Otimização Topológica para Modelos de Bielas e Tirantes em Estruturas de Concreto Armado

i UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA PARA MODELOS DE BIELAS E TIRANTES EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO JULIAN ALVES BORGES PORTO ALEGRE 2022 ii JULIAN ALVES BORGES OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA PARA MODELOS DE BIELAS E TIRANTES EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO Dissertação submetida ao Programa de PósGraduação em Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Sul como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Orientador Prof Dr Herbert Martins Gomes PORTO ALEGRE 2022 iii CIP Catalogação na Publicação Elaborada pelo Sistema de Geração Automática de Ficha Catalográfica da UFRGS com os dados fornecidos peloa autora Borges Julian Alves Otimização Topológica para modelos de Bielas e Tirantes em Estruturas de Concreto Armado Julian Alves Borges 2022 135 f Orientador Herbert Martins Gomes Dissertação Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Programa de PósGraduação em Engenharia Civil Porto Alegre BRRS 2022 1 otimização topológica 2 Modelo de Bielas e Tirantes 3 Concreto Armado 4 BESO I Gomes Herbert Martins orient II Título iv JULIAN ALVES BORGES OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA PARA MODELOS DE BIELAS E TIRANTES EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO Porto Alegre 13 de maio de 2022 Orientador Prof Herbert Martins Gomes Dr pela Univ Federal do Rio Grande do Sul Prof Dr Lucas Festugato Coordenador do PPGECUFRGS BANCA EXAMINADORA Prof Gladimir de Campos Grigoletti ULBRA Dr pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul Prof Inácio Benvengnu Morsch UFRGS Dr pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul Prof Jairo José de Oliveira Andrade PUCRS Dr Pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul v RESUMO BORGES J A Otimização Topológica para Modelos de Bielas e Tirantes em Estruturas de Concreto Armado 2022 Dissertação Mestrado em Engenharia Programa de Pós Graduação em Engenharia Civil UFRGS Porto Alegre O método de bielas e tirantes é uma ferramenta muito útil para dimensionar e analisar regiões descontínuas em estruturas de concreto armado Com essa ferramenta é possível descrever de forma simplificada o caminho percorrido pelas cargas externas até os suportes da estrutura e dessa forma propor apropriadamente um modelo treliçado contendo bielas de concreto comprimido e tirantes de aço tracionado Por outro lado a otimização topológica passou a ser utilizada para facilitar a idealização desses modelos treliçados uma vez que a estrutura final decorrente de sua otimização se assemelha ao modelo treliçado obtido por meio do método de bielas e tirantes No entanto algumas publicações utilizam da otimização topológica apenas para determinar o caminho da carga sem considerar o material concreto armado como um compósito concreto e aço Dessa forma neste trabalho é utilizada a otimização topológica para gerar estruturas otimizadas contendo elementos finitos de concreto e de aço otimizados Para isso é necessário otimizar as estruturas em duas fases e com dois critérios de falha destintos sendo o critério de Ottosen para representar o material concreto na primeira fase e o critério de von Mises para representar o material o aço na segunda fase Além disso são comparadas estruturas projetadas a partir da otimização topológica com estruturas oriundas do método tradicional de bielas e tirantes segundo normas como a Eurocode 22004 e o ACI 3182002 São analisadas neste trabalho vigas altas com e sem aberturas e de dimensões distintas Por fim observase que as estruturas otimizadas são mais leves do que as estruturas projetadas pelo método tradicional além de seguras e econômicas em termos de matéria prima A metodologia proposta permite a redução do material utilizado e portanto auxilia na sustentabilidade e na redução das emissões de poluentes atmosféricos Palavraschave Otimização Topológica Modelo de Bielas e Tirantes Concreto Armado BESO Superfície de Falha de Ottosen vi ABSTRACT BORGES J A Topological Optimization for Strut and Tie Models in Reinforced Concrete Structures 2022 Dissertação Mestrado em Engenharia Programa de PósGraduação em Engenharia Civil UFRGS Porto Alegre The strut and tie model is a very useful tool for sizing and analyzing discontinuous regions in reinforced concrete structures With this tool it is possible to describe in a simplified way the path taken by the external loads to the supports of the structure and thus properly propose a truss model containing compressed concrete struts and tensioned steel ties On the other hand topological optimization started to be used to facilitate the idealization of these truss models since the final structure resulting from its optimization is similar to the truss model obtained by the strutandtie model However some publications use topological optimization only to determine the load path without considering the reinforced concrete material as a composite concrete and steel Thus in this work topological optimization is used to generate optimized structures containing optimized concrete and steel finite elements For this it is necessary to optimize the structures in two phases and with two different failure criteria being the Ottosen criterion to represent the concrete material in the first phase and the von Mises criterion to represent the material the steel in the second phase Furthermore structures designed from topological optimization are compared with structures derived from the traditional method of connecting struts and ties according to standards such as Eurocode 22004 and ACI 3182002 In this work deep beams with and without openings and of different dimensions are analyzed Finally it is observed that the optimized structures are lighter than the structures designed by the traditional method in addition to being safe and economical in terms of material The proposed methodology allows the reduction of the material used and therefore helps in sustainability and in the reduction of emissions of atmospheric pollutants Keywords Topology Optimization StrutandTie Model Reinforced Concrete BESO Ottosens failure surface vii SUMÁRIO RESUMO v ABSTRACT vi SUMÁRIO vii LISTA DE FIGURAS xi LISTA DE TABELAS xiv LISTA DE ABREVIATURAS SIGLAS E SÍMBOLOS xv 1 INTRODUÇÃO 1 11 MOTIVAÇÃOJUSTIFICATIVA 2 12 OBJETIVOS 2 13 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 3 14 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 3 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 5 21 OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL 5 22 OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA 6 23 MÉTODO DE BIELAS E TIRANTES 13 231 Regiões B e D 13 232 Caminho da carga load path e modelo treliçado 15 233 Campos de tensão 19 234 Tipos e classificação dos nós 21 24 BIELAS E TIRANTES SEGUNDO A NBR 61182014 22 25 BIELAS E TIRANTES SEGUNDO O EUROCODE 22004 26 26 BIELAS E TIRANTES SEGUNDO O ACI 3182002 30 3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 36 viii 31 FORMULAÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS 36 311 Tensões principais 36 312 Estado plano de tensões 37 313 Formulação da equação de elementos finitos para análise estática 39 314 Elemento finito quadrilátero sólido de 4 nós 42 32 OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA APLICADA À ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 45 33 MÉTODO BESO 46 331 Número de sensibilidade 49 332 Filtro para solução do problema de checkerboard 50 333 Estabilização do processo iterativo 52 334 Penalização 53 335 Múltiplos materiais 53 4 CRITÉRIOS DE FALHA 55 41 CRITÉRIO DE FALHA DE OTTOSEN PARA O CONCRETO 55 42 CRITÉRIO DE FALHA DE VON MISES PARA O AÇO 57 5 PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA DAS ESTRUTURAS ANALISADAS 58 51 FASE 1 58 52 FASE 2 59 53 FLUXOGRAMA DO PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO 59 6 DETALHAMENTO DAS ESTRUTURAS ANALISADAS 61 61 DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS BARRAS DISCRETAS 61 62 HOMOGENEIZAÇÃO DAS PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 62 63 VERIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS ANALISADAS 64 7 EXEMPLOS E DETALHAMENTOS POR BIELAS E TIRANTES TRADICIONAL 66 ix 71 VIGA ALTA PELO EUROCODE 22004 66 711 Modelo de treliça adotado 66 712 Verificação das tensões nos apoios e do ponto de aplicação de carga 69 713 Dimensionamento dos tirantes 69 714 Comprimento de ancoragem 71 715 Verificação das tensões nas bielas da treliça 71 716 Verificação do modelo de bielas e tirantes proposto 73 717 Verificação ao cisalhamento 74 718 Armadura mínima 75 719 Detalhamento final proposto pelos autores 75 72 VIGA ALTA COM ABERTURA PELO ACI 3182002 76 721 Modelo de treliça adotado 76 722 Verificação das tensões nos apoios e dos pontos de aplicação de carga 78 723 Dimensionamento dos tirantes 79 724 Verificação das bielas de compressão 80 725 Verificação das tensões nos nós da treliça 81 726 Comprimentos de Ancoragem 84 727 Armadura mínima para retração e temperatura 84 728 Armadura mínima de pele 85 729 Detalhamento final proposto pelos autores 85 8 OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA DOS EXEMPLOS 87 81 EXEMPLO SEGUNDO O EUROCODE 22004 87 811 Parâmetros utilizados na otimização 87 812 Resultados da otimização de Goodchild et al 2014 89 813 Detalhamento da estrutura otimizada 92 814 Estrutura final proposta para análise e verificação 94 x 815 Estrutura de Goodchild et al 2014 simplificada para análise 94 816 Comparativo de tensões e de flechas 95 817 Comparativos entre massas volumes e custos 97 82 NOVAK E SPRENGER 2002 SEGUNDO O ACI 3182002 98 821 Parâmetros utilizados na otimização 99 822 Resultados da otimização de Novak e Sprenger 2002 99 823 Detalhamento da estrutura otimizada 102 824 Análise da estrutura final com as armaduras propostas 104 825 Análise do exemplo do Novak e Sprenger 2002 104 826 Comparativo de tensões e deslocamentos 105 827 Comparativos de volume massa e custos 107 9 CONCLUSÃO 109 91 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 111 REFERÊNCIAS 112 xi LISTA DE FIGURAS Figura 1 Tipos de otmização estrutural Bendsøe e Sigmund 2003 6 Figura 2 Regiões D hachura de estruturas com descontinuidades geométricas Schlaich et al 1987 14 Figura 3 Regiões D hachura de estruturas com descontinuidades estáticas Schlaich et al 1987 14 Figura 4 Caminho da carga de uma viga alta a partir da carga não uniforme 𝑞 Adaptada de Schlaich et al 1987 15 Figura 5 Modelo treliçado de bielas e tirantes a partir do caminho das cargas Adaptada de Schlaich et al 1987 16 Figura 6 Modelo bom e ruim de bielas e tirantes segundo Schlaich et al 1987 Schlaich et al 1987 17 Figura 7 Modelos de bielas e tirantes a bom b ruim e c análise de elementos finitos Adaptada de Goodchild et al 2014 18 Figura 8 Campos de tensão a em forma de leque b em forma de garrafa e d em forma prismática Adaptada de Schlaich et al 1987 20 Figura 9 Nós singular e contínuo em uma região D Adaptada de Schlaich et al 1987 21 Figura 10 Regiões D hachura de estruturas típicas segundo a NBR 61182014 NBR 61182014 22 Figura 11 Esquema de distribuição de armaduras para uma viga alta segundo a NBR 61182014 NBR 61182014 26 Figura 12 Regiões CCC Eurocode 022004 27 Figura 13 Regiões CCT Eurocode 022004 27 Figura 14 Representação de descontinuidade parcial e total em um nó ou biela de compressão Eurocode 022004 29 Figura 15 Exemplificação dos conceitos de zona nodal bielas prismáticas e em forma de garrafa e tirante usuais em vigas altas Adaptada de ACI 3182002 32 Figura 16 Biela em forma de garrafa para a um modelo fissurada e b um modelo idealizado pelo método de bielas e tirantes Adaptada de ACI 3182002 33 Figura 17 Elemento finito quadrilatero sólido de 4 nós Adaptada de Rao 2018 42 xii Figura 18 Malha de elementos finitos com problema de checherboard Adaptada de Huang e Xie 2010 51 Figura 19 Definição do raio mínimo para realização do filtro Huang e Xie 2010 52 Figura 20 Esquema de otimização a sem e b com estabilização do processo iterativo Adaptada de Huang e Xie 2010 53 Figura 21 Representação de a seções nos planos desviadores e b meridianos de superficies de falha Chen e Han 1988 56 Figura 22 Fluxograma do processo de otimização implementado em duas fases 60 Figura 23 Esquema da homogeneização de elementos de concreto que contém barras de aço discretas 62 Figura 24 Viga alta de Goolchild et al 2014 Adaptada de Goodchild et al 2014 67 Figura 25 Modelo treliçado adotado por Goodchild et al 2014 Adaptada de Goodchild et al 2014 67 Figura 26 Forças atuantes nos tirantes e nas bielas 68 Figura 27 Apoio A do tipo CCT Goodchild et al 2014 70 Figura 28 Ilustração da biela 12 em forma de garrafa com os tirantes transversais T Goodchild et al 2014 73 Figura 29 Detalhamento proposto por Goodchild et al 2014 Adaptada de Goodchild et al 2014 75 Figura 30 Viga alta com abertura segundo Novak e Sprenger Adaptada de Novak e Sprenger 2002 76 Figura 31 Modelo de bielas e tirantes proposto por Novak e Sprenger Adaptada de Novak e Sprenger 2002 77 Figura 32 Forças e reações do modelo de bielas e tirantes de Novak e Sprenger Adaptada de Novak e Sprenger 2002 78 Figura 33 Geometria do Nó A Adaptada de Novak e Sprenger 2002 81 Figura 34 Geometria do Nó B Adaptada de Novak e Sprenger 2002 82 Figura 35 Geometria do Nó C Adaptada de Novak e Sprenger 2002 83 Figura 36 Detalhamento proposto por Novak e Sprenger Adaptada de NOVAK e SPRENGER 2002 86 Figura 37 Curva compliancefração volumétrica versus iterações 89 xiii Figura 38 Gráfico das densidades finais do projeto 90 Figura 39 Curva tensões máximas e resíduos versus iterações 91 Figura 40 Gráfico das tensões equivalentes de Ottosen e von Mises suavizadas 91 Figura 41 Gráfico das direções das tensões principais 92 Figura 42 Detalhamento proposto da estrutura otimizada 94 Figura 43 Estrutura otimizada com as armaduras propostas para varificação 94 Figura 44 Simplificação do detalhamento de Goodchild et al 2014 para verificação 95 Figura 45 Tensões equivalentes suavizadas de Ottosen e de von Mises atuantes na estrutura 96 Figura 46 Gráficos das deformadas das estruturas e seus deslocamentos 96 Figura 47 Curva compliance e fração volumétrica versus iterações 100 Figura 48 Gráfico das densidades finais de projeto 101 Figura 49 Curva tensões máximas e resíduos versus iterações 101 Figura 50 Gráfico das tensões equivalentes suavizadas de Ottosen e von Mises 102 Figura 51 Gráfico das direções das tensões principais 102 Figura 52 Detalhamento proposto para a estrutura otimizada 103 Figura 53 Estrutura otimizada com armaduras proposta para verificação 104 Figura 54 Simplificação do detalhamento de Novak e Sprenger 2002 para verificação 105 Figura 55 Tensões equivalentes suavizadas de Ottosen e de von Mises atuantes na estrutura 106 Figura 56 Gráficos das deformadas das estruturas 106 xiv LISTA DE TABELAS Tabela 1 Número de equações para problemas bidimensionais 37 Tabela 2 Número de incógnitas para problemas bidimensionais 37 Tabela 3 Áreas de aço e barras propostas por Novak e Sprenger 2002 para detalhamento 79 Tabela 4 Verificação das larguras das bielas de compressão 80 Tabela 5 Propriedades do concreto e do aço utilizadas na otimização 88 Tabela 6 Parâmetros para otimização 88 Tabela 7 Detalhamento proposto da viga otimizada com barras discretas 93 Tabela 8 Propriedades do concreto e do aço utilizadas na otimização de Novak e Sprenger 2002 99 Tabela 9 Parâmetros para otimização 99 Tabela 10 Detalhamento das barras do exemplo otimizado 103 xv LISTA DE ABREVIATURAS SIGLAS E SÍMBOLOS ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas ACI American Concrete Institute BESO Bidirectional Evolutionary Structural Optimization CEB Comité Internacional du Béton ELS Estado Limite de Serviço ELU Estado Limite Último ERR Elementar Rejection Rate ESO Evolutionary Structural Optimization FORM First Order Reliability Method GESO Genetic Evolutionary Structural Optimization IR Inclusion Rate ITD Isolines Topology Design MATLAB Matrix Laboratory MEF Método dos Elementos Finitos MMA Method of Moving Asymptotes NBR Norma Brasileira PCI PrecastPrestressed Concrete Institute RR Rejection Rate SESO Smoothing Evolutionary Topology Optimization SIMP Solid Isotropic Material with Penalization STM Strut and Tie Model Letras maiúsculas B Matriz que relaciona os deslocamentos com as deformações C Matriz de coeficientes elásticos xvi C Matriz de amortecimento Nsm D Matriz constitutiva K Matriz de rididez global Nsm M Matriz de massa global kg N Matriz de funções de forma R Matriz de rotação Ke Matriz de rigidez elementar N P Vetor de forças global N Pbe Vetor de forças de volume dos elementos Pc Vetor de forças concentrada Pe Vetor de forças do elemento Pse Vetor de forças de superfície dos elementos Q Vetor de deslocamento nodal da estrutura m Qe Vetor de graus de liberdade de deslocamento nodal do elemento U Vetor de deslocamentos global m Ac Área de concreto m2 Ap Área de tirante de protensão m2 As Área de aço necessária m2 Asforn Área de aço fornecida a partir da área de aço necessária m2 At Área transversal do elemento finito m2 C Compliance Cc Biela de concreto sob compressão MPa CCC Nó sob compressão CCT Nó com uma força de tração CTT Nó com duas forças de tração E Módulo de elasticidade GPa E0 Módulo de elasticidade inicial GPa Eh Módulo de elasticidade homogeneizado GPa Emin Módulo de mínimo GPa F Força concentrada aplicada em um ponto do elemento estrutural kN Fn Força nominal em uma biela tirante ou zona nodal kN Fnn Força à compressão nominal em uma zona nodal kN xvii Fns Força nominal em uma biela kN Fsd Força solicitante de projeto kN Ft Força total dos elementos que representam um tirante na otimização topológica kN Fu Força atuante em uma biela tirante ou zona nodal kN I1 Primeiro invariante de tensões MPa I2 Segundo invariante de tensões MPa2 I3 Terceiro invariante de tensões MPa3 J2 Segundo invariante de tensões desviadoras MPa2 J3 Terceiro invariante de tensões desviadoras MPa3 L Lado do elemento finito m N Número total de iterações Pi Força atuante no elemento finito kN RA Força de reação no ponto A kN RB Força de reação no ponto B kN T Força de tração tranversal em uma biela sob compressão kN Ts Tirante de com armadura sob tração kN TTT Nó sob tração Vfrac Fração volumétrica alvo Vi Volume do elemento finito m3 VOT Volume do modelo proposto a partir da otimização topológica m3 VSTM Volume do modelo de bielas e tirantes do exemplo analisado m3 Wint Trabalho interno das forças J Letras minúsculas xy Sistema de coordenadas plana m xyz Sistema de coordenadas espacial m f Matriz de força elementar kN k Matriz de rididez elementar kNm r Matriz de rotação local u Matriz de deslocamento nodal m a Baselargura de uma biela m b Base da seção transversal m xviii bef Largura efetiva de uma biela de compressão m e Elemento finito fc Resistência à compressão específica do concreto MPa fcd Resistência de projeto à compressão do concreto MPa fcd1 Resistência máxima do concreto em bielas ou nós com apenas tensões de compressão MPa fcd2 Resistência máxima do concreto em bielas ou nós com mais de uma tensão de tração MPa fcd3 Resistência máxima do concreto para nós com um tirante tracionado MPa fck Resistência característica do concreto à compressão MPa fctd Resistência de projeto à tração do concreto MPa fctk Resistência característica do concreto à tração MPa fctm Resistência média do concreto à tração MPa fcu Resistência à compressão efetiva do concreto em uma biela ou nó MPa fy Limite de escoamento do aço à tração MPa fyd Limite de escoamento de projeto do aço à tração MPa h Comprimento ou altura de descontinuidade a partir de uma região