH idealizada no século retrasado podem ser determinados os deslocamentos no diagrama de momentos fletores a fim de estabelecer os corretos pontos de interrupção das barras longitudinais da viga Segundo a NBR 61182003 o dimensionamento das armaduras longitudinais deve conduzir a um conjunto de esforços resistentes NRd MRd que constituam envoltória dos esforços solicitantes NSd MSd determinados na análise estrutural O modelo de bielas e tirantes por sua vez analisa a viga como um todo sem a necessidade de separar os esforços solicitantes e as forças internas para equilibrálos constituindose em modelo mais realista Assim permite que a determinação dos comprimentos das barras longitudinais seja realizada de maneira mais simples que do que pelo modo tradicional análise do momento fletor resistido por barra e consideração do diagrama de Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 6 momentos fletores deslocado Ao se aplicar o modelo os pontos de interrupção das barras longitudinais podem ser determinados facilmente de acordo com as forças aplicadas em cada barra do banzo da treliça ou seja determinase a área de armadura necessária para resistir a força resultante em cada tramo do banzo que esteja tracionado Sabendose que a força varia para cada barra da treliça os pontos de interrupção das barras da armadura longitudinal podem ser definidos portanto pelos nós da treliça interna da viga A análise da segurança da viga adotando o modelo de bielas e tirantes permite as verificações relativas aos banzos tracionado e comprimido às diagonais comprimidas aos pendurais e às regiões nodais Para uso corrente pelos projetistas para as verificações das vigas de concreto armado utilizando o modelo de bielas e tirantes é necessário elaborar rotina de projeto que considere convenientemente 1 a segurança das regiões nodais 2 as verificações das diagonais comprimidas considerando os critérios de resistência do concreto 3 as verificações dos pendurais estribos considerando os critérios de resistência das barras ou fios de aço 4 os comprimentos de ancoragem das armaduras longitudinais 22 ANÁLISE ESTRUTURAL 221 INTRODUÇÃO A rigor as estruturas precisam ser tratadas como tridimensionais uma vez que todos os seus elementos trabalham conjuntamente Tal procedimento embora conduza a um projeto mais refinado dificulta a determinação dos esforços solicitantes em virtude do alto grau de hiperestaticidade da estrutura exigindo o emprego de recursos computacionais sofisticados Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 7 Alternativamente o cálculo dos esforços solicitantes é feito por processos simplificados aceitos pelas normas considerando os elementos estruturais separadamente fazendose as correções necessárias para garantir a segurança dos elementos isolados e da estrutura como um todo O sistema estrutural de uma edificação precisa ser projetado de modo que ele seja capaz de resistir não só às ações verticais mas também às ações horizontais que possam provocar efeitos significativos ao longo da sua existência As ações verticais são constituídas por peso próprio dos elementos estruturais pesos próprios de revestimentos e de paredes divisórias além de outras ações permanentes ações variáveis decorrentes da utilização cujos valores vão depender da finalidade do edifício e outras ações específicas como por exemplo a massa de equipamentos As ações horizontais onde não há ocorrência de abalos sísmicos constituemse basicamente da ação do vento A distribuição das ações verticais tem início nas lajes que suportam além de seus pesos próprios outras ações permanentes e as ações variáveis de uso incluindo eventualmente peso de paredes que se apóiam diretamente sobre elas As lajes transmitem essas ações para as vigas por meio das reações de apoio As vigas suportam seus pesos próprios as reações provenientes das lajes peso de paredes e ainda ações de outros elementos que nelas se apóiam como por exemplo as reações de apoio de outras vigas As vigas assim como as lajes trabalham à flexão e transmitem as ações para os elementos verticais pilares e paredes estruturais por meio das respectivas reações Os pilares e as paredes estruturais recebem as reações das vigas que neles se apóiam as quais juntamente com o peso próprio desses elementos verticais são transferidas para os andares inferiores e finalmente para o solo por meio dos elementos de fundação Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 8 As ações horizontais devem igualmente ser absorvidas pela estrutura e transmitidas passo a passo para a fundação O caminho dessas ações tem início nas paredes externas do edifício onde atua o vento Esta ação é resistida por elementos verticais de grande rigidez tais como pórticos paredes estruturais e núcleos que formam a estrutura de contraventamento Os pilares de menor rigidez pouco contribuem na resistência às ações laterais e portanto podem ser ignorados na análise da estabilidade global da estrutura As lajes exercem importante papel na distribuição das forças decorrentes do vento entre os elementos de contraventamento pois possuem rigidez praticamente infinita em seu plano promovendo assim o travamento do conjunto 222 POSIÇÕES DE VIGAS E LAJES A estruturação segue com o posicionamento das vigas nos diversos pavimentos Além daquelas que ligam os pilares formando pórticos outras vigas podem ser necessárias seja para dividir um painel de laje com grandes dimensões seja para suportar uma parede divisória e evitar que ela se apóie diretamente sobre a laje É comum por questões estéticas e com vistas a facilidades no acabamento e ao melhor aproveitamento dos espaços adotar larguras de vigas em função da largura das alvenarias As alturas das vigas ficam limitadas pela necessidade de prever espaços livres para aberturas de portas e de janelas Como as vigas delimitam os painéis de laje suas disposições precisam levar em consideração o valor médio econômico do menor vão das lajes que para lajes maciças é da ordem de 35 metros a 50 metros O posicionamento das lajes fica então praticamente definido pelo arranjo das vigas Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 9 223 DESENHOS PRELIMINARES DE FORMAS De posse do arranjo dos elementos estruturais passase ao pré dimensionamento cujo propósito é a determinação aproximada das alturas das lajes e das dimensões das seções transversais dos pilares e das vigas As larguras das vigas são adotadas para atender condições de arquitetura ou construtivas Sempre que possível as vigas ficam embutidas nas alvenarias e permitem a passagem de tubulações Costumase adotar para as vigas no máximo três pares de dimensões diferentes para as seções transversais Em edifícios residenciais é conveniente que as alturas das vigas não ultrapassem 60 cm para não interferir nos vãos de portas e de janelas Por exemplo podese adotar para as vigas mais solicitadas com vãos maiores ou aquelas que fazem parte dos pórticos de contraventamento as dimensões 25 cm x 60 cm As outras vigas podem ter dimensões inferiores como 20 cm x 50 cm ou 20 cm x 40 cm Essas dimensões podem ser adotadas em função do prédimensionamento e devem posteriormente ser verificadas nos cálculos definitivos A fase de estruturação do edifício termina com a elaboração dos desenhos preliminares das formas de todos os pavimentos contendo as dimensões estimadas no prédimensionamento a partir das quais calculamse os vãos efetivos de lajes e vigas necessários para iniciar o cálculo dos esforços solicitantes nesses elementos 23 MECANISMOS DE RUÍNA EM VIGAS FUSCO 1984 231 GENERALIDADES O colapso de vigas de concreto armado pode ocorrer segundo ações normais ou ações tangenciais Entendese que no dimensionamento e Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 10 verificação a ruína desses elementos deve ocorrer somente por solicitações normais e nunca por solicitações tangenciais O estado limite último para solicitações normais pode ocorrer ou por ruptura do concreto ou por deformação plástica excessiva da armadura longitudinal Por outro lado para solicitações tangenciais o estado limite último ocorre por escoamento da armadura transversal ou por esmagamento das diagonais comprimidas Em vista disso a ruína pode ser frágil e por isso precisa ser evitada 232 TIPOS DE RUÍNA Segundo FUSCO 1984 os tipos de ruína de vigas de concreto armado submetidas a solicitações cisalhantes são 1 Ruína por força cortantecompressão típico de peças subarmadas transversalmente A ruína não é frágil pois ocorre escoamento da armadura transversal e fissuração excessiva Figura 21 a 2 Ruína por força cortantetração típico de peças superarmadas transversalmente A ruína é frágil pois ocorre esmagamento das bielas de concreto antes que a armadura transversal entre em escoamento Figura 21 b 3 Ruína por força cortanteflexão ocorre pela diminuição da espessura do banzo comprimido da peça quando as fissuras diagonais se estendem até ele Essa diminuição pode provocar acréscimo de tensões e conseqüentemente esmagamento do concreto Geralmente a seção de ruína se localiza em regiões de elevadas forças concentradas Figura 21 c 4 Ruína por flexão da armadura longitudinal ocorre quando há deficiências localizadas na armadura longitudinal de tração como espaçamento ou ancoragem de armadura transversal incorretos Figura 21 d Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 11 Figura 21 Tipos de ruína segundo FUSCO 1984 24 A ANALOGIA CLÁSSICA DA TRELIÇA 241 PRELIMINARES A treliça clássica de MÖRSCH foi concebida no início do século XX e desde então vem sendo utilizada como base para o dimensionamento de vigas de concreto armado Apesar de algumas pesquisas sugerirem alterações em sua teoria seu aspecto geral foi mantido e está distante de ser superado pois Ruína força cortantecompressão Ruína força Ruína força cortantetração cortanteflexão Ruína por flexão da armadura longitudinal a b c d de tração Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 12 o mecanismo resistente desses elementos estruturais pode ser associado ao de treliças A Analogia Clássica da Treliça faz a analogia entre uma viga de concreto armado depois de fissurada e uma treliça de banzos paralelos e apesar de apresentar certas imperfeições resultantes da incompatibilidade entre modelo e viga real ainda hoje é empregada em grande escala Nas últimas décadas propostas vêm sendo feitas por pesquisadores e engenheiros sugerindo alterações no modelo original a fim de aperfeiçoálo e principalmente ajustar os resultados experimentais aos teóricos Atualmente como importantes incrementos ao modelo de MÖRSCH destacamse os modelos de bielas e tirantes nos quais os elementos ou regiões da viga real são denotados como elementos da treliça Neste caso as armaduras transversais são os montantes tracionados da treliça atuando tipicamente como tirantes na viga de concreto armado Por sua vez as diagonais comprimidas situadas entre duas fissuras consecutivas trabalham como as barras das diagonais comprimidas da treliça atuando como as bielas Por fim citamse os banzos da treliça nos quais a armadura longitudinal de tração da viga funciona como o banzo tracionado e a faixa superior de concreto como o banzo comprimido Em relação a ambos os modelos serão relacionadas suas considerações básicas e principais imperfeições procurando justificálas terminando por exibir o dimensionamento segundo as normas NBR 61182003 e ACI 318M 1995 bem como do Eurocode 2 1992 e as prescrições do Código de Recomendações da fib 1999 242 HIPÓTESES BÁSICAS As hipóteses admitidas pela treliça clássica baseiamse no panorama fissurado da viga a partir do qual se pode determinar o mecanismo de funcionamento da mesma Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 13 2421 Posição relativa dos banzos O modelo propõe uma treliça de banzos paralelos em quase toda a extensão da viga sendo que apenas nas regiões dos apoios o banzo superior inclinase até se encontrar com o inferior 2422 Inclinação das diagonais θ As diagonais comprimidas apresentam inclinação θ menor ou igual a 45º em relação ao eixo longitudinal da viga sendo que θ varia conforme a largura da alma e a taxa de armadura transversal A delimitação das diagonais se dá segundo as fissuras pois cada diagonal está compreendida no espaço entre duas fissuras Experimentalmente observase que as inclinações das fissuras diminuem em direção aos apoios valendo aproximadamente 90º na região central da viga Porém os modelos de cálculo determinam um ângulo de inclinação e consideramno constante em toda a extensão da viga O ângulo de inclinação mínimo é especificado segundo cada norma porém usualmente admitese θ 45º a fim de simplificar as considerações para o dimensionamento A NBR 61182003 apresenta dois modelos de cálculo o modelo I que considera o ângulo θ 45º e o modelo II que considera o ângulo θ arbitrado livremente entre 30º e 45º 2423 Inclinação da armadura transversal α A armadura transversal pode apresentar inclinação α entre 45º e 90º em relação ao eixo longitudinal da peça Na prática a grande maioria dos casos apresenta armadura transversal na posição vertical ou seja com α 90º em função da dificuldade de modelagem das barras da armadura com diferentes inclinações Porém podese citar que tais inclinações apesar de não usuais melhoram a eficiência da armadura transversal Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 14 2424 Limitação da tensão na armadura transversal Segundo a NBR 61182003 a tensão nas barras da armadura transversal fywd precisa respeitar os seguintes limites Estribos fywd fyd fyk γs 435 MPa 21 Barras dobradas fywd 070 fyd 070 fyk γs 435 MPa 22 sendo γs 115 2425 Deslocamento do diagrama de momentos fletores Os esforços solicitantes relativos à flexão que atuam em uma viga de concreto de alma cheia não são exatamente iguais aos atuantes numa treliça Na viga de concreto armado a resultante de compressão que atua no banzo comprimido e a de tração que atua na armadura tracionada para uma mesma seção são proporcionais ao momento fletor atuante Sendo assim na viga por se tratar de um elemento geometricamente contínuo as intensidades das forças atuantes nos banzos variam ponto a ponto ou seja a cada diferença infinitesimal de espaço Por outro lado na treliça as forças apresentam valores constantes entre dois nós consecutivos ou seja em cada uma de suas barras Por conta dessa diferença precisase realizar uma translação aℓ do diagrama de momentos fletores de cálculo a fim de compatibilizar modelo e viga real Para o modelo II da NBR 61182003 tal translação admite os valores dados pela seguinte expressão aℓ z 2 cotgθ cotgα st 2 23 sendo z distância entre a resultante de compressão e a de tração nos banzos braço de alavanca α inclinação da armadura transversal Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 15 θ inclinação das bielas de concreto comprimido st espaçamento longitudinal entre os estribos Para vigas no modelo I ou seja com estribos a 90º e inclinação das bielas igual a 45º a expressão anterior resulta aℓ st 2 24 A figura a seguir indica a decalagem do diagrama de momento fletor sugerida pela NBR 61182003 Figura 22 Cobertura do diagrama de força de tração solicitante pelo diagrama resistente NBR 61182003 25 ANALOGIA DA TRELIÇA GENERALIZADA PRINCIPAIS IMPERFEIÇÕES DA TRELIÇA CLÁSSICA A necessidade de se generalizar a Analogia da Treliça Clássica é pelo fato de se levar em consideração dentre outros fatores principalmente a hiperestaticidade da viga real Podem ser estabelecidos três fatores como os principais responsáveis pela diferença entre os valores das tensões calculadas Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 16 teoricamente segundo a treliça clássica e os observados experimentalmente São eles 1 Alta hiperestaticidade da viga de concreto armado 2 Posição relativa dos banzos que não são paralelos 3 Diferença na inclinação das fissuras pois na viga real a inclinação é menor que a admitida por MÖRSCH As bielas diagonais são aproximadamente 20 vezes mais rígidas que os montates tracionados ou seja a armadura transversal Portanto elas deveriam absorver uma parcela maior de tensões que a determinada pela treliça clássica Além disso há engastamento na ligação entre biela e banzo comprimido pois tratase de uma massa contínua de concreto o que contraria a teoria no que diz respeito às ligações nas treliças Isso significa que as bielas trabalham também a flexão aliviando os montantes ou as diagonais tracionadas Observase experimentalmente que como conseqüência desse fator a armadura transversal será menos solicitada à medida que maior for a largura da alma da viga Os valores das tensões de compressão calculadas nas bielas segundo a teoria da treliça clássica no caso de estribos a 90º são de 10 a 20 menores que as observadas experimentalmente em ensaios de vigas comprovando a validade da hipótese da hiperestaticidade No caso de estribos inclinados tal diferença aumenta para 60 em média Com relação à inclinação dos banzos verificase que na viga real o banzo comprimido é inclinado o que possibilita a absorção direta de uma parcela da força cortante atuante As fissuras e por conseqüência as diagonais comprimidas apresentam inclinação menor que 45º nos trechos mais solicitados A Analogia Generalizada de Treliça resulta em menores taxas de armadura transversal porém devese atentar para a possibilidade de esmagamento das diagonais comprimidas pois nesse caso elas encontramse mais solicitadas Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 17 26 MODELO PLÁSTICO DE TRELIÇA O modelo plástico de treliça consiste em um banzo tracionado e outro comprimido bielas com inclinação θ com a horizontal e estribos Em conseqüência ao efeito de leque forças concentradas e reações são transmitidas aos estribos por bielas radiais formando um campo de tensões de compressão constituído por bielas de inclinação constante Uma das hipóteses da treliça plástica é que toda a força cortante deve ser resistida por estribos sendo que em projeto o ideal seria proporcionar um arranjo da armadura transversal tal que todos os seus ramos atingissem o escoamento simultaneamente quando a força de ruptura fosse alcançada Desse modo uma força igual a Aswfyd seria transmitida pela fissura sendo Asw a soma das áreas dos ramos da armadura transversal compreendida entre duas fissuras Dessa forma a treliça se tornaria estaticamente determinada Como a viga real é projetada de modo a alcançar o escoamento dos estribos anteriormente ao esmagamento do concreto o modelo depende da plastificação dos estribos porém independe da plastificação do concreto Um modelo de treliça é tão mais adequado a uma determinada viga quanto mais se aproximar da situação real Vigas de concreto armado sofrem redistribuições de forças internas partindo do estado elástico nãofissurado mudando para o estado elástico fissurado e chegando até o estado plástico fissurado Se o modelo de treliça adotado considerar deformação excessiva para atingir plastificação completa a treliça poderá romperse prematuramente Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 18 27 DEDUÇÃO DAS EXPRESSÕES SEGUNDO O CÓDIGO MODELO CEBFIP 1990 271 GENERALIDADES A proposta do Código Modelo CEBFIP 1990 é a utilização dos modelos para vigas de concreto armado submetidas a ação de força cortante e momento fletor Para o dimensionamento da armadura transversal o MC CEBFIP 1990 define verificações das ações atuantes e das forças resistentes nos tirantes da armadura transversal Visando a otimização da distribuição das barras da armadura longitudinal o código também propõe verificações das ações atuantes e das forças resistentes nos banzos tracionado e comprimido O modelo fundamental de um trecho típico da alma de uma viga é mostrado na Figura 23 O braço de alavanca é representado por z e se estende desde o centro geométrico do banzo comprimido até o centro geométrico do banzo tracionado trecho no qual os momentos fletores mantêm o mesmo sinal e podem ser considerados iguais ao valor na seção de momento fletor Md máximo O menor ângulo formado entre as bielas e os banzos ou o comprimido ou o tracionado é representado por θ e o menor ângulo formado entre os tirantes e os banzos ou o comprimido ou o tracionado é representado por α Figura 23 Modelo fundamental da alma MC CEBFIP 1990 Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 19 272 CONDIÇÕES PARA APLICAÇÃO DOS MODELOS Segundo o CEBFIP 1990 são condições básicas para aplicação dos modelos de bielas e tirantes 1 É necessário que haja adequada ancoragem da armadura de cisalhamento nos banzos superior e inferior 2 Estribos precisam ter inclinação mínima de 45º e barras dobradas de 30º em relação ao eixo da viga 3 Os espaçamentos longitudinal e transversal entre os ramos da armadura podem ser no máximo iguais a 075 d ou 800 mm sendo d a altura útil da viga 4 A fim de limitar as aberturas das fissuras de cisalhamento a taxa mecânica de armadura transversal wsw não pode ser inferior a 02 como indicado nas expressões seguintes wsw Asw fyk bw s fctm senα 02 25 ou seja yk w ctm sw f b sen 20 f s A α 26 com fctm resistência média à tração do concreto calculado por 23 ck ctm 10 14 f f 27 273 EXPRESSÕES PARA DIMENSIONAMENTO A Figura 24 apresentada a seguir é fundamental na demonstração das solicitações externas e as conseqüentes reações internas observadas na seção transversal de uma viga de concreto armado submetida à flexão Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 20 B 1 A 2 1 2 zcotg co tg 1 B 2 1 A 2 FS c M d Nd Vd Fst θ α θ α θ α θ α α α θ S c F st F z 2co tg cotg θ α B A stw F z2co tg co tg se n θ α α z cos θ st F S c F S cw F Rc Vd θ zco tg cotg sen α θ θ c θ α θ θ z cotg cotg α θ α Fst S c F a b c d e f z co tg c otg θ σ Figura 24 Esquemas para dedução das forças nos membros da treliça MC CEBFIB 1990 A seguir apresentamse as expressões para o dimensionamento baseadas na Figura 24 Notese que a simbologia adotada pelo MC CEBFIB 1990 será alterada neste trabalho a fim de que os termos e as respectivas Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 21 expressões que eles constituem estejam de acordo com os utilizados no Brasil Sendo assim serão realizadas as seguintes substituições FSc por RSc força solicitante de compressão no concreto banzo comprimido FRc por RRc força resistente de compressão no concreto banzo comprimido FSt por RSt força solicitante de tração na armadura banzo tracionado FRt por RRt força resistente de tração na armadura banzo tracionado FScw por RScw força solicitante de compressão na alma FRcw por RRcw força resistente de compressão na alma FStw por RStw força solicitante de tração na alma FRtw por RRtw força resistente de tração na alma 2731 Banzo tracionado 27311 Força solicitante de cálculo Segundo a Figura 24 a ao se passar uma seção vertical 11 pelo ponto B e ao se calcular o momento fletor para as forças externas que atuam à esquerda do ponto A obtémse MA Md Vd z cotgθ Nd z zs 28 sendo zs distância da linha de ação de Nd ao centro de gravidade da armadura de tração Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 22 Por meio de uma seção AB em uma fissura diagonal de inclinação θ podese obter o momento fletor em A segundo os esforços internos à esquerda MA RSt z Rstw z 2 cotgθ cotgα sen α 29 sendo RSt força solicitante no banzo tracionado RStw força resultante em um trecho z cotgθ cotgα da armadura transversal Figura 24 c Fazendo o equilíbrio das forças verticais na Figura 24 c obtémse RStw senα Vd RStw Vd senα 210 Substituindo 210 em 29 e igualando a 28 obtémse RSt z Vd senα z 2 cotgθ cotgα senα Md Vd z cotgθ Nd z zs 211 RSt z Md Vd z cotgθ Vd 2 z cotgθ cotgα Nd z zs 212 RSt z Md Nd z zs Vd 2 z cotgθ cotgα 213 cotg 2 cotg V z z N z z M R d s d d St α θ 214 sendo Nd positiva para tração e negativa para compressão No caso de ações aplicadas na face superior da viga na seção de momento máximo na seção de Mdmax Vd 0 para vigas biapoiadas z z N z z M R s d dmax St 215 27312 Força resistente de cálculo RRt As fyd 216 Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 23 27313 Condição de segurança RSt RRt 217 Portanto yd s d s d d f A cotg 2 cotg V z z N z z M α θ 218 2732 Banzo comprimido 27321 Força solicitante de cálculo Na Figura 24 b passando uma seção vertical 22 pelo ponto A o momento fletor em virtude das forças externas que atuam à direita de B vale MB Md Nd zs Vd z cotgθ 219 Por meio de uma seção diagonal AB podese obter o momento fletor em B em função das forças internas à direita MB RSc z RStw z 2 cotgθ cotgα senα 220 sendo RSc força solicitante no banzo comprimido Igualando 219 a 220 e substituindo 210 em 220 obtémse Md Nd zs Vd z cotgθ RSc z Vd senα z 2 cotgθ cotgα senα 221 RSc z Md Nd zs Vd 2 z cotgθ cotgα 222 cotg 2 cotg V z N z z M R d s d d Sc α θ 223 No caso de ações aplicadas na face superior da viga na seção de momento máximo na seção de Mdmax Vd 0 para vigas biapoiadas Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 24 z N z z M R s d dmax Sc 224 27322 Força resistente de cálculo RRc fcd1 Ac fycd Asc 225 sendo Asc área da armadura longitudinal comprimida no caso de armadura dupla Ac área da seção transversal do banzo comprimido igual a x b b h b x b x b A w f w f f w c Acima são fornecidos os valores de Ac para 1 seção retangular 2 seção T com a linha neutra cortando a mesa e 3 seção T com a linha neutra cortando a alma respectivamente sendo x a altura da linha neutra 27323 Condição de segurança RSc RRc 226 Portanto sc ycd c cd1 d s d d A f A f cotg 2 cotg V z N z z M α θ 227 2733 Bielas 27331 Força solicitante de cálculo No esquema mostrado na Figura 24 e fazendo o equilíbrio das forças verticais obtémse Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 25 Rcθ senθ Vd Rcθ Vd senθ 228 sendo Rcθ resultante na biela de concreto das tensões atuantes no trecho z cotgθ cotgα senθ θ α θ σ θ θ cotg sen b zcotg R w c c 229 Substituindo 228 em 229 temse