B adjacente m i iésimo elemento finito l Comprimento longitudinal ou vão livre m lbd Comprimento de ancoragem de projeto m lbreq Comprimento de ancoragem requerido m li Comprimento de elemento finito m mOT Massa do modelo proposto a partir da otimização topológica kg mSTM Massa do modelo de bielas e tirantes do exemplo analisado kg n Número total de elementos finitos p Penalização para compliance q Penalização para tensão rmin Raio mínimo para filtro para evitar problema de checkerboard m ssk Espaçamento entre barras m t Espessura de um elemento m tol Tolerância para otimização topológica xix u Deslocamento horizontal m u Deslocamento horizontal m v Volume elementar m3 v Deslocamento vertical m w Peso do elemento que compartilha o mesmo nó xe Variável de projeto xlim Valor limite entre vazio e material xmin Valor mínimo da variável discreta Letras gregas maiúsculas Δ Variação Φ Vetor de forças prescritas m Letras gregas minúsculas 𝜀 Vetor de deformações m 𝜎 Vetor do tensor de tensões MPa 𝜙 Vetor de forças de corpo por unidade de volume kN 𝛼 Coeficiente de ponderação das ações 𝛼𝑐𝑡 Parâmetro para redução da resistência em decorrência da ductilidade do concreto 𝛼𝑖 𝑒 Número de sensibilidade do elemento 𝛼𝑖 𝑘 Número de sensibilidade do elemento na késima iteração 𝛼𝑣2 Coeficiente de redução da resistência do concreto à compressão 𝛽 Ângulo entre biela e tirante 𝛽𝑛 Fator redutor da resistência em função das característica da zona nodal 𝛽𝑠 Fator redutor da resistência em função das característica da biela 𝛾 Coeficiente de proporção 𝛾𝑐 Coeficiente de minoração da resistência do concreto 𝛾𝑓 Coeficiente de ponderação das ações 𝛾𝑛 Coeficiente de ajustamento 𝛾𝑛1 Coeficiente de ajustamento função da ductilidade de uma eventual ruína xx 𝛾𝑛2 Coeficiente de ajustamento função da gravidade das consequências de uma eventual ruína 𝛾𝑠 Coeficiente de minoração da resistência do aço 𝛾𝑥𝑦 Distorção do plano xy m 𝛿 Deslocamento máximo m 𝜀𝑚𝑖 Deformação média de um elemento finito m 𝜀𝑥𝑥 Deformação na direção x m 𝜀𝑦𝑦 Deformação na direção y m 𝜂1 Fator redutor relativo à qualidade da aderência e da posição da barra durante a concretagem 𝜂2 Fator redutor relativo ao diâmetro da barra 𝜃 Plano princial 𝜈 Coeficiente de redução da resistência do concreto em função da resistência característica 𝜈𝑐 Coeficiente de Poisson para o concreto 𝜈𝑠 Coeficiente de Poisson para o aço 𝜋𝑝 Energia potencial J 𝜋𝑝 𝑒 Energia potencial elementar J 𝜌 Razão entre a área de armadura e a área bruta de concreto 𝜌𝑐 Densidade do concreto kgm3 𝜌𝑠 Densidade do aço kgm3 𝜎1 𝜎2 𝜎3 Tensões principais MPa 𝜎𝑂𝑡𝑡 Tensão equivalente de Ottosen MPa 𝜎𝑅𝑑 Tensão resistente de projeto MPa 𝜎𝑆𝑑 Tensão solicitante de projeto MPa 𝜎𝑒 𝑣𝑚 Tensão equivalente de von Mises elementar MPa 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝑣𝑚 Máxima tensão de von Mises MPa 𝜎𝑣𝑀 Tensão equivalente de von Mises MPa 𝜎𝑥𝑥 Tensão cartesiana na direção x MPa 𝜎𝑦𝑦 Tensão cartesiana na direção y MPa 𝜏𝑥𝑦 Tensão de cisalhamento no plano xy MPa 𝜙 Diâmetro da barra de aço ou cordoalha de protensão 𝜙𝑟 Fator de redução da resistencia Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 1 1 INTRODUÇÃO O Método de Bielas e Tirantes ou Strut and Tie Model STM atualmente é bem difundido na Engenharia de Estruturas estando presente nas principais normas internacionais como no Eurocode 22004 e no ACI 3182002 e nacional como na Norma Brasileira NBR 61182014 Projeto de estruturas de concreto procedimentos da Associação Brasileira de Normas Técnicas ABNT O Método tem como base a analogia da treliça de RitterMörsch foi discutido inicialmente em 1982 no Comité EuroInternational du Béton e publicado em 1987 por Schlaich Schäfer e Jannewein 1987 no PCI Jornal Na prática o método de bielas e tirantes é utilizado para dimensionamento e detalhamento de estruturas com regiões descontínuas de concreto armado As descontinuidades são áreas onde a hipótese do estado plano de tensões de Bernoulli não é aplicável ou seja a teoria clássica de vigas não se aplica Essas regiões podem ser classificadas em estática eou geométrica A descontinuidade geométrica é vista em regiões como furos aberturas diferença de geometria encontro entre viga e pilar e encontro de pilar com bloco de fundação Já a descontinuidade do tipo estática ocorre em regiões onde há cargas concentradas Consoles dentes Gerber e vigas altas são tipos de estruturas que apresentam um ou os dois tipos de descontinuidades Em um projeto por bielas e tirantes basicamente o elemento estrutural é dividido entre região B onde a hipótese de Bernoulli é aceita e região D onde ocorre descontinuidade Na região descontínua idealizase um modelo de treliça com barras tracionadas tirantes bielas comprimidas e nós de ligação entre elementos a partir de um fluxo de carga predeterminado que vai da carga aplicada aos apoios Dessa forma é possível determinar as forças nessas regiões verificar a segurança da região de concreto à compressão e dimensionar armaduras eou cordoalhas de protensão para as regiões sob tração Contudo a experiência do engenheiro projetista é importante pois determinará com mais ou menos facilidade a configuração do modelo treliçado Nas últimas décadas o tópico otimização estrutural otimização topológica mais especificamente começou a ser utilizado para determinar de forma rápida e precisa o fluxo da carga e assim possibilitou minimizar a dependência da experiência do engenheiro nos projetos de bielas e tirantes Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 2 Entretanto o tema otimização estrutural é muito mais abrangente do que apenas determinar o caminho das cargas para obtenção de um modelo ideal de bielas e tirantes em uma estrutura Por meio da otimização topológica que consiste em otimizar uma estrutura a nível das dimensões tamanho e conectividades é possível obter uma estrutura leve econômica e segura atendendo aos parâmetros do Modelo de Bielas e Tirantes 11 MOTIVAÇÃOJUSTIFICATIVA Revisando o assunto acerca do método de bielas e tirantes notouse que é necessário que o engenheiro projetista tenha experiência para obter a configuração ideal do modelo treliçado de bielas e tirantes em um elemento estrutural E ainda assim para uma mesma estrutura analisada por diferentes engenheiros a configuração das bielas e dos tirantes pode variar A fim de sanar essa lacuna buscase uma alternativa para minimizar essa dependência e verificase na literatura que a otimização topológica é aplicada para a obtenção do caminho das cargas de forma sistêmica porém sem considerar o material concreto armado como um compósito Com isso a aplicação dos métodos fica limitada à determinação do caminho da carga apenas Sendo em seguida necessário modelar uma treliça composta por bielas de concreto comprimido e tirantes aço tracionado Neste sentido considerando a versatilidade da otimização topológica na redução de material e devido ao crescente avanço da tecnologia de impressão 3D que possibilita a confecção de peças com geometrias complexas implementase uma rotina em Matlab para otimização de estruturas presentes na literatura por meio de otimização topológica considerando critérios de falha distintos para o concreto e para o aço E a fim de validar os resultados traçamse comparativos entre os modelos otimizados com os modelos detalhados segundo o método de bielas e tirantes tradicional 12 OBJETIVOS Este trabalho tem por objetivo abordar o tema otimização topológica aplicada ao método de bielas e tirantes como forma de projeto inicial com o intuito de obter uma estrutura em concreto armado otimamente projetada em termos de rigidez e segurança Além disso pretendese comparar estruturas oriundas do código implementado com estruturas projetadas pelo método de bielas e tirantes presentes na literatura como vigas altas com e sem abertura Para alcançar este objetivo é necessário implementar uma rotina que faça a otimização topológica e de verificação das estruturas finais detalhadas Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 3 13 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Adotase um código em MATLAB proveniente de Huang e Xie 2010 para otimização topológica de estruturas que leva em conta um único tipo de material Essa rotina é modificada para que a análise leve em conta os dois materiais presentes no concreto armado Neste trabalho se prioriza o uso da formulação BESO Bidirectional Evolutionary Structural Optimization em relação à outras metodologias como o SIMP Solid Isotropic Material with Penalization devido a sua simplicidade de implementação além da facilidade de inclusão de critérios de tensão para a otimização Critérios de falha distintos foram implementados para o concreto e para o aço As rotinas foram programadas levando em conta a quantidade de elementos finitos a serem utilizados geralmente grande para problemas de otimização topológica e prever sistemas de resolução de equações compatíveis com a esparsidade do problema A busca na literatura de outros exemplos semelhantes de otimização topológica para concreto armado também é realizada com o objetivo de validar o algoritmo desenvolvido 14 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO Este trabalho é dividido em 9 capítulos dos quais o Capítulo 1 contempla os motivos que levaram a escrita deste trabalho bem como os objetivos atingidos metodologia aplicada e organização do trabalho Uma breve revisão da abordagem sobre otimização estrutural é realizada no Capítulo 2 a fim de introduzir acerca da otimização topológica aplicada às estruturas de concreto armado Posteriormente é realizada uma revisão acerca do método tradicional de bielas e tirante para dimensionamento de estruturas especiais de concreto armado incluindo as prescrições da NBR 61182014 Eurocode 22004 e ACI 3182002 No Capítulo 3 dito Fundamentação Teórica é abordado sobre a formulação em elementos finitos utilizada nas implementações e sobre os conceitos da otimização topológica É apresentado o método ESO Evolutionary Structural Optimization precursor do método BESO Bidirectional Evolutionary Structural Optimization que por sua vez é utilizado nas otimizações das estruturas estudadas bem como as ferramentas essenciais para otimização estrutural Os critérios de falha de Ottosen e de von Mises utilizados para representar a falha dos materiais Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 4 concreto e o aço respectivamente com base em suas tensões e limites resistentes são apresentados no Capítulo 4 No Capitulo 5 é apresentado o processo de otimização estrutural aplicada às estruturas É descrita a 1ª fase de otimização que representa a otimização topológica de concreto a 2ª fase que representa a introdução de elementos de aço à estrutura e apresentado um fluxograma explicativo da abordagem BESO com as adaptações acrescidas ao método para lidar com a otimização de concreto e aço em uma mesma análise No Capítulo 6 é explicado sobre a abordagem de discretização e homogeneização dos elementos de aço para representar barras de aço inseridas ao concreto como ocorre em estruturas reais Tal abordagem necessária devida à densidade de aço retornada pelo programa de otimização Posteriormente é explica sobre a obtenção das tensões e deslocamentos que ocorrem nas estruturas com barras discretas homogeneizadas Os exemplos analisados são apresentados no Capítulo 7 É apresentado inicialmente uma viga alta dimensionada por Goodchild et al 2014 segundo o Eurocode 022004 E posteriormente uma viga alta com abertura e descontinuidade geométrica dimensionada por Novak e Sprenger 2002 segundo o ACI 3182002 Neste capítulo são apresentadas todas etapas de cada normativa até o detalhamento final da estrutura seguindo a metodologia tradicional do Método das Bielas e Tirantes No Capitulo 8 são apresentados os processos de otimização das estruturas detalhadas segundo o Eurocode 022004 e o ACI 3182002 utilizando os códigos aqui desenvolvidos neste trabalho Neste capítulo são apresentados os parâmetros de otimização de cada estrutura os resultados das otimizações e as estruturas detalhadas segundo a otimização estrutural Em um segundo momento são apresentados os comparativos entre tensões e flechas das estruturas projetadas no Capítulo 7 e com as estruturas otimizadas neste capítulo e também comparativos simplificados de volumes massas e custos Por fim no Capítulo 9 são feitas as conclusões acerca dos resultados obtidos e comparativos realizados São apresentadas também algumas sugestões relevantes para trabalhos futuros a partir de todo estudo aqui estabelecido e que poderão acrescentar melhorias à esta pesquisa Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 5 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Neste capítulo é apresentada a revisão bibliográfica sobre otimização estrutural otimização topológica aplicada a estruturas de concreto armado e sobre o Método de Bielas e Tirantes Tendo em vista a infinidade de publicações sobre esses assuntos apresentamse neste capítulo os pontos mais relevantes sobre os temas ao longo dos anos 21 OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL Huang e Xie 2010 afirmam que o conceito de otimização estrutural vai ao encontro da conscientização ambiental recursos materiais limitados e à competição tecnológica colocando o engenheiro em um panorama em que o projeto ideal se torna cada vez mais importante Para o engenheiro estrutural projetar estruturas leves de baixo custo e de alto desempenho uso mais racional dos materiais é extremamente desafiador A otimização estrutural busca alcançar o melhor desempenho para uma estrutura enquanto satisfaz algumas restrições como uma determinada quantidade de material mantendo a funcionalidade e segurança estrutural A otimização estrutural passou do panorama de interesse do meio acadêmico apenas para o estágio em que se encontra onde um número crescente de engenheiros e arquitetos experimentam e se beneficiam das técnicas de otimização como abordam Huang e Xie 2010 Isso também devido à disponibilidade de computadores de alta velocidade e devido às melhorias nos algoritmos utilizados para otimização de projetos Têm havido cada vez mais atividades de pesquisa e desenvolvimento voltadas para tornar os algoritmos de otimização estrutural e pacotes de softwares disponíveis confiáveis e eficientes Historicamente a busca por projetos seguros e econômicos datam desde Maxwell 1904 o qual mostrou em sua publicação The Limits of Economy of Material in Framestructures a viabilidade de treliças otimizadas visando a economia de material Em suma Maxwell 1904 estudou a quantidade e volume mínimos de materiais que uma treliça precisa ter para suportar um dado sistema de forças e tensões aplicadas em seus tirantes e bielas Dessa forma se obteria uma treliça com menor volume de material menor deslocamento e mais econômica devido à redução do peso próprio Dando início dessa forma ao que se conhece como otimização estrutural Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 6 Conforme Bendsøe e Sigmund 2003 otimização estrutural é classificada em três tipos de categorias conforme Figura 1 paramétrica a de forma b e de topologia c Figura 1 Tipos de otmização estrutural Bendsøe e Sigmund 2003 a A otimização paramétrica consiste em encontrar o projeto ideal alterando as variáveis de tamanho como as dimensões da seção transversal e comprimentos de treliças e pórticos ou a espessura das placas Essa é a abordagem mais fácil e inicial para melhorar o desempenho estrutural b A otimização de forma é realizada principalmente em estruturas contínuas modificando os limites físicos predeterminados para obter as configurações ideais Neste caso não é previsto a possibilidade de criação de novas regiões de material ou retirada dos mesmos apenas é permitido variar a forma final c A otimização da topologia para estruturas discretas como treliças e pórticos é buscar a ordem espacial ideal a conectividade das barras partindose das múltiplas possibilidades disponíveis A otimização topológica de estruturas contínuas é encontrar os projetos ideais determinando os melhores locais e geometrias de alocação do material e de cavidades em um domínio do projeto previamente definido 22 OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA Como abordam Bendsøe e Sigmund 2003 em problemas de otimização topológica o tamanho a forma e conectividades da estrutura são desconhecidos sendo o objetivo da abordagem encontrar a topologia ideal de uma estrutura dentro de um domínio de projeto específico As únicas grandezas conhecidas no problema são as cargas aplicadas as possíveis condições de Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 7 apoio o volume da estrutura a ser construída e possivelmente algumas restrições adicionais de projeto como a localização e o tamanho dos furos prescritos ou áreas sólidas O início do tema por assim dizer ocorre por Kumar 1978 o qual aplicou simplificadamente uma metodologia de barras de treliças otimizadas para a obtenção do caminho das cargas em peças de vigas altas de concreto armado A aplicação dos conceitos de otimização topológica voltado para estruturas de concreto armado utilizando elementos finitos em estado plano de tensões ocorreu por Bendsøe e Kikuchi 1988 que tratavam do problema de geração de topologias ótimas no projeto estrutural usando um método de homogeneização para estruturas em estado plano Desde então surgiram centenas de publicações tendo como resultado vários métodos numéricos de otimização topológica que atingiram o estágio de aplicações práticas incluindo o método SIMP Solid Isotropic Material with Penalization o método ESO Evolutionary Topology Optimization e o método BESO Bidirectional Evolutionary Topology Optimization E vários livros foram publicados como os livros de Bendsøe 1995 Xie e Steven 1997 Hassani e Hinton 1999 Bendsøe e Sigmund 2003 e Huang e Xie 2010 A tradução do termo SIMP tem com significado Material Isotrópico Sólido com Penalização e a ideia original do método foi proposta por Bendsøe 1989 O método ESO Otimização Estrutural Evolutiva que é um método de projeto baseado no conceito simples de remover gradualmente material ineficiente de uma estrutura foi iniciado por Xie e Steven 1992 Já o BESO que significa Otimização Estrutural Evolutiva Bidirecional no qual o material é removido e adicionado simultaneamente em uma estrutura foi inicialmente pesquisado por Yang et al 1999 Chu et al 1996 apresentam o método ESO para restrições de rigidez com a finalidade de reproduzir muitas soluções de otimização topológica estruturais anteriormente obtidas por outros métodos matematicamente muito mais complicados como a abordagem de Michell 1904 por exemplo Essas formas ideais resultaram em reduções de volume significativas A otimização estrutural usando o método ESO pode ser alcançada simplesmente executando a análise de elementos finitos padrão repetidamente com cálculo adicional dos números de sensibilidade Foram apresentados os conceitos de números de sensibilidade e taxa de remoção para vários tipos de problemas de otimização incluindo aqueles com múltiplos casos de carga e múltiplas restrições de deslocamento Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 8 Com uma formulação baseada em ESO e elementos finitos planos o trabalho de Liang et al 1999 é um dos pioneiros aplicado a peças de concreto armado com não linearidades geométricas e estática Nesse trabalho a metodologia é empregada para a geração de modelos de bielas e tirantes em estruturas de vigas altas e consoles de concreto Basicamente é feita a retirada de elementos discretos do modelo que não contribuem para a rigidez da estrutura através de índices de sensibilidade e realizado o monitoramento do processo de otimização e medição da eficiência do material por meio de índice de desempenho Ao final os autores constatam que o método ESO é capaz de gerar modelos confiáveis de bielas e tirantes que têm suporte em soluções analíticas evidências experimentais e que pode ser uma ferramenta de grande valia para o projetista estrutural definir o caminho real da carga em estruturas de concreto armado com geometria e condições de carregamento complexos mesmo sem experiência prévia Liang et al 2000 ampliaram as pesquisas sobre o método ESO em que a otimização topológica ocorre a partir da retirada dos elementos de menor energia de deformação com objetivo de gerar estruturas com menor massa e com restrições de deslocamentos aceitáveis Todas as análises são feitas com as hipóteses de materiais elásticos lineares Cinco exemplos são analisados pelos autores sendo eles viga alta com duas cargas concentradas na parte inferior viga alta com aberturas viga alta com abertura em posição diferente vigas sem abertura e com variação da altura e consoles Os autores concluíram que o método é mais apropriado para encontrar modelos ótimos de bielas e tirantes em elementos de concreto com relação vãoaltura lh 5 Em vigas muito esbeltas o modelo de bielas e tirantes é difícil de ser identificado Em viga alta carregada na parte inferior deve haver reforço vertical e inclinado para transferir o carregamento para a região em compressão Para abertura localizada no caminho natural do carregamento esse deve ser redirecionado ao redor da abertura Para vigas com relação lh 3 armaduras inclinadas oferecem mais resistência ao cisalhamento para a viga E por fim elementos de consoles em pilares devem ser considerados como uma única peça no desenvolvimento do modelo de bielas e tirantes Um modelo de barras de treliças foi implementado juntamente com o método ESO para a otimização topológica de estruturas planas por Kwak e Noh 2006 com o objetivo de servir como modelos de bielas e tirantes de estruturas de concreto armado A ideia passa por gerar barras que formem elementos básicos chamados de células compostas por 6 barras formando uma treliça estável e utilizar estas células como parâmetros a serem retirados das estruturas Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 9 completa baseandose nas menores energias de deformação Estes autores chegam à conclusão que o procedimento utilizando as barras ao invés de elementos planos é mais eficiente em termos de tempo computacional e menos sensível a problemas de tamanho de malha que os métodos clássicos com elementos planos resultando em estruturas com peças que não sofrem flexão e distribuem o fluxo dos esforços sem muitas distorções Exemplos clássicos de viga alta com abertura console em pilar viga simplesmente apoiada e carga concentrada são testados e comparados com resultados da literatura indicando bons resultados alcançados O conceito de densidade artificial via método SIMP Solid Isotropic Material with Penalization é utilizado em Pantoja Vaz e Martha 2009 com otimização topológica via método MMA Method of Moving Asymptotes conjuntamente com o Método dos Elementos Finitos MEF para determinar um caminho ótimo das cargas em vigas altas Assim como em Liang et al 1999 2000 é realizada a remoção gradual de material em regiões que pouco contribuem para a rigidez da estrutura com base nas densidades artificiais de cada elemento e suas correspondentes sensibilidades As análises são feitas com e sem elementos indutores onde é realizada a modelagem fixando as densidades dos elementos o que pode proporcionar uma interação maior entre o projetista e o software resultando em uma possível melhora do número e dos tipos de caminhos de cargas de acordo com a experiência do projetista Qiu e Liu 2011 compararam 3 algoritmos de otimização do tipo GESO Genetic Evolutionary Structural Optimization para construção de modelos de bielas e tirantes em vigas altas em conjunto com o MEF No primeiro método o concreto e o aço foram modelados separadamente por um elemento plano e um elemento de barra respectivamente No segundo o concreto e o aço foram atribuídos a dois elementos planos distintos E no terceiro por um elemento plano sem considerar a diferença entre os materiais Verificouse que os três métodos são eficientes para gerar modelos de bielas e tirantes sendo o terceiro capaz de encontrar resultados ótimos com menos esforço computacional No artigo de Victoria Querin e Martí 2011 é utilizado o método ITD Isolines Topology Design a partir de três exemplos de aplicação levando em consideração a diferença das propriedades mecânicas do concreto e do aço nas regiões de compressão e tração Os exemplos utilizados são console curto simples viga alta com abertura e o encontro de duas vigas com um pilar Nesse trabalho é visto que a otimização por meio desse método fornece a localização exata do reforço sem a necessidade de interpretar a topologia resultante A configuração dos tirantes na região de tração é diferente do método tradicional que utiliza o mesmo material para Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 10 estrutura como todo E por fim é necessário menos reforço de aço com a utilização do método Rozvany e Maute 2011 objetivam verificar a validade precisão e convergência de métodos de otimização topológica baseados em MEF por meio de análise de vigas baseada na confiabilidade O problema foi resolvido analiticamente usando uma extensão da teoria de forma ideal e a solução foi verificada numericamente por uma abordagem de confiabilidade de primeira ordem FORM combinada com um método de distribuição de material SIMP A solução foi confirmada pela otimização baseada na confiabilidade assumindo uma topologia de treliça de duas barras Os resultados analíticos foram estreitamente associados aos resultados de otimização da topologia com base na distribuição de material SIMP Santos Almeida e Pantoja 2013 abordam uma análise de confiabilidade de modelos de bielas e tirantes via otimização topológica e método tradicional Para isso são realizadas três aplicações com metodologias distintas considerando análise limite análise de confiabilidade e análise de confiabilidade associada à análise limite Na primeira aplicação analisouse o elemento estrutural pelo método tradicional e com elementos indutores Foram avaliados elementos com módulos de elasticidade diferentes nas regiões de tração e compressão na segunda foi utilizado critério de escolha de modelos baseado em análise de confiabilidade com análise limite por fim a terceira aplicação apresentou a análise de confiabilidade com análise limite do modelo da primeira aplicação Verificouse que para todas aplicações o modelo gerado via otimização topológica apresentou desempenho superior ao método tradicional Em Almeida Simonetti e Oliveira Neto 2013 são apresentadas técnicas numéricas para identificar regiões de tensões que representam os elementos de bielas e tirantes quantificando seus respectivos esforços Os problemas de estado plano de tensões considerando o modelo elásticolinear são analisados utilizando o modelo de bielas e tirantes acoplado ao método clássico ESO e uma nova variante SESO Smoothing Evolutionary Topology Optimization conjuntamente com o MEF A priori é definido um domínio inicial estendido e por meio de processo iterativo elementos sob menores tensões e que menos contribuem para rigidez da peça são removidos suavemente até que não apresentem mais influência na estrutura e reste apenas as bielas e tirantes A vantagem do método SESO é que ele não apresenta o problema de tabuleiro como o método ESO O problema de tabuleiro ocorre quando a malha de elementos finitos apresenta elementos vazios e cheios alternados em uma dada região na qual é mais favorável o padrão do que uma região uniforme Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 11 Uma metodologia baseada em BESO Bidirectional Evolutionary Structural Optimization foi utilizada por Hardjasaputra 2015 para testar o projeto de estruturas de bielas e tirantes em vigas de concreto armado com aberturas pequenas médias e grandes e demonstraram que as soluções obtidas por otimização topológica bidimensional em estado plano de tensões elástico linear podem sim serem utilizadas como ponto inicial do projeto de modelos de treliças de bielas e tirantes O autor concluiu que a metodologia BESO pode acelerar o processo da escolha do modelo de bielas e tirantes Além do mais a solução obtida por esta metodologia apresentou se melhor em termos de rigidez que aquelas obtidas por apenas conhecimento e suposição do fluxo de esforços na estrutura Simonetti et al 2016 compararam alguns exemplos de estruturas nas quais a configuração ótima já é conhecida por meio dos modelos tradicionais de bielas e tirantes Além da vantagem em não apresentar o problema de tabuleiro os autores concluíram que a formulação SESO apresenta robustez eficiência e precisão para obter configurações ótimas e os esforços relatados por outros autores Por fim os autores propõem a utilização do método em problemas mais complexos como não linearidade e problemas de análise dinâmica principalmente devido à qualidade alcançada e o baixo custo computacional Greco e Guerra 2017 apresentam a aplicação do modelo de bielas e tirantes para elementos estruturais não lineares juntamente com métodos SESO Em relação às análises comparativas entre os resultados obtidos para o comportamento linear e não linear do material os autores afirmam que as soluções apresentaram certas diferenças na topologia ótima para os exemplos abordados com isso concluise que o posicionamento da armadura pode ser diferente para o caso não linear Tavares e Canha 2018 2019 realizaram modelagens numéricas utilizando o Método de Otimização Topológica com a formulação em que o domínio a ser otimizado é discretizado por uma malha de barras interconectadas o que na literatura internacional é chamado de Método do Ground Structure O programa utilizado foi desenvolvido em linguagem MATLAB por Ramos Paulino 2016 e adaptado para considerar o custo nodal que está relacionado com um volume fictício para os nós que permite simplificar a topologia final da estrutura Uma metodologia de extração dos modelos de treliças de forma automática e sem intervenção manual a partir dos resultados de otimização topológica é proposta por Xia Langelaar e Hendriks 2020a 2020b 2020c Em seus trabalhos são feitas avaliações críticas sobre a Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 12 adequação dos resultados de uma otimização topológica contínua como ponto de partida para o projeto de estruturas de bielas e tirantes de modelos planos e tridimensionais considerando a não linearidade física do material São avaliados os resultados de diversos exemplos da literatura utilizando métodos ESO SIMP Isoline e Fullhomogeneous de modelos de bielas e tirantes com os resultados obtidos com a metodologia de extração dos modelos de treliça Na maioria dos casos os resultados mostraram bom desempenho medido a partir de índices propostos que avaliam os graus de exequibilidade e economicidade da treliça resultante da otimização gerando estruturas economicamente viáveis e inclusive identificando estruturas de treliças não viáveis em algumas das análises Os autores reportam que não perceberam melhorias de um modelo de otimização topológica simples para outros mais sofisticados nos resultados dos modelos de bielas e tirantes obtidos Novotny Lopes e Santos 2021 com base na publicação de Bruyneel e Duysinx 2005 observaram que a formulação padrão baseada na minimização da conformidade sob restrição de volume tornase inadequada quando a carga de peso próprio é dominante Os autores introduziram um termo de regularização para o problema de minimização baseado em conformidade que permite impor qualquer restrição de volume viável levando a resultados satisfatórios evitando soluções triviais e problemas de convergência A eficácia da abordagem proposta na solução de um problema de otimização de topologia estrutural sob carga própria foi demonstrada por meio da aplicação de vários experimentos numéricos Tauzowski Blachowski e Lógó 2021 propuseram um método para a otimização da topologia com restrição de tensão baseada na confiabilidade para estruturas com material elastoplástico perfeito Os autores frisam que o processo de determinação da topologia ótima de estruturas com material elastoplástico perfeito está associado à remoção de material da estrutura mas ao mesmo tempo ocorre o aumento da probabilidade de falha estrutural devida ao enfraquecimento da resistência e rigidez A metodologia proposta consiste na junção de dois problemas de otimização para otimização de estruturas O primeiro é baseado em um algoritmo heurístico sob critério de tensão para redução de volume E o segundo utiliza o método FORM que é responsável pelo cálculo do índice de confiabilidade Para demonstrar a eficácia da metodologia proposta três exemplos numéricos foram analisados com base em Rozvany e Maute 2011 Os resultados obtidos pela metodologia proposta foram considerados de acordo com a solução analítica e fornecem topologias ótimas comparáveis às obtidas por outros métodos Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 13 Em seu livro Huang e Xie 2010 afirmam que algumas das diferentes versões dos algoritmos ESOBESO propostas por muitos pesquisadores nas últimas duas décadas não são confiáveis e são ineficientes Com isso os autores propõem uma discussão abrangente e sistemática sobre as técnicas mais recentes e procedimentos adequados para os métodos em particular o método BESO para a otimização da topologia de estruturas contínuas E para isso propõem solucionar uma ampla gama de problemas de projeto estrutural incluindo rigidez e otimização de frequência material não linear grande deformação absorção de energia materiais múltiplos restrições múltiplas estruturas periódicas e assim por diante 23 MÉTODO DE BIELAS E TIRANTES O Método de Bielas e Tirantes proposto por Schlaich et al 1987 faz com que a estrutura seja projetada de acordo com o teorema do limite inferior da teoria da plasticidade esforços internos e externos em equilíbrio e não excedendo os valores últimos Em outras palavras a estrutura é projetada no Estado Limite Último ELU Entretanto como o concreto e o aço têm deformações plásticas limitadas o modelo tem de ser escolhido de forma que a capacidade de deformação não seja excedida em nenhum ponto da estrutura Para regiões com tensões elevadas a utilização da reserva de resistência do material é otimizada se forem colocadas as bielas e os tirantes nas direções das tensões principais conforme a teoria da elasticidade e os elementos sejam adequadamente dimensionados para atenderem a esses esforços Para regiões com tensões médias e baixas essas direções podem se afastar mais das direções das tensões principais de acordo com as necessidades práticas 231 Regiões B e D Como visto no Capitulo 1 a hipótese de Bernoulli na qual afirma que uma seção plana permanece plana após deformação se aplica a uma gama de problemas em que o comportamento estrutural é bem definido Como citam Schlaich et al 1987 a distribuição linear de deformações é conhecida e as estruturas são projetadas com uma grande precisão Nessas regiões denominadas de B o estado interno de tensões é facilmente obtido a partir dos esforços seccionais ie da seção transversal como os momentos fletor e torsor e os esforços cortante e normal Já nas regiões D com distribuição de deformações não lineares a aplicação da hipótese de Bernoulli pode ser considerada inadequada Nessas regiões ocorrem as descontinuidades do tipo estática eou geométrica como já visto e para elas pode ser utilizada a generalização da Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 14 analogia de treliça que remete ao método de bielas e tirantes Conforme Schlaich et al 1987 não é necessária muita precisão para dividir a estrutura em regiões B e D Admitese que a região D se estende de uma distância ℎ para cada lado da descontinuidade onde ℎ é igual a altura da região B adjacente As Figuras 2 e 3 apresentam as regiões D área hachurada de algumas estruturas típicas segundo os autores A Figura 2 apresenta a região D de estruturas com descontinuidade geométrica e a Figura 3 de estruturas com descontinuidade estática Figura 2 Regiões D hachura de estruturas com descontinuidades geométricas Schlaich et al 1987 Figura 3 Regiões D hachura de estruturas com descontinuidades estáticas Schlaich et al 1987 Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 15 232 Caminho da carga load path e modelo treliçado A partir da divisão da estrutura em regiões B e D traçase o caminho que a carga percorre na estrutura do ponto de aplicação da carga até os seus apoios na literatura o termo caminho da carga também é conhecido por fluxo de tensão uma vez que a partir do caminho da carga pode se conhecer o fluxo de tensão de tração ou compressão que ocorre na estrutura O processo consiste em primeiro lugar garantir que o equilíbrio externo da região D seja satisfeito pela determinação de todas as cargas e reações que ali atuam Em um limite adjacente as cargas na região D são retiradas do projeto da região B assumindo por exemplo uma distribuição linear de tensões Todas as forças aplicadas nos contornos da região D são subdivididas de tal forma que as resultantes individuais de tensões nos lados opostos das regiões D tenham a mesma intensidade e possam ser ligadas por linhas de fluxo que não se cruzam Os fluxos de tensões começam e terminam no centro de gravidade dos diagramas de tensões correspondentes e têm nessas regiões a direção das cargas ou reações aplicadas Eles tendem a tomar o caminho mais curto possível entre as cargas e reações SCHLAICH et al 1987 De forma a exemplificar o exposto no parágrafo anterior é ilustrada na Figura 4 proposta por Schlaich et al 1987 uma viga alta deep beam na qual toda estrutura é considerada descontínua uma vez que sua altura é menor do que seu comprimento Neste sentido os fluxos de tensões vão das cargas equivalentes A e B até seus respectivos apoios sem se cruzarem As cargas concentradas A e B são as resultantes das porções da carga distribuída não uniforme Figura 4 Caminho da carga de uma viga alta a partir da carga não uniforme 𝑞 Adaptada de Schlaich et al 1987 Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 16 Vale notar também na Figura 4 os fluxos de tensões em que C representa o fluxo de tensão de compressão e T representa o fluxo de tensão de tração Os fluxos de tensões servirão de base para o projeto do modelo treliçado de bielas e tirantes O equilíbrio até o momento foi considerado apenas na direção das cargas aplicadas Após traçar os fluxos de tensões é necessário substituílos por polígonos atentandose para adicionar bielas nas regiões sob força de compressão e tirantes nas regiões sob tração para o equilíbrio transversal do modelo Figura 5 Como mostra a Figura 5 as bielas são representadas pelas linhas tracejadas o tirante pela linha contínua paralela à borda inferior da estrutura e os nós interligam esses dois elementos Uma subseção abordando acerca dos nós é apresentada a seguir pois sua verificação se faz necessária É necessária alguma experiência ou ter a disposição um programa de elementos finitos com análise linear elástica para auxílio na idealização do modelo ressalta Schlaich et al 1987 Os autores afirmam ainda que para modelos de bielas e tirantes devese evitar usar ângulos entre os elementos inferiores à 45 para evitar problemas de incompatibilidade No entanto é visto mais a frente que cada normatização possui suas prescrições diferentes Figura 5 Modelo treliçado de bielas e tirantes a partir do caminho das cargas Adaptada de Schlaich et al 1987 Vale destacar que qualquer modelo é aceitável desde que atenda as condições de equilíbrio Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 