θ α θ σ θ 2 w d c cotg sen b zcotg V 230 Analisandose a Figura 24 d mostrase que θ σ θ z cos b R w Scw c 231 sendo RScw resultante na biela diagonal das tensões atuantes no trecho z cosθ Igualando 230 a 231 obtémse θ θ α θ z cos b R cotg sen zcotg b V w Scw 2 w d 232 θ α θ θ θ cotg sen sen cotg cos V R d Scw 233 α θ θ θ cotg cotg cotg sen V R d Scw 234 27332 Força resistente de cálculo Segundo esquema mostrado na Figura 24 d temse Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 26 RRcw fcd2 bw z cosθ 235 27333 Condição de segurança RScw RRcw 236 Portanto θ α θ θ θ cos z b f cotg cotg cotg sen V w cd2 d 237 2734 Tração na armadura transversal 27341 Força solicitante de cálculo RStw Vd senα 238 27342 Força resistente de cálculo Pelo esquema mostrado na Figura 24 f a quantidade de barras da armadura transversal distribuídas num trecho de comprimento z cotgθ cotgα pode ser obtida por número de barras n z cotgθ cotgα s 239 sendo s espaçamento dos estribos medido ao longo do eixo da peça Assim a força resistente é definida por RRtw Asw n fyd 240 RRtw Asw fyd z cotgθ cotgα s 241 27343 Condição de segurança RStw RRtw 242 Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 27 Vd senα Asw fyd z cotgθ cotgα s 243 Portanto Asw s Vd fyd z cotgθ cotgα senα 244 Para armadura transversal vertical α 90º Asw s Vd fyd z cotgθ 245 274 DETERMINAÇÃO DA INCLINAÇÃO DAS BIELAS No projeto da viga o ângulo θ formado entre as bielas e o eixo longitudinal do elemento pode ser arbitrado livremente no intervalo θmin θ θmax 45º À medida que o ângulo escolhido se aproxima do valor máximo 45º maior é a taxa de armadura transversal necessária e por outro lado menor é a tensão nas bielas Contrariamente ao se adotar um valor de θ próximo a θmin diminuise a área de armadura transversal resultando porém em acréscimo nas tensões de compressão atuantes nas bielas Em vista disso sugerese a adoção de valores da inclinação das bielas θ os mais próximos possíveis de θmin pois as tensões de compressão são verificadas diretamente pois devese apenas garantir que tais tensões estejam dentro dos limites estabelecidos O valor mínimo que pode ser utilizado para a inclinação θ das bielas varia de acordo com as normas os códigos e os pesquisadores O MC CEBFIP 1990 recomenda utilizar inclinação mínima θmin 184º cotgθmin 3 Esse valor mínimo sugerido pelo MC CEBFIP 1990 está relacionado a casos de vigas em flexocompressão situação usual de vigas protendidas Porém alguns pesquisadores discordam desse valor justificando ser um valor muito baixo Sugestões baseadas em investigações experimentais indicam valores para inclinação mínima das bielas comprimidas em torno de θmin 265º A NBR 61182003 admite em seu modelo de cálculo II no qual a inclinação θ das diagonais de compressão pode ser diferente de 45º valor Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 28 mínimo igual a 30º Admite ainda que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumento de VSd Devese salientar que bielas com baixas inclinações resultam em alta tensão na armadura transversal entre o início da fissuração e o estado limite último além de requererem maior comprimento de ancoragem da armadura longitudinal Nesse caso o controle da fissuração pode ser limitante no projeto podendo então impedir valores de θ próximos a θmin Além disso aconselha se não utilizar pequenas inclinações em elementos submetidos a tração axial Por fim citase que valores de θ próximos a 45º indicam que a armadura tracionada atuará sem auxílio do concreto ao passo que ao se aproximar θ de seu valor mínimo igual a 30º passam a atuar os mecanismos alternativos ao de teliça 28 O MODELO DE BIELAS E TIRANTES 281 HISTÓRICO Uma das grandes idéias do século XX em se tratando de vigas de concreto armado a Analogia de Treliça surgiu nos primórdios do século XX criada por E Mörsch e foi se aprimorando ao longo dos anos A Analogia de Treliça Clássica a qual sugere uma analogia entre a viga de concreto armado e a treliça foi uma das idéias mais duradouras da história do concreto armado Durante décadas pesquisadores apenas sugeriram modificações no modelo porém mantendo seus conceitos básicos ou seja a idéia básica de MÖRSCH se mantém até os dias de hoje mesmo apesar das sugestões e modificações propostas por pesquisadores que buscaram adaptar melhor o modelo original aos resultados experimentais Resultados de ensaios levaram à adoção da Treliça de Mörsch Generalizada em que a inclinação das bielas comprimidas em relação ao eixo da viga variava de acordo com os comportamentos observados nos ensaios Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 29 Uma grande evolução se observou nos anos 80 quando SCHLAICH SCHÄFER 1988 pesquisadores de Stuttgart Alemanha passaram a aplicar os modelos de bielas e tirantes em outros elementos estruturais como vigas parede consolos sapatas blocos de fundação ligações entre viga e pilar aberturas em vigas e apoios em dente MARTI 1985 utilizouse da teoria da plasticidade e de critérios básicos que envolviam conceitos de nós bielas tirantes arcos e leques para propor a aplicação dos modelos ao dimensionamento das armaduras longitudinais e transversais de uma viga Assim sendo podese dizer que o modelo de bielas e tirantes teve significativo avanço e ampla divulgação somente a partir da década de 80 quando Schlaich Schäfer e Marti conduziram à generalização da Analogia da Treliça e criaram uma base científica refinada proporcionando considerável avanço para uma aplicação racional dos modelos em vigas Mais tarde COOK MITCHELL 1988 analisando resultados de ensaios confirmaram a adequação dos modelos ao projeto de consolos vigas parede e vigas com descontinuidades geométricas TJHIN KUCHMA 2002 discutiram avanços e desafios do dimensionamento utilizando o modelo de bielas e tirantes com o auxílio de programas computacionais SOUZA 2004 analisou amplamente o dimensionamento de elementos de concreto armado com descontinuidades não apenas pelo modelo de bielas e tirantes o qual o autor denomeia Método das Bielas como também pelo Método CordaPainel Em seu trabalho foram realizadas análises em relação à determinação de parâmetros polêmicos como a resistência adequada para bielas e nós bem como a configuração geométrica das regiões nodais dependente das forças que nelas atuam Vigas com aberturas em suas almas foram dimensionadas por RONCATTO CAMPOS 2005 utilizando programa computacional desenvolvido pelos próprios autores O programa Furos em Vigas de Concreto é capaz de estabelecer de forma automatizada o modelo de bielas e Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 30 tirantes mais adequado para a situação sob análise determinar as solicitações nos elementos realizar as verificações de bielas e nós e as áreas de armaduras necessárias para os tirantes 282 CONSIDERAÇÕES INICIAIS SOBRE O MODELO A intensificação e a divulgação das pesquisas durante a década de 80 abriu definitivamente as portas para que outros pesquisadores começassem a estudar investigar e aplicar o método De acordo com a ASCEACI 1998 grande variedade de parâmetros para a resistência das bielas e das regiões nodais foram então propostos com base em pesquisas de âmbito experimental Esse fato contribuiu consideravelmente para o entendimento do modelo de bielas e tirantes possibilitando ampla discussão e gerando cada vez mais resultados experimentais para a determinação dos seus parâmetros mais significativos Sabese que a maioria dos procedimentos para a análise e o cálculo estrutural das quais dispõem os escritórios de projeto realiza análises globais e análises locais dos elementos estruturais tais como os pilares as lajes e as vigas Entretanto sabese também que a qualidade e a confiabilidade de um projeto estrutural em geral estão relacionadas não com seu comportamento global mas sim com a precisão com que são dimensionadas as regiões de descontinuidade de seus elementos isoladamente O que se verifica corriqueiramente é o uso de métodos e rotinas consagrados e confiáveis para o dimensionamento da maior parte dos elementos mas isso não acontece quando se trata de regiões descontínuas pois tais regiões geralmente são projetadas por modelos relativamente simples e ainda não consagrados baseados muitas vezes na experiência do projetista O modelo de bielas e tirantes é um método racional cientificamente comprovado recomendado pela norma brasileira e por diversas outras normas internacionais para o dimensionamento de regiões descontínuas de elementos de concreto armado que atende às necessidades de tais análises Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 31 A NBR 61182003 aborda superficialmente o modelo de bielas e tirantes permitindo sua utilização no dimensionamento de vigasparede consolos e dentes Gerber Por outro lado uma das normas mais completas e abrangentes em se tratando de modelos de bielas e tirantes é a norma espanhola EHE 1999 Há capítulos específicos que determinam as regiões B e D outros para determinação dos parâmetros de resistência das bielas nós e tirantes e outros para a análise de estruturas nãousuais nos quais são fornecidos modelos simplificados para se analisar vigasparede consolos sapatas e blocos sobre estacas Apesar de o CEBFIP Model Code 1978 já tratar do modelo de bielas e tirantes somente na versão de 1990 é que foram disponibilizadas informações suficientes para se desenvolver projetos de elementos estruturais utilizando o modelo No modelo de bielas e tirantes as bielas são representadas por campos de tensões de compressão resistidas pelo concreto e os tirantes são representados por campos de tensões de tração usualmente resistidas pela armadura Ocasionalmente o concreto pode absorver as tensões de tração desde que sejam respeitadas as condições de segurança relativas à resistência a tração do concreto Buscandose representar a estrutura real constróise um modelo idealizado o qual é constituído por barras comprimidas e tracionadas unidas por nós As forças nas bielas e nos tirantes são calculadas por equilíbrio entre as forças atuantes internas e externas O processo do caminho de carga permite que se criem modelos analisandose os fluxos de tensões na estrutura Utilizando métodos numéricos como o método dos elementos finitos podem ser expressas as tensões elásticas e suas direções principais o que permite uma direta determinação do modelo As bielas podem ter as direções das linhas médias dos campos de compressão e os tirantes as linhas médias dos campos de Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 32 tração Um exemplo simplificado do processo do caminho de carga e suas etapas básicas pode ser observado na vigaparede da Figura 25 Figura 25 Processo do caminho de carga A norma canadense CSAA23394 1994 entende que após significativa fissuração as trajetórias principais das tensões de compressão no concreto aproximamse de linhas retas as quais podem ser tomadas como bielas os tirantes representam a armadura principal de tração e as regiões nodais são definidas pelas regiões de encontro entre bielas e tirantes O Código Modelo CEBFIP 1990 indica que desde que as armaduras sejam dimensionadas de acordo com os campos de tensões elásticas as verificações em serviço não precisam ser efetuadas 283 PRINCÍPIOS BÁSICOS DO MODELO DE BIELAS E TIRANTES Podese entender o modelo de bielas e tirantes como um modelo de treliça mais abrangente Esse modelo tem por base o mecanismo resistente das vigas de concreto armado resultando em representações dos campos de tração e compressão das mesmas Os campos comprimidos são as diagonais Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 33 de concreto limitadas por duas fissuras consecutivas e o banzo comprimido de concreto banzo superior no caso de carregamento na face superior da viga o qual pode apresentar barras de aço no caso de vigas com armadura dupla Os campos tracionados correspondem à armadura transversal pendurais ou montantes das treliças e ao banzo tracionado banzo inferior no caso de carregamento na face superior da viga composto pela armadura longitudinal da viga O modelo propõe analisar a viga de concreto armado como uma treliça estrutura formada por barras em que as bielas e os tirantes estão ligados por nós como mostrado na Figura 28 b Em outras palavras o modelo consiste na representação discreta dos campos de tensão de tração e dos campos de tensão de compressão nos elementos estruturais sendo que as bielas representam os campos principais de compressão e os tirantes representam os campos principais de tração A tração pode ser absorvida por uma ou mais camadas de armadura As bielas e os tirantes são interligados por elementos pontuais denominados de nós os quais dão origem às regiões nodais Estas por suas vezes constituem um volume de concreto que envolve os pontos de intersecção dos elementos do modelo A Figura 26 apresenta um modelo de bielas e tirantes aplicado a um apoio em dente de uma viga com todos os seus elementos básicos descritos O modelo de bielas e tirantes adotado é função da geometria da estrutura e das ações atuantes em seu contorno Segundo SILVA GIONGO 2000 normalmente podese obter a geometria do modelo analisandose os seguintes aspectos 1 tipos de ações atuantes 2 ângulos entre bielas e tirantes 3 áreas de aplicação de ações e reações 4 número de camadas das armaduras 5 cobrimento das armaduras Modelos de bielas e tirantes podem ser obtidos por meio do fluxo de tensões elásticas existentes na estrutura pelo processo do caminho de carga Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 34 ou por modelos padronizados Caso se realizar uma análise elástica da estrutura a fim de se determinar as tensões elásticas e suas respectivas direções principais tornase muito simples e imediato o desenvolvimento de um modelo adequado A análise elástica de uma estrutura é realizada por meio de métodos numéricos como o método dos elementos finitos MEF As direções das bielas e dos tirantes é comumente adotada de acordo com a direção média dos campos de tensões de compressão e tração respectivamente Tais direções podem também ser determinadas de acordo com os centros de gravidade dos diagramas de tensão Figura 26 Modelo de bielas e tirantes aplicado a um apoio em dente de uma viga 284 DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA DO MODELO A determinação da geometria de um modelo de bielas e tirantes deve levar em conta as ações atuantes na estrutura no que diz respeito aos tipos e áreas de aplicação suas respectivas áreas de reações ângulos entre bielas e tirantes Segundo análise do fluxo de tensões pelo elemento por meio do processo do caminho de carga a definição geométrica do modelo apresenta como principais fatores Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 35 1 Considerações sobre regiões contínuas e descontínuas 2 Ângulos entre bielas e tirantes 3 Tipos de ações atuantes 4 Esforços solicitantes no contorno 5 Área de aplicação das ações e das reações 6 Número de camadas da armadura 7 Cobrimento da armadura As dimensões das bielas e das regiões nodais dependem das áreas de aplicação das ações e reações e também da armadura quanto ao número de camadas e ao cobrimento Já o ângulo formado entre biela e tirante está relacionado com a distribuição de tensões elásticas devida às ações atuantes 285 REGIÕES CONTÍNUAS B E DESCONTÍNUAS D As estruturas em geral ou seus elementos estruturais podem ser divididos em regiões contínuas B e descontínuas D a fim de refinar suas análises quando da aplicação de modelos Tal divisão baseiase nas hipóteses de Bernoulli relativas à distribuição linear de deformações ao longo da seção transversal Classificamse como contínuas as regiões nas quais tais hipóteses são válidas e descontínuas nas quais não são As regiões D são originárias de descontinuidades geométricas eou estáticas Os modelos de treliça usuais são capazes de analisar as regiões B fissuradas enquanto que os modelos de bielas e tirantes representam simplificadamente o fluxo interno de tensões em regiões D possibilitando uma análise simultânea dessas e das contínuas Em vista disso o modelo de bielas e tirantes mostrase como um procedimento não só mais abrangente ou geral como também mais sofisticado na análise e no projeto de estruturas Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 36 Considerando a pesquisa proposta as vigas usuais apresentam regiões descontínuas apenas nas regiões de aplicação de forças concentradas e nos apoios sendo o restante composto por regiões contínuas como mostram a Figura 27 e a Figura 28 a Figura 27 Regiões B e D para uma viga Figura 28 Regiões B e D e modelo de treliça para uma viga SILVA GIONGO 2000 D B D B D a b T irantes B ielas Fd B B B D D D D Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 37 286 TIPOS FUNDAMENTAIS DE NÓS Um nó ou região nodal é uma idealização de uma região de concreto na qual ocorrem mudanças bruscas nas direções das forças provindas das bielas comprimidas dos tirantes tracionados de forças de ancoragem e forças externas ações concentradas ou reações de apoio Porém essa mudança brusca de direção das forças a qual se idealiza simplificadamente acontecer puntualmente na realidade ocorre num determinado comprimento e numa determinada largura do elemento estrutural de concreto armado Segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 os nós dos modelos de bielas e tirantes podem ser de dois tipos adiante discutidos Nós singulares ou concentrados concentrated ou singular são nós onde forças concentradas são aplicadas e o desvio da força é feito localizadamente Estes nós são críticos e devem ter as suas tensões verificadas a fim de equilibrar as forças oriundas das bielas e dos tirantes sem produzir deformações excessivas capazes de provocar fissuração Nós contínuos continuous ou smeared nestes nós o desvio da força ocorre em comprimentos satisfatórios em que as armaduras podem ser ancoradas sem maiores problemas Desde que os critérios de ancoragem sejam verificados estes nós usualmente não são críticos não necessitando de verificações adicionais Figura 29 Exemplo básico de nós contínuos e nós singulares em modelo de bielas e tirantes Nó singular Nó contínuo Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 38 Segundo BOUNASSAR 1995 no dimensionamento de nós é necessário garantir que o concreto da região nodal seja capaz de resistir o estado de tensões a qual está submetido e que a armadura possa resistir à força de tração requerida De maneira geral nós contínuos não apresentam problemas de resistência desde que as ancoragens das armaduras sejam convenientemente verificadas e detalhadas Isso garante que não ocorram pontos de concentração de tensões haja vista que a transferência de forças nestes nós acontece de modo gradual em comprimentos suficientes Por outro lado em nós onde ocorrem situações em que as forças são resultantes de campos de tensão concentrados há necessidade de transferência das tensões em dimensões reduzidas configurando assim os nós singulares Estes nós necessitam de criteriosos análise de resistência e detalhamento das armaduras ali concorrentes Para o dimensionamento é necessário se dispor da geometria do nó do estado de tensões ao qual está submetido da resistência do concreto e das condições de ancoragem das armaduras Há muitas alternativas sugeridas por pesquisadores para a definição geométrica dos nós concentrados tais quais as sugeridas por MARTI 1985a SCHLAICH SCHÄFER 1988 e TJHIN KUCHMA 2002 Segundo MARTI 1985 devese adotar as larguras das bielas de tal forma que todas as que concorrem num mesmo nó apresentem a mesma intensidade de tensão Dessa forma a tensão no interior do nó será igual à tensão das bielas configurando assim um estado de tensões pseudo hidrostático Neste caso em particular os lados das regiões nodais serão perpendiculares às direções dos eixos das bielas e para a verificação da segurança bastará apenas a verificação das bielas concorrentes em cada nó De acordo com TJHIN KUCHMA 2002 tradicionalmente procurase estabelecer um arranjo nodal de maneira que as tensões em todos os seus lados sejam iguais Isso pode ser feito dimensionandose as fronteiras do nó de maneira que elas sejam proporcionais e perpendiculares às forças atuantes naquele nó Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 39 Para a definição da largura do nó no qual concorre um tirante podese admitir que a força do tirante seja de compressão e que ela esteja atuando além do nó Os nós considerados dessa maneira são denominados de hidrostáticos pois o estado biaxial de tensão resultante no interior do nó também será hidrostático Essa recomendação é idêntica àquela proposta por MARTI 1985a citada anteriormente Ainda segundo TJHIN KUCHMA 2002 principalmente em situações em que os nós são formados pelo encontro de mais de três elementos a idealização como hidrostático pode ser muito trabalhosa pois os eixos dos elementos tende a não ser coincidentes Regiões nodais formadas pelo cruzamento de quatro elementos por exemplo são de difícil investigação Nesses casos podem ser adotadas as recomendações de SCHLAICH ANAGNOSTOU 1990 que propõem a construção de uma região nodal modificada Essa região é dividida em várias regiões nodais triangulares hidrostáticas conectadas por escoras prismáticas curtas Nesse caso a verificação da segurança em cada um dos nós formados pode ser feita utilizando um critério simples de ruptura como o de Coulomb SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 propuseram um método simplificado para configurações típicas de nós Segundo os pesquisadores o nó tem sua geometria definida pela intersecção das dimensões das bielas e dos tirantes cujos eixos devem coincidir Assim as tensões planas atuantes em todos os lados da região nodal não precisam ser iguais porém as tensões em cada lado do nó devem ser constantes e devem permanecer abaixo de um limite préestabelecido para a tensão nodal Segundo BOUNASSAR 1995 nós atravessados por armaduras ou que possuam armaduras ancoradas terão suas seguranças verificadas caso a tensão no concreto sobre a placa de apoio e a tensão nas bielas forem verificadas Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 40 287 PARÂMETROS DE RESISTÊNCIA DAS REGIÕES NODAIS Os nós são elementos que merecem atenção especial pois precisam garantir adequada transferência de forças entre bielas e tirantes Um fator limitante para a segurança e a confiabilidade de um nó é o ângulo formado pelas bielas e tirantes que nele concorrem Quanto menor este ângulo menor a resistência à compressão da biela A tabela seguinte apresenta os intervalos permitidos para o ângulo formado entre uma biela e um tirante segundo recomendações das principais normas internacionais e alguns pesquisadores Tabela 21 Limites inferior e superior para o ângulo formado entre as diagonais comprimidas e a armadura longitudinal da viga Valores limites para o ângulo θ Norma ou pesquisador Ângulo permitido NBR 61182003 30o θ 45o ACI 318 2002 25o θ 65o EUROCODE 2 1992 31o θ 59o Projeto de revisão do EUROCODE 2 1999 21o θ 45o CEBFIP Model Code 1990 184o θ 45o FUSCO 1984 26o θ 63o SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 45o θ 60o Em virtude do estado multiaxial de tensões os quais os nós são submetidos diferentes valores de resistência à compressão devem ser adotados A resistência à compressão do concreto da região nodal segundo YUN RAMIREZ 1996 depende dos seguintes fatores Tensões de tração relativas à ancoragem de tirantes na zona nodal ou abaixo dela Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 41 Confinamento das zonas nodais relativo às reações às bielas às placas de ancoragem para protensão às armaduras de elementos adjacentes e às armaduras em laço Efeitos de descontinuidade de deformação junto à região nodal quando há tirantes deformados ancorados Para a classificação das regiões nodais serão adotados os parâmetros da ASCEACI 1998 e da ACI 318 2002 haja vista que o próprio CAST 2000 toma por base a norma norteamericana Suas prescrições sugerem a classificação das regiões nodais como CCC região nodal circundada somente por bielas CCT região nodal circundada por bielas e por um único tirante CTT região nodal circundada por uma única biela e por tirantes em uma ou mais direções TTT região nodal circundada por três ou mais tirantes Apresentamse a seguir recomendações para a verificação das regiões nodais segundo as principais normas e alguns pesquisadores 2871 SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 Os critérios básicos de resistência nodal segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 são fe 10 fcd para nós só com bielas criando um estado de tensão biaxial ou triaxial 246 fe 08 fcd para nós onde há barras tracionadas ancoradas sendo que uma parcela da resistência é reservada para a aderência 247 sendo fe resistência da região nodal fcd resistência de cálculo do concreto segundo a norma utilizada Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 42 SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 em seus trabalhos descreveram nove diferentes situações de nós singulares e suas respectivas verificações simplificadas a fim de garantir suas seguranças Estes nós são apresentados a seguir 28711 Nó N1 Típico nó CCC em que uma biela termina no canto da estrutura conforme ilustra a Figura 210 Neste caso o nó será seguro se σ1 11fcd 248 σ2 11fcd 249 σ3 11fcd 250 Figura 210 Nó N1 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 28712 Nó N2 Típico nó CCC em que duas bielas se encontram e são equilibradas por uma reação de compressão seja ela proveniente de um pilar ou de uma placa de apoio conforme ilustra a Figura 211 Neste caso o nó será seguro se σ1 11fcd 251 Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 43 Notase que para que a condição anterior seja verificada devese escolher espessuras adequadas para as bielas a fim de fazer com que a tensão σ1 seja a governante Figura 211 Nó N2 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 28713 Nó N3 Típico nó CCC em que há introdução de força de compressão na face da estrutura como em casos de armadura ativa conforme ilustra a Figura 212 Neste caso o nó será seguro se σ1 11fcd 252 σ2 11fcd 253 Notase que a tensão interna do nó também deve ser inferior a esse limite Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 44 Figura 212 Nó N3 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 28714 Nó N4 Típico nó CCC em que aparece uma reação de apoio na face da estrutura conforme ilustra a Figura 213 Neste caso o nó será seguro se σ1 11fcd 254 σ2 11fcd 255 Notase que como no caso anterior a tensão interna do nó também deve ser inferior a esse limite Figura 213 Nó N4 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 28715 Nó N5 Típico nó CCT em que há ancoragem de um tirante em uma região afastada das faces da estrutura conforme ilustra a Figura 214 Neste caso o nó será seguro se σ1 11fcd 256 σ2 11fcd 257 Notase que em todo caso em que há tirante o comprimento de ancoragem do mesmo deve ser verificado Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 45 Figura 214 Nó N5 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 28716 Nó N6 Típico nó CCT em que há um tirante passando por uma região de apoio da estrutura conforme ilustra a Figura 215 Neste caso o nó será seguro se σ1 08fcd 258 σ2 08fcd 259 Notase que em todo caso em que há tirante o comprimento de ancoragem do mesmo deve ser verificado Figura 215 Nó N6 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 46 28717 Nó N7 Típico nó CTT em que há duas ou mais forças de tração atuando no nó Esta configuração é típica de banzos tracionados de vigas ou vigasparede conforme ilustra a Figura 216 Neste caso o nó será seguro se σ1 08fcd 260 Notase que em todo caso em que há tirante o comprimento de ancoragem do mesmo deve ser verificado Como recomendação adicional as barras do tirante T2 devem ter pequenos diâmetros e ser bem distribuídas Além disso elas devem envolver as barras do tirante T1 Figura 216 Nó N7 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 28718 Nó N8 Típico nó CCT em que há uma única força de tração atuando no nó Este nó é uma composição dos nós N1 e N6 conforme ilustra a Figura 217 Neste caso o nó será seguro se σ1 10fcd 261 σ2 10fcd 262 Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 47 Notase que em todo caso em que há tirante o comprimento de ancoragem do mesmo deve ser verificado Figura 217 Nó N8 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 28719 Nó N9 Típico nó CTT em que há mais de uma resultante de tração atuando no nó Este nó é uma composição de dois nós N8 e sendo assim sua verificação se dá da mesma forma Tratase de um nó típico de apoio de viga contínua ou vigaparede contínua conforme ilustra a Figura 216 Neste caso o nó será seguro se σ1 10fcd 263 σ2 10fcd 264 Notase que em todo caso em que há tirante o comprimento de ancoragem do mesmo deve ser verificado Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 48 Figura 218 Nó N9 segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 Por fim segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 na verificação dos nós singulares os quais estão sujeitos a tensões do tipo garrafa uma região D está completamente segura se 1 todas as forças de tração são resistidas por armaduras que apresentem adequados comprimentos e demais condições de ancoragem 2 a tensão na placa de apoio ou placa de ancoragem mais solicitada for inferior a 06fcd 2872 MACGREGOR 1988 Os critérios básicos de resistência nodal segundo MACGREGOR 1988 são fe 085 fc para nós CCC ou seja submetidos apenas a compressão por bielas e placas de apoio 265 fe 065 fc para nós CCT ou seja em que é ancorado apenas um tirante 266 fe 050 fc para nós CTT ou TTT ou seja que ancoram tirantes em duas ou mais direções 267 sendo fe resistência da região nodal Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 49 2873 Apêndice A do ACI 318 2002 De acordo com o Apêndice A do ACI 318 2002 os critérios de resistência da região nodal são φFnn Fu 268 Fnn fcuAn 269 fcu 085βsfc 270 sendo fc resistência característica do concreto φ 085 βs 10 para regiões nodais circundadas por bielas eou placas de apoio nós tipo CCC βs 080 para regiões nodais ancorando somente um tirante nós tipo CCT βs 060 para regiões nodais ancorando dois ou mais tirantes nós tipo CTT 288 PARÂMETROS DE RESISTÊNCIA DAS BIELAS 2881 Norma canadense CSAA23394 1994 Segundo a CSAA23394 1994 as dimensões das bielas devem assegurar que a força de compressão calculada não exceda o valor de ΦcAcsfcv 271 sendo Φc fator de segurança do concreto 06 Acs área da seção transversal da biela Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 50 fcv parâmetro de resistência da biela 2882 Resistência das bielas segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 Os critérios básicos de resistência das bielas segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 são 085 fcd para estado de tensão uniaxial e sem perturbação 272 068 fcd para campos de compressão com fissuras paralelas às tensões de compressão 273 051 fcd para campos de compressão com fissuras inclinadas 274 2883 Resistência das bielas segundo o Apêndice A do ACI 318 2002 Os critérios básicos de resistência das bielas segundo o Apêndice A do ACI 318 2002 são φFns Fu 275 Fns fcuAc 276 fcu 085βsfc 277 sendo fc resistência característica do concreto φ 085 βs 10 para bielas uniformes de seção constante βs 075 para bielas do tipo garrafa que satisfaçam o item A33 de distribuição de malha de armadura encontrado no Apêndice A do ACI318 2002 Capítulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes 51 βs 060λ para bielas do tipo garrafa que não satisfaçam o item A33 de distribuição de malha de armadura encontrado no Apêndice A do ACI318 2002 289 PARÂMETROS DE RESISTÊNCIA DOS TIRANTES Quase sempre as forças internas de tração na estrutura resultantes do modelo adotado são absorvidas por tirantes constituídos por uma ou mais camadas de barras de aço devido à limitada capacidade resistente do concreto em absorver esforços de tração Ainda assim caso se necessite podese prover a estrutura de tirantes de concreto Segundo SCHLAICH SCHÄFER 1988 1991 devese considerar a resistência à tração do concreto somente quando se esperar ruptura frágil ou zonas de ruptura localizadas A seguir são fornecidas as expressões para o dimensionamento de tirantes de concreto e tirantes de aço As γfRst fyd 278 Ac γfRst ftd 279 sendo As área necessária do tirante de aço Ac área necessária do tirante de concreto Rst força de tração atuante fyd resistência ao escoamento de cálculo do aço ftd resistência à tração de cálculo do concreto γf coeficiente de majoração das ações Capítulo 3 Comportamento e verificação de vigas segundo as normas propostas 52 3 COMPORTAMENTO E VERIFICAÇÃO DE VIGAS SEGUNDO AS NORMAS PROPOSTAS 31 CRITÉRIOS DA NBR 61182003 311 GENERALIDADES A norma brasileira NBR 61182003 Projeto de estruturas de concreto Procedimento mantém a analogia entre a viga de concreto armado fletida e o modelo de treliça de banzos paralelos para a verificação da segurança acrescido de mecanismos resistentes complementares existentes no interior da peça a componente adicional Vc Nesta versão atual realizamse as verificações necessárias em termos de forças atuantes na armadura transversal e nas bielas de concreto ao contrário da versão anterior a NBR 61181978 que realizava as verificações em termos de tensões São propostos dois modelos alternativos de cálculo sendo o primeiro mais simplificado em relação ao segundo 1 Modelo de cálculo I considera as diagonais de compressão inclinadas de θ 45o em relação ao eixo longitudinal da peça e a parcela de contribuição Vc apresenta valor supostamente constante 2 Modelo de cálculo II considera as diagonais de compressão com inclinação arbitrada livremente no intervalo 30o θ 45o em relação ao eixo longitudinal da peça e a parcela de contribuição Vc apresenta valores inferiores em relação ao modelo anterior Capítulo 3 Comportamento e verificação de vigas segundo as normas propostas 53 Em relação à NBR 61182003 as prescrições da NBR 61181978 relativas aos esforços solicitantes reduções nas forças cortantes para seções próximas a apoios e peças de altura variável foram mantidas Para solicitações uniformemente distribuídas a força cortante considerada na seção próxima ao apoio é a mesma que atua na seção distante d 2 da face do apoio 312 VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO Em uma determinada seção a resistência do elemento precisa verificar as seguintes condições VSd VRd2 31 e VSd VRd3 Vc Vsw 32 sendo VSd força cortante solicitante de cálculo na seção VRd2 força cortante resistente de cálculo relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto Vc parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça Vsw parcela absorvida pela armadura transversal 3121 Modelo de cálculo I Neste modelo a resistência da peça é assegurada pela verificação da compressão diagonal no concreto 33 e pelo cálculo da armadura transversal 35 segundo as expressões VRd2 027 αv fcd bw d 33 αv 1 fck 250 34 Capítulo 3 Comportamento e verificação de vigas segundo as normas propostas 54 Vsw Asw s 09 d fywd senα cosα 35 sendo Vc 0 nas peças tracionadas em que a linha neutra se situa fora da seção Vc Vc0 na flexão simples e na flexotração com a linha neutra cortando a seção Vc Vc0 Vc0 M0 Md 2 Vc0 na flexocompressão M0 momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção Md momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise Vc0 06 fctd bw d 36 fctd fctkinf γc 37 fctkinf 07 fctm 38 fctm 03 fck 23 sendo fck em MPa 39 3122 Modelo de cálculo II Neste segundo modelo a resistência da peça é assegurada pela verificação da compressão diagonal no concreto 310 e pelo cálculo da armadura transversal 311 segundo as expressões VRd2 054 αv fcd bw d sen2θ cotgα cotgθ 310 Vsw Asw s 09 d fywd cotgα cotgθ senα 311 sendo Vc 0 nas peças tracionadas em que a linha neutra se situa fora da seção Vc Vc1 na flexão simples e na flexotração com a linha neutra cortando a seção Capítulo 3 Comportamento e verificação de vigas segundo as normas propostas 55 Vc Vc1 Vc1 M0 Md 2 Vc1 na flexocompressão M0 momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção Md momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise Vc1 Vc0 quando Vd Vc0 Vc1 0 quando Vd VRd2 Observação No cálculo de Vc1 para valores intermediários devese interpolar linearmente 313 ARMADURA MÍNIMA E ESPAÇAMENTOS A taxa geométrica de armadura transversal mínima da qual todos os elementos lineares fletidos submetidos à ação de força cortante devem estar providos é dada pela expressão ρswmin Asw bw s senα 02 fctm fywk 312 O espaçamento longitudinal mínimo entre estribos deve apenas permitir a passagem do vibrador para que se garanta um bom adensamento do concreto Já o espaçamento máximo deve atender às seguintes condições se Vd 067 VRd2 smáx 06 d 300 mm 313 se Vd 067 VRd2 smáx 03 d 200 mm 314 314 RELAÇÃO ENTRE A NBR 61182003 E O CÓDIGO MODELO CEBFIP 1990 As expressões finais obtidas pelo Código Modelo CEBFIP 1990 apesar de apresentarem nomenclatura diferente daquelas fornecidas pela NBR 61182003 são do mesmo gênero mostrando também a validade dos Capítulo 3 Comportamento e verificação de vigas segundo as normas propostas 56 esquemas de forças internas e externas igualmente para a norma brasileira Serão apresentadas a seguir similaridades entre as expressões fornecidas por cada uma das duas normas Para a norma brasileira utilizaremos as expressões do modelo de cálculo II por ser mais geral pois tal como o MC CEBFIP 1990 considera a inclinação θ das bielas livre não necessariamente θ 45o como o modelo de cálculo I 3141 Verificação da compressão diagonal do concreto Condição de segurança NBR 61182003 VSd VRd2 315 CEBFIP 1990 RScw RRcw 316 31411 NBR 61182003 VRd2 054 αv fcd bw d sen2θ cotgθ cotgα 317 sendo αv 1 fck 250 318 fcd fck γc 319 γc 14 31412 MC CEBFIP 1990 RScw Vd senθ cotgθ cotgθ cotgα 320 e RRcw fcd2 bw z cosθ 321 sendo fcd2 06 1 fck 250 fcd 322 fcd fck γc 323 Capítulo 3 Comportamento e verificação de vigas segundo as normas propostas 57 γc 15 31413 Compatibilização Igualando RScw a RRcw e isolando Vd obtémse Vd fcd2 bw d sen2θ cotgα cotgθ 324 que por sua vez é aproximadamente igual a VRd2 fornecida segundo a NBR 61182003 Vd VRd2 fcd2 bw d sen2θ cotgθ cotgα 054 1 fck 250 fck γc bw d sen2θ cotgθ cotgα 325 Portanto a pequena diferença existente entre as expressões para verificação da compressão diagonal do concreto segundo a NBR 61182003 e o Código Modelo CEBFIP 1990 se verifica nos termos fcd2 054 1 fck 250 fck γc 326 1o termo fcd2 06 1 fck 250 fcd 06 γc 1 fck 250 fck 06 15 1 fck 250 fck 327 fcd2 04 1 fck 250 fck 328 2o termo 054 1 fck 250 fck γc 054 γc 1 fck 250 fck 054 14 1 fck 250 fck 0386 1 fck 250 fck 329 Comparandose o 1o e o 2o termos temos 04 1 fck 250 fck 0386 1 fck 250 fck 330 ou seja 04 0386 Capítulo 3 Comportamento e verificação de vigas segundo as normas propostas 58 A relação entre esses valores indica portanto diferença de 35 3142 Cálculo da armadura transversal Condição de segurança NBR 61182003 VSd VRd3 Vc Vsw 331 CEBFIP 1990 RStw RRtw 332 31421 NBR 61182003 Vsw Asw s 09 d fywd cotgθ cotgα senα 333 sendo 09 d z 334 31422 MC CEBFIP 1990 RStw Vd senα 335 e RRtw Asw fyd z cotgθ cotgα s 336 31423 Compatibilização Igualando RStw a RRtw e isolando Vd obtémse Vd Asw s fyd z senα cotgθ cotgα 337 que por sua vez é aproximadamente igual ao termo Vsw considerado pela NBR 61182003 Para representar de forma idêntica os dois termos basta apenas fazer as seguintes substituições como a seguir z 09 d fyd fywd Portanto Capítulo 3 Comportamento e verificação de vigas segundo as normas propostas 59 Vd Vsw Asw s z fyd senα cotgθ cotgα Vsw Asw s 09 d fywd senα cotgθ cotgα 338 Lembrando que o termo complementar Vc da NBR 61182003 referente à parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça não é considerada pelo MC CEBFIP 1990 nessa verificação 32 CRITÉRIO DO EUROCODE 2 1992 321 GENERALIDADES A verificação da segurança de elementos estruturais fletidos segundo o EUROCODE 2 1992 também se baseia na treliça de MÖRSCH considerandose forças atuantes e resistentes na armadura transversal e nas bielas de concreto As forças resistentes consideradas são VRd1 força cortante resistente do elemento sem armadura transversal VRd2 força cortante máxima que pode ser resistida sem o esmagamento das bielas comprimidas de concreto VRd3 força cortante que pode ser absorvida pelo elemento com armadura transversal Considerase a força cortante atuante na seção próxima ao apoio a mesma que a atuante na seção que dista d da face do apoio Essa consideração difere do critério da NBR 61182003 a qual considera para solicitações uniformemente distribuídas força cortante na seção próxima ao apoio a mesma que atua na seção distante d 2 da face do apoio Capítulo 3 Comportamento e verificação de vigas segundo as normas propostas 60 322 VERIFICAÇÃO DA RUPTURA DO CONCRETO Condição de segurança VSd VRd2 339 VRd2 05 υ fcd bw 09 d 1 cotg α 340 sendo υ 07 fck 200 05 sendo fck em MPa 341 323 CÁLCULO DA ARMADURA TRANSVERSAL É necessário se calcular a área de armadura transversal quando VSd VRd1 A resistência ao cisalhamento da seção com armadura transversal é dada por VSd VRd3 Vcd Vwd 342 Vcd VRd1 343 Vwd Asw s 09 d fywd 344 sendo Vcd contribuição do concreto Vwd contribuição da armadura transversal 324 ARMADURA MÍNIMA E ESPAÇAMENTO As taxas de armadura mínima admitem os valores mostrados na tabela a seguir em função das classes de resistência do concreto e do aço sendo a taxa de armadura dada pela seguinte expressão α ρ s sen b A w sw w 345 Capítulo 3 Comportamento e verificação de vigas segundo as normas propostas 61 Tabela 31 Taxas mínimas de armadura transversal ρwmin segundo o Eurocode 2 1992 Taxas mínimas de armadura transversal ρwmin Eurocode 2 1992 Classe do aço Classe do concreto S220 S400 S500 C1215 e C2025 00016 00009 00007 C2530 e C3545 00024 00013 00011 C4050 e C5060 00030 00016 00013 Observação Na tabela acima para a classe C2025 o primeiro valor é a resistência obtida em corposdeprova cilíndricos e o segundo em corposdeprova cúbicos O espaçamento longitudinal máximo entre os ramos da armadura transversal depende do valor da força solicitante de cálculo VSd e da força cortante que provoca a ruptura das bielas de concreto VRd2 segundo as expressões a seguir se VSd 1 5 VRd2 smax 08 d 30 cm 346 se 1 5 VRd2 VSd 2 3 VRd2 smax 06 d 30 cm 347 se VSd 2 3 VRd2 smax 03 d 20 cm 348 33 CRITÉRIO DO ACI 318M 1995 331 GENERALIDADES A verificação da segurança de elementos submetidos a força cortante segundo o ACI 318M 1995 baseiase na comparação entre a força cortante Capítulo 3 Comportamento e verificação de vigas segundo as normas propostas 62 solicitante de cálculo e a resistente na seção considerada Dessa forma obtémse Vu φ Vn 349 Vn Vc Vs 350 sendo Vu força cortante solicitante de cálculo Vn força cortante resistente da seção φ coeficiente de redução da resistência obtido experimentalmente sendo que φ 085 no caso de cisalhamento Vc parcela da força cortante absorvida pelo concreto Vs parcela da força cortante absorvida pela armadura Desde que não haja força concentrada próxima ao apoio da peça permitese uma redução da força cortante solicitante considerandoa igual à força cortante atuante na seção transversal que dista d da face do apoio 332 CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO Para seções submetidas à ação de força cortante a parcela de força cortante absorvida pelo concreto pode ser calculada pela seguinte expressão d f 6 b V w c c 351 25 3 MPa f c sendo fc resistência à compressão do concreto definida a partir do quantil de 1 Para seções em que atuam simultaneamente momento fletor e força cortante Capítulo 3 Comportamento e verificação de vigas segundo as normas propostas 63 d b f 0 30 d b 7 M d V 120 f V w c w u u w c c ρ 352 ρ As bw d 353 Vu d Mu 10 354 sendo Mu momento fletor solicitante de cálculo que ocorre simultaneamente à força cortante na seção considerada ρ taxa de armadura longitudinal 333 DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL No caso de estribos verticais a resultante das tensões de tração absorvida pela armadura é dada pela expressão d 3 b f 2 s d f A V w c y v s 355 sendo Av área de armadura transversal s espaçamento entre estribos fy resistência de escoamento da armadura limitada em 400 MPa Portanto Vu φ Vn Vn Vu φ 356 Vn Vc Vs Vs Vn Vc 357 d 100 f V s A y s v sendo Av s em cm2m 358 Capítulo 3 Comportamento e verificação de vigas segundo as normas propostas 64 334 ARMADURA MÍNIMA E ESPAÇAMENTO A área de armadura transversal mínima é obtida por y w v min 3 f b s A sendo Avmin s em cm2m e b em mm 359 O espaçamento máximo não deve ser superior à metade da altura útil d 2 e nem superior a 60 cm Além disso quando Vs d 3 b f w c os espaçamentos acima deverão ser reduzidos à metade Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 65 4 DETERMINAÇÃO DO COMPRIMENTO DE ANCORAGEM DAS ARMADURAS DAS VIGAS 41 INTRODUÇÃO As barras da armadura de elementos de concreto armado são responsáveis pela absorção e pela transferência das tensões de tração que os solicitam Não se pode esquecer entretanto que as barras da armadura de aço funcionam também auxiliando o concreto a resistir tensões de compressão como no caso típico de pilares A distribuição das barras da armadura longitudinal no caso de vigas visa uma otimização dos comprimentos das barras em função do diagrama de momentos fletores de cálculo ou seja há como se determinar os pontos de interrupções de cada barra a fim de concentrálas nas regiões de maior momento solicitante Porém nas seções transversais em que as barras tracionadas poderiam ser interrompidas para que as tensões absorvidas pela armadura de aço possam ser transferidas para a massa de concreto há ainda a necessidade de provêlas de um comprimento adicional o comprimento de ancoragem básico lb O comprimento de ancoragem está relacionado com diversos fatores pelos quais é significativamente afetado como a posição da barra durante a concretagem segundo a qual definemse regiões favoráveis e desfavoráveis quanto à aderência o tipo de superfície da barra a ser ancorada que pode ser lisa dentada ou nervurada a resistência característica ao escoamento da barra e também a resistência característica à compressão do concreto Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 66 42 FUNDAMENTOS TEÓRICOS RECOMENDAÇÕES DA fib 1999 421 MODELAGEM ANALÍTICA DO COMPRIMENTO DE ANCORAGEM 4211 Idealizações e simplificações assumidas na modelagem Resultados de pesquisas analíticas e experimentais permitiram melhor entendimento dos efeitos no desempenho dos comprimentos de ancoragem de parâmetros críticos como confinamento e espaçamento das barras propriedades dos materiais etc Entretanto por razões práticas é necessário realizar simplificações porém os modelos para o cálculo do comprimento de ancoragem devem incluir os seguintes aspectos o tipo de colapso rompimento ou arrancamento com ou sem rompimento parcial o tipo de carregamento ações estáticas ou cíclicas pulsantes ou reversas a ação de confinamento confinamento ativo ou passivo e o tipo de concreto A modelagem numérica deve ajustarse à filosofia de projeto usada para estruturas de concreto armado Para o ACI 318M 1995 o cálculo do comprimento de ancoragem é feito considerando uma força que deve ser absorvida de modo adequado ao longo deste comprimento O MC CEBFIP 1990 indica que não só a força na ancoragem deve ser considerada como também as intensidades das deformações na região do comprimento de ancoragem Portanto dois procedimentos analíticos podem ser seguidos um tradicional que analisa a relação forçadeformação desenvolvidos na região do comprimento de ancoragem e dois o que considera a modelagem completa da região levando em conta a relação força versus deformação e o escorregamento da barra Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 67 422 APROXIMAÇÕES DO MC CEBFIP 1990 PARA MODELAGEM DE EMENDA 4221 Relação simplificada entre a tensão de aderência e o escorregamento da armadura O MC CEBFIP 1990 fornece critérios simplificados com vista a uso prático para considerar a relação entre a tensão de aderência na região do comprimento de ancoragem e o escorregamento Essa relação é sempre referida como uma lei constitutiva para emendas Nesse contexto considerase como lei constitutiva pois a emenda não é uma propriedade física intrínseca mas a resposta mecânica da união entre o concreto e a armadura sobre certas condições específicas de contorno O modelo para cálculo do comprimento de ancoragem é baseado em resultados experimentais e a relação fornecida entre tensão de aderência e o escorregamento deve ser considerada como uma curva estatística média que pode ser aplicada como uma formulação geral para uma grande quantidade dos casos Portanto uma segurança adicional é necessária ao considerar as curvas de tensão de aderência na região do comprimento de ancoragem versus escorregamento pelo menos nos casos em que é necessário um projeto mais criterioso Devese ter em mente que para um dado valor de escorregamento um coeficiente de variação da tensão de aderência na região do comprimento de ancoragem de 30 é freqüentemente encontrado em séries de ensaios experimentais 4222 Equação diferencial da emenda O modelo segundo o MC CEBFIP 1990 para cálculo do comprimento de ancoragem é uma aproximação global para permitir cálculo expedito O modelo pode ser aplicado para prever formação de fissuras e determinar o alongamento da barra na região da ancoragem ou para determinar o comprimento de ancoragem de barras da armadura No estado nãofissurado assumemse iguais tensões no concreto e no aço em função das condições de compatibilidade da região de ancoragem Após a formação de uma fissura a tensão que age na barra é considerada transmitida da barra de aço para o Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 68 concreto por meio do comprimento de ancoragem A uma distância igual ou maior do que o comprimento de transferência lt as condições de compatibilidade do estado nãofissurado são adotadas A determinação do comprimento de ancoragem é feita considerando o equilíbrio entre um segmento de barra da armadura e o concreto que a envolve A seção crítica é o fim do segmento no ponto em que a tensão atuante na barra é conhecida A distribuição das tensões na região do comprimento de ancoragem é obtida considerando as relações locais entre tensão versus escorregamento definidas com base em resultados experimentais A força na outra extremidade do segmento de barra é obtida diretamente por equilíbrio Se a característica da relação tensão versus deformação da barra de aço tem uma tangente positiva definida por toda a zona deformada então é possível obter as deformações ao longo da barra ancorada em adição à distribuição de tensões O decréscimo local do deslocamento relativo ao longo do comprimento relativo lt é caracterizado pela diferença de deformação entre a barra de aço e o concreto adjacente As equações diferenciais que descrevem o comportamento de uma barra simples envolta por concreto podem ser dadas como descritas a seguir Equilíbrio da barra da armadura As dσs dx Σ0 τs 0 41 Relação entre deformação e deslocamento εs εc ds dx 42 Equilíbrio do elemento de concreto armado Ac dσc dx As dσs dx 0 43 sendo As área da seção transversal da barra da armadura Ac área da seção transversal de concreto Σ0 perímetro da circunferência da barra da armadura Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 69 τs tensão na emenda como função do escorregamento relativo s σs tensão no aço σc tensão no concreto εs deformação no aço εc deformação no concreto de área Ac 4223 Resistência de cálculo