17 esteja de acordo com a teoria da elasticidade e resulte em um projeto prático sem reforços inclinados Por consequência a melhor solução é aquela em que o fluxo de tensões seja o mais curto possível preferindo bielas a tirantes devido as bielas serem mais rígidas do que os tirantes Dessa forma o modelo que contém menos tirantes em relação às bielas e esses tirantes são mais curtos é o modelo mais adequado A seguir na Figura 6 é apresentado um modelo bom a e outro ruim b de bielas e tirantes para uma viga alta segundo Schlaich et al 1987 a Modelo bom b Modelo ruim Figura 6 Modelo bom e ruim de bielas e tirantes segundo Schlaich et al 1987 Schlaich et al 1987 Um simples critério para escolha do modelo ótimo pode ser expresso pela energia de deformação mínima para comportamento elástico linear das bielas e tirantes da forma int i i m i Minimização de W Pl 21 sendo 𝑃𝑖 a força atuante no elemento 𝑖 de biela ou tirante 𝑙𝑖 o comprimento do elemento e 𝜀𝑚𝑖 deformação média do elemento Segundo Schlaich et al 1987 deve ser entendido que não há soluções únicas ou ótimas absolutas Substituir um conjunto contínuo de curvas suaves por linhas poligonais individuais é uma aproximação em si e deixa amplo espaço para decisões subjetivas Além disso a escolha individual assim como o tamanho da região a ser modelada eou a configuração do reforço dos tirantes na treliça é sempre diferente Os autores sugerem que o modelo de bielas e tirante inicialmente escolhido seja verificado para constatar sua validade após o detalhamento ou se precisa de correções Assim modelar e dimensionar é em princípio um processo iterativo l l Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 18 segundo os autores mas um engenheiro com alguma experiência em modelagem de bielas e tirantes sempre encontrará uma solução satisfatória Uma vez estabelecido o modelo de uma região D os esforços nas bielas e nos tirantes podem ser calculados através do equilíbrio entre forças aplicadas e esforços internos As bielas os tirantes e os seus nós são dimensionados ou verificados para suportar os esforços internos como é visto posteriormente Em complemento ao que foi exposto nos parágrafos anteriores a respeito de um bom modelo de bielas e tirantes Goodchild et al 2014 colocam que a orientação do modelo de bielas e tirantes pode ser prevista com uma análise elástica de elementos finitos antes da fissuração do concreto Como é visto mais adiante as normativas vigentes nacionais e internacionais permitem a análise simplificada por treliças equivalentes e pela análise de elementos finitos elástica linear Goodchild et al 2014 descrevem que a orientação das bielas muda após a fissuração devido à mudança na rigidez que ocorre à medida que os tirantes são solicitados A orientação das bielas e dos tirantes permanece razoavelmente constante após a fissuração até que a armadura ceda após o que ocorre uma nova reorientação à medida que as cargas aumentam até a falha a Modelo bom b Modelo ruim c Tensões principais por EF Figura 7 Modelos de bielas e tirantes a bom b ruim e c análise de elementos finitos Adaptada de Goodchild et al 2014 Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 19 Em muitos casos os modelos treliçados aceitáveis podem ser gerados usando uma simples regra de 21 ilustrada pela Figura 7a que fornece resultados semelhantes ao procedimento de elementos finitos elásticos Figura 7c ponderam Goodchild et al 2014 O modelo na Figura 7a é apropriado antes do escoamento do tirante principal Após o escoamento do tirante o ângulo 𝛽 aumenta à medida que a carga aumenta com a geometria do modelo de bielas e tirantes se aproximando daquela demonstrada na Figura 7b na falha Teoricamente os modelos treliçados devem ser projetados no estado limite de serviço ELS e no estado limite último ELU Na prática geralmente é suficiente projetar a estrutura no ELU usando um modelo treliçado que seja aceitável no ELS como o da Figura 7a O modelo na Figura 7b não é adequado para o ELS pois só pode se desenvolver quando o tirante principal tiver cedido e além dos domínios da análise elástica de elementos finitos Portanto as aberturas de fissuras seriam excessivas no ELS se o reforço fosse projetado usando bielas e tirantes como visto na Figura 7b 233 Campos de tensão Segundo Schlaich et al 1987 existem basicamente 3 tipos de bielas e tirantes a serem dimensionados que são as bielas de concreto sob compressão 𝐶𝑐 os tirantes de concreto sob tração sem armadura 𝑇𝑐 e os tirantes sob tração com armadura 𝑇𝑠 Os elementos 𝑇𝑠 são essencialmente elementos lineares entre dois nós enquanto 𝐶𝑐 e 𝑇𝑐 são campos de tensão bi ou tridimensionais entre dois nós adjacentes e tendem a formar tensões de tração ou compressão transversal Três configurações típicas são suficientes para cobrir todos os casos de campos de compressão 𝐶𝑐 incluindo os que ocorrem nas regiões B conforme Schlaich et al 1987 Os campos são os de compressão em forma de leque de garrafa e de prisma apresentados respectivamente na Figura 8 O campo de tensão em forma de leque Figura 8a é uma idealização de um campo de tensões com uma curvatura desprezível O campo de tensões em forma de garrafa Figura 8b apresenta tensões transversais consideráveis compressão no pescoço da garrafa e tração na base as tensões transversais podem causar o aparecimento de fissuras longitudinais indicando a necessidade de armadura O campo de tensões prismático Figura 8c ou paralelo é um caso particular dos dois anteriores e é típico de regiões B Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 20 Figura 8 Campos de tensão a em forma de leque b em forma de garrafa e d em forma prismática Adaptada de Schlaich et al 1987 Os campos de tensão em forma de leque e prismático não desenvolvem tensões transversais e em sua verificação utilizase a resistência uniaxial de cálculo do concreto Já para campos de tensão em forma de garrafa deve ser empregado um critério de ruptura multiaxial É apresentado posteriormente que cada norma atualmente utiliza um critério específico para os campos de tensão mas baseiamse no que foi exposto nos parágrafos anteriores No caso de campos de tensão de tração de regiões da estrutura não fissuradas 𝑇𝑐 a resistência à tração do concreto deve ser utilizada Usando o fluxo de forças para construção dos modelos de bielas e tirantes ocorrem situações em que o equilíbrio só pode ser satisfeito se a resistência do concreto à tração é considerada De forma geral nenhuma biela sem armadura ou elemento comprimido pode trabalhar sem usar a resistência à tração do concreto Para os tirantes sob tração com armadura 𝑇𝑠 o aço de reforço deve ser fornecido para resistir às forças de tração O eixo da armadura de aço deve coincidir com o eixo do tirante no modelo O dimensionamento desses tirantes é bastante simples segue diretamente da seção transversal 𝐴𝑠 aço de armadura ou 𝐴𝑝 cordoalha de protensão e o limite de escoamento 𝑓𝑠 e 𝑓𝑝 dos respectivos materiais s s s p p T A f A f 22 a b c b b a a a Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 21 234 Tipos e classificação dos nós Schlaich et al 1987 salientam que o processo de dimensionamento não significa apenas dimensionar e reforçar as bielas e tirantes individuais para as forças que suportam mas também garantir a transferência de carga entre eles verificando as regiões dos nós Os autores colocam ainda que existe uma estreita relação entre o detalhamento dos nós com a resistência das bielas e dos tirantes neles ancorados para a estabilidade final da treliça Os nós são uma simplificação da realidade eles aparecem nas interseções de elementos de bielas e tirantes e sua inserção em um modelo se faz necessária para representar uma mudança abrupta na direção das forças Para Schlaich et al 1987 existem essencialmente quatro tipos de nós dependendo da combinação da biela C e tirantes T como nó onde só conflui compressão nó CCC onde conflui uma força de tração meio à compressão nó CCT onde em meio à tração conflui uma força de compressão nó CTT e nó onde conflui apenas força de tração nó TTT O princípio permanece o mesmo se mais de três bielas e tirantes se encontrarem Figura 9 Nós singular e contínuo em uma região D Adaptada de Schlaich et al 1987 Além dos tipos de nós em uma região D conterá nós classificados entre singular ou concentrados e contínuo ou distribuídos como demonstra a Figura 9 Para nós singulares o desvio das forças ocorre em um comprimento curto ou há uma pequena área em torno do ponto nodal de modo a formar um campo de tensões concentrado Os nós singulares são considerados críticos e de indispensável verificação para a segurança da estrutura Por outro lado um nó é distribuído quando há uma região maior de concreto em torno do nó ocorrendo melhor Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 22 distribuição das tensões 24 BIELAS E TIRANTES SEGUNDO A NBR 61182014 A NBR 61182014 trata o projeto de estruturas pelo método de Bielas e Tirantes como especial tendo suas prescrições na seção 22 O processo e definições são semelhantes aos dos modelos de bielas e tirantes descrito anteriormente diferindose apenas os critérios de verificação dos campos de tensão e nós A seção 222 da norma apresenta casos típicos de regiões D de algumas estruturas correntes na engenharia estrutural A Figura 10 retirada da NBR 61182014 contém à esquerda estruturas com descontinuidade do tipo geométrica a ao centro estruturas com descontinuidade estática b e à da direita estruturas com os dois tipos de descontinuidades c Figura 10 Regiões D hachura de estruturas típicas segundo a NBR 61182014 NBR 61182014 Vele notar que a Figura 10 apresenta 2 tipos a mais de estruturas com descontinuidade estática e geométrica se comparada às Figuras 2 e 3 do método tradicional quais sejam transversina c1 e dente Gerber c3 no entanto o critério de dimensionamento é o mesmo já apresentado Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 23 A Norma admite uma região B entre as regiões D de vigas com aberturas a3 enquanto que o método tradicional admite toda região em torno do furo com sendo descontínua Figura 2 A ilustração b3 Introdução de forças concentradas que diz respeito à protensão se assemelha à primeira ilustração da Figura 3 de Schlaich et al 1987 A NBR 61182014 prescreve a majoração das solicitações de cálculo das regiões D conforme NBR 86812004 Ações e segurança nas estruturas procedimento No item 533 da NBR 86812004 diz que os valores usuais dos coeficientes de ponderação das resistências ou os coeficientes de ponderação das ações de valor 𝛾𝑓 10 devem ser multiplicados pelo coeficiente de ajustamento 𝛾𝑛 dado pela seguinte expressão 1 2 n n n 23 sendo 𝛾𝑛1 12 em função da ductilidade de uma eventual ruína e 𝛾𝑛2 12 em função da gravidade das consequências de uma eventual ruína Segundo a NBR 61182014 é permitida a análise da segurança no estado limite último de um elemento estrutural ou de uma região D contida nesse elemento A Norma frisa que os tirantes representam uma armadura ou um conjunto de armaduras concentradas em um único eixo e os nós recebem as forças concentradas aplicadas ao modelo Em torno dos nós existirá um volume de concreto designado como zona nodal onde é verificada a resistência necessária para a transmissão das forças entre as bielas e os tirantes A norma cita também que as verificações das bielas tirantes e nós são efetuadas a partir das forças obtidas na análise da treliça isostática sob a ação do sistema auto equilibrado de forças ativas e reativas na treliça Os eixos das bielas devem ser escolhidos de maneira a se aproximar o máximo possível das tensões principais de compressão e dos tirantes dos eixos das armaduras a serem efetivamente detalhadas As bielas inclinadas devem ter ângulo de inclinação cuja tangente esteja entre 057 e 2 ou seja entre 297 e 634 em relação ao eixo da armadura longitudinal do elemento estrutural Os parâmetros de resistência de cálculo das bielas e regiões nodais são apresentados no item 2232 da NBR 61182014 De forma que para a verificação de tensões de compressão máximas nas bielas e regiões nodais devese seguir as seguintes prescrições Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 24 1 2 085 cd v cd f f 24 2 2 060 cd v cd f f 25 3 2 072 cd v cd f f 26 sendo 𝑓𝑐𝑑1 a tensão resistente máxima do concreto para regiões com tensões de compressão transversal ou sem tensões de tração transversal e para nós onde confluem somente bielas de compressão nós CCC 𝑓𝑐𝑑2 para regiões com tensões de tração transversal e para nós onde confluem dois ou mais tirantes tracionados nós CTT ou TTT e 𝑓𝑐𝑑3 para nós onde conflui um tirante tracionado nós CCT O parâmetro 𝛼𝑣2 representa uma redução da resistência do concreto à compressão expresso por 2 1 250 ck v f 27 e a resistência de projeto do concreto à compressão 𝑓𝑐𝑑 é dada por ck cd c f f 28 em que o 𝑓𝑐𝑘 é a resistência característica do concreto à compressão aos 28 dias de idade dada em MPa e 𝛾𝑐 o coeficiente de ponderação da resistência do concreto à compressão para o estado limite último usualmente 14 para combinação normal das ações Já os parâmetros de resistência de projeto dos tirantes estão contidos no Item 2233 nos quais se resumem ao cálculo da área de aço dada por s Sd yd A F f 29 sendo 𝐹𝑆𝑑 o valor de projeto da força de tração determinada no tirante e 𝑓𝑦𝑑 a resistência de projeto do aço à tração dada por Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 25 y yd s f f 210 sendo o coeficiente de ponderação da resistência do aço 𝛾𝑠 115 para combinação normal das ações No item 224 da NBR 61182014 é discutido acerca de vigas alta em especial que são os elementos estruturais estudados neste trabalho Nos demais itens como nos 225 226 e 227 são tratados assuntos acerca de consolesdentes Gerber sapatas e blocos sobre estacas respectivamente Aqui são apresentados os conceitos e critérios de projeto apenas de vigas altas com e sem abertura e com descontinuidade geométrica Conceitualmente a norma considera vigasparede as vigas altas em que a relação entre o vão e a altura 𝑙ℎ é inferior a 2 em vigas biapoiadas e inferior a 3 em vigas contínuas As vigas altas possuem comportamento estrutural de características específicas se comparadas às vigas usuais destacandose a ineficiência à flexão e ao cisalhamento A NBR 61182014 coloca ainda que vigas altas apresentam problemas de estabilidade de corpo rígido e que pode ocorrer problemas de estabilidade elástica Com isso muitas vezes são necessários enrijecedores de apoio ou travamentos Os modelos de cálculo concebidos pelo método de bielas e tirantes para dimensionamento de vigas altas no estado limite último ELU devem assegurar um comportamento adequado em serviço e a geometria das treliças deve ser tal que os valores das forças nos tirantes resultem o mais próximo possível dos obtidos em um modelo plano elástico linear Métodos numéricos como o método dos elementos finitos são permitidos para análise elástico lineares e não lineares conforme a NBR 61182014 Na seção de detalhamento item 2244 da NBR 61182014 é posto que as armaduras de flexão eou tirantes devem cobrir toda a zona efetivamente tracionada conforme o modelo de cálculo adotado não podendo serem concentrados em uma ou poucas camadas Em vigas altas biapoiadas os elementos tracionados devem ser distribuídos em altura de 015h A armadura horizontal e vertical mínima deve ser de 000075b por metro e por face Em relação à ancoragem da armadura de flexão nos apoios a norma especifica em 22442 que a armadura deve ser prolongada integralmente até os apoios Não podem ser usados ganchos no plano vertical dando preferência a laços ou grampos no plano horizontal ou dispositivos Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 26 especiais Figura 11 Esquema de distribuição de armaduras para uma viga alta segundo a NBR 61182014 NBR 61182014 25 BIELAS E TIRANTES SEGUNDO O EUROCODE 22004 O Eurocode 22004 faz algumas considerações em sua seção 564 sobre a análise com modelos de bielas e tirantes Segundo a norma os modelos de bielas e tirantes podem ser utilizados para dimensionamento em ELU de regiões de continuidade e para dimensionamento em ELU e detalhamento de regiões de descontinuidade Assim como em Schlaich et al 1987 e como visto na NBR 61182014 considerase uma distância ℎ de descontinuidade nos elementos estruturais e segue a mesma lógica para determinação das regiões B e D e da configuração do modelo treliçado O Eurocode 22004 permite a utilização do método em elementos onde é assumida uma distribuição linear dentro da seção transversal tensão plana embora não seja comum de se fazer como citam Goodchild et al 2014 O Eurocode 22004 permite também que as verificações em ELU podem ser aplicadas usando modelos de bielas e tirantes por exemplo verificação de tensões de aço e controle de abertura de fissura se for assegurada a compatibilidade aproximada para o modelo de biela e tirante em particular a posição e direção de bielas importantes devem ser orientadas de acordo com a teoria da elasticidade linear Conforme o Eurocode 22004 o ângulo mínimo entre bielas e tirantes é de 35 As forças nos Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 27 elementos de um modelo de biela e tirante devem ser determinadas mantendo o equilíbrio Os tirantes de um modelo de bielas e tirantes devem coincidir em posição e direção com a armadura correspondente Os meios possíveis para o desenvolvimento de modelos de bielas e tirantes adequados incluem a adoção de trajetórias e distribuições de tensões da teoria elástica linear ou do método do caminho de carga como visto em Schlaich et al 1987 Segundo o Eurocode 22004 todos os modelos de bielas e tirantes podem ser otimizados por critérios de energia O Item 65 o Eurocode 22004 prescreve as condições para projeto de estruturas de concreto armado pelo método de bielas e tirantes e considera de forma geral sua aplicação em regiões de apoio cargas concentradas próximas ou região sob tração por exemplo considerando o estado de distribuição de tensões não linear Nas regiões de concreto sob tensões de compressão transversal CCC ou sem tensão transversal a resistência de projeto da biela sob compressão pode ser calculada pela Equação 211 a seguir Rd fcd 211 Figura 12 Regiões CCC Eurocode 022004 A resistência de projeto para bielas de concreto com tensão de tração transversal regiões CCT deve ser reduzida podendo ser calculada a partir da Equação 212 06 Rd v fcd 212 Figura 13 Regiões CCT Eurocode 022004 A norma coloca que o valor de 𝜈 pode ser utilizado conforma a norma do País em questão Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 28 sendo recomendada a expressão seguinte 1 ck 250 v f 213 Notase na Equação 211 que a tensão resistente máxima de cálculo das regiões CCC é igual a resistência de cálculo do concreto à compressão segundo o Eurocode 022004 A norma coloca ainda que pode ser apropriado assumir uma resistência de projeto mais alta em regiões onde existe compressão multiaxial As prescrições acerca de tirantes podem serem vistas no item 653 da norma a partir do qual se faz o dimensionamento das barras de aço para resistir à força que no tirante atua Todas características do aço utilizado para as armaduras podem serem vistas nos itens 32 e 33 do Eurocode 22004 Assim como na NBR 61182014 a área de aço é dada pela Equação 29 sendo a resistência do aço de projeto à tração a mesma determinada na Equação 210 com o coeficiente de minoração da resistência do aço 𝛾𝑠 também igual à 115 As armaduras principais segundo a norma devem ser adequadamente ancoradas nos nós A abordagem acerca de ancoragem pode ser vista no item 84 Eurocode 22004 Segundo a norma as barras de aço arames ou telas soldadas devem ser ancorados de modo a que as forças de aderência sejam transmitidas com segurança ao concreto Dessa forma o comprimento de ancoragem de projeto 𝑙𝑏𝑑 em condições ideais de ligação é feito da seguinte forma 4 bd breq Sd bd l al a f 214 1 2 225 bd ctd f f 215 em que 𝜂1 é relativo à qualidade da aderência e da posição da barra durante a concretagem sendo 10 para boas condições e 07 para condições ruins 𝜂2 relativo ao diâmetro da barra 𝜂2 10 para 𝜙 32 mm e 𝜂2 132 𝜙100 para 𝜙 32 mm e 𝑓𝑐𝑡𝑑 é a resistência do concreto de projeto à tração dada por ct ctk ctd c a f f 216 sendo 𝛼𝑐𝑡 um parâmetro para redução da resistência em decorrência da ductilidade do concreto visto que se trata de concreto armado não há redução 𝛼𝑐𝑡 10 e 𝛾𝑐 o coeficiente de Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 29 minoração da resistência concreto igual a 15 E por fim a resistência característica do concreto à tração pode ser obtida por 23 07 021 ctk ctm ck f f f 217 Segundo o Eurocode 22004 o reforço necessário para resistir às forças nos nós concentrados e bielas com tensão de tração transversal pode ser espalhado ao longo de um comprimento Dessa forma a força de tração transversal T para regiões de descontinuidade parcial b H2 Figura 14a pode ser obtida por 1 4 ef b a T F b 218 E para regiões com descontinuidade total b H2 conforme ilustra a Figura 14b pode ser determinado por 1 1 07 4 a T F h 219 a Descontinuidade parcial b Descontinuidade total Figura 14 Representação de descontinuidade parcial e total em um nó ou biela de compressão Eurocode 022004 Vale lembrar que em geral as bielas poderão estar inclinadas e a área de aço necessária para vencer os esforços T poderá estar contabilizada nos estribos verticais Se a biela de compressão for vertical esta armadura poderá ser contabilizada nas armaduras de pele horizontais Região D Região B Região D Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 30 Como já visto o Eurocode 022004 coloca que as forças que atuam nos nós devem estar em equilíbrio e devem ser consideradas as forças de tração transversais perpendiculares ao nó no plano O dimensionamento e detalhamento dos nós concentrados são críticos na determinação de sua resistência à carga Os nós críticos ocorrem onde são aplicadas cargas pontuais em apoios em zonas de ancoragem com concentração de armaduras ou armaduras de protensão em curvas em barras de armadura e em ligações e cantos de barras Conforme Eurocode 022004 para nós do tipo CCC temse que a tensão resistente de projeto vale 10 Rd v fcd 220 Para nós do tipo CCT 085 Rd v fcd 221 E para nós do tipo CTT 075 Rd v fcd 222 O reforço mínimo horizontal e vertical a ser fornecido para vigas altas é de 02𝐴𝑐 em cada face do elemento estrutural 26 BIELAS E TIRANTES SEGUNDO O ACI 3182002 Como os elementos estruturais aqui analisados são essencialmente vigas altas segundo as definições do ACI 3182002 item 1071 as vigas altas são elementos carregados em uma face e apoiados na face oposta de modo que as bielas de compressão possam se desenvolver entre as cargas e os apoios e possuem vãos livres 𝑙 iguais ou inferiores a quatro vezes a altura total da estrutura ou regiões com cargas concentradas dentro do dobro da altura a partir da face do apoio para que se desenvolvam bielas de compressão entre as cargas e os apoios Conforme o ACI 3182002 as vigas altas devem ser projetadas usando modelos de bielas e tirantes apresentado no Anexo A da norma independentemente de como são carregadas e Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 31 apoiadas Pode ser projetada também por meio de análise não lineares É permitido que as deformações sejam estimadas usando uma análise elástica do modelo de bielas e tirantes Para as análises os efeitos da fissuração na distribuição de tensões devem ser considerados Os conceitos de regiões B e D distância e tipos de descontinuidade e determinação da região D segundo o ACI 3182002 são os mesmos já vistos nas demais normas Apenas para frisar o ACI 3182002 descreve que a descontinuidade é uma região onde ocorre mudança abrupta na geometria ou no carregamento E ainda se duas regiões D se sobrepuserem ou se encontrarem elas podem ser consideradas como uma única região D para fins de projeto O ACI 3182002 coloca que o modelo de treliça deve estar em equilíbrio e ser capaz de transferir todas as cargas para os apoios ou regiões B adjacentes Os eixos das bielas e tirantes devem coincidir aproximadamente com os eixos dos campos de compressão e tração respectivamente e o ângulo entre elementos bielas e tirantes em uma região D deve ser maior ou igual a 25º As armaduras longitudinais em vigas altas devem ser estendidas aos apoios e devidamente ancoradas O espaçamento das barras para vigas altas deve ser de no máximo 31 cm 12 pol ao invés de 46 cm 18 pol como visto no ACI 3182002 para vigas usuais porque este aço é fornecido para restringir a abertura das fissuras Para o equilíbrio do nó pelo menos três forças devem atuar em um nó em um modelo de bielas e tirantes Como já visto os nós são classificados de acordo com os sinais dessas forças CCC CCT e CTT ou TTT Para fins de projeto o ACI 3182002 define zona nodal como sendo o volume de concreto ao redor de um nó que se supõe transferir forças de bielas e tirantes Figura 15 Essas zonas nodais são também denominadas de zonas nodais hidrostáticas porque as tensões no plano são as mesmas em todas as direções Em projeto as bielas são geralmente idealizadas como membros de compressão prismática como demonstrado pelos contornos de linha reta das escoras na Figura 15 Se a resistência à compressão efetiva 𝑓𝑐𝑢 for diferente nas duas extremidades de uma biela devido a diferentes resistências da zona nodal nas duas extremidades ou a diferentes comprimentos de apoio a biela é idealizada como uma biela compressão uniformemente cônica nestas regiões situação mais desfavorável Aqui se entende como biela em forma de leque ou cônica o formato simplificadamente tomado para o projeto de forma que as tensões transversais de tração sejam suportadas pelo próprio concreto ou por armadura especialmente projetada para tal Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 32 Figura 15 Exemplificação dos conceitos de zona nodal bielas prismáticas e em forma de garrafa e tirante usuais em vigas altas Adaptada de ACI 3182002 Os contornos pontilhados curvos das bielas na Figura 15 e os contornos sólidos curvos na Figura 16 aproximam os limites das bielas em forma de garrafa O ACI 3182002 coloca que a partir de um ensaio de corpo de prova o formato cilíndrico é possível observar que a propagação lateral interna da força de compressão aplicada ao corpo de prova leva a uma tensão transversal que divide o corpo de prova levando a abertura de fissuras Figura 16 Dessa forma se justifica a inserção de barras para reforço transversal em uma biela em forma de garrafa Para simplificar o projeto o ACI 3182002 prescreve que as bielas em forma de garrafa podem ser idealizadas como prismáticas ou cônicas tapered O reforço de controle de fissuras item A33 da norma é fornecido para resistir à tensão transversal conforme Equação 225 e o respectivo fator redutor da resistência A quantidade de armadura transversal confinante pode ser calculada usando o modelo de bielas e tirantes visto na Figura 16b com as bielas que representam a propagação da força de compressão atuando em uma inclinação de 12 em relação ao eixo da força de compressão aplicada A área da seção transversal 𝐴𝑐 de uma biela em forma de garrafa é considerada a menor das áreas de seção transversal nas duas extremidades do suporte Biela em forma de garrafa Zona nodal Biela prismática Tirante P R R Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 33 Figura 16 Biela em forma de garrafa para a um modelo fissurada e b um modelo idealizado pelo método de bielas e tirantes Adaptada de ACI 3182002 Conforme a seção A26 do ACI 3182002 o projeto de bielas tirantes e zonas nodais deve estar de acordo com a seguinte relação r n u F F 223 onde 𝐹𝑢 é a força atuante em uma biela tirante ou em uma face de uma zona nodal 𝐹𝑛 é a força nominal resistente da biela tirante ou zona nodal e 𝜙 é o fator de redução de resistência especificado que conforme seção 9326 𝜙𝑟 075 A resistência à compressão nominal de uma biela sem armadura longitudinal deve ser tomada como o menor valor que aconteça em alguma das duas extremidades da biela de acordo com A31 ns cu c F f A 224 onde 𝐴𝑐 é a área da seção transversal em uma extremidade da biela e 𝑓𝑐𝑢 é o menor entre as Equações 225 e 227 Sendo o cálculo da resistência à compressão efetiva resistência de projeto do concreto em uma biela dado por 085 cu s c f f 225 Tirante Fissura Biela Largura utilizada para calcular 𝐴𝑐 a b Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 34 sendo 𝑓𝑐 a resistência à compressão específica valor característico do concreto e 𝛽𝑠 um dos valores seguintes 𝛽𝑠 10 para uma biela de seção transversal uniforme ao longo de seu comprimento 𝛽𝑠 075 para bielas em forma de garrafa com reforço transversal satisfatório e 𝛽𝑠 060𝜆 para bielas sem reforço transversal satisfatório onde 𝜆 10 para concreto convencional 085 para concreto leve com areia e 075 para concreto leve sem areia A interpolação linear deve ser permitida quando for utilizada a substituição parcial de areia 𝛽𝑠 040 para bielas em membros de tração e 𝛽𝑠 060 para todos os outros casos Já a resistência à compressão nominal de uma zona nodal deve ser nn cu n F f A 226 sendo desta vez a resistência à compressão efetiva do concreto na zona nodal 𝑓𝑐𝑢 calculada conforme indicado na Equação 227 e 𝐴𝑛 é uma das duas condições seguintes Área da face da zona nodal sobre a qual 𝐹𝑢 atua tomada perpendicularmente à linha de ação de 𝐹𝑢 ou Área de uma seção através da zona nodal tomada perpendicularmente à linha de ação da força resultante na seção A tensão de compressão efetiva calculada em uma face de uma zona nodal devida às forças de bielas e tirantes não deve exceder o valor dado por 085 cu n c f f 227 onde 𝛽𝑛 10 em zonas nodais delimitadas por bielas ou áreas de apoio ou ambas 𝛽𝑛 080 em zonas nodais de ancoragem de um tirante ou 𝛽𝑛 060 nas zonas nodais que ancoram dois ou mais tirantes Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 35 Por fim as áreas de aço dos tirantes são dimensionadas da mesma forma que nas demais normas devendo garantir que o eixo longitudinal das barras coincida com o eixo do modelo de bielas e tirantes adotado barras da treliça assumida Caso haja força devida à elemento de protensão esta deverá ser considerada na área de aço Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 36 3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Neste capítulo é abordada toda fundamentação teórica por trás do código implementado no software de análise matricial MATLAB 2012 Temas como a formulação em elementos finitos otimização topológica método de Otimização Estrutural Evolutiva Bidirecional BESO dentre outros assuntos são discutidos aqui 31 FORMULAÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS Para a solução de problemas complexos da mecânica estrutural o método dos elementos finitos é o preferido entre as ferramentas para a descrição do comportamento das variáveis envolvidas Em termos estruturais basicamente assumese um campo de deslocamentos em subregiões do problema elementos finitos os quais passam a interpolar esses campos a partir das informações da fronteira nós Partindose do princípio da mínima energia de deformação chegase às equações finais que permitem resolver para as variáveis incógnitas do campo nos pontos discretizados Neste trabalho é dado enfoque a problemas de estado plano nos quais os esforços e ações atuam apenas em um plano xy A seguir são revisados assuntos relacionados à formulação de elementos finitos em alguns pontos particularizada para esse estado de tensões 311 Tensões principais Muitas análises estruturais de elementos finitos envolvem o cálculo das tensões principais Em um corpo sólido tridimensional as três tensões principais 𝜎1 𝜎2 𝜎3 podem ser determinadas pela solução da seguinte expressão 3 2 1 2 3 det 0 xx xy zx xy yy yz zx yz zz I I I 31 Sendo os invariantes de tensões 𝐼1 𝐼2 𝐼3 da Equação 31 expressos por 1 xx yy zz I 32 Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 37 2 2 2 2 xx yy yy zz zz xx xy yz zx I 33 2 2 2 3 2 xx yy zz xy yz zx xx yz yy zx zz xy I 34 312 Estado plano de tensões Rao 2018 observa que o objetivo principal de qualquer análise de tensão ou problema de mecânica dos sólidos é encontrar o campo de deslocamentos e tensões sob um estado de carregamento e condições de contorno Para encontrar uma solução analítica para um problema plano devese satisfazer as equações básicas ou fundamentais da mecânica dos sólidos considerando que o número total equações Tabela 1 deva ser igual ao número total de incógnitas Tabela 2 Tabela 1 Número de equações para problemas bidimensionais Equações Problemas bidimensionais Equações de equilíbrio 2 Relação tensãodeformação 3 Relação deformaçãodeslocamento 3 Número total de equações 8 Fonte Adaptada de Rao 2018 Tabela 2 Número de incógnitas para problemas bidimensionais Incógnitas Problemas bidimensionais Deslocamentos u v Tensões xx yy xy Deformaçõesdistorções xx yy xy Número total de incógnitas 8 Fonte Adaptada de Rao 2018 Observa o autor que na prática também é necessário satisfazer algumas equações adicionais como equações de equilíbrio externo que dizem respeito ao equilíbrio geral do corpo sob cargas externas equações de compatibilidade que dizem respeito à continuidade de deformações e deslocamentos e condições de contorno que dizem respeito às condições prescritas sobre Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 38 deslocamentos eou forças nos limites do corpo Rao 2018 afirma ainda que embora qualquer solução exata analítica deva satisfazer todas as equações apresentadas anteriormente as soluções aproximadas numéricas como as obtidas pelo método dos elementos finitos geralmente não satisfazem todas as equações No entanto uma boa compreensão de todas as equações básicas da mecânica dos sólidos é essencial para entendimento de elementos finitos e também para estimar a ordem de erro envolvido na solução de problemas desse tipo sabendo até que ponto a solução aproximada viola as equações básicas incluindo a compatibilidade e as condições contorno A suposição de tensão plana é aplicável para corpos cuja dimensão é muito pequena em uma das direções coordenada 𝑥 𝑦 𝑧 Assim a análise de placas carregadas pode ser feita utilizando o pressuposto de tensões no estado plano Embora essas suposições violem algumas das condições de compatibilidade elas são suficientemente precisas para todos os fins práticos desde que não ocorram tensões fora do plano e a estrutura tenha dimensão longitudinal maior que a sua espessura Assim a relação tensãodeformação para o caso de tensão plana é dada pela lei de Hooke a partir da Equação 35 expressa em termos de deformação C 35 Sendo 𝜀 o vetor de deformações e 𝜎 o vetor de tensões dados por xx xx yy yy xy xy 36 A relação entre os vetores é expressa por meio da matriz de coeficientes elásticos 𝐶 dada por 1 0 1 1 0 0 0 21 C E 37 sendo 𝐸 o módulo de elasticidade e 𝜈 o coeficiente de Poisson do material A Equação 35 pode ser descrita em termos de tensão a partir da relação inversa expressa a seguir Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 39 D 38 onde a matriz 𝐷 chamada de constitutiva é dada por 2 1 0 1 0 1 1 0 0 2 E D v 39 Para um corpo bidimensional em estado plano de tensão as duas tensões principais no plano 𝜎1 𝜎2 podem ser expressas por 2 2 12 2 2 xx yy xx yy xy 310 e os planos principais 𝜃12 defasados de 90o entre si são expressos por 1 1 2 1 2 1 tan e 2 2 xy xx yy 311 313 Formulação da equação de elementos finitos para análise estática Nesta seção utilizase o princípio da energia potencial mínima para derivar as equações de equilíbrio para um problema genérico tridimensional que posteriormente é reduzido para o caso bidimensional Uma vez que os graus de liberdade nodais são tratados como desconhecidos na formulação atual deslocamento a energia potencial 𝜋𝑝 deve primeiro ser expressa em termos de graus de liberdade nodais Então as equações de equilíbrio necessárias podem ser obtidas definindo as primeiras derivadas parciais de 𝜋𝑝 em relação a cada um dos graus de liberdade nodais iguais a zero De início o corpo sólido é dividido em 𝑛 elementos finitos e o modelo de deslocamento dentro de um elemento 𝑒 é assumido como e u x y z U v x y z N Q w x y z 312 Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 40 onde Q𝑒 é o vetor de graus de liberdade de deslocamento nodal do elemento e 𝑁 é a matriz das funções de forma As matrizes características dos elementos rigidez e vetores característicos dos elementos carregamento devem ser derivados do princípio da energia potencial mínima Para isso a energia potencial funcional do corpo 𝜋𝑝 considerando apenas as forças do corpo e da superfície é escrita como 1 n e p p e 313 onde 𝑝 𝑒 é a energia potencial do elemento 𝑒 dada por 1 1 1 2 e e e T T T e p V V S D dV U dV U dS 314 em que 𝑉𝑒 é o volume do elemento 𝑆1 𝑒 é a porção da superfície do elemento onde as forças atuam 𝜙 é o vetor que contém as forças de corpo por unidade de volume e Φ é o vetor que contém as forças prescritas O vetor de deformações 𝜀 pode ser expresso em termos do vetor de deslocamento nodal 𝑄𝑒 da forma e B Q 315 O vetor de tensões 𝜎 pode ser obtido a partir do vetor de deformações 𝜀 como e D D B Q 316 Substituindo as Equações 312 e 315 na Equação 314 a equação da energia potencial do elemento pode ser rescrita como 1 1 1 2 e e e T T T e e T e e T e T p V V S Q B D B Q dV Q N dV Q N dS 317 Considerase na expressão anterior apenas as forças de volume e superfície No entanto geralmente algumas forças externas concentradas também estarão atuando em vários nós Se 𝑃𝑐 denota o vetor de forças nodais agindo nas direções do vetor deslocamento nodal Q da estrutura a energia potencial total da estrutura ser expressa como Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 41 1 n T e p p c e Q P 318 onde 1 2 T m Q Q Q Q é o vetor de deslocamentos nodais da estrutura e 𝑚 é o número total de deslocamentos nodais ou graus de liberdade A partir da das Equações 317 e 318 1 1 1 1 1 2 n n T T T T T T p c e e e e e V V S Q B D B dV Q Q N dV N dS Q P 319 A Equação 319 expressa a energia potencial total da estrutura ou corpo em termos dos graus de liberdade nodais Q A configuração de equilíbrio estático das estruturas pode ser encontrada resolvendo as seguintes condições necessárias para a minimização da energia potencial 1 2 0 ou 0 p p p p m Q Q Q Q 320 Dessa forma a partir das Equações 319 e 320 a energia potencial total da estrutura pode ser rescrita como 1 1 1 1 n n T T T c e e e e e V V S B D dV Q P N dV N dS 321 ou ainda da forma 1 1 n n e e e c s b e e K Q P P P P 322 onde 𝐾𝑒 é a matriz de rigidez do elemento e seu somatório é a matriz de rigidez global da estrutura 𝐾 Q representa o vetor de deslocamentos nodal global cP é o vetor de cargas concentradas e e e s b P P expressam respectivamente os vetores de forças de superfície surface e de volume body nodais dos elementos e seu somatório representa o vetor de forças nodais dos elementos Pe e P é a contribuição de todos os carregamentos 𝑃𝑒 e 𝑃𝑐 ou vetor de foças global da estrutura Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 42 Em resumo a equação de equilíbrio global nodal da estrutura pode ser expressa a partir da Equação 322 e das relações apresentadas da forma K Q P 323 314 Elemento finito quadrilátero sólido de 4 nós Neste trabalho é utilizado o elemento finito quadrilátero sólido de 4 nós com dois graus de liberdade por nó 𝑢 𝑣 Um esquema das variáveis envolvidas está representado na Figura 17 Figura 17 Elemento finito quadrilatero sólido de 4 nós Adaptada de Rao 2018 