do concreto A distribuição da tensão no comprimento de transferência das tensões entre a barra e o concreto é nãolinear e pode ser considerada por meio da equação diferencial e da relação entre a tensão e o escorregamento No entanto para aplicações práticas sob condições de carregamento de serviço é conveniente usar o valor médio da tensão na região de ancoragem Este princípio é aplicado tanto para análise de ancoragem de armaduras passivas quanto de armaduras ativas Para armadura passiva o valor de cálculo da tensão média de aderência fbd é dada por fbd η1 η2 η3 fctd 44 sendo η1 fator geométrico que leva em conta a rugosidade da barra com os seguintes valores 225 para barras com nervuras e telas soldadas com fios lisos ou sem nervuras desde que haja número suficiente de nós de barras soldadas na zona de ancoragem 14 para barras dentadas e 10 para barras lisas η2 fator relativo à localização da barra na fôrma por ocasião da concretagem com vista a aderência sendo Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 70 10 para barras em zona de boa aderência e 07 para situações de má aderência η3 fator que leva em conta o diâmetro da barra com valores 10 para barras com diâmetros inferiores a 32mm e 132 φ 100 para diâmetros maiores que 32mm sendo φ o diâmetro da barra fctd fctkmin 150 45 4224 Comprimento básico de transferência Considerando a tensão média aproximada na emenda o MC CEBFIP 1990 define os comprimentos básicos de ancoragem para diferentes tipos de armaduras e diferentes casos de carregamentos O comprimento básico de ancoragem denominado lb isto é o comprimento necessário para transferir a tensão atuante numa barra para a massa de concreto que a envolve é dado por lb φ 4 fyd fbd 46 sendo lb comprimento básico de ancoragem φ diâmetro da barra fyd resistência de escoamento de cálculo da barra fbd resistência de aderência de cálculo 423 MODELOS ANALÍTICOS AVANÇADOS PARA CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ANCORAGEM A modelagem tradicional usada para descrever o comportamento da região de comprimento de ancoragem como a indicada pelo MC CEBFIP Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 71 1990 consiste em adotar dados experimentais para justificar análises numéricas Essas aproximações são muito práticas e efetivas em grande escala computacional onde sistemas estruturais completos podem ser modelados Entretanto elas apresentam claras limitações implícitas nos modelos empíricos No comportamento observado da emenda muitas das limitações e influências que são causadas pela experimentação poderiam ser evitadas caso os modelos analíticos do comprimento de ancoragem pudessem ser usados para completar os estudos experimentais Modelos teóricos têm sido desenvolvidos usando uma aproximação mais fundamental dos mecanismos de emenda Em tais modelos a relação tensão de aderência versus escorregamento da barra não é mais uma propriedade de entrada mas sim um resultado computacional que leva em conta a geometria prédeterminada as propriedades dos materiais e as condições globais de contorno Portanto alguns dos mecanismosbase dos modelos de emenda expressam a relação entre a tensão no comprimento de ancoragem e o escorregamento como função da fissura formada no concreto na região da ancoragem Os modelos de plasticidade para a região do comprimento de ancoragem usam uma aproximação analítica alternativa na qual a tensão de aderência e o escorregamento estão de acordo com a tensão radial de confinamento e a deformação Os mecanismos de fraturas aplicados para estimar a capacidade de confinamento do concreto permitem uma classificação mais exata dos mecanismos de deformação que contribuem com o escorregamento da emenda isto é deformação elástica cone secundário formado por fissuração fissuração radial e esmagamento do concreto As modelagens em elementos finitos podem ser aplicadas com sucesso para analisar o comportamento da emenda Em particular análises de elementos finitos em 3D provavelmente são capazes de fornecer soluções mais compreensíveis no entanto as exigências computacionais as tornam pouco práticas para modelagens em grande escala de sistemas estruturais completos Todavia essa preocupação que em geral é aplicada a muitos sistemas estruturais refinados não desvaloriza como um procedimento pertinente para Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 72 obter as relações características entre a tensão na emenda e o escorregamento para modelos globais como foi feito por meio de análises experimentais 424 IMPORTÂNCIA DA LIGAÇÃO ENTRE BARRA DE AÇO E CONCRETO PARA A SEGURANÇA ESTRUTURAL As ligações entre as barras da armadura com o concreto que as envolvem influenciam em muitos aspectos o comportamento das estruturas de concreto armado Certamente a emenda desempenha um importante papel no comportamento da fissuração aberturas e espaçamentos das fissuras e na resistência à tração Ela pode ser um elemento importante para a capacidade última de carregamento de estruturas de concreto armado visto que afeta a ancoragem de barras e a resistência de ligações Além disso a capacidade de deformação dos elementos e portanto a capacidade de redistribuição de esforços em estruturas estaticamente indeterminadas é diretamente influenciada pela emenda o comprimento de uma rótula plástica que é importante para a capacidade de rotação de elementos de concreto armado depende entre outras coisas da força transferida das barras da armadura para o concreto entre fissuras seqüentes Por essa razão a modelagem adequada do comportamento da emenda é de extrema importância 425 REGIÕES DE ANCORAGEM 4251 Comportamento da ancoragem de barras retas ganchos curvas laços e telas soldadas O escorregamento não difere consideravelmente para barras com ganchos curvas e laços com mesmo diâmetro de curva Com o intuito de ter condições simples e uniformes para todos os tipos de ancoragem o escorregamento no início da ancoragem é admitido como critério de projeto É necessário que a deformação no início da ancoragem seja aproximadamente Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 73 igual para todos os tipos de ancoragem de barras deformadas com pontas retas tanto em serviço quanto no estado limite último Essa condição pode ser satisfeita com uma redução proporcional do comprimento de ancoragem reto Baseado nisso os efeitos favoráveis dos ganchos ou curvas em barras comprimidas não devem ser considerados e portanto ganchos e curvas devem ser evitados em barras comprimidas 4252 Comprimento de ancoragem necessário O comprimento de ancoragem necessário é calculado usando a seguinte expressão lbnet α1 α2 α3 α4 α5 lb Ascal Asef lbmin 47 sendo lb comprimento básico de ancoragem α1 fator de forma da barra sendo considerado igual a 10 para qualquer ancoragem sob compressão e ancoragem reta sob tração e 07 para laços e curvas tracionados com cobrimento suficiente de concreto α2 fator de barra transversal soldada valendo 07 para todas as ancoragens caso a barra transversal esteja soldada α3 fator de confinamento do concreto sendo igual a 10 para todas as ancoragens sob compressão e 07 a 10 para barras sob tração dependente do revestimento de concreto α4 fator de barra transversal nãosoldada igual a 10 para todas as ancoragens sob compressão dependente do confinamento da armadura Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 74 α5 fator de pressão transversal valendo de 07 a 10 para ancoragens sob tração dependente da pressão O produto dos fatores α3 α4 α5 é limitado em 07 para barras com alta aderência e em 10 para fios ou barras lisas ou não dentadas o que praticamente significa que os fatores de redução por confinamento são aplicados somente para barras rugosas No estado limite último empregase um fator de segurança geral de 21 constituído por um produto de fatores de segurança 4253 Comprimento mínimo de ancoragem Além de todas as determinações anteriores existe ainda um comprimento mínimo de ancoragem a ser respeitado tanto para barras tracionadas quanto para barras comprimidas que vale lbmin o maior valor entre 03 lb 10 φ e 100 mm para barras tracionadas lbmin o maior valor entre 06 lb 10 φ e 100 mm para barras comprimidas 4254 Ancoragem de feixe de barras Para evitar tensões concentradas no concreto os feixes de barras devem ser ancorados em ponta reta e em seções não coincidentes sendo que a alternância entre as seções deverá ser equivalente a 12 vez o comprimento individual no caso de feixe de 2 barras 13 vez o mesmo comprimento no caso de 3 barras ou 14 vez no caso de 4 barras 426 DISPOSITIVOS DE ANCORAGEM Em vez de ancoragem por barras com laços a força de tração pode ser transferida por meio de dispositivos de ancoragem principalmente naqueles Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 75 casos em que são possíveis regiões com pequenos espaços destinados ao comprimentos de ancoragem necessário As relações entre solicitações e capacidade dos dispositivos de ancoragem e suas conexões com a barra da armadura podem sempre ser demonstradas por ensaios e se possível por modelo analítico Para considerar segurança suficiente o valor de cálculo da resistência da ancoragem não deve ser superior a 50 da força última de ancoragem quando não for necessário considerar os efeitos de fadiga por ações cíclicas e não maior que 70 da força de fadiga determinada experimentalmente para garantir a segurança da ancoragem 427 ANCORAGEM FORA DO APOIO E NO APOIO 4271 Ancoragem fora do apoio As barras da armadura podem ser tiradas de serviço antes dos apoios porém quando isto for feito elas devem ser convenientemente ancoradas garantindo um comprimento de ancoragem calculado com as indicações anteriores O comprimento de ancoragem de barras tiradas de serviço fora dos apoios é medido a partir desta seção transversal determinada pela intersecção do diagrama de forças de tração nas barras Rst com o eixo que representa a barra e disposto paralelamente à linha de fecho da viga O segmento de reta que liga o maior valor do momento fletor de cálculo ou de forças nas barras da armadura Rst a linha de fecho do diagrama é dividido pelo número de barras indicado pelo cálculo das armaduras para absorver as tensões de tração oriundas da flexão A determinação dos comprimentos das barras por esse processo pode diferir da distribuição calculada e essa determinação dos comprimentos será demonstrada de forma aproximada Além disso o comprimento de ancoragem real pode ser menor que o valor calculado quando há imprecisões de execução Por essas razões o comprimento de ancoragem pode ser dado por lbnet 100 mm além da seção onde não é mais necessário transferir toda a força atuante na barra Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 76 O comprimento de ancoragem de barras inclinadas que terminam em região de concreto comprimido pode ser medido a partir da linha neutra 4272 Ancoragem no apoio O ponto de início de ancoragem das barras prolongadas até os apoios é considerado contido na seção da viga coincidente com a borda do apoio pilar por exemplo Não se conhece a correta seção para se considerar o início da ancoragem entretanto é eficaz adotarse a borda do apoio em função da pressão transversal atuante nas barras a serem ancoradas Caso contrário aparece nessa região fissuras que influenciam negativamente na ancoragem A influência favorável da armadura transversal soldada é calculada para ser considerada caso ela esteja dentro do comprimento de ancoragem isto é para dentro da borda do apoio O comprimento mínimo de ancoragem com início na face do apoio pode ser reduzido a 23 do valor lbmin calculado considerando a influência da pressão transversal uniaxial na direção do apoio Uma intensidade suficientemente alta de pressão transversal aproximadamente 5 Nmm2 é geralmente observada em vigas especialmente nos casos em que o comprimento de ancoragem deve ser curto Embora a pressão transversal em chapas seja muitas vezes menor as fissuras geralmente não aparecerão só na borda do apoio como considerado nos cálculos mas a uma certa distância dele em função de menor força cisalhante Desse modo o comprimento de ancoragem necessário é maior e a força sobre o apoio é menor comparados aos valores considerados nos cálculos 428 EMENDAS DE BARRAS EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS 4281 Emendas por traspasse de barras tracionadas Emendas são usadas sempre que o comprimento das barras 12 m em geral é insuficiente tendo em vista o comprimento do elemento estrutural e Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 77 portanto são necessárias emendas convenientemente estudadas para garantir segurança Em geral emendas são usadas para sobrepor uma parte das barras e unilas por meio de solda ou de métodos mecânicos semelhantes a luvas rosqueadas ou comprimidas Além disso a pressão de contato em suas pontas pode ser usada para transmitir a força de compressão das barras No caso de emendas por traspasse a força transferida entre as barras emendadas é proveniente do concreto As forças vinculares agem nas bielas massa adjacente de concreto entre as barras emendadas e se desenvolvem inclinadas em relação ao eixo das barras Os componentes radiais da força nas bielas produzem tração na região do cobrimento da peça e podem ocasionar ruína no estado limite último na região da emenda por traspasse Isso ocorre quando as forças que provocam o rompimento crescem consideravelmente em direção às extremidades das emendas usualmente aí se inicia a ruptura 4282 Comprimento necessário para emendas por traspasse de barras tracionadas A conexão de barras não admite a influência negativa do comportamento de nenhum elemento em serviço nem nos estados limites últimos comparado com o comportamento do elemento com armadura contínua As aberturas das fissuras inclinadas nas extremidades das emendas no estado limite de serviço não devem ser consideravelmente maiores do que aquelas fora da região de emenda e não se permite o aparecimento de fissuras longitudinais Para se garantir que a eventual ruptura de uma emenda ocorra por escorregamento da barra de aço e não por ruptura do concreto adjacente um fator de segurança geral de 21 é necessário em contraste com os 5 dos resultados negativos obtidos nos testes Portanto o comprimento de ancoragem necessário assegura que em geral o rompimento do cobrimento do concreto é descartado e o MC CEBFIP 1990 inclui uma formulação similar Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 78 à do projeto do comprimento de ancoragem necessário lbnet para o projeto do comprimento de traspasse l0 apresentado a seguir l0 α1 α3 α4 α5 α6 lb Ascal Asef l0min 48 sendo lb comprimento básico de ancoragem α1 fator de forma da barra α3 fator de confinamento do concreto α4 fator de barra transversal nãosoldada α5 fator de pressão transversal α6 fator de porcentagem de sobreposição valendo entre 12 e 20 dependente da porcentagem de barras com traspasse dentro de uma distância de 13 l0 medida a partir do centro do comprimento de traspasse l0min comprimento de traspasse mínimo necessário O valor mínimo para comprimento necessário para emenda por traspasse é fornecido a seguir l0min o maior valor entre 03 α6 lb 15 φ e 200 mm Devese ressaltar que os comprimentos de traspasse são determinados a partir do menor cobrimento de concreto possível e da armadura transversal Muitas vezes é possível diminuir o comprimento de traspasse considerando um acréscimo na espessura de cobrimento de concreto eou um acréscimo na quantidade de armadura transversal Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 79 43 ADERÊNCIA 431 ANÁLISE DA ADERÊNCIA COMO INDICADO EM NORMAS 4311 Introdução A aderência é a propriedade que impede o deslocamento relativo entre a barra e o concreto nas peças de concreto armado Ela pode ser de três tipos 1 Aderência por adesão ocorrida em função das ligações físico químicas entre o cimento e as barras 2 Aderência por atrito que atua no sentido a impedir o deslocamento relativo entre os materiais e que depende diretamente da compressão uniformemente distribuída exercida pelo concreto sobre a barra em virtude da retração e principalmente depende da rugosidade superficial da barra 3 Aderência mecânica por causa das nervuras das barras de alta aderência nas barras lisas em função do processo de fabricação e até à rugosidade de ambas em virtude da corrosão Tais saliências funcionam como elementos de apoio externos alusão aos consolos e mobilizam tensões de compressão no concreto 4312 Condições de aderência As situações de boa e má aderência determinadas segundo o Eurocode 2 1992 são semelhantes às da NBR 61182003 apresentando as seguintes diferenças 1 Condição de boa aderência para peças com h 25 cm 2 Delimitação de boa condição de aderência para h2 inferior da peça no caso de peças com 25 cm h 60 cm Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 80 4313 Tensão de aderência entre a armadura e o concreto O Eurocode 2 1992 apresenta valores das tensões de aderência de cálculo para emendas em zonas de boas condições Caso contrário os valores devem ser multiplicados por 07 admitindo coeficiente de minoração da resistência do concreto γc 15 Ressaltase que ao contrário da NBR 61182003 o Eurocode 2 1992 não diferencia barras dentadas de barras nervuradas Em seguida serão fornecidas as expressões para determinação da tensão de aderência de cálculo considerando as informações do Eurocode 2 e da NBR 61182003 43131 Cálculo da tensão de aderência de cálculo na ancoragem segundo o Eurocode 2 1992 A tensão de aderência de cáculo na ancoragem é dependente da conformação superficial das barras Segundo o Eurocode 2 1992 a tensão é dada pelas seguintes expressões respectivamente para barras lisas e para as demais barras Barras lisas fbd 036 fck 12 15 024 fck 12 49 Demais barras fbd 225 fctk 005 15 0315 fck 23 410 sendo fbd tensão de aderência de cálculo fck resistência característica à compressão do concreto fctk resistência característica à tração do concreto Observação Essas expressões referemse a barras com diâmetro não maior que 32 mm Caso contrário o valor obtido deve ser multiplicado por um coeficiente igual a 132 φ 100 com φ dado em mm Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 81 O Eurocode 2 1992 apresenta ainda um coeficiente adicional em casos onde há pressão transversal Nesses casos os valores da tensão de aderência devem ser multiplicados por 1 004 p1 sendo p a pressão transversal média em Nmm2 e atentando para o fato de que esse coeficiente não pode assumir valores superiores a 14 43132 Cálculo da tensão de aderência de cálculo na ancoragem segundo a NBR 61182003 A resistência de aderência de cálculo fbd entre armadura e concreto na ancoragem de armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão fbd η1 η2 η3 fctd 411 sendo fctd fctkinf γc 412 fctkinf 07 fctm 413 fctm 03 fck 23 414 Simplificadamente obtémse fbd η1 η2 η3 021 fck 23 γc 415 sendo fbd tensão de aderência de cáculo fck resistência característica à compressão do concreto η1 10 para barras lisas 14 para barras entalhadas ou 225 para barras nervuradas η2 10 para situações de boa aderência ou 07 para situações de má aderência η3 10 para φ 32 mm ou 132 φ 100 φ em mm para φ 32 mm Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 82 4314 Valores das tensões de aderência de projeto segundo o Eurocode 2 1992 e segundo a NBR 61182003 Serão apresentadas a seguir duas tabelas relativas aos valores da tensão de aderência de cálculo fbd em MPa segundo diferentes resistências do concreto e segundo também condições de boa ou má aderência A primeira é referente às expressões fornecidas segundo o Eurocode 2 1992 e a segunda referese às expressões segundo a NBR 61182003 Tabela 41 Tensão de aderência de projeto fbd segundo o Eurocode 2 1992 Tensão de aderência de projeto fbd Mpa Eurocode 2 1992 Barras lisas Barras com alta aderência com φ32mm ou telas soldadas fck MPa BOA MÁ BOA MÁ 12 090 063 160 112 16 100 070 200 140 20 110 077 230 161 25 120 084 270 189 30 130 091 300 210 35 140 098 340 238 40 150 105 370 259 45 160 112 400 280 50 170 119 430 301 Tabela 42 Tensão de aderência de projeto fbd segundo o a NBR 61182003 Tensão de aderência de projeto fbd MPa NBR 61182003 Barras lisas Barras Barras η1 10 η1 14 η1 225 fck MPa BOA MÁ BOA MÁ BOA MÁ Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 83 20 111 077 155 108 249 174 25 128 090 180 126 289 202 30 145 101 203 142 326 228 35 160 112 225 157 361 253 40 175 123 246 172 395 276 45 190 133 266 186 427 299 50 204 143 285 200 458 321 432 ANCORAGEM 4321 Introdução Para que as barras possam transferir integralmente as tensões absorvidas para o concreto utilizamse dois tipos básicos de ancoragem por aderência no qual as forças são transferidos por um comprimento reto da barra que pode apresentar ou não gancho na extremidade e por dispositivos mecânicos acoplados à barra responsáveis pela transmissão dos esforços 4322 Comprimento básico de ancoragem O comprimento básico de ancoragem corresponde ao comprimento reto necessário para ancorar a força As fyd em uma barra assumindo tensão constante na barra igual a fbd 43221 Comprimento básico de ancoragem segundo o Eurocode 2 1992 O comprimento básico de ancoragem segundo o Eurocode 2 1992 é determinado pela expressão lb φ 4 fyd fbd 416 sendo Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 84 φ diâmetro nominal da barra fyd resistência ao escoamento de cálculo da barra fbd tensão de aderência de cálculo entre a barra e o concreto Para feixes de 2 barras o diâmetro φ da equação anterior deve ser igual a φ 2 43222 Comprimento básico de ancoragem segundo a NBR 61182003 O comprimento básico de ancoragem segundo a NBR 61182003 é determinado exatamente igual ao Eurocode 2 1992 sendo que a principal diferença é observada no cálculo da tensão de aderência fbd segundo cada norma como foi anteriormente apresentado lb φ 4 fyd fbd 417 sendo φ diâmetro nominal da barra fyd resistência ao escoamento de cálculo da barra fbd tensão de aderência de cálculo entre a barra e o concreto 43223 Comprimento básico de ancoragem segundo o ACI 318 1995 O comprimento básico de ancoragem segundo o ACI 318 1995 é determinado pela expressão ldb 002 db fy fc12 418 sendo ldb comprimento básico de ancoragem db diâmetro nominal da barra em in Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 85 fy resistência ao escoamento da barra em psi fc resistência característica à compressão do concreto em psi O comprimento básico de ancoragem não deve ser inferior a 00003 db fy Além disso pode ser multiplicado pelo fator Asreq Asprov se a área de armadura existente for maior que a necessária Lembrase que 1 in 1 254 cm 1 psi 0006895 MPa 1 p 1 lb 4448 N 4323 Métodos de ancoragem Além dos métodos usuais de ancoragem por aderência de armaduras passivas as normas apresenta algumas recomendações que devem ser adotadas Elas serão apresentadas a seguir 43231 Recomendações segundo o Eurocode 2 1992 1 Ancoragens retas ou curvas de 90 não devem ser usadas para ancorar barras lisas ou com diâmetro superior a 8 mm 2 Curvas ganchos ou laços não são recomendados para uso em compressão exceto para barras lisas que podem estar submetidas à tração nas zonas de ancoragem para determinados carregamentos 3 Precisam ser evitados rompimentos e desprendimento de lascas no concreto ocasionados por concentrações de ancoragens respeitandose os diâmetros mínimos dos pinos de dobramento e o cobrimento mínimo de concreto 43232 Recomendações segundo a NBR 61182003 Para barras tracionadas Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 86 1 As barras lisas precisam ter obrigatoriamente gancho 2 Não devem apresentar gancho as barras que tiverem alternância de solicitação de tração e compressão 3 Não é recomendado o uso de gancho em barras com φ 32 mm ou em feixe de barras Para barras comprimidas Só poderão ser ancoradas sem ganchos 4324 Diâmetros mínimos dos pinos de dobramento Serão apresentadas a seguir tabelas contendo os diâmetros mínimos dos pinos de dobramento Tabela 43 Diâmetros mínimos dos pinos de dobramento segundo o Eurocode 2 1992 Diâmetros mínimos dos pinos de dobramento Eurocode 2 1992 BITOLA BARRAS LISAS BARRAS COM ALTA ADERÊNCIA 20 mm 25 φ 4 φ 20 mm 5 φ 7 φ Tabela 44 Diâmetros mínimos dos pinos de dobramento segundo a NBR 61182003 Diâmetros mínimos dos pinos de dobramento NBR 6118 2003 BITOLA CA 25 CA 50 CA 60 20 mm 4 φ 5 φ 6 φ 20 mm 5 φ 8 φ 4325 Armadura transversal Segundo o Eurocode 2 1992 no caso de vigas a armadura transversal deve ser sempre utilizada para Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 87 1 Ancoragens de barras tracionadas em que não há compressão transversal relativa a reação de apoio como no caso de apoios indiretos 2 Todas as ancoragens sobre compressão A área total mínima da armadura transversal é calculada por Ast n Ast 419 Ast As 4 420 sendo n número de barras ao longo do comprimento de ancoragem Ast área de uma barra da armadura transversal As área de uma barra da armadura longitudinal A armadura transversal deve ser igualmente distribuída ao longo do comprimento de ancoragem No mínimo uma barra deve ser posicionada na região do gancho curva ou laço Para barras sobre compressão a armadura transversal deve circundar as barras longitudinais e estar concentrada no fim da ancoragem estendendose por no mínimo 4φ da barra ancorada 4326 Comprimento de ancoragem necessário O comprimento de ancoragem necessário para barras ou fios segundo cada norma é determinado como a seguir 43261 Comprimento de ancoragem necessário segundo o Eurocode 2 1992 O comprimento de ancoragem necessário segundo o Eurocode 2 1990 é dado pela seguinte expressão lbnet αa lb Asreq Asprov lbmin 421 sendo Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 88 αa 10 para barras lisas ou 07 para barras tracionadas com gancho com cobrimento no plano normal ao do gancho 3φ Asreq área de armadura necessária Asprov área de armadura efetiva lbmin o maior valor entre 03 lb 10 φ e 100 mm para ancoragem sobre tração lbmin o maior valor entre 06 lb 10 φ e 100 mm para ancoragem sobre compressão 43262 Comprimento de ancoragem necessário segundo a NBR 61182003 O comprimento de ancoragem necessário segundo a NBR 61182003 é dado pela seguinte expressão lbnec α lb Ascalc Asef lbmin 422 sendo α 10 para barras sem gancho α 07 para barras tracionadas com gancho com cobrimento no plano normal ao do gancho 3φ α 07 quando houver barras transversais soldadas α 05 quando houver barras transversais soldadas e gancho com cobrimento no plano normal ao do gancho 3φ Ascalc área de armadura calculada para resistir ao esforço solicitante Asef área de armadura existente lbmin o maior valor entre 03 lb 10 φ e 100 mm Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 89 43263 Comprimento de ancoragem necessário segundo o ACI 318 1995 Para barras comprimidas o comprimento de ancoragem necessário segundo o ACI 318 1995 é determinado pela expressão ld ldb Asreq Asprov 423 sendo ld comprimento de ancoragem necessário ldb comprimento básico de ancoragem Asreq área de armadura necessária Asprov área de armadura existente fy resistência ao escoamento da barra em psi fc resistência característica à compressão do concreto em psi O comprimento de ancoragem necessário ldb não deve ser inferior a 8 in 433 EMENDAS POR TRASPASSE PARA BARRAS OU FIOS 4331 Arranjo das emendas As emendas entre barras devem ser realizadas em seções alternadas e não devem estar localizadas em zonas de altas tensões Em qualquer seção devem ser realizadas simetricamente e paralelas à outra face do elemento Os métodos de ancoragem apresentados também são aplicados para emendas por traspasse Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 90 4332 Armadura transversal Se o diâmetro φ das barras traspassadas for menor que 16 mm ou se a porcentagem dessas barras em alguma seção for menor que vinte por cento então a armadura transversal mínima necessária para outras solicitações por exemplo armadura de cisalhamento ou barras de distribuição é considerada suficiente Porém se o diâmetro φ for maior ou igual a 16 mm então a armadura transversal deve 1 Ter uma área total soma de todos os ramos paralelos à camada de armadura emendada não inferior à área As de uma barra emendada Ast 10 As 2 Ser posicionada entre a armadura longitudinal e a superfície do concreto 434 ANCORAGEM DE ESTRIBOS E DE ARMADURA DE CISALHAMENTO 1 A ancoragem de estribos e de armadura de cisalhamento deve ser normalmente efetuada por meio de ganchos ou por armadura transversal soldada Barras de alta aderência CA50 ou fios CA60 também podem ser ancorados por laços Uma barra deve ser posicionada no interior de um gancho ou laço 2 Respeitar a curvatura permissível de ganchos ou laços conforme já visto neste trabalho 3 A ancoragem como um todo é considerada satisfatória 31 Quando a curva de um laço ou gancho é estendia reto não inferior a i 5φ ou 50 mm se é uma continuação de um arco de 135 ou mais ou ii 10φ ou 70 mm se é uma continuação de um arco de 90 Capítulo 4 Determinação do comprimento de ancoragem das vigas 91 32 Quando perto do fim de uma barra reta houver i duas barras transversais soldadas ou ii uma única barra transversal soldada com diâmetro não inferior a 14 diâmetro da barra Capítulo 5 O programa CAST 92 5 O PROGRAMA CAST 51 CONCEITOS GERAIS Neste capítulo são apresentadas considerações a respeito da modelagem numérica os fundamentos teóricos e o funcionamento do programa CAST 2000 o qual foi adotado para a modelagem das vigas de concreto armado O programa computacional gráfico CAST Computer Aided Strut and Tie 2000 é capaz de realizar a análise e o dimensionamento de uma estrutura de concreto armado ou protendido com base no modelo de bielas e tirantes O programa começou a ser desenvolvido em 1997 na Universidade de Illinois at UrbanaChampaign nos Estados Unidos da América e passou por atualizações Uma versão inicial do programa foi introduzida pela primeira vez no Congresso do ACI de 2000 em Toronto Canadá por Dan Kuchma e Tjen Tjhin após a apresentação do trabalho Advances and Challenges to Design by the StrutandTie Method O CAST é de domínio público e sua primeira versão está disponível no site da Universidade de Illinois para download desde 2000 e hoje após várias atualizações constituise em um programa muito útil ao ensino de estruturas de concreto por suas potencialidades didáticas também podendo ser utilizado por engenheiros projetistas em dimensionamentos de estruturas ou apenas regiões de descontinuidades A interface utilizada é simples e possibilita a criação e a modificação de elementos estruturais e dos possíveis modelos de bielas e tirantes os quais precisam ser determinados pelo usuário Esse aspecto chama a atenção pois Capítulo 5 O programa CAST 93 o programa não dispõe de um processo de otimização que determina automaticamente o modelo mais adequado e uma vez que isso é tarefa exclusiva do usuário é necessário embasamento teórico acerca do modelo de bielas e tirantes suas limitações e peculiaridades Por outro lado não exige solução única possibilitando grande variedade de soluções para cada estrutura Nesse aspecto entram o conhecimento técnicocientífico e a experiência do usuário do programa a fim de encontrar o modelo mais adequado que leve em consideração economia e aspectos construtivos da estrutura Além disso excetuandose alguns aspectos normativos que dizem respeito às verificações de nós e bielas e ao dimensionamento dos tirantes o programa não dispõe de procedimentos que realizem nem as verificações pertinentes a cada estrutura nem as recomendações e exigências gerais das normas tal qual ancoragem e verificações de Estados Limites de Serviço Mais uma vez esses aspectos ficam sob responsabilidade do usuário que precisa assegurar que todas essas exigências sejam respeitadas Essa necessidade de se atentar a aspectos não considerados pelo programa não desestimula sua utilização haja vista que isso é fato comum ao se utilizar programa computacional para dimensionamento de estruturas Além disso sua facilidade em variar o modelo de bielas e tirantes adotado para um mesmo carregamento a disponibilidade de rotinas para o dimensionamento de modelos de bielas e tirantes submetidos a múltiplos casos de carregamento e a simples automatização dos cálculos são fatores que vão ao encontro das necessidades do projetista de estruturas 52 A MODELAGEM NO CAST 2000 PASSOAPASSO A Figura 51 a seguir apresenta um diagrama que mostra todos os passos da modelagem utilizando o Computer Aided Strut and Tie 2000 Dentre eles há os que são de responsabilidade do projetista e outros automáticos do programa Por exemplo o projetista apenas define a geometria do modelo estrutural como a treliça para o caso de vigas mas é o programa após compilação que define quais elementos estão tracionados e quais estão Capítulo 5 O programa CAST 94 comprimidos de acordo com a disposição das barras da treliça e dos carregamentos Figura 51 Todos os passos da modelagem no CAST 2000 521 DESCRIÇÃO DO PROJETO O primeiro passo ao se utilizar o CAST 2000 é descrever o projeto fornecendo os seguintes dados 1 Nome do projeto 2 Projetista Capítulo 5 O programa CAST 95 3 Data 4 Possíveis anotações ou lembretes Em seguida definemse as propriedades gerais do projeto 1 Espessura da região D em mm 2 Resistência característica à compressão do concreto em MPa 3 Resistência característica à tração do concreto em MPa 4 Resistência característica à tração do aço em MPa 522 DEFINIÇÃO DO ELEMENTO ESTRUTURAL 1 Definição das propriedades geométricas do elemento 2 Determinação da treliça associada ao modelo de bielas e tirantes Vale lembrar que esta etapa cabe exclusivamente ao projetista ou seja o programa não é capaz de determinar automaticamente um modelo de treliça adequado para o elemento analisado muito menos utilizar processos de otimização para se obter dentre várias possibilidades um modelo ótimo de treliça Essa etapa é portanto uma das mais importantes haja vista que caso o projetista não determine um modelo de treliça adequado às condições de contorno o programa será incapaz de gerar qualquer tipo de resposta 3 Definição dos carregamentos e dos apois do modelo 523 OBTENÇÃO DAS FORÇAS NO MODELO DE BIELAS E TIRANTES Nesta etapa realizase a compilação da treliça definida pelo usuário obtendose as seguintes definições Capítulo 5 O programa CAST 96 1 Identificação dos membros tracionados e comprimidos da treliça e dos estabilizadores que são barras pertencentes à treliça que não estão sujeitas nem a tração nem a compressão 2 Determinação das intensidades das forças nos membros da treliça 524 DEFINIÇÃO DAS PROPRIEDADES DOS ELEMENTOS 1 Atribuição das propriedades das bielas dos tirantes e dos nós Para a verificação de nós e bielas há a possibilidade de se utilizar valores das resistências propostos por pesquisadores e normas predefinidos pelo programa como também é possível determinar valores desejados As Tabela 51 e a Tabela 52 a seguir apresentam todos os valores predefinidos pelo programa para nós e bielas os quais podem ser arbitrariamente adotados pelo usuário Tabela 51 Propriedades dos nós segundo as normas e expressões disponíveis no CAST 2000 Propriedades dos nós fck MPa Eq Códigos Fator Eficiência Fator Redução Resistência Fator Resultante 20 30 40 50 ACI CCC 0850 0750 0638 1275 1913 2550 3188 ACI CCT 0680 0750 0510 1020 1530 2040 2550 ACI CTT 0510 0750 0383 765 1148 1530 1913 Marti 1985 CCC 0600 0750 0450 900 1350 1800 2250 Schlaich 1987 CCC 0850 0750 0638 1275 1913 2550 3188 Schlaich 1987 CCT CTT 0680 0750 0510 1020 1530 2040 2550 MacGregor 1997 CCC 0777 0750 0583 1166 1748 2331 2914 MacGregor 1997 CCT 0661 0750 0496 992 1487 1983 2479 MacGregor 1997 CTT 0583 0750 0437 875 1312 1749 2186 Capítulo 5 O programa CAST 97 Tabela 52 Propriedades das bielas segundo as normas e expressões disponíveis no CAST 2000 2 Definição das propriedades geométricas das bielas e dos tirantes e das áreas das armaduras dos tirantes e suas respectivas disposições em camadas quando for necessária mais de uma Salientase que os elementos comprimidos também podem apresentar armadura comprimida caso se deseje Citase que o projetista pode como alternativa limitar a tensão em cada membro do modelo Para isso ao invés de estabelecer as dimensões dos membros há a possibilidade de apenas determinar a porcentagem a ser atingida da capacidade resistência última do Propriedades das bielas fck MPa Eq Códigos Fator Eficiência Fator Redução Resistência Fator Resultante 20 30 40 50 ACI prismatic 0850 0750 0638 1275 1913 2550 3188 ACI forma garrafa c armad 0637 0750 0478 956 1433 1911 2389 ACI forma garrafa s armad 0510 0750 0383 765 1148 1530 1913 ACI bielas em elem tracionados 0340 0750 0255 510 765 1020 1275 ACI bielas para todos os outros casos 0510 0750 0383 765 1148 1530 1913 Nielsen 1978 0550 0750 0413 825 1238 1650 2063 Ramirez Breen 1983 0515 0750 0386 773 1159 1545 1931 Marti 1985 0600 0750 0450 900 1350 1800 2250 Schlaich 1987 biela não fissurada 0850 0750 0638 1275 1913 2550 3188 Schlaich 1987 biela c armad tracionada perpendicular ao seu eixo 0680 0750 0510 1020 1530 2040 2550 Schlaich 1987 biela c armad tracionada perpendicular ao seu eixo 0680 0750 0510 1020 1530 2040 2550 Schlaich 1987 biela c fissuras de grande abertura 0340 0750 0255 510 765 1020 1275 MacGregor 1997 biela não fissurada 0777 0750 0583 1166 1748 2331 2914 MacGregor 1997 biela fissurada c armad perpendicular ao seu eixo 0622 0750 0467 933 1400 1866 2333 MacGregor 1997 biela fissurada s armad perpendicular ao seu eixo 0505 0750 0379 758 1136 1515 1894 MacGregor 1997 biela em zona tracionada 0466 0750 0350 699 1049 1398 1748 Capítulo 5 O programa CAST 98 membro sendo que no passo seguinte análise automática da treliça pelo CAST 2000 ao invés de o programa verificar a tensão no membro ele irá definir automaticamente suas propriedades geométricas a fim de configurar a intensidade de tensão definida pelo projetista 525 VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES 1 Nova análise automática da treliça porém agora não apenas determinando quais de seus membros estão tracionados e quais estão comprimidos e as intensidades das forcas em cada barra mas também apresentando as tensões em cada elemento do modelo bielas tirantes e nós Para os membros que o pojetista tenha optado por limitar as tensões o programa determinará automaticamente suas dimensões como explicado anteriormente 2 Após a conferência das tensões nas bielas nos tirantes e nos nós caso alguns destes estejam com solicitação superior à sua capacidade o projetista tem muitas alternativas para solucionar o problema Para isso ele pode alterar a treliça apenas modificando sua geometria sem alterar a quantidade de elementos ou até mesmo excluindo ou adicionando membros Em relação aos banzos ao se alterar suas posições ocorre a mudança da posição da linha neutra da viga de acordo com o interesse do projetista alterar as propriedades geométricas da estrutura como as dimensões da seção transversal sua espessura e sua altura aumentar a taxa de armadura do tirante ou adicionar armadura à biela se necessário aumentar a resistência do concreto alternativa pouco usual na prática No caso de serem necessárias alterações o projetista deve apenas voltar ao passo correspondente e então retomar a modelagem normalmente Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 99 6 MODELAGENS DAS VIGAS E ANÁLISE DOS RESULTADOS Neste capítulo primeiramente apresentase rotina para cálculo da área de armadura transversal em vigas de concreto armado de seções retangulares submetidas a flexão segundo a NBR 61182003 Em seguida apresentamse as modelagens realizadas com o auxílio do programa computacional CAST 2000 61 ROTINA PARA VERIFICAÇÕES DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO DE SEÇÕES RETANGULARES SUBMETIDAS A FLEXÃO SEGUNDO A NBR 61182003 A rotina a seguir visa facilitar as verificações de vigas submetidas a flexão e o cálculo da área de armadura transversal das mesmas Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 100 Tabela 61 Rotina para o cálculo da área de armadura transversal em vigas Rotina para o cálculo da área de armadura transversal CA50 e CA60 FORÇA CORTANTE RESISTENTE MÍNIMA CONTRIBUIÇÃO DO CONCRETO TAXA MÍNIMA DE ARMADURA TRANSVERSAL FORÇA CORTANTE RESISTENTE ÚLTIMA CLASSE DE RESISTÊNCIA DO CONCRETO τc kNcm2 ρswmin τcu kNcm2 C20 00663 00884 03549 C25 00769 01026 04339 C30 00869 01159 05091 C35 00963 01284 05805 C40 01053 01404 06480 C45 01139 01518 07116 GRUPO I C50 01221 01629 07714 Rotina para o cálculo da área de armadura transversal em vigas 1 Força cortante resistente mínima VRdmin τc 3915 ρswmin bw d kN 61 2 Força cortante resistente última Vdu VRd2 τcu bw d kN 62 3 Força cortante resistente de cálculo em função da área de armadura por unidade de comprimento VRd3 Vc Vsw τc 3915 ρsw bw d kN 63 4 Área das barras da armadura transversal Asw s n ρsw bw n 100 cm2m64 5 Área mínima das barras da armadura transversal Aswmin s n ρswmin bw n 100 cm2m65 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 101 6 Diâmetro dos estribos 5 mm Φest bw 10 cm2m66 7 Espaçamento longitudinal máximo entre estribos se Vd 067 VRd2 smax 06 d 30 cm 67 se Vd 067 VRd2 smax 03 d 30 cm 68 8 Espaçamento transversal máximo entre ramos sucessivos se Vd 020 VRd2 stmax d 80 cm 69 se Vd 020 VRd2 stmax 06 d 35 cm 610 9 Asw área da seção transversal dos ramos verticais dos estribos 10 s espaçamento entre os estribos medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural 11 bw largura média da alma medida ao longo da altura útil da seção Para bw 5d o dimensionamento do elemento linear deve ser feito com os critérios de laje 12 d altura útil da seção transversal 13 n número de ramos perpendiculares ao plano horizontal do elemento estrutural 14 Tensão na armadura transversal fywd fyd 435 MPa 611 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 102 62 MODELOS VB VIGAS DE CONCRETO ARMADO BIAPOIADAS SUBMETIDAS A CARREGAMENTOS UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDOS Esta viga foi modelada e dimensionada de três maneiras distintas Os dados iniciais da primeira viga VB1 em relação às vigas VB2 e VB3 serão considerados como valores padrões iniciais no que diz respeito à geometria da viga comprimento largura e espessura à geometria da treliça comprimentos e disposição das barras e nós às condições de contorno carregamento e apoios e às características dos materiais resistências do concreto e do aço A viga VB2 tem exatamente as mesmas propriedades geométricas que a viga VB1 tanto em relação às dimensões da viga comprimento e seção transversal quanto em relação às dimensões e à configuração geométrica da treliça porém houve um aumento no carregamento que elevou a intensidade do momento solicitante máximo Md próximo ao momento limite resistente Mdlim desta viga A viga VB3 por sua vez apresenta exatamente o mesmo carregamento que a viga VB1 porém houve uma modificação na treliça pois na VB1 a inclinação das bielas θ é de 45º modelo I da NBR 61182003 e na VB3 a inclinação das bielas θ é de 3981º modelo II da NBR 61182003 As modificações feitas na modelo VB1 que geraram os modelos VB2 e VB3 buscaram avaliar o comportamento e a validade do CAST 2000 Para as três vigas foram comparadas as intensidades das forças obtidas nas modelagens com as respectivas intensidades obtidas segundo verificações utilizando a NBR 61182003 e o MC CEBFIP 1990 As relações entre os valores das modelagens e os das normas estão expressos em porcentagem para que no capítulo conclusivo as diferenças sejam discutidas com clareza Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 103 Em relação ao carregamento a que a viga está submetida este poderia ser aplicado à treliça de quatro maneiras diferentes Num primeiro caso seria considerado o comprimento total da viga ou seja 380 metros e todos os nós do banzo superior da treliça seriam carregados de acordo com suas respectivas áreas de influência Uma segunda hipótese seria ainda considerar o comprimento total da viga 380 m mas agora não mais carregar os nós extremos da treliça a fim de melhor representar o comportamento da viga real na qual as regiões superiores das extremidades praticamente não apresentam função estrutural Neste caso o carregamento relativo aos dois nós extremos da viga seria igualmente dividido pelos nós restantes O terceiro caso seria como o primeiro porém consideraria o comprimento efetivo da viga ou seja os 360 metros distantes entre as linhas centrais dos pilares como se faz em projetos não assistidos por computador O último caso o qual foi escolhido nesta modelagem é similar ao segundo ou seja não foram carregados os nós de cada extremidade da viga porém considerouse o comprimento efetivo da viga e não o comprimento total a fim de se obter melhor parâmetro de comparação entre os valores obtidos nas modelagens e os obtidos nos dimensionamentos realizados manualmente segundo a NBR 61182003 e o MC CEBFIP 1990 Vale lembrar que a força aplicada na treliça já foi majorada ou seja já foi aplicada com seu valor de projeto A seguir estão relacionadas algumas propriedades atribuídas a todas as 3 vigas VB1 VB2 e VB3 Aço CA50 fy 500 MPa Coeficiente de ponderação das ações γf 14 Coeficiente de ponderação da resistência do concreto para as verificações segundo a NBR 61182003 e o MC CEBFIP 1990 γc 14 Coeficiente de ponderação da resistência do aço para as verificações segundo a NBR 61182003 e o MC CEBFIP 1990 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 104 γs 115 Nas modelagens foram atribuídos coeficientes de ponderação dos materiais ligeiramente diferentes dos utilizados nas verificações das normas O CAST 2000 utiliza como padrão para todas as verificações e portanto para todos os coeficientes os valores e recomendações do ACI referentes à versão de janeiro de 2000 Sendo assim o coeficiente de ponderação dos materiais é fator multiplicador de suas resistências Nas modelagens optouse por admitir as considerações e as verificações referentes ao ACI exceto para os valores dos coeficientes de ponderação do concreto φc e do aço φs que assumiram respectivamente φc γc 1 φc 075 φs γs 1 φs 085 621 MODELO VB1 PROPRIEDADES INICIAIS 6211 Propriedades gerais O modelo VB1 constituise de uma viga de concreto armado biapoiada com um carregamento uniformemente distribuído em toda a sua extensão Possui seção transversal retangular de 20 cm x 40 cm A Figura 61 mostra o comprimento efetivo da viga VB1 suas condições de apoio e o carregamento a que ela está submetida Figura 61 VB1 Carregamento e comprimento efetivo Seção transversal bw 20 cm Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 105 h 40 cm Comprimento efetivo da viga ℓefetivoviga 360 cm 36 m Concreto C25 fck 25 MPa Rk 22 kNm 36 2 m 396 kN Mk pℓ2 8 22 362 8 Md 14Mk 4990 kNm Vk 396 kN Vd 14Vk 5544 kN 6212 Determinação de kc ks e As kc bd2Md 20 362 4990 519 C25 ks 0025 ks Asd Md As ksMd d 0025 4990 36 347 cm2 6213 Cálculo de Mdlim Vdu e Vdmin Mdlim bd2 kclim 20 362 18 14400 kNcm 14400 kNm Vdu 01τwubd 01 4500 20 36 3240 kN Vdmin 01τwminbd 01 1182 20 36 851 kN Vdmax 555 kN Vdu 3240 kN condição ok A verificação acima indica que a força cortante máxima atuante na viga é inferior à força cortante última a qual a viga é capaz de suportar 6214 Verificação das bielas segundo o MC CEBFIP 1990 RScw Vd senθcotgθ cotgθ cotgα sendo α inclinação dos estribos 90o cotgα 0 θ inclinação das bielas 45o senθ 212 2 cotgθ 1 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 106 Quando Vd Vdmax temos RScw 555 212 21 1 0 O cálculo da força solicitante de compressão atuante nas bielas da viga também visa estabelecer comparação a fim de verificar a validade da modelagem Os valores das forças nos elementos podem ser conferidos adiante na Figura 66 e na Tabela 68 A Figura 77 apresenta os fatores de utilização dos elementos da treliça RScw 785 kN RScwCAST 784 kN Figura 66 Tabela 68 A diferença entre as forças solicitantes de compressão nas bielas tomandose o valor obtido segundo verificação do MC CEBFIP 1990 e o valor da biela mais solicitada da treliça segundo modelagem no CAST 2000 é praticamente nula 01 RRcw fcd2bzcosθ fcd2 0601 fck 250fcd 0601 25 25025 14 0964 kNcm2 kc bd2 Md 519 βx 017 βx x d x βxd 017 36 61 cm z d 04x 36 04 61 3356 cm obs zd 093 RRcw 0964 20 3356 212 2 RScw 785 RRcw 4575 kN condição ok A condição anterior indica que a capacidade resistente das bielas de concreto da viga é maior do que a solicitação a que elas estão submetidas Conhecendose o braço do momento z de acordo com o próprio momento máximo atuante podese determinar a força solicitante de tração no banzo inferior da viga Rst relativa ao valor do momento aplicado a fim de estabelecer comparação com o valor da força de tração determinada pela Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 107 modelagem RstCAST É considerada a força de tração atuante nas barras mais solicitadas do banzo inferior da viga que são as duas barras centrais Rst Md z Nd Nd 0 Rst 4990 3356 Rst 1487 kN RstCAST 1814 kN Figura 66 Tabela 68 Portanto o CAST 2000 está 18 a favor da segurança 6215 Verificação das bielas segundo a NBR 61182003 VRd2 054αvfcdbwdsen2θcotgα cotgθ sendo α inclinação dos estribos 90o cotgα 0 θ inclinação das bielas 45o sen2θ 05 cotgθ 1 αv 1 fck 250 VRd2 0541 25 25025 1420 36 050 1 VSd 555 kN VRd2 3124 kN condição ok 6216 Resultados da modelagem Neste primeiro modelo serão apresentadas inúmeras figuras e tabelas a fim de representar de maneira completa todas as características da modelagem no CAST 2000 e de mostrar a grande variedade de respostas gráficas ou numéricas que o programa é capaz de fornecer Ressaltase que para os modelos seguintes serão apresentadas apenas as figuras e tabelas de maior relevância para análise A Figura 62 apresenta as propriedades da treliça onde as bielas estão representadas por linhas azuis descontínuas e os Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 108 tirantes por linhas alaranjadas contínuas Os pontos vermelhos são os nós internos da viga pertencentes à treliça e os pontos cinzas são os nós situados nas faces a viga nos quais são aplicados os carregamentos e definidos os apoios As barras vermelhas descontínuas são os estabilisadores elementos pertencentes à treliça definida pelo usuário que para as determinadas condições de apoio e ações atuantes não estão solicitados Como para as três primeiras modelagens há simetria na viga na treliça e no carregamento será exibida apenas meia viga quando se considerar conveniente Figura 62 VB1 A treliça e seus elementos A Tabela 62 mostra as propriedades geométricas de cada um dos elementos da treliça e a Tabela 63 apresenta as propriedades geométricas de cada um dos nós da treliça Tabela 62 VB1 Propriedades geométricas dos elementos Row Element ID Function End I ID End J ID Length mm Direction deg 1 E1 Stabilizer N1 N2 3000 9000 2 E2 StrutandTie N3 N4 3000 9000 3 E3 StrutandTie N5 N6 3000 9000 4 E4 StrutandTie N7 N8 3000 9000 5 E5 StrutandTie N9 N10 3000 9000 6 E6 StrutandTie N11 N12 3000 9000 7 E7 Stabilizer N13 N14 3000 9000 8 E8 StrutandTie N15 N16 3000 9000 9 E9 StrutandTie N17 N18 3000 9000 10 E10 StrutandTie N19 N20 3000 9000 11 E11 StrutandTie N21 N22 3000 9000 12 E12 StrutandTie N23 N24 3000 9000 13 E13 Stabilizer N25 N26 3000 9000 14 E14 Stabilizer N2 N4 3000 000 15 E15 StrutandTie N4 N6 3000 000 16 E16 StrutandTie N6 N8 3000 000 17 E17 StrutandTie N8 N10 3000 000 18 E18 StrutandTie N10 N12 3000 000 19 E19 StrutandTie N12 N14 3000 000 20 E20 StrutandTie N14 N16 3000 000 21 E21 StrutandTie N16 N18 3000 000 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 109 22 E22 StrutandTie N18 N20 3000 000 23 E23 StrutandTie N20 N22 3000 000 24 E24 StrutandTie N22 N24 3000 000 25 E25 Stabilizer N24 N26 3000 000 26 