No interior do elemento é assumido um campo de deslocamentos do tipo 1 2 3 4 5 6 7 8 u x y x y xy v x y x y xy 324 Neste caso os deslocamentos variam de forma linear em 𝑥 e em 𝑦 Para deslocamentos que ocorram nos nós do tipo 𝑞 𝑢1 𝑣1 𝑢2 𝑣2 𝑢3 𝑣3 𝑢4 𝑣4𝑇 a equação anterior pode ser reescrita como u x y U x y N x y q v x y 325 Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 43 onde N x y é a matriz das funções de forma dadas por 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 N x y N x y N x y N x y N x y N x y N x y N x y N x y 326 onde 1 2 3 4 4 4 4 4 a x b y a x b y N x y N x y ab ab a x b y a x b y N x y N x y ab ab 327 Para este trabalho visando a praticidade e ganho de processamento computacional são utilizados elementos quadriláteros com o lado 2b igual ao lado 2a Então a matriz de rigidez do elemento finito 𝑘 pode ser gerada como a b T a b k B D B t dx dy 328 Sendo 𝑡 a espessura do elemento finito 𝐷 a matriz consititutiva elástica do material e 𝐵 a matriz que relaciona deslocamentos com deformações 𝜀 𝐵𝑢 xx yy xy u x v y u y v x 329 A relação entre a deformação e os deslocamentos 𝐵 pode ser obtida a partir da Equação 329 aplicada na Equação 325 resultando em xx yy xy u x B v y u y v x 330 Então a matriz de rigidez no sistema de coordenadas global do elemento 𝐾𝑒 rotacionada para os eixos globais 𝑥 e 𝑦 pode ser gerada por e T K R k R 331 onde 𝑅 é matriz de rotação para a matriz de rigidez do elemento finito utilizado dimensão Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 44 812 como indicado na Equação 332 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r R r r 332 onde 0 é uma matriz 23 de zeros e 𝑟 é a matriz que contém os cossenos diretores 𝑙𝑝𝑞 𝑚𝑝𝑞 𝑛𝑝𝑞 paralelos ao eixo 𝑥 local e 𝑙𝑝𝑠 𝑚𝑝𝑠 𝑛𝑝𝑠 paralelos ao eixo 𝑦 local do elemento dados por pq pq pq ps ps ps l m n r l m n 333 Na presente formulação que é utilizada neste trabalho a operação de rotação da matriz de rigidez dos elementos para os eixos globais não é necessária visto que todos os elementos finitos são orientados paralelos aos eixos globais Isso visa acelerar a montagem das matrizes globais bem como o processo geral de solução da análise de elementos finitos Também para facilitar a montagem das matrizes globais de rigidez e massa assumese que todos os elementos finitos tenham as mesmas dimensões de forma que a montagem das matrizes a nível de elementos rigidez ou massa são feitas para apenas 1 elemento e replicada aos demais levando em conta suas propriedades individuais Para um elemento finito de lado unitário e espessura t a matriz de rigidez elementar é a indicada na Equação 334 2 12 3 6 3 6 3 0 3 4 3 2 9 2 3 4 9 12 3 0 3 6 3 6 4 9 4 3 2 9 2 12 3 0 3 6 3 4 3 4 9 2 3 12 3 6 3 6 4 9 2 3 2 12 3 6 3 4 3 2 9 1 24 12 3 0 4 9 4 12 3 4 3 12 4 E t k sim sim 334 Para a matriz de massa a sua formulação é semelhante à matriz de rigidez de forma que se tem a equação da mesma para o elemento finito 𝑀 gerada como a b T a b M N N t dx dy 335 Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 45 As otimizações topológicas das estruturas são realizadas considerando o peso próprio dos matérias e como neste trabalho é considerada a gravidade na direção 𝑦 e não se trabalhou com problemas dinâmicos optouse pela matriz de massa condensada lumped na forma mais simples 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 1 4 M t ab sim 336 32 OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA APLICADA À ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO A partir da discretização da estrutura em elementos infinitesimais a otimização topológica tem o objetivo de melhor alocar ou retirar material de uma estrutura dentro de um domínio de projeto sob condições de contorno e carregamentos específicos com intuito de otimizar maximizar ou minimizar funções objetivo prédefinidas como massa tensão frequências naturais carga de flambagem etc Neste sentido diferenciase da otimização paramétrica e de forma uma vez que a estrutura final pode assumir qualquer forma dentro do espaço volume de trabalho original Ground Structure Como visto os princípios básicos de otimização topológicas para estruturas contínuas foram propostos por Bendsøe e Kikuchi em 1988 Desde então o assunto tem sido extensivamente estudado com diferentes abordagens que em geral convergem para a obtenção de estruturas de alta performance porém vai de encontro ao aumento na complexidade da geometria do componente ou elemento estrutural Recentemente os avanços das impressoras 3D inclusive para concreto tornaram economicamente viável a fabricação de componentes com geometrias de alta complexidade Dessa forma a otimização topológica pode reduzir o consumo de material e de energia peso próprio final da estrutura minimizando o impacto ambiental dimensionamento de fundações e podendo também gerar ganhos econômicos Diversas são as abordagens para tratar o problema de otimização topológica como SIMP ESO Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 46 BESO etc No método SIMP Solid Isotropic Material with Penalization Bendsøe 1988 o domínio é discretizado em elementos finitos e uma abordagem baseada em densidade é utilizada para representar a presença parcial de material na região do espaço Cada elemento tem uma densidade associada 𝑥𝑒 variáveis de projeto que define a rigidez do elemento pelo seu módulo de elasticidade material isotrópico 𝐸𝑒 𝐸𝑚𝑖𝑛 𝑥𝑒 𝑝𝐸0 𝐸𝑚𝑖𝑛 com 𝑥𝑒 01 e 𝑝 é um fator de penalização que varia entre 1 e 3 𝐸0 e 𝐸𝑚𝑖𝑛 são o módulo de elasticidade do material e um valor mínimo para evitar a retirada total do elemento perda da conectividade de malha e singularidade da matriz de rigidez A massa total da estrutura M xi vi 𝑣𝑖 volume de cada elemento é a função objetivo a ser minimizada No método BESO as densidades associadas 𝑥𝑒 são variáveis discretas e que podem assumir apenas os valores 0 ou 1 ou de forma prática 𝑥𝑚𝑖𝑛 ou 1 sendo 𝑥𝑚𝑖𝑛 um valor pequeno Em problemas de otimização de tensão para evitar problemas de singularidade do cálculo das tensões em elementos que foram retirados no contexto do BESO e SIMP é empregado o conceito de relaxação o qual durante o processo de cálculo relaxa a condição de 0 e 1 para uma condição de densidades intermediárias Le et al 2010 apud Huang e Xie 2010 retornando à condição de densidades binárias posteriormente 33 MÉTODO BESO Antes de abordar sobre o método BESO Bidirectional Evolutionary Structural Optimization propriamente dito cabe destacar seu antecessor o método ESO Evolutionary Structural Optimization proposto por Xie e Steven nos anos 90 O método é baseado no conceito simples de remoção gradual de material ineficiente da estrutura de forma a evoluíla para uma forma e topologia ótima A otimização pelo ESO pode ocorrer a nível de tensão ou a nível de rigidezdeslocamento a partir da discretização da estrutura em elementos infinitesimais O método ESO baseado em tensão relaciona a tensão de von Mises de cada elemento 𝑒 com a máxima tensão de von Mises da estrutura fazendo com que cada elemento que tenha valor abaixo da taxa de rejeição RR Rejection Ratio predeterminada seja removido evoluindo assim a estrutura para uma configuração ótima max vm e vm RR 337 Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 47 O método ESO baseado em rigidez ou deslocamento está relacionado com a energia de deformação da estrutura aqui denominada de compliance 𝐶 e seu número de sensibilidade 𝛼𝑖 𝑒 deduzido com base na equação de equilíbrio estático Ku f sendo K a matriz de rigidez global da estrutura Assim temse que 1 f T 2 C u 338 i i 1 u K u 2 T e i i 339 onde f é o vetor de forças e u o vetor de deslocamentos do elemento finito 𝑖 O aumento da compliance como resultado da remoção de elemento i é igual à sua energia de deformação Para minimizar a compliance que equivale a maximizar a rigidez por meio da retirada de elementos a forma mais eficaz é eliminar os elementos que apresentam menor valores de sensibilidade 𝛼𝑖 A remoção do elemento pode ser feita simplesmente atribuindo o número da propriedade do material dos elementos rejeitados iguais a zero e ignorando esses elementos quando a matriz de rigidez global é montada na análise do elemento finito subsequente O número de elementos a serem removidos é determinado pela taxa de remoção do elemento ERR Element Removal Ratio que é definido como a razão entre o número de elementos removidos em cada iteração e o número total de elementos no modelo de elemento finito inicial ou atual Yang et al 1999 conduziram estudos iniciais sobre o método BESO para otimização de rigidez Nesse estudo após a análise de elementos finitos os números de sensibilidade dos elementos vazios foram estimados por meio de uma extrapolação linear do campo de deslocamento Os elementos sólidos com os números de sensibilidade mais baixos foram removidos da estrutura e os elementos vazios com os números de sensibilidade mais altos foram transformados em elementos sólidos Os números de elementos removidos e adicionados em cada iteração são determinados por dois parâmetros não relacionados a taxa de rejeição RR Rejection Ratio e a taxa de inclusão IR Inclusion Ratio respectivamente Querin et al 2000 utilizaram os conceitos do método BESO com critério de tensão aplicado a estruturas bi e tridimensionais Em seu algoritmo os elementos com as tensões de von Mises mais baixas foram removidos e os elementos vazios próximos às regiões de tensão de von Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 48 Mises mais altas foram transformados em elementos sólidos Da mesma forma o número de elementos a serem removidos e adicionados são tratados separadamente com uma taxa de rejeição e uma taxa de inclusão respectivamente Observam Huang e Xie 2010 que a classificação para remoção e adição é bastante complicada uma vez que usuário deve selecionar cuidadosamente os valores de RR e IR para obter um bom projeto caso contrário o algoritmo pode não produzir uma solução ótima Outro problema das primeiras versões do BESO era que a eficiência computacional era bastante baixa devido ao grande número de iterações envolvidas Em muitos casos o projeto final precisa ser selecionado a partir de uma infinidade de topologias geradas O ciclo de elementos finitos com a adição e remoção de elementos até atingir a fração volumétrica desejada é continuado até que um critério de parada seja atendido Mesmo chegandose à fração volumétrica desejada ainda assim o método busca realocar elementos de uma certa região para outra mantendo a fração volumétrica no valor desejado sendo necessário um critério para a parada O seguinte critério é usualmente empregado no contexto de BESO Huang e Xie 2010 de forma a levar em conta a não variação do valor da compliance da estrutura por um certo número de ciclos de otimização 1 1 1 1 1 1 N N k i k N i i i N k i i C C Error tol C 340 onde 𝑁 é um número de iterações consecutivas às quais se pretende verificar a convergência 𝑘 é a iteração atual e 𝑖 é um contador para fazer a soma das compliance nas 𝑁 iterações consecutivas A otimização da topologia em geral visa a busca pela estrutura mais rígida com um determinado volume de material No método BESO uma estrutura é otimizada removendo e adicionando elementos simultaneamente Dessa forma o próprio elemento é tratado como a variável de projeto independente de seus parâmetros físicos ou materiais associados Assim o problema de otimização para maximização da rigidez ou minimização da compliance e com a restrição de volume é definido como T 1 Minimizar f u C 2 341a Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 49 1 Sujeito à 0 n i i i V V x 341b min ou 1 ix x 341c Em que 𝑉𝑖 é o volume de um elemento finito i 𝑉 é a fração pretendida do volume total da estrutura 𝑛 é o número total de elementos no sistema e 𝑥𝑖 é a variável de projeto para a qual 𝑥𝑚𝑖𝑛 é um valor pequeno que indica elemento finito vazio e 1 elemento finito cheio Conforme Bendsøe e Sigmund 2003 a declaração do problema apresentado nas Equações 341ac tem sido amplamente utilizada para a otimização da topologia da estrutura contínua mas difere da utilizada nos métodos ESOBESO originais Os métodos ESOBESO originais têm dificuldades em lidar com o problema declarado como por exemplo a função objetivo pode não convergir se o volume for mantido constante para satisfazer a restrição de volume na Equação 341b Um dos objetivos do novo método BESO proposto por Huang e Xie 2007 apud Huang e Xie 2010 e utilizado neste trabalho é fazer com que o algoritmo convirja de forma estável para uma solução que aborda exatamente a declaração do problema de otimização Na formulação original do BESO não está definido como restrição os limites resistência do material de forma que o problema posto da maneira das Equações 341ac pode gerar estruturas com a fração volumétrica desejada mas com tensões nos materiais que excedam seus limites Com a formulação original pretendese obter para uma dada fração volumétrica especificada a estrutura mais rígida possível sem nenhuma menção aos limites de resistência do material 331 Número de sensibilidade A partir da remoção de um elemento sólido de uma estrutura a mudança da compliance energia de deformação é igual à energia de deformação do elemento Essa mudança é definida como o número de sensibilidade do elemento conforme Equação 339 Quando uma malha não uniforme é atribuída o número de sensibilidade deve considerar o efeito do volume do elemento Neste caso o número de sensibilidade pode ser substituído pela densidade de energia de deformação elementar como K 1 2 T i i i e i i i u u e V 342 Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 50 onde 𝛼𝑖 𝑒 é a sensibilidade do elemento i e 𝑉𝑖 é o volume do elemento finito O procedimento ESO original para otimização de rigidez é dirigido diretamente pela remoção gradual de elementos com os números de sensibilidade mais baixos definidos na Equação 339 ou na Equação 342 Neste trabalho numa primeira etapa quando se distribui o concreto para uma fração desejada o número de sensibilidade é aquele apresentado na Equação 343 baseado na energia de deformação do elemento finito Numa segunda etapa quando se trabalha com a troca de materiais concreto e aço o número de sensibilidade é trocado para um valor proporcional à tensão equivalente no elemento finito 1 v eq q k i i nelem eq q i i i 343 sendo 𝜎𝑖 𝑒𝑞 é a tensão equivalente por exemplo para concreto tensões de Ottosen e para o aço tensões de von Mises vi é o volume do elemento finito i e por fim q é um expoente de suavização para as tensões usualmente 4 O propósito desta definição elevando a tensão equivalente do elemento ao expoente q é a de suavizar os máximos de tensões frente ao local em que ocorrerão visto que ao mudar a topologia da estrutura ao longo do processo de otimização o local das máximas tensões poderá alterar Para adicionar material ao domínio do projeto um esquema de filtro deve ser utilizado para obter o número de sensibilidade para os elementos vazios Também utilizando um esquema de filtro se pode suavizar o número de sensibilidade em todo o domínio do projeto com objetivo de solucionar o problema de checkerboard tabuleiro que é detalhado na Subseção 332 332 Filtro para solução do problema de checkerboard Quando uma estrutura contínua é discretizada usando elementos finitos bilineares 2D ou trilineares 3D de baixa ordem os números de sensibilidade podem se tornar descontínuos através dos limites do elemento Isso significa que a compliance pode resultar diferente entre elementos finitos adjacentes pode não haver suavidade da compliance entre os elementos vizinhos Isso leva a possibilidade da formação de padrões de tabuleiro nas topologias resultantes Jog e Harber 1996 apud Huang e Xie 2010 A Figura 18 demonstra um padrão típico de tabuleiro em uma estrutura contínua do método ESO original A presença do padrão Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 51 quadriculado causa dificuldade na interpretação e fabricação da estrutura ótima Figura 18 Malha de elementos finitos com problema de checherboard Adaptada de Huang e Xie 2010 Li et al 2001 apresentam um esquema de suavização simples de calcular a média dos números de sensibilidade de elementos vizinhos para suprimir a formação de padrões de tabuleiro no método ESO No entanto esse algoritmo de suavização não pode superar o problema de dependência da malha A chamada dependência de malha referese ao problema de obtenção de diferentes topologias com o uso de diferentes malhas de elementos finitos Quando uma malha mais fina é usada o processo numérico de otimização estrutural produzirá uma topologia com mais elementos de tamanhos menores no projeto final Idealmente o refinamento da malha deve resultar em uma melhor modelagem da mesma estrutura ótima e uma melhor descrição dos limites formação do serrilhado entre região com material e região de vazios BENDSØE E SIGMUND 2003 Antes de aplicar o esquema de filtro os números de sensibilidade nodal que não carregam qualquer significado físico por conta própria são definidos pela média dos números de sensibilidade do elemento como segue 1 m n e j i i i w 344 onde 𝑚 denota o número total de elementos que compartilham conectados o nó 𝑗 do elemento finito 𝑛 A variável 𝑤𝑖 é o peso do elemento i que compartilha o nó j do elemento n e pode ser definido por 1 1 1 1 m i ij ij i w r r m 345 Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 52 onde 𝑟𝑖𝑗 é a distância entre o centro do elemento i e do nó j O peso apresentado na Equação 345 indica que o número de sensibilidade elementar tem maior efeito sobre o número de sensibilidade nodal quando está mais perto do nó Os números de sensibilidade nodal são então convertidos em números de sensibilidade elementar suavizados Essa conversão ocorre por meio da projeção de números de sensibilidade nodal para o domínio do projeto O filtro tem uma escala de comprimento 𝑟𝑚𝑖𝑛 a qual não muda com o refinamento da malha A função principal da escala de comprimento é de identificar quais nós irão influenciar a sensibilidade do elemento i O efeito da mudança da escala de comprimento no resultado final de otimização é que para valores baixos de 𝑟𝑚𝑖𝑛 a estrutura final resulta em mais elementos internos discretos topologicamente e para valores maiores a estrutura final otimizada resulta em estruturas com menos elementos internos Lembrando que valores muito baixos de 𝑟𝑚𝑖𝑛 poderá acarretar novamente o problema do checkerboard Figura 19 Definição do raio mínimo para realização do filtro Huang e Xie 2010 333 Estabilização do processo iterativo A estabilização do processo iterativo melhora o método de otimização de forma a evitar mudanças bruscas dos valores de sensibilidade por elemento e i por exemplo quando a estrutura otimizada tem uma parte importante removida durante o processo iterativo e melhorar a convergência do método Isso pode ser facilmente implementado no código a partir da seguinte relação Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 53 1 1 e k e k e k i i i 346 onde 𝛾 é um fator de estabilização do valor de sensibilidade entre iterações k do método geralmente 05 e o superíndice e se refere à sensibilidade por elemento e o subíndice i se refere a um dado elemento O efeito de não considerar essa estabilização pode acarretar em um processo de minimização da compliance que gere picos quando da alocaçãoremoção dos elementos estruturais importantes da estrutura como pode ser visto na Figura 20 Valores muito elevados de 𝛾 podem atrasar a convergência da otimização a Processo iterativo sem estabilização b Processo iterativo com estabilização Figura 20 Esquema de otimização a sem e b com estabilização do processo iterativo Adaptada de Huang e Xie 2010 334 Penalização O expoente de penalização 𝑝 é utilizado em problemas de otimização estrutural para fazer com que valores