E26 StrutandTie N1 N3 3000 000 27 E27 StrutandTie N3 N5 3000 000 28 E28 StrutandTie N5 N7 3000 000 29 E29 StrutandTie N7 N9 3000 000 30 E30 StrutandTie N9 N11 3000 000 31 E31 StrutandTie N11 N13 3000 000 32 E32 StrutandTie N13 N15 3000 000 33 E33 StrutandTie N15 N17 3000 000 34 E34 StrutandTie N17 N19 3000 000 35 E35 StrutandTie N19 N21 3000 000 36 E36 StrutandTie N21 N23 3000 000 37 E37 StrutandTie N23 N25 3000 000 38 E38 StrutandTie N27 N1 500 9000 39 E39 Stabilizer N2 N28 500 9000 40 E40 StrutandTie N4 N29 500 9000 41 E41 StrutandTie N6 N30 500 9000 42 E42 StrutandTie N8 N31 500 9000 43 E43 StrutandTie N10 N32 500 9000 44 E44 StrutandTie N12 N33 500 9000 45 E45 StrutandTie N14 N34 500 9000 46 E46 StrutandTie N16 N35 500 9000 47 E47 StrutandTie N18 N36 500 9000 48 E48 StrutandTie N20 N37 500 9000 49 E49 StrutandTie N22 N38 500 9000 50 E50 StrutandTie N24 N39 500 9000 51 E51 Stabilizer N26 N40 500 9000 52 E52 StrutandTie N41 N25 500 9000 53 E53 StrutandTie N1 N4 4243 4500 54 E54 StrutandTie N3 N6 4243 4500 55 E55 StrutandTie N5 N8 4243 4500 56 E56 StrutandTie N7 N10 4243 4500 57 E57 StrutandTie N9 N12 4243 4500 58 E58 StrutandTie N11 N14 4243 4500 59 E59 StrutandTie N14 N15 4243 31500 60 E60 StrutandTie N16 N17 4243 31500 61 E61 StrutandTie N18 N19 4243 31500 62 E62 StrutandTie N20 N21 4243 31500 63 E63 StrutandTie N22 N23 4243 31500 64 E64 StrutandTie N24 N25 4243 31500 Tabela 63 VB1 Propriedades geométricas dos nós Row Node ID Function X mm Y mm Direction deg 1 N1 StrutandTie 00 500 000 2 N2 StrutandTie 00 3500 000 3 N3 StrutandTie 3000 500 000 4 N4 StrutandTie 3000 3500 000 5 N5 StrutandTie 6000 500 000 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 110 6 N6 StrutandTie 6000 3500 000 7 N7 StrutandTie 9000 500 000 8 N8 StrutandTie 9000 3500 000 9 N9 StrutandTie 12000 500 000 10 N10 StrutandTie 12000 3500 000 11 N11 StrutandTie 15000 500 000 12 N12 StrutandTie 15000 3500 000 13 N13 StrutandTie 18000 500 000 14 N14 StrutandTie 18000 3500 000 15 N15 StrutandTie 21000 500 000 16 N16 StrutandTie 21000 3500 000 17 N17 StrutandTie 24000 500 000 18 N18 StrutandTie 24000 3500 000 19 N19 StrutandTie 27000 500 000 20 N20 StrutandTie 27000 3500 000 21 N21 StrutandTie 30000 500 000 22 N22 StrutandTie 30000 3500 000 23 N23 StrutandTie 33000 500 000 24 N24 StrutandTie 33000 3500 000 25 N25 StrutandTie 36000 500 000 26 N26 StrutandTie 36000 3500 000 27 N27 LoadSupport 00 00 18000 28 N28 LoadSupport 00 4000 000 29 N29 LoadSupport 3000 4000 000 30 N30 LoadSupport 6000 4000 000 31 N31 LoadSupport 9000 4000 000 32 N32 LoadSupport 12000 4000 000 33 N33 LoadSupport 15000 4000 000 34 N34 LoadSupport 18000 4000 000 35 N35 LoadSupport 21000 4000 000 36 N36 LoadSupport 24000 4000 000 37 N37 LoadSupport 27000 4000 000 38 N38 LoadSupport 30000 4000 000 39 N39 LoadSupport 33000 4000 000 40 N40 LoadSupport 36000 4000 000 41 N41 LoadSupport 36000 00 18000 A Figura 63 exibe os carregamentos nos nós da viga de acordo com as áreas de influência e os critérios anteriormente discutidos Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 111 Figura 63 VB1 Aplicação das forças aos nós A Figura 64 exibe as propriedades atribuídas aos elementos e a Figura 65 aos nós ambas as tarefas de responsabilidade do projetista Figura 64 Propriedades dos elementos Figura 65 Propriedades dos nós A Tabela 64 exibe relatório das propriedades atribuídas aos elementos e a Tabela 65 por sua vez das propriedades atribuídas aos nós Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 112 Tabela 64 VB1 Propriedades dos elementos Row Element ID Rel Stiffness Width mm Property Type Property Type Name 1 E1 1000 1000 Undefined Undefined 2 E2 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Pendurais 3 E3 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Pendurais 4 E4 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Pendurais 5 E5 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Pendurais 6 E6 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Pendurais 7 E7 1000 1000 Undefined Undefined 8 E8 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Pendurais 9 E9 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Pendurais 10 E10 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Pendurais 11 E11 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Pendurais 12 E12 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Pendurais 13 E13 1000 1000 Undefined Undefined 14 E14 1000 1000 Undefined Undefined 15 E15 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 16 E16 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 17 E17 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 18 E18 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 19 E19 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 20 E20 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 21 E21 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 22 E22 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 23 E23 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 24 E24 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 25 E25 1000 1000 Undefined Undefined 26 E26 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Arm longit 2 27 E27 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Arm longit 2 28 E28 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Arm longit 1 29 E29 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Arm longit 1 30 E30 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Arm longit 1 31 E31 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Arm longit 1 32 E32 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Arm longit 1 33 E33 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Arm longit 1 34 E34 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Arm longit 1 35 E35 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Arm longit 1 36 E36 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Arm longit 2 37 E37 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Val inic Arm longit 2 38 E38 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 39 E39 1000 1000 Undefined Undefined 40 E40 1000 200 Concrete Strut ACI Prismatic 41 E41 1000 200 Concrete Strut ACI Prismatic 42 E42 1000 200 Concrete Strut ACI Prismatic 43 E43 1000 200 Concrete Strut ACI Prismatic 44 E44 1000 200 Concrete Strut ACI Prismatic 45 E45 1000 200 Concrete Strut ACI Prismatic 46 E46 1000 200 Concrete Strut ACI Prismatic 47 E47 1000 200 Concrete Strut ACI Prismatic 48 E48 1000 200 Concrete Strut ACI Prismatic Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 113 49 E49 1000 200 Concrete Strut ACI Prismatic 50 E50 1000 200 Concrete Strut ACI Prismatic 51 E51 1000 1000 Undefined Undefined 52 E52 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 53 E53 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 54 E54 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 55 E55 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 56 E56 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 57 E57 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 58 E58 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 59 E59 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 60 E60 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 61 E61 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 62 E62 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 63 E63 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 64 E64 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic Tabela 65 VB1 Propriedades dos nós Row Node ID Property Type 1 N1 ACI CCT 2 N2 NA 3 N3 ACI CTT 4 N4 ACI CCT 5 N5 ACI CTT 6 N6 ACI CCT 7 N7 ACI CTT 8 N8 ACI CCT 9 N9 ACI CTT 10 N10 ACI CCT 11 N11 ACI CTT 12 N12 ACI CCT 13 N13 NA 14 N14 ACI CCC 15 N15 ACI CTT 16 N16 ACI CCT 17 N17 ACI CTT 18 N18 ACI CCT 19 N19 ACI CTT 20 N20 ACI CCT 21 N21 ACI CTT 22 N22 ACI CCT 23 N23 ACI CTT 24 N24 ACI CCT 25 N25 ACI CCT 26 N26 NA 27 N27 NA 28 N28 NA 29 N29 NA 30 N30 NA 31 N31 NA 32 N32 NA Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 114 33 N33 NA 34 N34 NA 35 N35 NA 36 N36 NA 37 N37 NA 38 N38 NA 39 N39 NA 40 N40 NA 41 N41 NA Definidas todas as características necessárias para se realizar as verificações convenientes o próximo passo é analisar as solicitações que estão submetidos os elementos do modelos de bielas e tirantes Apesar de o programa ser capaz de fornecer uma grande variedade de dados para análise os principais são constituídos pelas porcentagens das capacidades resistentes de cada elemento e de cada nó o que já é suficiente para se verificar a validade do modelo Caso as verificações de todos os elementos e nós apontem que em nenhum elemento a solicitação é maior que a capacidade resistente podese garantir que ao menos em relação ao modelo de bielas e tirantes adotado está garantida a segurança estrutural da viga Ressaltase que para que o modelo seja válido o projetista deve se assegurar de que todas as condições por ele determinadas sejam válidas Há inúmeros fatores que podem gerar incompatibilidades entre o modelo e a viga real Os principais são 1 Concepção incorreta do tipo de biela definida ou do tipo de nó definido pelo projetista Vale lembrar que bielas e nós assumem coeficientes de segurança dependentes de suas configurações na treliça Portanto determinções equivocadas ou duvidosas podem estar contra a segurança estrutural 2 Inadequada ancoragem das armaduras que atravessam os nós Há configurações de nós que consideram tirantes os atravessando Porém para se garantir o esperado funcionamento e consequentemente a validade das capacidades resistentes devese garantir que os tirantes estejam corretamente ancorados a essas regiões nodais Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 115 3 Insuficientes comprimentos de ancoragem necessários para armaduras O comprimento de ancoragem é um fator muito importante que também deve ser considerado no modelo de bielas e tirantes Portanto devem ser consideradas todas as prescrições pertinentes a cada caso No caso das barras da armadura longitudinal das vigas devese considerar o comprimento de ancoragem básico além dos pontos de interrupção de cada barra determinado pelas forças nas barras das treliças 4 Determinação de dimensões largura e espessura incorretas para bielas e tirantes As barras da treliça têm as áreas de suas seções transversais definidas pelos comprimentos de suas larguras e pela espessura da estrutura Considerando que a espessura é um fator que dificilmente gera dúvidas pois podese considerar como espessura efetiva dos elementos a espessura total da estrutura as dúvidas recaem nas determinações das larguras efetivas de bielas e tirantes Devese verificar se as larguras adotadas não ultrapassam os limites da estrutura Em seguida é interessante dispor corretamente as barras das armaduras dos tirantes em camadas quando necessário a fim de garantir que os tirantes da treliça tenham espessuras suficientes para que não ocorra ruptura localizada na face de encontro entre o tirante e o nó ao qual ele está conectado 5 Definição de nós como contínuos ou singulares Até hoje não existem critérios bem definidos para distinguir nós contínuos e nós concentrados Tendo em vista que nós contínuos que são aqueles em que há espaço suficiente para que os desvios das forças neles atuantes sejam suaves não são críticos e portanto não precisam ser verificados é necessário muita cautela para se definir um nó como contínuo Além desses aspectos principais todas as demais verificações necessárias às vigas devem ser realizadas como as verificações para Estados Limites de Serviço Citase que caso a treliça adotada não seja estaticamente determinada ou caso não haja correta disposição de suas barras o CAST 2000 indicará que há algum problema e não fornecerá ao projetista nenhuma resposta Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 116 A seguir apresentamse as respostas obtidas na modelagem da viga VB1 Essas respostas são apresentadas em porcentagens de solicitação dos elementos ou seja em foma da relação solicitação dividida pela resistência Valores iguais ou superiores à unidade indicam que o elemento está fora de serviço ou seja sua capacidade última foi atingida A Figura 66 apresenta as forças solicitantes aplicadas em cada membro da treliça Valores positivos indicam tração e negativos indicam compressão Figura 66 VB1 Forças nos membros da treliça A Figura 67 apresenta a envoltória resistência a que está submetida a viga Os valores entre parênteses representam a razão entre a solicitação no elemento e a resistência do mesmo também chamada de fator de utilização Valores baixos tendem às cores frias azul e valores altos tendem às quentes vermelho Figura 67 VB1 Fatores de utilização dos elementos A Tabela 66 apresenta os fatores de utilização de todos os elementos da treliça e a Tabela 67 de todos os nós Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 117 Tabela 66 VB1 Fatores de utilização dos elementos da treliça Row Element ID Force kN Stress MPa Stress Ratio fc Ratio 1 E1 00 NA NA NA 2 E2 454 31944 075 NA 3 E3 353 24845 059 NA 4 E4 252 17746 042 NA 5 E5 151 10648 025 NA 6 E6 50 3549 008 NA 7 E7 00 NA NA NA 8 E8 50 3549 008 NA 9 E9 151 10648 025 NA 10 E10 252 17746 042 NA 11 E11 353 24845 059 NA 12 E12 454 31944 075 NA 13 E13 00 NA NA NA 14 E14 00 NA NA NA 15 E15 554 277 017 011 16 E16 1008 504 032 020 17 E17 1361 680 043 027 18 E18 1613 806 051 032 19 E19 1764 882 055 035 20 E20 1764 882 055 035 21 E21 1613 806 051 032 22 E22 1361 680 043 027 23 E23 1008 504 032 020 24 E24 554 277 017 011 25 E25 00 NA NA NA 26 E26 554 21488 051 NA 27 E27 1008 39070 092 NA 28 E28 1361 26372 062 NA 29 E29 1613 31256 074 NA 30 E30 1764 34186 080 NA 31 E31 1814 35163 083 NA 32 E32 1814 35163 083 NA 33 E33 1764 34186 080 NA 34 E34 1613 31256 074 NA 35 E35 1361 26372 062 NA 36 E36 1008 39070 092 NA 37 E37 554 21488 051 NA 38 E38 554 277 017 011 39 E39 00 NA NA NA 40 E40 101 252 016 010 41 E41 101 252 016 010 42 E42 101 252 016 010 43 E43 101 252 016 010 44 E44 101 252 016 010 45 E45 101 252 016 010 46 E46 101 252 016 010 47 E47 101 252 016 010 48 E48 101 252 016 010 49 E49 101 252 016 010 50 E50 101 252 016 010 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 118 51 E51 00 NA NA NA 52 E52 554 277 017 011 53 E53 784 392 025 016 54 E54 641 321 020 013 55 E55 499 249 016 010 56 E56 356 178 011 007 57 E57 214 107 007 004 58 E58 71 036 002 001 59 E59 71 036 002 001 60 E60 214 107 007 004 61 E61 356 178 011 007 62 E62 499 249 016 010 63 E63 641 321 020 013 64 E64 784 392 025 016 Tabela 67 VB1 Fatores de utilização dos nós da treliça Row Node ID Node Side Force kN Stress MPa Stress Ratio fc Ratio 1 N1 E1 00 000 000 000 2 E26 554 277 022 011 3 E38 554 277 022 011 4 E53 784 392 031 016 5 N2 E1 00 NA NA NA 6 E14 00 NA NA NA 7 E39 00 NA NA NA 8 N3 E2 454 227 024 009 9 E26 554 277 029 011 10 E27 1008 504 053 020 11 E54 641 321 034 013 12 N4 E2 454 227 018 009 13 E14 00 000 000 000 14 E15 554 277 022 011 15 E40 101 252 020 010 16 E53 784 392 031 016 17 N5 E3 353 176 018 007 18 E27 1008 504 053 020 19 E28 1361 680 071 027 20 E55 499 249 026 010 21 N6 E3 353 176 014 007 22 E15 554 277 022 011 23 E16 1008 504 040 020 24 E41 101 252 020 010 25 E54 641 321 025 013 26 N7 E4 252 126 013 005 27 E28 1361 680 071 027 28 E29 1613 806 084 032 29 E56 356 178 019 007 30 N8 E4 252 126 010 005 31 E16 1008 504 040 020 32 E17 1361 680 053 027 33 E42 10 1 2 52 0 20 0 10 34 E55 49 9 2 49 0 20 0 10 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 119 35 N9 E5 151 076 008 003 36 E29 1613 806 084 032 37 E30 1764 882 092 035 38 E57 214 107 011 004 39 N10 E5 151 076 006 003 40 E17 1361 680 053 027 41 E18 1613 806 063 032 42 E43 101 252 020 010 43 E56 356 178 014 007 44 N11 E6 50 025 003 001 45 E30 1764 882 092 035 46 E31 1814 907 095 036 47 E58 71 036 004 001 48 N12 E6 50 025 002 001 49 E18 1613 806 063 032 50 E19 1764 882 069 035 51 E44 101 252 020 010 52 E57 214 107 008 004 53 N13 E7 00 NA NA NA 54 E31 1814 NA NA NA 55 E32 1814 NA NA NA 56 N14 E7 00 000 000 000 57 E19 1764 882 055 035 58 E20 1764 882 055 035 59 E45 101 252 016 010 60 E58 71 036 002 001 61 E59 71 036 002 001 62 N15 E8 50 025 003 001 63 E32 1814 907 095 036 64 E33 1764 882 092 035 65 E59 71 036 004 001 66 N16 E8 50 025 002 001 67 E20 1764 882 069 035 68 E21 1613 806 063 032 69 E46 101 252 020 010 70 E60 214 107 008 004 71 N17 E9 151 076 008 003 72 E33 1764 882 092 035 73 E34 1613 806 084 032 74 E60 214 107 011 004 75 N18 E9 151 076 006 003 76 E21 1613 806 063 032 77 E22 1361 680 053 027 78 E47 101 252 020 010 79 E61 356 178 014 007 80 N19 E10 252 126 013 005 81 E34 1613 806 084 032 82 E35 1361 680 071 027 83 E61 356 178 019 007 84 N20 E10 252 126 010 005 85 E22 1361 680 053 027 86 E23 1008 504 040 020 87 E48 10 1 2 52 0 20 0 10 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 120 88 E62 499 249 020 010 89 N21 E11 353 176 018 007 90 E35 1361 680 071 027 91 E36 1008 504 053 020 92 E62 499 249 026 010 93 N22 E11 353 176 014 007 94 E23 1008 504 040 020 95 E24 554 277 022 011 96 E49 101 252 020 010 97 E63 641 321 025 013 98 N23 E12 454 227 024 009 99 E36 1008 504 053 020 100 E37 554 277 029 011 101 E63 641 321 034 013 102 N24 E12 454 227 018 009 103 E24 554 277 022 011 104 E25 00 000 000 000 105 E50 101 252 020 010 106 E64 784 392 031 016 107 N25 E13 00 000 000 000 108 E37 554 277 022 011 109 E52 554 277 022 011 110 E64 784 392 031 016 111 N26 E13 00 NA NA NA 112 E25 00 NA NA NA 113 E51 00 NA NA NA 114 N27 E38 554 NA NA NA 115 N28 E39 00 NA NA NA 116 N29 E40 101 NA NA NA 117 N30 E41 101 NA NA NA 118 N31 E42 101 NA NA NA 119 N32 E43 101 NA NA NA 120 N33 E44 101 NA NA NA 121 N34 E45 101 NA NA NA 122 N35 E46 101 NA NA NA 123 N36 E47 101 NA NA NA 124 N37 E48 101 NA NA NA 125 N8 E49 101 NA NA NA 126 N39 E50 101 NA NA NA 127 N40 E51 00 NA NA NA 128 N41 E52 554 NA NA NA A Tabela 68 apresenta as armaduras necessárias para a viga calculadas segundo as forças atuantes em cada tirante determindas pelo CAST 2000 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 121 Tabela 68 VB1 Armaduras necessárias para a viga determinadas pelo CAST 2000 Arm longitudinal Fst kN fyd kNcm2 Asnec cm2 11 Asnec cm2 Asef Asef cm2 Stress ratio 18140 435 417 459 4 φ 13 1 516 081 17640 435 406 446 4 φ 13 1 516 079 16130 435 371 408 4 φ 13 1 516 072 13610 435 313 344 4 φ 13 1 516 061 10080 435 232 255 2 φ 13 2 258 090 5540 435 127 140 2 φ 13 2 258 049 Arm transversal Fsw kN fyd kNcm2 Aswnec cm2 11 Asnec cm2 Asef Asef cm2 Stress ratio 4540 435 104 115 2 φ 10 1 142 073 3530 435 081 089 2 φ 10 1 142 057 2520 435 058 064 2 φ 10 1 142 041 1510 435 035 038 2 φ 10 1 142 024 500 435 011 013 2 φ 10 1 142 008 A Figura 68 mostra a disposição das armaduras dos tirantes da treliça calculadas pelo CAST 2000 Vale lembrar que o programa não considera os comprimentos de ancoragem e pricipalmente que apesar de a armadura transversal dada pelo programa referirse à armadura necessária para suportar as tensões de tração daquelas regiões essa não é a maneira mais conveniente e usual de se detalhar a armadura transversal os estribos Portanto devese distribuir convenientemente a armadura dos pendurais na forma de estribos como se faz usualmente no detalhamento de vigas de concreto armado Figura 68 VB1 Disposição das armaduras dos tirantes da treliça Por fim apresentase o resumo da viga conforme a Figura 69 onde constam os dados de geometria carregamento e reações com valores característicos diagramas de força cortante e momento fletor ambos de Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 122 cálculo cobrimento do diagrama pelas barras da armadura longitudinal já acrescidas dos comprimentos de ancoragem necessários treliça do modelo de bielas e tirantes e disposição das barras da armadura longitudinal também já acrescidas dos respectivos comprimentos de ancoragem Lembrase que não foram feitas as verificações das ancoragens nos apoios A representação das barras da armadura longitudinal determinadas segundo o modelo de bielas e tirantes aparece como boa alternativa em relação ao método tradicional pois não há a necessidade do cobrimento do diagrama de momentos fletores Citase que também nas determinações das armaduras pelo método tradicional foram utilizadas as bitolas e as respectivas áreas das seções transversais das barras relativas ao ACI 318 1995 pois como para as armaduras do modelo no CAST 2000 foram utilizadas tais características visouse padronizar e facilitar as comparações Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 123 Figura 69 VB1 Resumo CORTE AA A 2 Ø 13 286 15 2 Ø 13 400 2 Ø 13 352 360 15 A 360 m 220 kNm 554 kN 554 Md kNm Vd kN Rk kN 554 kN 554 499 5 5 2 Ø 13 400 15 5 15 360 5 lb lb Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 124 622 MODELO VB2 VB1 COM ACRÉSCIMO DE CARREGAMENTO Este item apresenta uma tentativa de se alcançar a capacidade limite da viga a fim de averiguar a possibilidade de falhas na modelagem Portanto optouse por aumentar o carregamento de forma que Md Mdlim Esta modelagem compreendeu todas as etapas da modelagem anterior porém serão exibidos somente os resultados de maior interesse As etapas das verificações também são as mesmas 6221 Geometria e ações As características geométricas deste modelo são idênticas ao do modelo anterior VB1 Mdlim Md 14400 4990 289 Dessa forma optouse por multiplicar g q por 29 g q 22 29 638 kNm Rk 1148 kN Md 1447 kNm Vd 1608 kN 6222 Determinação de kc ks e As kc bd2Md 20 362 14470 179 C25 ks 0031 ks Asd Md As ksMd d 0031 14470 36 As 1246 cm2 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 125 6223 Cálculo de Mdlim Vdu e Vdmin Mdlim 14400 kNm Vdu 01τwubd 01 4500 20 36 3240 kN Vdmin 01τwminbd 01 1182 20 36 851 kN Vdmax 1608 kN Vdu 3240 condição ok 6224 Verificação das bielas segundo o MC CEBFIP 1990 RScw Vd senθcotgθ cotgθ cotgα sendo α inclinação dos estribos 90o cotgα 0 θ inclinação das bielas 45o senθ 212 2 cotgθ 1 Quando Vd Vdmax temos RScw 1608 212 21 1 0 RScw 2274 kN RScwCAST 2274 kN A diferença entre os valores é nula RRcw fcd2bzcosθ fcd2 0601 fck 250fcd 0601 25 25025 14 0964 kNcm2 kc bd2 Md 179 βx 0628 βx x d x βxd 0628 36 2261 cm z d 04x 36 04 2261 2696 cm obs zd 075 RRcw 0964 20 2696 212 2 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 126 RScw 2274 RRcw 3675 kN condição ok Conhecendose z podese determinar a resultante Rst no banzo tracionado de acordo com o valor do momento fletor da seção Rst Md z Nd Nd 0 Rst 14470 2996 Rst 5367 kN RstCAST 5261 kN Portanto o CAST 2000 está 2 contra a segurança 6225 Verificação das bielas segundo a NBR 61182003 VRd2 054αvfcdbwdsen2θcotgα cotgθ sendo α inclinação dos estribos 90o cotgα 0 θ inclinação das bielas 45o sen2θ 05 cotgθ 1 αv 1 fck 250 VRd2 0541 25 25025 1420 36 050 1 VSd 1608 kN VRd2 3124 kN condição ok 6226 Resultados da modelagem A seguir apresentamse as figuras e as tabelas relativas aos principais resultados gerados pelo modelo VB2 Tabela 69 VB2 Propriedades dos elementos Row Element ID Rel Stiffness Width mm Property Type Property Type Name 1 E1 1000 1000 Undefined Undefined 2 E2 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Pendurais 1 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 127 3 E3 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Pendurais 2 4 E4 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Pendurais 2 5 E5 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Pendurais 3 6 E6 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Pendurais 3 7 E7 1000 1000 Undefined Undefined 8 E8 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Pendurais 3 9 E9 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Pendurais 3 10 E10 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Pendurais 2 11 E11 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Pendurais 2 12 E12 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Pendurais 1 13 E13 1000 1000 Undefined Undefined 14 E14 1000 1000 Undefined Undefined 15 E15 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 16 E16 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 17 E17 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 18 E18 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 19 E19 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 20 E20 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 21 E21 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 22 E22 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 23 E23 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 24 E24 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 25 E25 1000 1000 Undefined Undefined 26 E26 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Arm longit 2 27 E27 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Arm longit 2 28 E28 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Arm longit 2 29 E29 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Arm longit 1 30 E30 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Arm longit 1 31 E31 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Arm longit 1 32 E32 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Arm longit 1 33 E33 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Arm longit 1 34 E34 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Arm longit 1 35 E35 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Arm longit 2 36 E36 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Arm longit 2 37 E37 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Md Arm longit 2 38 E38 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 39 E39 1000 1000 Undefined Undefined 40 E40 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 41 E41 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 42 E42 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 43 E43 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 44 E44 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 45 E45 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 46 E46 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 47 E47 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 48 E48 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 49 E49 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 50 E50 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 51 E51 1000 1000 Undefined Undefined 52 E52 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 53 E53 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 54 E54 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 55 E55 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 56 E56 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 128 57 E57 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 58 E58 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 59 E59 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 60 E60 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 61 E61 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 62 E62 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 63 E63 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 64 E64 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic Tabela 610 VB2 Propriedades dos nós Row Node ID Property Type 1 N1 ACI CCT 2 N2 NA 3 N3 ACI CTT 4 N4 ACI CCT 5 N5 ACI CTT 6 N6 ACI CCT 7 N7 ACI CTT 8 N8 ACI CCT 9 N9 ACI CTT 10 N10 ACI CCT 11 N11 ACI CTT 12 N12 ACI CCT 13 N13 NA 14 N14 ACI CCC 15 N15 ACI CTT 16 N16 ACI CCT 17 N17 ACI CTT 18 N18 ACI CCT 19 N19 ACI CTT 20 N20 ACI CCT 21 N21 ACI CTT 22 N22 ACI CCT 23 N23 ACI CTT 24 N24 ACI CCT 25 N25 ACI CCT 26 N26 NA 27 N27 NA 28 N28 NA 29 N29 NA 30 N30 NA 31 N31 NA 32 N32 NA 33 N33 NA 34 N34 NA 35 N35 NA 36 N36 NA 37 N37 NA 38 N38 NA 39 N39 NA 40 N40 NA Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 129 41 N41 NA Figura 610 VB2 Forças nos membros da treliça Figura 611 VB2 Fatores de utilização dos elementos Tabela 611 VB2 Fatores de utilização dos elementos da treliça Row Element ID Force kN Stress MPa Stress Ratio fc Ratio 1 E1 00 NA NA NA 2 E2 1315 33049 078 NA 3 E3 1023 39653 093 NA 4 E4 731 28324 067 NA 5 E5 438 30877 073 NA 6 E6 146 10292 024 NA 7 E7 00 NA NA NA 8 E8 146 10292 024 NA 9 E9 438 30877 073 NA 10 E10 731 28324 067 NA 11 E11 1023 39653 093 NA 12 E12 1315 33049 078 NA 13 E13 00 NA NA NA 14 E14 00 NA NA NA 15 E15 1608 804 050 032 16 E16 2923 1462 092 059 17 E17 3946 1973 1238 OS 079 18 E18 4677 2338 1467 OS 094 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 130 19 E19 5115 2558 1605 OS 1023 OS 20 E20 5115 2558 1605 OS 1023 OS 21 E21 4677 2338 1467 OS 094 22 E22 3946 1973 1238 OS 079 23 E23 2923 1462 092 059 24 E24 1608 804 050 032 25 E25 00 NA NA NA 26 E26 1608 15761 037 NA 27 E27 2923 28657 067 NA 28 E28 3946 38687 091 NA 29 E29 4677 32982 078 NA 30 E30 5115 36074 085 NA 31 E31 5261 37104 087 NA 32 E32 5261 37104 087 NA 33 E33 5115 36074 085 NA 34 E34 4677 32982 078 NA 35 E35 3946 38687 091 NA 36 E36 2923 28657 067 NA 37 E37 1608 15761 037 NA 38 E38 1608 804 050 032 39 E39 00 NA NA NA 40 E40 292 146 009 006 41 E41 292 146 009 006 42 E42 292 146 009 006 43 E43 292 146 009 006 44 E44 292 146 009 006 45 E45 292 146 009 006 46 E46 292 146 009 006 47 E47 292 146 009 006 48 E48 292 146 009 006 49 E49 292 146 009 006 50 E50 292 146 009 006 51 E51 00 NA NA NA 52 E52 1608 804 050 032 53 E53 2274 1137 071 046 54 E54 1860 930 058 037 55 E55 1447 723 045 029 56 E56 1033 517 032 021 57 E57 620 310 020 012 58 E58 207 103 007 004 59 E59 207 103 007 004 60 E60 620 310 020 012 61 E61 1033 517 032 021 62 E62 1447 723 045 029 63 E63 1860 930 058 037 64 E64 2274 1137 071 046 Tabela 612 VB2 Fatores de utilização dos nós da treliça Row Node ID Node Side Force kN Stress MPa Stress Ratio fc Ratio 1 N1 E1 00 000 000 000 2 E26 1608 804 063 032 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 131 3 E38 1608 804 063 032 4 E53 2274 1137 089 046 5 N2 E1 00 NA NA NA 6 E14 00 NA NA NA 7 E39 00 NA NA NA 8 N3 E2 1315 658 069 026 9 E26 1608 804 084 032 10 E27 2923 1462 153 OS 059 11 E54 1860 930 097 037 12 N4 E2 1315 658 052 026 13 E14 00 000 000 000 14 E15 1608 804 063 032 15 E40 292 146 012 006 16 E53 2274 1137 089 046 17 N5 E3 1023 512 054 021 18 E27 2923 1462 153 OS 059 19 E28 3946 1973 206 OS 079 20 E55 1447 723 076 029 21 N6 E3 1023 512 040 021 22 E15 1608 804 063 032 23 E16 2923 1462 115 OS 059 24 E41 292 146 012 006 25 E54 1860 930 073 037 26 N7 E4 731 365 038 015 27 E28 3946 1973 206 OS 079 28 E29 4677 2338 245 OS 094 29 E56 1033 517 054 021 30 N8 E4 731 365 029 015 31 E16 2923 1462 115 OS 059 32 E17 3946 1973 155 OS 079 33 E42 292 146 012 006 34 E55 1447 723 057 029 35 N9 E5 438 219 023 009 36 E29 4677 2338 245 OS 094 37 E30 5115 2558 268 OS 102 OS 38 E57 620 310 032 012 39 N10 E5 438 219 017 009 40 E17 3946 1973 155 OS 079 41 E18 4677 2338 183 OS 094 42 E43 292 146 012 006 43 E56 1033 517 041 021 44 N11 E6 146 073 008 003 45 E30 5115 2558 268 OS 102 OS 46 E31 5261 2631 275 OS 105 OS 47 E58 207 103 011 004 48 N12 E6 146 073 006 003 49 E18 4677 2338 183 OS 094 50 E19 5115 2558 201 OS 102 OS 51 E44 292 146 012 006 52 E57 620 310 024 012 53 N13 E7 00 NA NA NA 54 E31 5261 NA NA NA 55 E32 5261 NA NA NA 56 N14 E7 00 000 000 000 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 132 57 E19 5115 2558 161 OS 102 OS 58 E20 5115 2558 161 OS 102 OS 59 E45 292 146 009 006 60 E58 207 103 007 004 61 E59 207 103 007 004 62 N15 E8 146 073 008 003 63 E32 5261 2631 275 OS 105 OS 64 E33 5115 2558 268 OS 102 OS 65 E59 207 103 011 004 66 N16 E8 146 073 006 003 67 E20 5115 2558 201 OS 102 OS 68 E21 4677 2338 183 OS 094 69 E46 292 146 012 006 70 E60 620 310 024 012 71 N17 E9 438 219 023 009 72 E33 5115 2558 268 OS 102 OS 73 E34 4677 2338 245 OS 094 74 E60 620 310 032 012 75 N18 E9 438 219 017 009 76 E21 4677 2338 183 OS 094 77 E22 3946 1973 155 OS 079 78 E47 292 146 012 006 79 E61 1033 517 041 021 80 N19 E10 731 365 038 015 81 E34 4677 2338 245 OS 094 82 E35 3946 1973 201 OS 079 83 E61 1033 517 054 021 84 N20 E10 731 365 029 015 85 E22 3946 1973 155 OS 079 86 E23 2923 1462 115 OS 059 87 E48 292 146 012 006 88 E62 1447 723 057 029 89 N21 E11 1023 512 054 021 90 E35 3946 1973 201 OS 079 91 E36 2923 1462 153 OS 059 92 E62 1447 723 076 029 93 N22 E11 1023 512 040 021 94 E23 2923 1462 115 OS 059 95 E24 1608 804 063 032 96 E49 292 146 012 006 97 E63 1860 930 073 037 98 N23 E12 1315 658 069 026 99 E36 2923 1462 153 OS 059 100 E37 1608 804 084 032 101 E63 1860 930 097 037 102 N24 E12 1315 658 052 026 103 E24 1608 804 063 032 104 E25 00 000 000 000 105 E50 292 146 012 006 106 E64 2274 1137 089 046 107 N25 E13 00 000 000 000 108 E37 1608 804 063 032 109 E52 1608 804 063 032 110 E64 2274 1137 089 046 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 133 111 N26 E13 00 NA NA NA 112 E25 00 NA NA NA 113 E51 00 NA NA NA 114 N27 E38 1608 NA NA NA 115 N28 E39 00 NA NA NA 116 N29 E40 292 NA NA NA 117 N30 E41 292 NA NA NA 118 N31 E42 292 NA NA NA 119 N32 E43 292 NA NA NA 120 N33 E44 292 NA NA NA 121 N34 E45 292 NA NA NA 122 N35 E46 292 NA NA NA 123 N36 E47 292 NA NA NA 124 N37 E48 292 NA NA NA 125 N38 E49 292 NA NA NA 126 N39 E50 292 NA NA NA 127 N40 E51 00 NA NA NA 128 N41 E52 1608 NA NA NA Tabela 613 VB2 Armaduras necessárias para a viga determindas pelo CAST 2000 Arm longitudinal Fst kN fyd kNcm2 Asnec cm2 11 Asnec cm2 Asef Asef cm2 Stress ratio 52610 435 1209 1330 2 φ 25 2 φ 16 1 1418 085 51150 435 1176 1293 2 φ 25 2 φ 16 1 1418 083 46770 435 1075 1183 2 φ 25 2 φ 16 1 1418 076 39460 435 907 998 2 φ 25 2 102 089 29230 435 672 739 2 φ 25 2 102 066 16080 435 370 407 2 φ 25 2 102 036 Arm transversal Fsw kN fyd kNcm2 Aswnec cm2 11 Asnec cm2 Asef Asef cm2 Stress ratio 13150 435 302 333 2 φ 16 1 398 076 10230 435 235 259 2 φ 13 2 258 091 7310 435 168 185 2 φ 13 2 258 065 4380 435 101 111 2 φ 10 3 142 071 1460 435 034 037 2 φ 10 3 142 024 Figura 612 VB2 Disposição das armaduras dos tirantes da treliça Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 134 Figura 613 VB2 Resumo Os fatores de utilização de vários nós e várias bielas apresentam valores acima da unidade ou seja esses elementos estão fora de serviço e portanto devese fazer alterações no projeto da viga Uma alternativa é elevar a resistência do concreto e se ainda assim a solução estiver distante é necessário alterar as características geométricas da viga alternativa que pode encontrar dificuldades nas exigências arquitetônicas ou até mesmo estruturais Md kNm Vd kN Rk kN A A 15 15 4 Ø 13 360 3 Ø 13 352 3 Ø 13 278 2 Ø 16 216 638 kNm 360 m 1447 CORTE AA 1608 1608 kN 1608 kN 1608 5 5 2 Ø 25 360 5 15 15 5 lb lb Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 135 623 MODELO VB3 MUDANDOSE A INCLINAÇÃO DAS BIELAS 6231 Geometria e ações Mudandose a inclinação das bielas de forma que Comprimento efetivo da viga ℓefetivoviga 360 cm Optouse por dividir a viga em 10 tramos de forma que ℓtramo 360 10 36 cm Como os estribos formam ângulo reto com o eixo da viga e a distância entre o banzo superior e o banzo inferior é de 30 centímetros temos para a inclinação das bielas α 90o θ arctg30 36 3981o Concreto C25 fck 25 MPa Rk 22 kNm 36 2 m 396 kN Mk pℓ2 8 22 362 8 Md 14Mk 4990 kNm Vk 396 kN Vd 14Vk 5544 kN 6232 Determinação de kc ks e As kc bd2Md 20 362 4990 519 C25 ks 0025 ks Asd Md As ksMd d 0025 4990 36 347 cm2 6233 Cálculo de Mdlim Vdu e Vdmin Mdlim bd2 kclim 20 362 18 14400 kNcm 14400 kNm Vdu 01τwubd 01 4500 20 36 3240 kN Vdmin 01τwminbd 01 1182 20 36 851 kN Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 136 Vdmax 555 kN Vdu 3240 kN condição ok 6234 Verificação das bielas segundo o MC CEBFIP 1990 RScw Vd senθcotgθ cotgθ cotgα sendo α inclinação dos estribos 90o cotgα 0 θ inclinação das bielas 3981o Quando Vd Vdmax temos RScw 555 sen3981cotg3981 cotg3981 cotg90 RScw 867 kN RScwCAST 866 kN A diferença entre os valores é praticamente nula 01 RRcw fcd2bzcosθ fcd2 0601 fck 250fcd 0601 25 25025 14 0964 kNcm2 kc bd2 Md 519 βx 017 βx x d x βxd 017 36 61 cm z d 04x 36 04 61 3356 cm obs zd 093 RRcw 0964 20 3356 cos3981 RScw 867 RRcw 4970 kN condição ok Conhecendose z podese determinar a resultante Rst no banzo tracionado de acordo com o valor do momento fletor da seção Rst Md z Nd Nd 0 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 137 Rst 4990 3356 Rst 1487 kN RstCAST 1848 kN Portanto o CAST 2000 está 20 a favor da segurança 6235 Verificação das bielas segundo a NBR 61182003 VRd2 054αvfcdbwdsen2θcotgα cotgθ sendo α inclinação dos estribos 90o cotgα 0 θ inclinação das bielas 3981o αv 1 fck 250 VRd2 0541 25 25025 1420 36sen23981cotg90 cotg3981 VSd 555 kN VRd2 2561 kN condição ok 6236 Resultados da modelagem A seguir apresentamse as figuras e as tabelas relativas aos principais resultados gerados pelo modelo VB3 Tabela 614 VB3 Propriedades dos elementos Row Element ID Rel Stiffness Width mm Property Type Property Type Name 1 E65 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 2 E66 1000 1000 Undefined Undefined 3 E69 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Pendurais 4 E70 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 5 E72 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Pendurais 6 E73 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 7 E75 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Pendurais 8 E76 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 9 E78 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Pendurais 10 E79 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 11 E81 1000 1000 Undefined Undefined 12 E82 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 138 13 E84 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Pendurais 14 E85 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 15 E87 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Pendurais 16 E88 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 17 E90 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Pendurais 18 E91 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 19 E93 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Pendurais 20 E94 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 21 E95 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 22 E96 1000 1000 Undefined Undefined 23 E98 1000 1000 Undefined Undefined 24 E99 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 25 E100 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 26 E101 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 27 E102 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 28 E103 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 29 E104 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 30 E105 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 31 E106 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 32 E107 1000 1000 Undefined Undefined 33 E108 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Arm longit 3 34 E109 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Arm longit 2 35 E110 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Arm longit 2 36 E111 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Arm longit 1 37 E112 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Arm longit 1 38 E113 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Arm longit 1 39 E114 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Arm longit 1 40 E115 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Arm longit 2 41 E116 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Arm longit 2 42 E117 1000 1000 NonPrestressed Reinforcement Tie Teta Arm longit 3 43 E118 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 44 E119 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 45 E120 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 46 E121 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 47 E122 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 48 E123 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 49 E124 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 50 E125 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 51 E126 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 52 E127 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic Tabela 615 VB3 Propriedades dos nós Row Node ID Property Type 1 N42 NA 2 N43 ACI CCT 3 N44 NA 4 N47 ACI CTT 5 N48 ACI CCT 6 N49 NA 7 N51 ACI CTT 8 N52 ACI CCT Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 139 9 N53 NA 10 N55 ACI CTT 11 N56 ACI CCT 12 N57 NA 13 N59 ACI CTT 14 N60 ACI CCT 15 N61 NA 16 N63 NA 17 N64 ACI CCC 18 N65 NA 19 N67 ACI CTT 20 N68 ACI CCT 21 N69 NA 22 N71 ACI CTT 23 N72 ACI CCT 24 N73 NA 25 N75 ACI CTT 26 N76 ACI CCT 27 N77 NA 28 N79 ACI CTT 29 N80 ACI CCT 30 N81 NA 31 N82 NA 32 N83 ACI CCT 33 N84 NA Figura 614 VB3 Forças nos membros da treliça Figura 615 VB3 Fatores de utilização dos elementos Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 140 Tabela 616 VB3 Fatores de utilização dos elementos da treliça Row Element ID Force kN Stress MPa Stress Ratio fc Ratio 1 E65 554 277 017 011 2 E66 00 NA NA NA 3 E69 431 30366 071 NA 4 E70 123 062 004 003 5 E72 308 21690 051 NA 6 E73 123 062 004 003 7 E75 185 13014 031 NA 8 E76 123 062 004 003 9 E78 62 4338 010 NA 10 E79 123 062 004 003 11 E81 00 NA NA NA 12 E82 123 062 004 003 13 E84 62 4338 010 NA 14 E85 123 062 004 003 15 E87 185 13014 031 NA 16 E88 123 062 004 003 17 E90 308 21690 051 NA 18 E91 123 062 004 003 19 E93 431 30366 071 NA 20 E94 123 062 004 003 21 E95 554 277 017 011 22 E96 00 NA NA NA 23 E98 00 NA NA NA 24 E99 665 333 021 013 25 E100 1183 591 037 024 26 E101 1552 776 049 031 27 E102 1774 887 056 036 28 E103 1774 887 056 036 29 E104 1552 776 049 031 30 E105 1183 591 037 024 31 E106 665 333 021 013 32 E107 00 NA NA NA 33 E108 665 25786 061 NA 34 E109 1183 29568 070 NA 35 E110 1552 38808 091 NA 36 E111 1774 32732 077 NA 37 E112 1848 34096 080 NA 38 E113 1848 34096 080 NA 39 E114 1774 32732 077 NA 40 E115 1552 38808 091 NA 41 E116 1183 29568 070 NA 42 E117 665 25786 061 NA 43 E118 866 433 027 017 44 E119 674 337 021 014 45 E120 481 241 015 010 46 E121 289 144 009 006 47 E122 96 048 003 002 48 E123 96 048 003 002 49 E124 289 144 009 006 50 E125 481 241 015 010 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 141 51 E126 674 337 021 014 52 E127 866 433 027 017 Tabela 617 VB3 Fatores de utilização dos nós da treliça Row Node ID Node Side Force kN Stress MPa Stress Ratio fc Ratio 1 N42 E65 554 NA NA NA 2 N43 E65 554 277 022 011 3 E66 00 000 000 000 4 E108 665 333 026 013 5 E118 866 433 034 017 6 N44 E66 00 NA NA NA 7 E98 00 NA NA NA 8 N47 E69 431 216 023 009 9 E108 665 333 035 013 10 E109 1183 591 062 024 11 E119 674 337 035 014 12 N48 E69 431 216 017 009 13 E70 123 062 005 003 14 E98 00 000 000 000 15 E99 665 333 026 013 16 E118 866 433 034 017 17 N49 E70 123 NA NA NA 18 N51 E72 308 154 016 006 19 E109 1183 591 062 024 20 E110 1552 776 081 031 21 E120 481 241 025 010 22 N52 E72 308 154 012 006 23 E73 123 062 005 003 24 E99 665 333 026 013 25 E100 1183 591 046 024 26 E119 674 337 026 014 27 N53 E73 123 NA NA NA 28 N55 E75 185 092 010 004 29 E110 1552 776 081 031 30 E111 1774 887 093 036 31 E121 289 144 015 006 32 N56 E75 185 092 007 004 33 E76 123 062 005 003 34 E100 1183 591 046 024 35 E101 1552 776 061 031 36 E120 481 241 019 010 37 N57 E76 123 NA NA NA 38 N59 E78 62 031 003 001 39 E111 1774 887 093 036 40 E112 1848 924 097 037 41 E122 96 048 005 002 42 N60 E78 62 031 002 001 43 E79 123 062 005 003 44 E101 1552 776 061 031 45 E102 1774 887 070 036 46 E121 289 144 011 006 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 142 47 N61 E79 123 NA NA NA 48 N63 E81 00 NA NA NA 49 E112 1848 NA NA NA 50 E113 1848 NA NA NA 51 N64 E81 00 000 000 000 52 E82 123 062 004 003 53 E102 1774 887 056 036 54 E103 1774 887 056 036 55 E122 96 048 003 002 56 E123 96 048 003 002 57 N65 E82 123 NA NA NA 58 N67 E84 62 031 003 001 59 E113 1848 924 097 037 60 E114 1774 887 093 036 61 E123 96 048 005 002 62 N68 E84 62 031 002 001 63 E85 123 062 005 003 64 E103 1774 887 070 036 65 E104 1552 776 061 031 66 E124 289 144 011 006 67 N69 E85 123 NA NA NA 68 N71 E87 185 092 010 004 69 E114 1774 887 093 036 70 E115 1552 776 081 031 71 E124 289 144 015 006 72 N72 E87 185 092 007 004 73 E88 123 062 005 003 74 E104 1552 776 061 031 75 E105 1183 591 046 024 76 E125 481 241 019 010 77 N73 E88 123 NA NA NA 78 N75 E90 308 154 016 006 79 E115 1552 776 081 031 80 E116 1183 591 062 024 81 E125 481 241 025 010 82 N76 E90 308 154 012 006 83 E91 123 062 005 003 84 E105 1183 591 046 024 85 E106 665 333 026 013 86 E126 674 337 026 014 87 N77 E91 123 NA NA NA 88 N79 E93 431 216 023 009 89 E116 1183 591 062 024 90 E117 665 333 035 013 91 E126 674 337 035 014 92 N80 E93 431 216 017 009 93 E94 123 062 005 003 94 E106 665 333 026 013 95 E107 00 000 000 000 96 E127 866 433 034 017 97 N81 E94 123 NA NA NA 98 N82 E95 554 NA NA NA 99 N83 E95 554 277 022 011 100 E96 00 000 000 000 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 143 101 E117 665 333 026 013 102 E127 866 433 034 017 103 N84 E96 00 NA NA NA 104 E107 00 NA NA NA Tabela 618 VB3 Armaduras necessárias para a viga determindas pelo CAST 2000 Arm longitudinal Fst kN fyd kNcm2 Asnec cm2 11 Asnec cm2 Asef Asef cm2 Stress ratio 18480 435 425 467 2 φ 13 4 φ 10 1 542 078 17740 435 408 449 2 φ 13 4 φ 10 1 542 075 15520 435 357 392 2 φ 13 2 φ 10 2 400 089 11830 435 272 299 2 φ 13 2 φ 10 2 400 068 6650 435 153 168 2 φ 13 3 258 059 Arm transversal Fsw kN fyd kNcm2 Aswnec cm2 11 Asnec cm2 Asef Asef cm2 Stress ratio 4310 435 099 109 2 φ 10 1 142 070 3080 435 071 078 2 φ 10 1 142 050 1850 435 043 047 2 φ 10 1 142 030 620 435 014 016 2 φ 10 1 142 010 Figura 616 VB3 Disposição das armaduras dos tirantes da treliça Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 144 Figura 617 VB3 Resumo Este modelo permitiu verificar a compatibilidade entre os valores das forças solicitantes atuantes na viga e as respectivas forças solicitantes nos elementos de treliça mesmo para bielas com inclinação diferente de 45o ou seja para o modelo de cálculo II da NBR 61182003 2 Ø 13 400 lb lb lb lb 360 m 2 Ø 10 180 2 Ø 13 400 2 Ø 13 352 2 Ø 10 324 15 5 A 360 A 15 5 499 360 554 kN 554 CORTE AA 15 5 554 15 5 Md kNm 554 kN Vd kN Rk kN 220 kNm Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 145 63 MODELO VF VIGA DE CONCRETO ARMADO COM FURO NA ALMA SUBMETIDA A CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO E A CARREGAMENTOS PONTUAIS 631 Introdução Este modelo foi inicialmente apresentado por RONCATTO CAMPOS FILHO 2005 que verificaram apenas a região de descontinuidade região do furo utilizando o programa computacional Furos em vigas de concreto desenvolvido pelos próprios autores Após um processo iterativo os autores chegaram a valores que garantiam a segurança da região D da viga após verificarem critérios de segurança e calcularem as áreas de armadura necessárias RONCATTO CAMPOS FILHO 2005 destacam que as verificações por eles realizadas limitamse apenas à região D da viga e que as armaduras dos tirantes por eles calculadas devem ser somadas às demais armaduras provenientes do dimensionamento da viga toda O modelo aqui apresentado tomou como base praticamente todas as características do moddelo de RONCATTO CAMPOS FILHO 2005 salvo aproximações em valores e pequenas incertezas Podese dizer portanto que o modelo aqui apresentado é igual ao estudado pelos pesquisadores Essa modelagem tem como objetivo utilizar um modelo de bielas e tirantes para verificar toda a viga sem fazer distinção entre as regiões contínuas e descontínuas O comprimento efetivo da viga ℓefetivoviga é igual a 900 cm e o concreto tem resistência característica fck de 25 MPa Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 146 Figura 618 VF Carregamento e comprimento efetivo 632 Resultados da modelagem A seguir apresentamse as figuras e as tabelas relativas aos principais resultados gerados pelo modelo VF Tabela 619 VF Propriedades dos elementos Row Element ID Rel Stiffness Width mm Property Type Property Type Name 1 E1 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 2 E2 1000 2000 Concrete Strut ACI Prismatic 3 E3 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 4 E4 1000 1200 NonPrestressed Reinforcement Tie As5 5 E5 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 6 E6 1000 1200 NonPrestressed Reinforcement Tie As5 7 E7 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 8 E8 1000 1200 NonPrestressed Reinforcement Tie As5 9 E9 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 10 E10 1000 1200 NonPrestressed Reinforcement Tie As5 11 E11 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 12 E12 1000 1200 NonPrestressed Reinforcement Tie As5 13 E13 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 14 E14 1000 1200 NonPrestressed Reinforcement Tie As5 15 E15 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 16 E16 1000 1200 NonPrestressed Reinforcement Tie As5 17 E17 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 18 E18 1000 2200 NonPrestressed Reinforcement Tie As3 19 E19 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 20 E20 1000 2000 NonPrestressed Reinforcement Tie As4 21 E21 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 22 E22 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 23 E23 1000 00 Undefined Undefined 24 E24 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 25 E25 1000 2000 NonPrestressed Reinforcement Tie Pendurais 2 26 E26 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 27 E27 1000 2000 NonPrestressed Reinforcement Tie Pendurais 2 28 E28 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 29 E29 1000 2000 NonPrestressed Reinforcement Tie Pendurais 2 30 E30 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 147 31 E31 1000 2000 NonPrestressed Reinforcement Tie Pendurais 2 32 E32 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 33 E33 1000 2000 NonPrestressed Reinforcement Tie Pendurais 2 34 E34 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 35 E35 1000 2000 NonPrestressed Reinforcement Tie Pendurais 1 36 E36 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 37 E37 1000 2000 NonPrestressed Reinforcement Tie Pendurais 1 38 E38 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 39 E39 1000 2000 NonPrestressed Reinforcement Tie Pendurais 1 40 E40 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 41 E41 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 42 E42 1000 49 Concrete Strut ACI Prismatic 43 E43 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 44 E44 1000 2000 NonPrestressed Reinforcement Tie Pendurais 1 45 E45 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 46 E46 1000 2000 NonPrestressed Reinforcement Tie Pendurais 1 47 E47 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 48 E48 1000 2000 NonPrestressed Reinforcement Tie Pendurais 1 49 E49 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 50 E51 1000 00 Undefined Undefined 51 E52 1000 1000 Concrete Strut ACI Prismatic 52 E53 1000 800 NonPrestressed Reinforcement Tie As2 53 E54 1000 2000 Concrete Strut ACI Prismatic 54 E55 1000 00 Undefined Undefined 55 E56 1000 700 NonPrestressed Reinforcement Tie As1 56 E57 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 57 E58 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 58 E59 1000 700 NonPrestressed Reinforcement Tie As1 59 E60 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 60 E61 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 61 E62 1000 700 NonPrestressed Reinforcement Tie As1 62 E63 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 63 E64 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 64 E65 1000 700 NonPrestressed Reinforcement Tie As1 65 E66 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 66 E67 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 67 E68 1000 700 NonPrestressed Reinforcement Tie As1 68 E69 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 69 E70 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 70 E71 1000 700 NonPrestressed Reinforcement Tie As1 71 E72 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 