intermediários entre 0 e 1 sejam aproximados a 0 vazio e a 1 cheio No caso do método BESO valores entre 𝑥𝑚𝑖𝑛 e 1 Logo o expoente de penalização leva um elemento finito próximo de zero a ser eliminado da estrutura e elementos próximos de um a se tornarem serem elementos que compõem a fração sólida da estrutura formando assim a topologia final 335 Múltiplos materiais A consideração de diferentes materiais na otimização de estruturas ocorre pela inserção de seus respectivos módulos de elasticidades 𝐸1 𝐸2 𝐸𝑛 de forma que 𝐸1 𝐸2 𝐸𝑛 em outras palavras das diferentes fases da estrutura Assim para estruturas com diferentes fases a propriedade é dada por Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 54 1 1 p p ij j ij j ij E x E x E x 347 em que 𝑝 é o número de penalização 𝑥𝑖𝑗 é a variável de projeto do elemento i e do material j definida como min 1 1 para para j ij j E E x x E E 348 De forma análoga temse que a densidade do elemento finito é tida como 1 1 p p ij j ij j ij x x x 349 Esta consideração é importante para a inclusão do peso próprio dos materiais que fazem parte da estrutura otimizada topologicamente Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 55 4 CRITÉRIOS DE FALHA Nesta seção são apresentados os critérios de falha de Ottosen e von Mises implementados no algoritmo proposto De forma que o modelo de Ottosen é utilizado para representar o material concreto e o modelo de von Mises para representar o material aço nas estruturas analisadas 41 CRITÉRIO DE FALHA DE OTTOSEN PARA O CONCRETO Conforme Ottosen 1977 ao considerar o carregamento proporcional existe uma relação linear entre a tensão e deformação Com isso o autor propôs em sua publicação um critério de falha para materiais isotrópicos em estado homogêneo de tensão que pode ser expresso em termos das três invariantes de tensão 𝐼1 𝐽2 e 𝜃 2 1 2 2 1 0 cm cm J f I J J I f f 41 Assumese a normalização do critério de falha pela resistência à compressão média do concreto 𝑓𝑐𝑚 Dessa forma a Equação 41 pode ser rescrita da forma 2 2 1 1 2 2 1 0 cm cm cm J J I f I J f f f 42 em que 𝜆 é função do 𝑐𝑜𝑠3𝜃 para dois casos positivo ou negativo 1 1 2 1 1 2 cos 1 cos cos3 para cos3 0 3 1 cos cos cos3 para cos3 0 3 3 c c c c 43 sendo o 𝑐𝑜𝑠3𝜃 dado por 3 3 2 2 3 3 cos3 2 J J 44 O segundo e terceiro invariantes de tensões desviadoras 𝐽2 e 𝐽3 podem ser expressos respectivamente por Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 56 2 2 2 2 2 2 2 11 22 22 33 33 11 12 23 31 1 6 J 45 3 3 1 1 2 3 1 2 9 27 27 J I I I I 46 De acordo com Gomes 2001 nas Equações 42 e 43 𝛼 𝛽 𝑐1 e 𝑐2 são constantes expressas respectivamente por 2 1 2 14 11 09 1 1 1 e 1 68 007 9 37 07 c c k k k k 47 com a variável 𝑘 função da razão entre a resistência média à tração pela resistência media à compressão do concreto tm cm f k f 48 Segundo Chen e Han 1988 as Equações 42 e 43 definem uma superfície de falha com meridianos curvos e seções transversais não circulares nos planos desviadores Os meridianos descritos e apresentados na Equação 42 são parábolas quadráticas cuja convexidade depende de 𝛼 0 e 𝛽 0 As seções transversais têm propriedades geométricas de simetria e convexidade e mudam de formato de quase triangular à quase circular com o aumento da pressão hidrostática Figura 21 superfície no espaço das tensões principais visto a partir do meridiano hidrostático a Planos desviadores b Meridianos da superfícies de falha Figura 21 Representação de a seções nos planos desviadores e b meridianos de superficies de falha Chen e Han 1988 Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 57 42 CRITÉRIO DE FALHA DE VON MISES PARA O AÇO Como aborda Chen e Han 1988 o critério de escoamento de von Mises datado de 1913 é baseado na premissa que o escoamento começa quando a tensão de cisalhamento octaédrica atinge um valor crítico em outras palavras quando o segundo invariante de tensões desviadoras 𝐽2 ultrapassa 𝑘2 De forma simplificada essa relação pode ser escrita da forma 2 2 2 0 f J J k 49 Há várias expressões para 𝐽2 assim o critério pode assumir diferentes formas Por exemplo 𝐽2 pode ser escrito em termos de tensões principais na forma 2 2 2 2 1 2 2 3 1 3 1 6 J 410 A variável 𝑘 é a tensão de escoamento em cisalhamento puro em um ensaio uniaxial de tração A condição inicial de escoamento considerando a tensão de escoamento inicial do material 𝜎𝑒 0 ocorrerá quando 𝜎1 𝜎𝑒 0 e 𝜎2 𝜎3 0 Substituindo essa condição na Equação 410 e considerando a relação da Equação 49 temse que 0 2 2 0 1 3 3 e e k k 411 Chagando à tensão de von Mises 𝜎𝑣𝑀 2 2 2 1 2 2 3 1 3 1 2 vM 412 que pode ser rescrita para estado plano de tensões da forma 2 2 1 2 1 2 vM 413 Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 58 5 PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA DAS ESTRUTURAS ANALISADAS No algoritmo implementado para que os materiais concreto e aço possam ser analisados ao mesmo tempo foi necessário programálo em 2 etapas chamadas aqui de fases A fase 1 diz respeito à otimização do concreto propriamente dita em que os elementos com menor energia de deformação são removidos e são formados vazios na estrutura logo nesta fase haverá apenas elementos vazios ou de concreto A partir da estrutura otimizada na fase 1 uma vez atingida a fração volumétrica desejada na fase 2 ocorre a adição de aço nas regiões de concreto que estão falhando bem como a verificação do concreto e do aço com base nos critérios de Ottosen e de von Mises respectivamente Nessa 2ª fase contém vazio elementos de concreto e de aço A estrutura é considerada segura quando os dois critérios de falha são atendidos e assumese que nesta fase os materiais ainda estejam no regime elásticolinear 51 FASE 1 De forma geral no processo de otimização topológica de estruturas contínuas ou descontínuas analisadas por meio do algoritmo BESO utilizando o critério de compliance chegase à estrutura ideal por meio da fração volumétrica desejada e ao atingir a mínima energia de deformação Em outras palavras o usuário informa ao algoritmo o volume final da estrutura pretendido e em cada processo iterativo o algoritmo remove e aloca simultaneamente material das regiões com menos energia de deformação para as regiões com mais energia de deformação de acordo com o número de sensibilidade elementar Equação 342 A Fase 1 do algoritmo proposto distribui o concreto dentro do domínio de projeto Essa distribuição ocorre com base na compliance equivalente à flexibilidade e do número de sensibilidade de cada elemento como dito nos parágrafos anteriores O processo iterativo finaliza quando a fração volumétrica e a compliance da estrutura como um todo se estabiliza No entanto apesar de haver tensão nos elementos neste estágio a falha do concreto ainda não é levada em consideração pois o objetivo é a distribuição do concreto apenas e obter a estrutura mais rígida possível dentro daquela fração volumétrica estipulada ficando assim a análise das tensões para a 2ª fase E ao atingir a topologia final na fase 1 a estrutura resultante é o espaço de trabalho para a fase seguinte Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 59 52 FASE 2 Na fase 2 do processo de otimização da estrutura as regiões de concreto sob falha geralmente nas regiões sob tração ou compressão elevada são substituídas por aço Nessas regiões o número de sensibilidade pela tensão de Ottosen indica os elementos a serem trocados de concreto por aço Se optou por este tipo de abordagem para que dessa forma a estrutura se aproxime ao máximo de uma estrutura real contendo concreto e aço e não apenas utilizar a topologia final como parâmetro para o modelo treliçado de bielas e tirantes Isso é usual na maior parte dos trabalhos que utilizam otimização topológica para determinar a treliça ideal com menor energia de deformação e então projetar estruturas de concreto armado com descontinuidades regiões D Neste estágio de otimização a fração volumétrica já não é uma restrição da otimização topológica e sim uma consequência da otimização pois os elementos de concreto sob falha são substituídos por elementos de aço reduzindo assim o volume de concreto da estrutura As restrições nesta fase são as tensões de Ottosen e von Mises A estabilização do processo iterativo ocorre semelhante ao da fase 1 exceto pelo fato do número de sensibilidade utilizar o critério de Ottosen e de von Mises como parâmetros de avaliação das tensões conforme Equação 343 Dessa forma a estrutura estará segura quando nenhum elemento de concreto violar o critério de Ottosen e os elementos de aço estiverem com a tensão de von Mises abaixo do limite 53 FLUXOGRAMA DO PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO Para exemplificar o exposto nas subseções anteriores foi elaborado um fluxograma contendo cada etapa do processo de otimização da estrutura na fase correspondente do início inserção de dados de projeto parâmetros de otimização etc até a convergência como ilustra a Figura 22 Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 60 Figura 22 Fluxograma do processo de otimização implementado em duas fases Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 61 6 DETALHAMENTO DAS ESTRUTURAS ANALISADAS Quando a fração volumétrica é atingida e a variação da compliance entre iterações é menor do que a tolerância com todos os elementos finitos de concreto ou de aço em seu estado de tensão abaixo dos limites de falha correspondentes Ottosen e von Mises dáse por concluída a otimização E uma vez que se tenha a estrutura de concreto armado otimizada passase para a fase de detalhamento das armaduras Se faz necessário o detalhamento pois percebese que a estrutura otimizada possui elementos finitos de aço que não se assemelham a barras de aço discretas inseridas ao concreto como em estruturas reais Dessa forma ao realizar o detalhamento ou seja obter barras de aço discretizadas que irão compor a topologia devese respeitar a área de aço equivalente aos elementos finitos apresentados na otimização e a região em que eles ocorrem 61 DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS BARRAS DISCRETAS Nesta etapa de dimensionamento das barras de aço a serem distribuídas nas regiões onde a otimização retorna elementos finitos que representam aço é considerada a direção principal de cada elemento finito de aço Se considera a seção transversal mais solicitada dessas regiões e realizase um somatório das forças desses elementos finitos de aço conforme Equação 61 sempre respeitando a direção principal das forças dos elementos finitos para este somatório em que a força considera para cálculo 𝐹𝑡 como dito é o somatório das forças em cada elemento de aço 𝑒 até o número total de elementos 𝑁 que compõe o tirante em questão Após determinada a força resultante no tirante procedese com a determinação da área de aço necessária para resistir ao esforço A partir da força total atuante na seção transversal dimensionase a área de aço para resistila e distribuise elementos finitos para representar as barras de aço discretizadas Essas barras dimensionadas e detalhadas fazem o papel dos elementos finitos que eram de aço oriundos da otimização 1 N e t e F F 61 Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 62 Como parâmetro para determinar a quantidade de barras equivalente à área de aço calculada utilizase da Tabela B1 da ABNT NBR 74802007 Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado especificações na qual são apresentadas as bitolas das barras de aço e suas respectivas áreas O detalhamento da estrutura em si é apresentado na Seção 8 deste trabalho 62 HOMOGENEIZAÇÃO DAS PROPRIEDADES DOS MATERIAIS Na fase de análise da estrutura final otimizada e com o detalhamento das armaduras definido fazse necessário realizar a homogeneização das propriedades dos elementos finitos correspondentes Isso se deve por que uma vez definidas as armaduras que fazem parte de um determinado elemento finito número discreto de barras de um certo diâmetro essas não ocuparão toda a área do elemento A homogeneização é feita tanto para a rigidez do elemento finito como para a densidade do elemento finito que contém os materiais concreto e aço A Figura 23 exemplifica o que ocorre uma vez detalhadas as armaduras de aço que compõe a estrutura final de concreto armado Nesta figura 𝑏 representa a profundidade do elemento finito ie a largura da viga L é a dimensão do comprimento e altura do elemento finito 𝐴𝑠 é a área de aço e 𝐴𝑡 é a área total do elemento Figura 23 Esquema da homogeneização de elementos de concreto que contém barras de aço discretas Podese iniciar a dedução do processo de homogeneização partindose de uma proporção de aço 𝛾 que existe entre a área de aço 𝐴𝑠 que está contida em um elemento finito de concreto Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 63 e a área total 𝐴𝑡 em que a barra discreta de aço transpassa s t A A 62 Para a área de concreto temse que c t s A A A 63 Dividindo 𝐴𝑐𝐴𝑡 1 𝛾 temse a diferença da Equação 62 que nada mais é do que a proporção de concreto no elemento finito Para a homogeneização das densidades dos materiais nos elementos que possuem aço e concreto a nova densidade homogeneizada fica definida como 1 h s c 64 Para a homogeneização dos módulos de elasticidade dos materiais quando aço estiver dentro de elementos com concreto o novo módulo de elasticidade homogeneizado fica definido como 1 h s c E E E 65 Caso queirase obter as tensões individuais dos materiais que compõem o material homogeneizado podese proceder como segue na Equação 66 A partir das tensões finais de von Mises chegase à equação de equilíbrio estático dada por vM t c s s s c c F A F F A A 66 Prescrevendo agora a equação de compatibilidade assumese que aço e concreto estão perfeitamente aderentes portanto sofrendo a mesma deformação temse as seguintes relações entre tensões e deformações para o aço e para o concreto respectivamente assumidos elástico linear e s s c c E E 67 Logo essas duas equações podem ser relacionadas da forma c c s s E E 68 Substituindo a equação anterior na Equação 66 temse a expressão em função apenas de 𝜎𝑠 Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 64 vM t s s c s s c A A E E A 69 Dividindo a Equação 69 por 𝐴𝑡 chegase à relação de proporcionalidade em função da tensão nos elementos de aço e dos módulos de elasticidade do concreto e do aço 1 vM s c s s E E 610 Resolvendo para a tensão no aço 𝜎𝑠 obtémse que 1 vM s s vM c s cte E E 611 Para o concreto seguese o mesmo raciocínio de forma que 1 vM s c c c E E 612 Para a tensão no concreto 𝜎𝑐 chegase também à 1 vM c c vM s c cte E E 613 Lembrando que para as tensões de von Mises no material aço os valores estão contidos na Equação 412 63 VERIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS ANALISADAS Após detalhada a estrutura com barras discretas de aço e realizada a homogeneização das propriedades dos elementos que contêm concreto e aço partese para a verificação da estrutura afim de avaliar se algum elemento de concreto ou de aço viola as tensões de Ottosen ou de von Mises Para isso um segundo algoritmo apenas para análise de elementos finitos foi implementado a partir do algoritmo de otimização estrutural Nesse algoritmo apenas é inserida a topologia resultante detalhada com barras discretas definidas pelo usuário baseadas na Subseção 61 e então feita a análise para flechas tensões e deformações Vale destacar que como é feita uma modificação da topologia de aço colocandose barras discretas para que a estrutura final possa ser construída há a possibilidade de que a estrutura detalhada com as barras apresente alguma região que possa violar algum dos critérios de falha Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 65 fato não presente na solução dada pela otimização topológica Por exemplo a estrutura otimizada topologicamente indica colocação de aço em toda o contorno inferior da peça sob tração pe viga biapoiada em flexão Então ao se discretizar com barras fazse necessário a inclusão do cobrimento e espaçamento no caso de múltiplas camadas de barras Desta forma as regiões de concreto que surgirão na estrutura detalhada poderão estar sujeitas a esforços maiores que os permitidos cabendo ao projetista a correta análise e julgamento se essas regiões e esforços são relevantes Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 66 7 EXEMPLOS E DETALHAMENTOS POR BIELAS E TIRANTES TRADICIONAL Nesta seção são apresentados os exemplos comparativos traçando algumas considerações sobre as normas utilizadas por Goodchild et al 2014 e por Novak e Sprenger 2002 para projetar as estruturas pelo método de bielas e tirantes de forma tradicional e como esses autores chegaram aos detalhamentos das estruturas finais O objetivo deste capítulo é demonstrar cada um dos passos necessários para realizar o projeto por bielas e tirantes e que serve de base para os comparativos das estruturas otimizadas propostas neste trabalho É avaliado um exemplo de uma viga alta simétrica sem abertura proposta por Goodchild et al 2014 onde foi utilizado o Eurocode 22004 para seu dimensionamento E um segundo exemplo de uma viga assimétrica com abertura proposta por Novak e Sprenger 2002 no qual foi utilizado o ACI 3182002 Ambos exemplos são apresentados juntamente com o detalhamento final obtido por Goodchild et al 2014 e Novak e Sprenger 2002 71 VIGA ALTA PELO EUROCODE 22004 A Figura 24 demonstra o exemplo de uma viga alta retirado de Goodchild et al 2014 A viga possui dimensões de 50001500450 mm está apoiada em pilares de 600450 mm e com distância entre eixos de 4400 mm Sobre a viga há uma placa de 450450 mm a uma distância 𝑎𝑣 da face do pilar esquerdo à face da placa de 725 mm A placa recebe uma carga permanente 𝐺𝑘 1256 kN e uma carga variável 𝑄𝑘 480 kN concentradas à 950 mm do pilar esquerdo Neste exemplo os autores determinam as armaduras assumindo um concreto com classe de C35 𝑓𝑐𝑘 35 MPa resistência característica do aço à tração 𝑓𝑦 500 MPa e um cobrimento nominal 𝑐𝑛𝑜𝑚 25 mm 711 Modelo de treliça adotado Tendo em vista que se trata de uma viga alta todo o elemento é considerado descontínuo região D Goodchild et al 2014 consideraram a verificação das tensões resistentes verificação de tensões nas bielas inclinadas projeto das armaduras principais de ancoragem e armadura de pele A Figura 25 mostra o modelo de bielas e tirantes adotado pelos autores para a viga alta e Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 67 as dimensões Figura 24 Viga alta de Goolchild et al 2014 Adaptada de Goodchild et al 2014 Figura 25 Modelo treliçado adotado por Goodchild et al 2014 Adaptada de Goodchild et al 2014 Como a abordagem de Goodchild et al 2014 é baseada no Eurocode 22004 a viga é projetada no Estado Limite Último ELU e são considerados os fatores de segurança de 135 e 150 para a carga permanente e variável respectivamente É considerada a densidade do concreto armado Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 68 de 25 kNm3 Sendo assim a força resultante aplicada na placa superior vale parcelapermanente parcela variável parcela de pesopróprio 1236 135 480 150 50 15 045 25 135 2529kN F F 71 Considerando o momento em torno do ponto B temse as seguintes reações em cada apoio RA 2529 305 430 1794kN 72 RB 2529 1794 735kN 73 E por análise trigonométrica é possível obter as forças resultantes na biela mais solicitada 1 2 no tirante principal 13 e nas barras verticais 34 e 56 Assim 12 F 1794 180 130 2484kN 74 13 F 2484 125180 1725kN 75 34 56 F F 735kN 76 Para verificar os esforços indicados em Goodchild et al 2014 inclusive de algumas barras que foram indicadas na Figura 26 está indicada a treliça modelada no software Ftool para obtenção de todos os esforços nas barras Figura 26 Forças atuantes nos tirantes e nas bielas Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 69 712 Verificação das tensões nos apoios e do ponto