72 E73 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 73 E74 1000 700 NonPrestressed Reinforcement Tie As1 74 E75 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 75 E76 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 76 E77 1000 800 NonPrestressed Reinforcement Tie As6 77 E78 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 78 E79 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 79 E80 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 80 E81 1000 800 NonPrestressed Reinforcement Tie Arm longit BI 1 81 E82 1000 2000 Concrete Strut ACI Prismatic 82 E83 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 83 E84 1000 800 NonPrestressed Reinforcement Tie Arm longit BI 1 84 E85 1000 2000 Concrete Strut ACI Prismatic Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 148 85 E86 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 86 E87 1000 800 NonPrestressed Reinforcement Tie Arm longit BI 1 87 E88 1000 2000 Concrete Strut ACI Prismatic 88 E89 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 89 E90 1000 800 NonPrestressed Reinforcement Tie Arm longit BI 1 90 E91 1000 2000 Concrete Strut ACI Prismatic 91 E92 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 92 E93 1000 800 NonPrestressed Reinforcement Tie Arm longit BI 1 93 E94 1000 2000 Concrete Strut ACI Prismatic 94 E95 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 95 E96 1000 800 NonPrestressed Reinforcement Tie Arm longit BI 2 96 E97 1000 2000 Concrete Strut ACI Prismatic 97 E98 1000 1200 Concrete Strut ACI Prismatic 98 E99 1000 800 NonPrestressed Reinforcement Tie Arm longit BI 2 99 E100 1000 2000 Concrete Strut ACI Prismatic 100 E101 1000 1200 NonPrestressed Reinforcement Tie Arm longit BS 2 101 E102 1000 800 Concrete Strut ACI Prismatic 102 E103 1000 2000 Concrete Strut ACI Prismatic 103 E104 1000 1200 NonPrestressed Reinforcement Tie Arm longit BS 2 104 E105 1000 800 Concrete Strut ACI Prismatic 105 E106 1000 2000 Concrete Strut ACI Prismatic 106 E107 1000 1200 NonPrestressed Reinforcement Tie Arm longit BS 1 107 E108 1000 800 Concrete Strut ACI Prismatic 108 E109 1000 2000 Concrete Strut ACI Prismatic 109 E110 1000 1200 NonPrestressed Reinforcement Tie Arm longit BS 1 110 E111 1000 800 Concrete Strut ACI Prismatic 111 E112 1000 2000 Concrete Strut ACI Prismatic 112 E113 1000 1200 NonPrestressed Reinforcement Tie Arm longit BS 1 113 E114 1000 800 Concrete Strut ACI Prismatic 114 E115 1000 2000 Concrete Strut ACI Prismatic 115 E116 1000 1200 NonPrestressed Reinforcement Tie Arm longit BS 1 116 E117 1000 800 Concrete Strut ACI Prismatic 117 E118 1000 2000 Concrete Strut ACI Prismatic 118 E119 1000 1200 NonPrestressed Reinforcement Tie Arm longit BS 2 119 E120 1000 00 Undefined Undefined 120 E121 1000 2000 Concrete Strut ACI Prismatic 121 E122 1000 1200 NonPrestressed Reinforcement Tie Arm longit BS 2 122 E123 1000 00 Undefined Undefined Tabela 620 VF Propriedades dos nós Row Node ID Property Type 1 N1 NA 2 N2 ACI CCT 3 N3 ACI CCC 4 N4 NA 5 N5 ACI CTT 6 N6 ACI CCT 7 N7 NA 8 N8 ACI CTT 9 N9 ACI CCT 10 N10 NA Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 149 11 N11 ACI CTT 12 N12 ACI CCT 13 N13 NA 14 N14 ACI CTT 15 N15 ACI CCT 16 N16 NA 17 N17 ACI CTT 18 N18 ACI CCT 19 N19 NA 20 N20 ACI CTT 21 N21 ACI CCT 22 N22 NA 23 N23 ACI CTT 24 N24 ACI CCT 25 N25 NA 26 N26 ACI CTT 27 N27 ACI CCT 28 N28 NA 29 N29 ACI CTT 30 N30 ACI CTT 31 N31 ACI CCC 32 N32 NA 33 N33 NA 34 N34 ACI CCC 35 N35 NA 36 N36 ACI CTT 37 N37 ACI CCT 38 N38 NA 39 N39 ACI CTT 40 N40 ACI CCT 41 N41 NA 42 N42 ACI CTT 43 N43 ACI CCT 44 N44 NA 45 N45 ACI CTT 46 N46 ACI CCT 47 N47 NA 48 N48 ACI CTT 49 N49 ACI CTT 50 N50 NA 51 N51 ACI CTT 52 N52 ACI CTT 53 N53 NA 54 N54 ACI CCT 55 N55 ACI CTT 56 N56 NA 57 N57 ACI CCT 58 N58 ACI CTT 59 N59 NA 60 N60 NA 61 N61 ACI CCC 62 N62 ACI CTT 63 N63 NA 64 N64 ACI CCT Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 150 65 N65 ACI CTT 66 N66 NA 67 N67 ACI CCT 68 N68 ACI CTT 69 N69 NA 70 N70 ACI CCT 71 N71 ACI CTT 72 N72 NA 73 N74 NA 74 N75 ACI CCT 75 N76 NA 76 N77 NA As figuras a seguir 619a a 619e representam a viga VF por completo que foi subdividida em 5 partes buscando ampliar as imagens e permitir melhor visualização O mesmo ocorre para as figuras 620a a 620d e 621a a 621e Figura 619a VF Forças nos membros da treliça Figura 619b VF Forças nos membros da treliça Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 151 Figura 619c VF Forças nos membros da treliça Figura 619d VF Forças nos membros da treliça Figura 619e VF Forças nos membros da treliça Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 152 Figura 620a VF Fatores de utilização dos elementos Figura 620b VF Fatores de utilização dos elementos Figura 620c VF Fatores de utilização dos elementos Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 153 Figura 620d VF Fatores de utilização dos elementos Tabela 621 VF Fatores de utilização dos elementos da treliça Row Element ID Force kN Stress MPa Stress Ratio fc Ratio 1 E1 1047 523 033 021 2 E2 84 021 001 001 3 E3 84 042 003 002 4 E4 856 33185 078 NA 5 E5 106 053 003 002 6 E6 811 31448 074 NA 7 E7 45 022 001 001 8 E8 767 29712 070 NA 9 E9 45 022 001 001 10 E10 722 27976 066 NA 11 E11 45 022 001 001 12 E12 677 26239 062 NA 13 E13 45 022 001 001 14 E14 632 24503 058 NA 15 E15 45 022 001 001 16 E16 587 22766 054 NA 17 E17 45 022 001 001 18 E18 2597 60958 143 OS NA 19 E19 57 029 002 001 20 E20 410 28843 068 NA 21 E21 120 050 003 002 22 E22 120 060 004 002 23 E23 00 NA NA NA 24 E24 785 393 025 016 25 E25 376 14567 034 NA 26 E26 140 070 004 003 27 E27 516 19993 047 NA 28 E28 140 070 004 003 29 E29 656 25420 060 NA 30 E30 140 070 004 003 31 E31 796 30846 073 NA 32 E32 140 070 004 003 33 E33 936 36273 085 NA 34 E34 140 070 004 003 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 154 35 E35 1076 27031 064 NA 36 E36 140 070 004 003 37 E37 1216 30549 072 NA 38 E38 140 070 004 003 39 E39 1356 34066 080 NA 40 E40 140 070 004 003 41 E41 3106 1553 097 062 42 E42 140 1434 090 057 43 E43 140 070 004 003 44 E44 1330 33417 079 NA 45 E45 140 070 004 003 46 E46 1190 29899 070 NA 47 E47 140 070 004 003 48 E48 1050 26382 062 NA 49 E49 140 070 004 003 50 E51 00 NA NA NA 51 E52 1050 525 033 021 52 E53 1001 46999 111 OS NA 53 E54 1389 347 022 014 54 E55 00 NA NA NA 55 E56 884 11103 026 NA 56 E57 1230 513 032 021 57 E58 1001 417 026 017 58 E59 1721 21625 051 NA 59 E60 1166 486 031 019 60 E61 1885 785 049 031 61 E62 2513 31566 074 NA 62 E63 1102 459 029 018 63 E64 2722 1134 071 045 64 E65 3258 40926 096 NA 65 E66 1037 432 027 017 66 E67 3514 1464 092 059 67 E68 3956 49705 117 OS NA 68 E69 973 405 025 016 69 E70 4259 1774 111 OS 071 70 E71 4609 57903 136 OS NA 71 E72 909 379 024 015 72 E73 4958 2066 130 OS 083 73 E74 5215 65520 154 OS NA 74 E75 844 352 022 014 75 E76 5610 2338 147 OS 094 76 E77 2883 58004 137 OS NA 77 E78 3207 1336 084 053 78 E79 3922 1634 103 OS 065 79 E80 2883 1201 075 048 80 E81 3382 42494 094 NA 81 E82 646 162 010 007 82 E83 2883 1201 075 048 83 E84 3382 42494 094 NA 84 E85 532 133 008 005 85 E86 3007 1253 079 050 86 E87 3007 37772 084 NA 87 E88 729 182 011 007 88 E89 2491 1038 065 042 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 155 89 E90 2491 31292 070 NA 90 E91 927 232 015 009 91 E92 1835 765 048 031 92 E93 1835 23053 051 NA 93 E94 1125 281 018 011 94 E95 1039 433 027 017 95 E96 1039 26110 061 NA 96 E97 1323 331 021 013 97 E98 103 043 003 002 98 E99 103 2596 006 NA 99 E100 1521 380 024 015 100 E101 973 17122 040 NA 101 E102 973 608 038 024 102 E103 1719 430 027 017 103 E104 2188 38527 091 NA 104 E105 2188 1368 086 055 105 E106 1917 479 030 019 106 E107 3544 26410 062 NA 107 E108 3544 2215 139 OS 089 108 E109 2115 529 033 021 109 E110 5040 37556 088 NA 110 E111 3570 2231 140 OS 089 111 E112 2079 520 033 021 112 E113 5040 37556 088 NA 113 E114 2240 1400 088 056 114 E115 1881 470 030 019 115 E116 3570 26602 063 NA 116 E117 1050 656 041 026 117 E118 1683 421 026 017 118 E119 2240 39437 093 NA 119 E120 00 NA NA NA 120 E121 1485 371 023 015 121 E122 1050 18486 044 NA 122 E123 00 NA NA NA Tabela 622 VF Fatores de utilização dos nós da treliça Row Node ID Node Side Force kN Stress MPa Stress Ratio fc Ratio 1 N1 E1 1047 NA NA NA 2 N2 E1 1047 523 041 021 3 E2 84 021 002 001 4 E53 1001 626 049 025 5 E54 1389 347 027 014 6 E123 00 NA NA NA 7 N3 E2 84 021 001 001 8 E3 84 042 003 002 9 E55 00 NA NA NA 10 N4 E3 84 NA NA NA 11 N5 E4 856 357 037 014 12 E56 884 631 066 025 13 E57 1230 513 054 021 14 N6 E4 856 357 028 014 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 156 15 E5 106 053 004 002 16 E54 1389 347 027 014 17 E55 00 NA NA NA 18 E58 1001 417 033 017 19 N7 E5 106 NA NA NA 20 N8 E6 811 338 035 014 21 E56 884 631 066 025 22 E59 1721 1230 129 OS 049 23 E60 1166 486 051 019 24 N9 E6 811 338 027 014 25 E7 45 022 002 001 26 E57 1230 513 040 021 27 E58 1001 417 033 017 28 E61 1885 785 062 031 29 N10 E7 45 NA NA NA 30 N11 E8 767 319 033 013 31 E59 1721 1230 129 OS 049 32 E62 2513 1795 188 OS 072 33 E63 1102 459 048 018 34 N12 E8 767 319 025 013 35 E9 45 022 002 001 36 E60 1166 486 038 019 37 E61 1885 785 062 031 38 E64 2722 1134 089 045 39 N13 E9 45 NA NA NA 40 N14 E10 722 301 031 012 41 E62 2513 1795 188 OS 072 42 E65 3258 2327 243 OS 093 43 E66 1037 432 045 017 44 N15 E10 722 301 024 012 45 E11 45 022 002 001 46 E63 1102 459 036 018 47 E64 2722 1134 089 045 48 E67 3514 1464 115 OS 059 49 N16 E11 45 NA NA NA 50 N17 E12 677 282 030 011 51 E65 3258 2327 243 OS 093 52 E68 3956 2826 296 OS 113 OS 53 E69 973 405 042 016 54 N18 E12 677 282 022 011 55 E13 45 022 002 001 56 E66 1037 432 034 017 57 E67 3514 1464 115 OS 059 58 E70 4259 1774 139 OS 071 59 N19 E13 45 NA NA NA 60 N20 E14 632 263 028 011 61 E68 3956 2826 296 OS 113 OS 62 E71 4609 3292 344 OS 132 OS 63 E72 909 379 040 015 64 N21 E14 632 263 021 011 65 E15 45 022 002 001 66 E69 973 405 032 016 67 E70 4259 1774 139 OS 071 68 E73 4958 2066 162 OS 083 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 157 69 N22 E15 45 NA NA NA 70 N23 E16 587 245 026 010 71 E71 4609 3292 344 OS 132 OS 72 E74 5215 3725 390 OS 149 OS 73 E75 844 352 037 014 74 N24 E16 587 245 019 010 75 E17 45 022 002 001 76 E72 909 379 030 015 77 E73 4958 2066 162 OS 083 78 E76 5610 2338 183 OS 094 79 N25 E17 45 NA NA NA 80 N26 E18 2597 590 062 024 81 E53 1001 626 065 025 82 E77 2883 1802 188 OS 072 83 E78 3207 1336 140 OS 053 84 N27 E18 2597 590 046 024 85 E19 57 029 002 001 86 E75 844 352 028 014 87 E76 5610 2338 184 OS 094 88 E79 3922 1634 128 OS 065 89 E80 2883 1201 094 048 90 N28 E19 57 NA NA NA 91 N29 E20 410 102 011 004 92 E77 2883 1802 188 OS 072 93 E81 3382 2114 221 OS 085 94 E82 646 162 017 007 95 N30 E20 410 102 011 004 96 E21 120 050 005 002 97 E74 5215 3725 390 OS 149 OS 98 E78 3207 1336 140 OS 053 99 E79 3922 1634 171 OS 065 100 N31 E21 120 050 003 002 101 E22 120 060 004 002 102 E80 2883 1201 075 048 103 E83 2883 1201 075 048 104 N32 E22 120 NA NA NA 105 N33 E23 00 NA NA NA 106 E81 3382 NA NA NA 107 E84 3382 NA NA NA 108 N34 E23 00 NA NA NA 109 E24 785 393 025 016 110 E82 646 162 010 007 111 E83 2883 1201 075 048 112 E85 532 133 008 005 113 E86 3007 1253 079 050 114 N35 E24 785 NA NA NA 115 N36 E25 376 094 010 004 116 E84 3382 2114 221 OS 085 117 E85 532 133 014 005 118 E87 3007 1879 197 OS 075 119 N37 E25 376 094 007 004 120 E26 140 070 006 003 121 E86 3007 1253 098 050 122 E88 729 182 014 007 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 158 123 E89 2491 1038 081 042 124 N38 E26 140 NA NA NA 125 N39 E27 516 129 014 005 126 E87 3007 1879 197 OS 075 127 E88 729 182 019 007 128 E90 2491 1557 163 OS 062 129 N40 E27 516 129 010 005 130 E28 140 070 006 003 131 E89 2491 1038 081 042 132 E91 927 232 018 009 133 E92 1835 765 060 031 134 N41 E28 140 NA NA NA 135 N42 E29 656 164 017 007 136 E90 2491 1557 163 OS 062 137 E91 927 232 024 009 138 E93 1835 1147 120 OS 046 139 N43 E29 656 164 013 007 140 E30 140 070 006 003 141 E92 1835 765 060 031 142 E94 1125 281 022 011 143 E95 1039 433 034 017 144 N44 E30 140 NA NA NA 145 N45 E31 796 199 021 008 146 E93 1835 1147 120 OS 046 147 E94 1125 281 029 011 148 E96 1039 649 068 026 149 N46 E31 796 199 016 008 150 E32 140 070 006 003 151 E95 1039 433 034 017 152 E97 1323 331 026 013 153 E98 103 043 003 002 154 N47 E32 140 NA NA NA 155 N48 E33 936 234 025 009 156 E96 1039 649 068 026 157 E97 1323 331 035 013 158 E99 103 065 007 003 159 N49 E33 936 234 025 009 160 E34 140 070 007 003 161 E98 103 043 005 002 162 E100 1521 380 040 015 163 E101 973 405 042 016 164 N50 E34 140 NA NA NA 165 N51 E35 1076 269 028 011 166 E99 103 065 007 003 167 E100 1521 380 040 015 168 E102 973 608 064 024 169 N52 E35 1076 269 028 011 170 E36 140 070 007 003 171 E101 973 405 042 016 172 E103 1719 430 045 017 173 E104 2188 912 095 037 174 N53 E36 140 NA NA NA 175 N54 E37 1216 304 024 012 176 E102 973 608 048 024 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 159 177 E103 1719 430 034 017 178 E105 2188 1368 107 OS 055 179 N55 E37 1216 304 032 012 180 E38 140 070 007 003 181 E104 2188 912 095 037 182 E106 1917 479 050 019 183 E107 3544 1477 154 OS 059 184 N56 E38 140 NA NA NA 185 N57 E39 1356 339 027 014 186 E105 2188 1368 107 OS 055 187 E106 1917 479 038 019 188 E108 3544 2215 174 OS 089 189 N58 E39 1356 339 035 014 190 E40 140 070 007 003 191 E107 3544 1477 154 OS 059 192 E109 2115 529 055 021 193 E110 5040 2100 220 OS 084 194 N59 E40 140 NA NA NA 195 N60 E41 3106 NA NA NA 196 N61 E41 3106 1553 097 062 197 E42 140 1434 090 057 198 E108 3544 2215 139 OS 089 199 E109 2115 529 033 021 200 E111 3570 2231 140 OS 089 201 E112 2079 520 033 021 202 N62 E42 140 1434 150 OS 057 203 E43 140 070 007 003 204 E110 5040 2100 220 OS 084 205 E113 5040 2100 220 OS 084 206 N63 E43 140 NA NA NA 207 N64 E44 1330 333 026 013 208 E111 3570 2231 175 OS 089 209 E114 2240 1400 110 OS 056 210 E115 1881 470 037 019 211 N65 E44 1330 333 035 013 212 E45 140 070 007 003 213 E112 2079 520 054 021 214 E113 5040 2100 220 OS 084 215 E116 3570 1487 156 OS 060 216 N66 E45 140 NA NA NA 217 N67 E46 1190 298 023 012 218 E114 2240 1400 110 OS 056 219 E117 1050 656 052 026 220 E118 1683 421 033 017 221 N68 E46 1190 298 031 012 222 E47 140 070 007 003 223 E115 1881 470 049 019 224 E116 3570 1487 156 OS 060 225 E119 2240 933 098 037 226 N69 E47 140 NA NA NA 227 N70 E48 1050 263 021 011 228 E117 1050 656 052 026 229 E120 00 NA NA NA 230 E121 1485 371 029 015 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 160 231 N71 E48 1050 263 028 011 232 E49 140 070 007 003 233 E118 1683 421 044 017 234 E119 2240 933 098 037 235 E122 1050 437 046 018 236 N72 E49 140 NA NA NA 237 N74 E51 00 NA NA NA 238 E120 00 NA NA NA 239 N75 E51 00 NA NA NA 240 E52 1050 525 041 021 241 E121 1485 371 029 015 242 E122 1050 437 034 018 243 N76 E52 1050 NA NA NA 244 N77 E123 00 NA NA NA Tabela 623 VF Armaduras necessárias para a viga determindas pelo CAST 2000 Arm longitudinal positiva Fst kN fyd kNcm2 Asnec cm2 11 Asnec cm2 Asef Asef cm2 Stress ratio 33825 435 778 855 4 φ 16 1 796 098 33825 435 778 855 4 φ 16 1 796 098 30067 435 691 760 4 φ 16 1 796 087 24908 435 573 630 4 φ 16 1 796 072 18350 435 422 464 4 φ 16 1 796 053 10392 435 239 263 2 φ 16 2 398 060 1033 435 024 026 2 φ 16 2 398 006 Arm longitudinal negativa Fsw kN fyd kNcm2 Aswnec cm2 11 Asnec cm2 Asef Asef cm2 Stress ratio 9725 435 224 246 2 φ 19 2 568 039 21883 435 503 553 2 φ 19 2 568 089 35442 435 815 896 2 φ 22 2 φ 19 1 1342 061 50400 435 1159 1274 2 φ 22 2 φ 19 1 1342 086 50400 435 1159 1274 2 φ 22 2 φ 19 1 1342 086 35700 435 821 903 2 φ 22 2 φ 19 1 1342 061 22400 435 515 566 2 φ 19 2 568 091 10500 435 241 266 2 φ 19 2 568 042 Arm Transversal Fsw kN fyd kNcm2 Aswnec cm2 11 Asnec cm2 Asef Asef cm2 Stress ratio 3758 4350 086 095 2 φ 13 2 258 033 5158 4350 119 130 2 φ 13 2 258 046 6558 4350 151 166 2 φ 13 2 258 058 7958 4350 183 201 2 φ 13 2 258 071 9358 4350 215 237 2 φ 13 2 258 083 10758 4350 247 272 2 φ 16 1 398 062 12158 4350 279 307 2 φ 16 1 398 070 Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 161 13558 4350 312 343 2 φ 16 1 398 078 13300 4350 306 336 2 φ 16 1 398 077 11900 4350 274 301 2 φ 16 1 398 069 10500 4350 241 266 2 φ 16 1 398 061 Figura 621a VF Disposição das armaduras dos tirantes da treliça Figura 621b VF Disposição das armaduras dos tirantes da treliça Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 162 Figura 621c VF Disposição das armaduras dos tirantes da treliça Figura 621d VF Disposição das armaduras dos tirantes da treliça Figura 621e VF Disposição das armaduras dos tirantes da treliça Capítulo 6 Modelagens das vigas e análise dos resultados 163 Figura 622 VF Resumo Rk kN Vd kN Md kNm CORTE AA A 900 2 Ø 16 950 15 2 Ø 16 480 2 Ø 22 332 2 Ø 22 498 473 15 2 Ø 16 764 2 Ø 16 317 15 2 Ø 22 278 2 Ø 19 458 433 As2 3 Ø 10 207 15 As6 7 Ø 10 61 As1 4 Ø 16 193 200 kNm 980 1540 250 m 1565 1688 2520 450 kN 305 325 1025 700 kN 2218 kN 732 kN 450 m 200 m A 10 10 10 182 10 Armadura positiva 15 10 Armadura negativa Armadura positiva Armadura negativa 10 15 739 lb lb lb lb lb lb lb lb lb lb Capítulo 7 Considerações finais e sugestões para futuras pesquisas 164 7 CONSIDERAÇÕES FINAIS E SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS O modelo de bielas e tirantes proporciona ao projetista ótima representação da estrutura e de seu comportamento Além disso pode ser aplicado não somente nas regiões contínuas de uma estrutura mas também em suas regiões descontínuas onde não são válidas as hipóteses de Bernoulli Apesar de suas significativas vantagens o modelo apresenta um grande inconveniente sua aplicação A falta de consenso a respeito dos valores limites para as intensidades das tensões das inúmeras configurações de nós bem como da própria geometria dos mesmos das corretas configurações geométricas das bielas e suas respectivas resistências dependentes da geometria da região D e do caminhamento das ações são fatores que dificultam sua aplicabilidade e difusão Também por esses motivos várias normas e códigos tratam desses assuntos de maneira superficial ou até mesmo nem tratam O modelo de bielas e tirantes já é para muitas estruturas ou parte delas em geral as mais complexas a única alternativa de determinação e verificação estrutural mas dificilmente é empregado em estruturas comuns como em vigas usuais Em vista disso tudo a utilização do CAST 2000 aparece como alternativa muito interessante na verificação e no dimensionamento de vigas de concreto armado usuais Sua interface agradável e sua fácil e rápida utilização configuram excelente auxílio a projetistas que fazem uso de computador ao passo que o programa é de domínio público na rede mundial de computadores Ao utilizar o CAST 2000 o projetista pode desfrutar da maior vantagem do modelo de bielas e tirantes que é a ótima visualização do comportamento da estrutura Além disso como característica Capítulo 7 Considerações finais e sugestões para futuras pesquisas 165 inerente ao modelo o projetista tem o poder de determinar de certa forma o comportamento estrutural e assim definir a geometria da treliça de acordo com o comportamento desejado Outra grande vantagem da modelagem de estruturas utilizando bielas e tirantes é a possibilidade de múltipas soluções Sabese que a qualidade e a experiência do projetista são fundamentais na modelagem pois há a necessidade de se prever o comportamento estrutural a fim de se construir o modelo mais adequado ou seja aquele que possibilitará o melhor comportamento No caso das vigas essa tarefa é simples Como seu comportamento é bem conhecido não há grande variedade de possíveis soluções e consequentemente isso minimiza a chance de erro por parte do projetista outro fator estimulante para a utilização do CAST 2000 Porém sem dúvida alguma a maior vantagem apresentada pelo programa é sua capacidade de verificar automaticamente as regiões nodais Tendo em vista que a verificação de nós é a tarefa mais complicada quando da aplicação de um modelo de bielas e tirantes certamente o CAST 2000 mostrase como um enorme auxílio aos projetos estruturais por modelos de bielas e tirantes É necessário ressaltar a importância de se distribuir adequadamente as barras das armaduras dos tirantes em camadas quando possível a fim de se garantir as larguras efetivas dos mesmos visando diminuir as tensões nas faces dos nós aos quais cada tirante está conectado Como são realizadas verificações para cada face do nó é interessante que as áreas de cada um dos elementos conectados a cada nó sejam suficientes para resistir a tensão ali existente Portanto como as áreas efetivas dos tirantes são determinadas pela espessura da estrutura que é um valor fixo e pelas larguras efetivas dos respectivos tirantes visase distribuir as barras da armadura de forma que se obtenha a maior espessura efetiva para cada elemento O modelo VB1 não teve nenhum de seus elementos levados à ruína ou seja todos os elementos da treliça apresentaram fator de utilização inferiores a 1 Já o modelo VB2 por apresentar um grande acréscimo no carregamento em relação ao VB1 teve muitos de seus elementos levados à Capítulo 7 Considerações finais e sugestões para futuras pesquisas 166 ruína Uma primeira tentativa é alterar as características geométricas da viga porém muitas vezes esse procedimento esbarra em condições impostas pela arquitetura ou pela própria estrutura Em seguida podese tentar aumentar as taxas de armadura dos elementos e se necessário armar também os elementos comprimidos Em último caso podese optar por aumentar a resistência do concreto porém essa modificação é muito incomum em projetos usuais Mudandose a inclinação das bielas o objetivo do modelo VB3 foi verificar a interação entre banzos e diagonais no que diz respeito à absorção de parcelas das forças em cada um desses elementos da treliça ou seja da interação entre bielas e banzos quando da absorção e transferência das parcelas horizontais das forças resultantes em cada nó em que eles se encontram Pôdese perceber que as bielas efetivamente interferem no equilíbrio dos banzos sendo que para as configurações das treliças dos modelos VB1 VB2 e VB3 elas agem majorando as forças nos elementos tracionados do banzo inferior e minorando as forças nos elementos comprimidos do banzo superior que fazem parte do mesmo painel da treliça ou seja que estão igualmente distantes em relação ao eixo y convencional Essa interferência se inverte em caso de inversão da disposição adotada para as bielas Isso explica algumas diferenças entre os valores de Rst calculados por equilíbrio de seção e os valores de Rst determinados pelo CAST 2000 Quanto aos valores da força cortante pôdese comprovar a validade das expressões para o dimensionamento da NBR 6118 2003 e do MC CEB FIP 1990 que aparentam representar perfeitamente o esquema resistente das diagonais haja vista que ambos os dimensionamentos tomam como princípio o comportamento da viga como treliça Além disso foi possível também comprovar a idéia de que para vigas com configurações semelhantes às dos três primeiros modelos as regiões superiores das extremidades praticamente não têm função estrutural confirmando o conceito de que o banzo superior paralelo ao inferior na região central da viga tende a se inclinar até se encontrar com o banzo inferior na região do apoio Capítulo 7 Considerações finais e sugestões para futuras pesquisas 167 A viga inicialmente analisada por RONCATTO CAMPOS FILHO 2005 não verifica as condições de segurança Fazendose uma análise geral ou seja completa para toda a viga podese verificar que com os valores adotados para a resistência do concreto e para a seção transversal a verificação de toda a viga utilizando modelo de bielas e tirantes acusa intensidades altíssimas para os fatores de utilização dos elementos Portanto as propriedades geométricas e todas as demais características apresentadas por essa viga são insuficientes para resistir aos carregamentos nela aplicados Em todas as modelagens foram consideradas bielas de concreto de seção prismática sem armadura de compressão Porém caso seja necessário podese armar as bielas a fim de que elas sejam capazes de suportar maiores intensidades de tensões As normas para dimensionamento de estruturas de concreto armado estabelecem critérios para se prover a estrutura de uma taxa de armadura mínima Esse fator em alguns casos pode comprometer o comportamento do modelo de bielas e tirantes adotado Como a idealização da treliça depende da disposição prevista ou desejada proposital dos elementos que ela compõem em casos em que segundo o modelo deveria haver tirantes com taxas de armadura inferiores às mínimas a necessidade de se dispor a quantidade mínima de armadura pode alterar o comportamento inicialmente esperado pelo engenheiro Um trabalho futuro poderia estudar casos em que a treliça apresenta taxas de armadura inferiores às mínimas para alguns de seus tirantes e propor soluções ou alternativas para esses casos avaliando se há alterações seguras no modelo inicialmente adotado que ainda assim garanta um comportamento adequado à estrutura Outros aspectos ainda delicados do modelo de bielas e tirantes e que não dispensam estudos são a verificação da segurança das regiões nodais e os critérios para determinação dos nós como contínuos e concentrados Ainda não há suficiente clareza em relação a esses fatores os quais contribuem para um certo desestímulo da aplicação do modelo e portanto seria de grande importância científica novas pesquisas a esses respeitos Referências bibliográficas 168 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AMERICAN CONCRETE INSTITUTE 1995 ACI 31895 Building code requeriments for structural concrete Detroit Michigan AMERICAN CONCRETE INSTITUTE 1992 ACI Manual of Concrete Practice Detroit Part 3 ASCEACI COMMITTEE 445 ON SHEAR AND TORSION 1988 Recent Approaches to Shear Design of Structural Concrete Journal of Structural Engineering ASCE Vol 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