de aplicação de carga Seguindo a lógica do método de bielas e tirantes Goodchild et al 2014 realizaram as verificações dos nós críticos singulares como descrito na Subseção 234 deste trabalho Na estrutura em questão conforme ilustra a Figura 25 os nós singulares a serem verificados são o nó 1 do tipo CCT relativo ao apoio A e nó 2 do tipo CCC relativo ao ponto de aplicação da carga aplicada Iniciando por este último devese calcular as tensões solicitante e resistente do ponto em questão 3 2529 10 450 450 125MPa Sd 77 10 1 35 250 085 3515 171MPa Rd 78 Ok Sd Rd 79 Já no nó 1 do apoio A Figura 27 primeiro se determina a largura da base 𝑎1 da biela de compressão 1a 600 2 nom o c s 710 1a 600 25 2 50 475mm 711 para então determinar as tensões solicitante e resistente do apoio A respectivamente 1794 103 475 450 839MPa Sd 712 085 1 35 250 085 3515 145MPa Rd 713 Ok Sd Rd 714 Por inspeção é verificado que o apoio B nó 7 é seguro visto que a configuração deste apoio é igual à do apoio A e com solicitação menor 713 Dimensionamento dos tirantes Iniciando o dimensionamento pela armadura principal o dimensionamento dos tirantes segue Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 70 o mesmo princípio do dimensionamento da armadura de flexão de estruturas convencionais em que a área de aço é o resultado da força atuante no tirante pela resistência à tração de projeto do aço Logo a área de aço dessa região pode ser determinada por 115 s y F A f 715 assim 3 13 13 1725 10 3968 ² 115 500 115 s y F A mm f 716 Goodchild et al 2014 utilizam 8𝜙25 para o tirante principal que é o equivalente a uma área de 3928mm2 e os autores dividem a armadura em duas camadas espaçadas 50mm uma da outra ou seja 24𝜙25 e50mm Já os tirantes verticais T34 e T56 que equivalem à estribos na estrutura são determinados a partir da força de 735 kN atuante em ambos tirantes 3 34 56 735 10 1690 ² 115 500 115 s s y F A A mm f 717 A distribuição proposta pelos autores foi igual a 𝜙16 c225mm equivalente a uma área de 1768mm2m Figura 27 Apoio A do tipo CCT Goodchild et al 2014 Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 71 714 Comprimento de ancoragem Para os tirantes principais com armadura de 25 mm a ancoragem necessária assumindo barra reta para concreto classe C35 deve ser de 790 mm No entanto a ancoragem disponível além da face do pilar pilar altura do tirante cobrimento diâmetro da barra em U é igual a 600 200 2 25 16 655mm lb disp 718 É possível notar que o comprimento de ancoragem não é suficiente sendo necessário empregar dobras no final das barras Assim 23 1 2 225 225 10 10 07 03 35 15 337MPa bd ctd f f 719 07 25 4 435 337 570mm lbd 720 ficando cada barra com ancoragem de projeto 𝑙𝑏𝑑 570 mm 715 Verificação das tensões nas bielas da treliça Goodchild et al 2014 avaliaram a tensão na biela 12 verificando inicialmente a necessidade de reforço transversal Isso ocorre devido às eventuais tensões de tração transversal que surgem por conta da compressão na biela Na ocorrência de tensões transversais a tensão de projeto na biela inclinada excederá a resistência de projeto da biela ou seja 𝜎𝑆𝑑 𝜎𝑅𝑑 e neste caso é necessário reforço transversal Partindo pelo cálculo da largura máxima do suporte 12 cos b a L sen u 721 12 475 125180 200 130 180 474mm a as tensões solicitante e resistente de projeto transversais na biela comprimida valem 3 2484 10 474 450 116MPa Sd 722 06 1 35 250 085 3515 1023MPa Rd 723 Sd Rd 724 Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 72 Neste caso a biela 12 necessita de reforço transversal pois a solicitação da região excede a resistência do concreto à tração A resistência transversal pode ser aumentada considerando um nó do tipo CCT 𝜎𝑅𝑑 0851 𝑓𝑐𝑘250𝑓𝑐𝑘 pelo fornecimento de armadura transversal de acordo com a Equação 713 ou calculando o esforço transversal 𝑇 1 07 4 a H T F 725 em que 𝑎 é a largura do suporte na extremidade podendo ser considerado o valor de 𝑎21 ou 𝑎12 Para maximizar T que equivale a minimizar a relação 𝑎𝐻 considerase o valor mínimo de a ou seja 𝑎21 do nó 2 assim 21 max Rd a F t 726 em que F 2484 kN e t 450 mm A tensão resistente de projeto máxima é determinada pela expressão seguinte max 1 Rd cd k f 727 sendo 𝑘1 10 e 𝜐 1 𝑓𝑐𝑘250 a resistência de projeto do concreto à compressão 𝑓𝑐𝑑 pode ser determinada por 085 cd ck c f f 728 Dessa forma max 1 1 35 250 085 3515 171MPa Rd 729 Logo a largura da biela vale 21 2484 103 3236mm 450 171 a 730 Sendo o comprimento da biela H 1800 a relação aH vale 32361800 018 a H 731 portanto a força nos tirantes transversais é igual a Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 73 1 07 018 2484 5428kN 4 T 732 E a área de aço requerida de projeto vale 5428 103 1248mm² 500 115 Asd 733 Goodchild et al 2014 consideram a colocação dessa área à 03 do comprimento da biela 03 1800 540 mm devido ao formato de garrafa da biela Figura 28 Tendo em vista a inclinação da biela se faz uma correção da posição dos tirantes para o ângulo de 4388 que resulta em uma área de aproximadamente 2311 mm2m a ser distribuída tanto na horizontal quanto na vertical do lado em questão Sendo dessa forma a armadura de aço proposta de 𝜙16 c175mm igual a 1148 mm2m nos dois sentidos e em ambos os lados da estrutura equivalendo a uma área de 2296 mm2m dita Ok pelos autores Por inspeção o lado direito da estrutura está verificado Figura 28 Ilustração da biela 12 em forma de garrafa com os tirantes transversais T Goodchild et al 2014 716 Verificação do modelo de bielas e tirantes proposto Com referência à Figura 25 a linha central do tirante principal 13 sob tração para o qual foi determinado 8𝜙25 coincide com a linha central assumida do tirante Dessa forma essa região é dita segura segundo Goodchild et al 2014 Para a biela 24 sob compressão presumindo nenhum reforço transversal 𝜎𝑅𝑑 1023 MPa Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 74 como visto na Equação 723 a altura da biela vale 1148103 4501023 249 mm ou seja 125 mm da linha central da biela até o topo da viga Maior em relação aos 100 mm assumidos no modelo proposto pelos autores Figura 25 Com isso segundo Goodchild et al 2014 a biela é segura 717 Verificação ao cisalhamento De acordo com o Eurocode 22004 considerando uma altura efetiva 𝑑 1400 𝑚𝑚 o cisalhamento deve ser verificado quando a distância entre a carga e o apoio 𝑎𝑣 for maior do que 15d 2100 mm sendo assim o cálculo da distância da carga até o apoio esquerdo vale 950 450 2 725mm ve a 734 E da carga até o apoio direito a distância é igual a 3800 950 450 2 2625mm avd 735 É notório que não é necessário reforço ao cisalhamento no lado esquerdo de aplicação da carga visto que a distância do local de aplicação da carga até o apoio é menor do que o limite 725 mm 2100 mm Já no lado oposto à direita do local de aplicação do carregamento é necessário reforço ao cisalhamento uma vez que 2625 mm 2100 mm O cálculo da armadura para reforço ao cisalhamento à direita do ponto de aplicação da carga passa pelo cálculo da relação 2 2625 2 1400 094 avd d 736 em que 094 735 691 bR kN 737 Sendo assim a área de aço para resistir ao esforço de cisalhamento pode ser determinada da seguinte forma sw b yws A R f sen 738 Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 75 691000 1589 ² 500 115 10 Asw mm 739 E conforme o Eurocode 22004 esse valor deve ser fornecido à 075𝑎𝑣 logo 1589 075 2625 807 ² Asw mm m 740 718 Armadura mínima Em vigas altas segundo o Eurocode 22004 a área mínima de reforço vertical e horizontal por unidade de comprimento que precisa ser fornecida em cada face é igual a 0002𝐴𝑐 equivalente à 2ℎ sendo h a altura da viga Desta forma a distribuição da área mínima a ser fornecida é de 900 mm2m em cada face ou seja 𝜙16 c225 que equivale à 893 mm2m 719 Detalhamento final proposto pelos autores O detalhamento fornecido pelos autores Goodchild et al 2014 é apresentado na Figura 29 ficando 2x 4𝜙25 para as armaduras principais 𝜙16 c175 para as armaduras de pele horizontais 𝜙16 c175 para as armaduras verticais à esquerda do ponto de aplicação da carga e 𝜙16 c225 para as armaduras à direita da carga Figura 29 Detalhamento proposto por Goodchild et al 2014 Adaptada de Goodchild et al 2014 Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 76 72 VIGA ALTA COM ABERTURA PELO ACI 3182002 Neste exemplo contido na publicação de Reineck 2002 os autores Novak e Sprenger 2002 avaliam o projeto de uma viga alta assimétrica de concreto armado com abertura Figura 30 segundo os critérios do ACI 3182002 Apêndice A A estrutura como um todo é considerada como região D devido à sua geometria Por simplificação o peso próprio foi contabilizado por um aumento na carga aplicada A viga possui dimensões de 12700 6000 305 mm com uma abertura de 4000 2000 mm e uma assimetria no canto superior direito de 4100 2500 m A viga está apoiada sobre pilares com dimensões de 400 305 mm distantes 12000 mm entre eixos Possui uma placa de 600305 mm que recebe uma carga concentrada de 2000 kN já majorada distante 4000 mm do centro do pilar esquerdo Neste exemplo os autores consideram a resistência de projeto do concreto à compressão 𝑓𝑐𝑑 31 MPa e resistência de projeto do aço à tração 𝑓𝑦𝑑 368 MPa Figura 30 Viga alta com abertura segundo Novak e Sprenger Adaptada de Novak e Sprenger 2002 721 Modelo de treliça adotado Para desenvolvimento do modelo treliçado Novak e Sprenger 2002 subdividiram a viga alta Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 77 em duas partes acima e abaixo da abertura Segundo os autores a estrutura se comporta como uma viga alta superior que se estende até as colunas inclinadas bielas C3 e C4 Figura 31 apoiadas em uma viga alta inferior Com base nesse comportamento os autores desenvolveram o modelo interno de bielas e tirantes como apresentado na Figura 31 Para facilitar o detalhamento do nó A devido a simetria da região a carga aplicada foi dividida em duas partes iguais 𝐹1 𝐹2 𝐹2 aplicadas próximas uma da outra Novak e Sprenger 2002 colocam que o modelo é subjetivo depende do julgamento do engenheiro ou pode ser obtido por uma análise do fluxo da carga por elementos finitos Para estabilidade da estrutura e pensando na parte construtiva os tirantes foram posicionados onde os esforços principais atuam no caso logo acima e abaixo da abertura e na parte inferior da viga alta Atendendo à seção RA1 do ACI 3182002 os autores definem o menor ângulo entre as bielas e os tirantes como sendo 34 frente aos 25 da Norma Figura 31 Modelo de bielas e tirantes proposto por Novak e Sprenger Adaptada de Novak e Sprenger 2002 A Figura 31 ilustra as linhas contínuas que representam os tirantes sob esforço de tração e as linhas tracejadas que representam as bielas sob esforço de compressão Por análise estática da treliça é possível obter os esforços nos elementos que são apresentados na Figura 32 Da mesma forma é possível determinar as reações nos apoios 𝑅1 1333 kN e 𝑅2 667 kN Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 78 Figura 32 Forças e reações do modelo de bielas e tirantes de Novak e Sprenger Adaptada de Novak e Sprenger 2002 722 Verificação das tensões nos apoios e dos pontos de aplicação de carga Para a verificação das tensões nos apoios e pontos de aplicação de cargas conforme a equação A1 do ACI 3182002 temse que r n u F F 741 onde 𝐹𝑢 é a força em uma biela ou tirante 𝐹𝑛 é a resistência nominal da biela tirante ou zona nodal e 𝜙𝑟 é o fator de redução de resistência com valor de 075 para elementos estruturais dimensionados pelo método de bielas e tirantes A força resistente pode ser determinada por 7 085 26372 10 Pa n cd F f A A 742 Lembrando que a placa de apoio é da mesma largura que a viga Logo para o nó A a área da placa é 𝐴 0182 m2 e a força resistente vale 7 1 3 075 085 26372 10 0 8 5 2 95 r n cd r n kN F f A F 743 que é maior do que a carga aplicada no nó 𝐹𝑢 2000 kN indicando que esta condição é satisfeita Para o nó B temse 𝜙𝐹𝑛 2410 kN e a carga pontual aplicada é a própria reação Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 79 atuante no nó 𝑅1 𝐹𝑢 1333 kN indicando a segurança do nó 2410 kN 1333 kN Igualmente o nó C é dito seguro visto que 2410 kN 667 kN 723 Dimensionamento dos tirantes Considerando que 𝜙𝑟𝐹𝑛 𝐹𝑢 como na verificação dos nós essa expressão por ser reescrita como u n r F F 744 A partir da equação A6 do ACI 3182002 a resistência nominal do tirante pode ser calculada da seguinte forma s y ps se p nt A f A f F f 745 como no exemplo analisado não há protensão 𝐴𝑝𝑠 0 a equação passa a ser s nt y F A f 746 sendo 𝑓𝑦 414 MPa Assim a equação para dimensionar as armaduras fica sendo 3105 nt u u s y r y F F F A f f Pa 747 Tabela 3 Áreas de aço e barras propostas por Novak e Sprenger 2002 para detalhamento Tirante 𝐹𝑢 kN 𝐴𝑠𝑛𝑒𝑠𝑐 mm2 𝜙 mm Nº de barras 𝐴𝑠𝑓𝑜𝑟𝑛 mm2 Distribuição T1 7440 2400 32 4 32169 4𝜙 T2 6360 2052 25 4 19634 4𝜙 T3 1510 484 25 4 19634 4𝜙 T4 3330 1071 125 10 12271 10𝜙125 c457 mm T5 3330 1071 125 10 12271 10𝜙125 c457 mm T6 6670 2148 125 18 22089 18𝜙125 c229 mm T7 4930 1587 32 6 48253 6𝜙 T8 9870 3181 32 6 48253 6𝜙 T9 14800 4774 32 6 48253 6𝜙 T10 7410 2387 32 6 48253 6𝜙 Fonte Adaptada de Novak e Sprenger 2002 Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 80 A Tabela 3 resume a área de aço necessária para resistir aos esforços nos tirantes e a correspondente distribuição das barras de aço proposta por Novak e Sprenger 2002 resultando nas áreas de aço utilizadas Asforn para o detalhamento da estrutura 724 Verificação das bielas de compressão Para a verificação das bielas de compressão o procedimento é semelhante 𝜙𝑟𝐹𝑛𝑠 𝐹𝑢𝑠 onde 𝐹𝑛𝑠 𝑓𝑐𝑢𝐴𝑐𝑛𝑒𝑐 em que o valor de 𝑓𝑐𝑢 085𝛽𝑠𝑓𝑐𝑑 e com 𝐴𝑐𝑛𝑒𝑐 𝑤𝑛𝑒𝑐 𝑡 sendo 𝑡 a largura da viga Assumese o valor de 𝛽𝑠 060𝜆 com 𝜆 1 para concretos com peso normais e para peças que não recebam reforço de aço Este valor é tomado de forma conservativa já que bielas com forma de garrafa podem se desenvolver No caso de haver armadura transversal na biela o ACI 3182002 recomenda utilizar 𝛽𝑠 075𝜆 Assim r 085 s cd c nec u f A F 748 ou seja a largura efetiva requerida da biela comprimida pode ser colocada como 085 u nec r s cd F w f 749 Tabela 4 Verificação das larguras das bielas de compressão Biela 𝐹𝑢 kN 𝑤𝑛𝑒𝑐 mm 𝑤𝑓𝑜𝑟𝑛 mm C1 1685 381 Ok C2 1685 381 Ok C3 1185 254 Ok C4 1185 254 Ok C5 343 762 Ok C6 741 1524 Ok C7 1000 2286 Ok C8 595 127 Ok C9 595 127 Ok C10 595 127 Ok C11 997 2286 Ok C12 997 2286 Ok Fonte Novak e Sprenger 2002 Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 81 A Tabela 4 apresenta os valores calculados de 𝑤𝑛𝑒𝑐 para cada uma das bielas de compressão e a indicação 𝑤𝑓𝑜𝑟𝑛 Ok constata que a área necessária de concreto composta pela largura da viga e pela largura da biela no modelo suficiente para ser acomodada é atendida 725 Verificação das tensões nos nós da treliça Assim como nos demais casos a equação requerida a ser atendida é 𝜙𝐹𝑛 𝐹𝑢 Sendo os nós A B e C do tipo singulares devem ser verificados devido à criticidade das tensões do entorno por conta do pouco cobrimento Sendo o nó A Figura 33 do tipo CCC no qual confluem 3 bielas de compressão 𝛽𝑛 10 de acordo com o ACI 3182002 Enquanto que os nós B e C Figuras 34 e 35 respectivamente do tipo CCT é ancorado 1 tirante portanto 𝛽𝑛 08 De acordo com o ACI 3182002 numa zona nodal a resistência nominal compressiva é dada por nn cu n F f A 750 e a tensão efetiva numa face da zona nodal é dada por 075 085 r cu n cd F f 751 Figura 33 Geometria do Nó A Adaptada de Novak e Sprenger 2002 Para o nó A no qual a Figura 33 apresenta sua configuração considerase 𝐹1 1000 kN 𝐶0 Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 82 1379 kN 𝐶1 1685 kN 𝜃 3592𝑜 e 𝛽𝑛 10 Sendo as larguras em torno do nó 𝑤𝐹1 𝑙𝑏 294 mm 𝑤𝐶0 254 mm e 𝑤𝐶1 𝑤𝑠 𝐿𝑏 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑤𝑡 cos𝜃 381 mm as áreas projetadas serão respectivamente para cada um dos lados do nó 𝐴𝐹1 9032 mm2 𝐴𝐶0 77420 mm2 e 𝐴𝐶1 96774 mm2 e as respectivas forças resistentes 1 1 1 075 085 08 1797 1000 F F nn cd c F f A kN F kN 752 0 0 0 075 085 08 1530 1379 C C nn cd c F f A kN C kN 753 1 1 1 075 085 08 1917 1704 C C nn cd c F f A kN C kN 754 verificando dessa forma a segurança do nó A Figura 34 Geometria do Nó B Adaptada de Novak e Sprenger 2002 Para o nó B temse a Figura 34 indicativa de sua geometria na qual 𝑅1 1333 kN 𝑇7 494 kN 𝐶78 1419 kN 𝜃 6968𝑜 e 𝛽𝑛 08 Assim calculando as larguras das bielas e tirantes e multiplicandoas pela largura da viga chegase às seguintes áreas 𝐴𝑐𝑅1 Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 83 121935 mm2 𝐴𝐶𝑇7 832256 mm2 e 𝐴𝐶𝐶78 143226 mm2 E às seguintes forças resistentes 1 1 1 075 085 08 1930 1333 R R nn cd c F f A kN R kN 755 7 7 7 075 085 08 1317 494 T T nn cd c F f A kN T kN 756 78 78 78 075 085 08 2264 1419 nnC cd c F f A kN C kN 757 indicando que o nó também está estável e em equilíbrio Figura 35 Geometria do Nó C Adaptada de Novak e Sprenger 2002 Para o nó C temse a Figura 35 indicando sua geometria para o qual 𝑅2 667 kN 𝐶12 1419 kN 𝑇10 743 kN 𝜃 4199 e 𝛽𝑛 08 O procedimento é semelhante ao do nó B Tomando como início o cálculo das larguras das bielas e dos tirantes para posterior multiplicação pela largura da viga chegase às seguintes áreas 𝐴𝑅2 121935 mm2 𝐴𝑇10 832256 mm2 e 𝐴𝐶12 143226 mm2 Dessa forma o cálculo das forças resistentes para 𝜃 4199 e 𝛽𝑛 08 é dado por 2 1 2 075 085 08 1930 667 R R nn cd c F f A kN R kN 758 10 10 10 075 085 08 1317 743 T T nn cd c F f A kN T kN 759 Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 84 12 12 12 075 085 08 2264 997 C C nn cd c F f A kN C kN 760 indicando que o nó C por sua vez está em equilíbrio 726 Comprimentos de Ancoragem Prevalece o nó B quando o comprimento de ancoragem do gancho disponível é menor que o comprimento do gancho do nó C O comprimento de ancoragem em um gancho padrão de acordo com o ACI 3182002 é 002 y dh b c f l d f 761 O ACI 3182002 prescreve ainda para uma cobertura além do gancho menor que 635 mm um espaçamento de estribos não superior a 3𝑑𝑏 ao longo do comprimento de ancoragem 𝑙𝑑ℎ e o primeiro estribo estando dentro de 2𝑑𝑏 da parte externa da dobra 𝑙𝑑ℎ pode ser multiplicado por 0 7 e portanto é reduzido à 07 57785 404 ldh mm 762 1 2 40 1492 635 127 40958 tan6968 NóB a w l mm 763 1 2 40 1492 635 127 510 tan 4199 NóC a w l mm 764 404 409 ldh mm mm 765 Dessa forma os nós B e C são ditos aceitáveis O valor de 𝑙𝑑ℎ pode ser reduzido ainda mais pela razão entre 𝐴𝑠𝑛𝑒𝑐 e 𝐴𝑠𝑓𝑜𝑟𝑛 23874916 049 conforme o ACI 3182002 Essa redução adicional em 𝑙𝑑ℎ não foi tomada pois não altera os resultados 727 Armadura mínima para retração e temperatura A razão entre a área de armadura e a área bruta de concreto segundo o ACI 3182002 é obtida a partir da Equação 766 Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 85 00018 s c A A 766 Novak e Sprenger 2002 assumiram uma armadura de 125 mm a cada 4572 mm pois seguindo o ACI 3182002 o espaçamento não deve exceder 4572 mm com 𝐴𝑠𝑡 12903 mm2 Portanto com a largura da parede sendo 3048 mm temse que 2 129032 00019 00018 4572 3048 767 Logo os autores determinaram barras de 125mm a cada 4572 mm em cada sentido e em cada face da viga 𝜙125 c457 728 Armadura mínima de pele Verificando os requisitos do ACI 3182002 são fornecidas apenas as armaduras mínimas horizontal e vertical para retração e temperatura Caso a profundidade efetiva de uma viga exceder 914 mm o reforço de pele deve ser distribuído de acordo com a referida norma O reforço de pele deve ser distribuído por uma distância de d2 sendo d a distância da fibra mais comprimida ao centroide das armaduras em um espaçamento que não exceda o mínimo de 𝑠𝑠𝑘 sendo 6 762 1000 762 sk b d s mm A d 768 dessa forma 1000 19999 193 178435 762 ssk mm 769 Portanto a armadura horizontal de 𝜙125 c457 deve ser alterada para a 𝜙16 c190 mm para a borda da viga alta e acima da abertura em uma profundidade de 940 mm 729 Detalhamento final proposto pelos autores Por fim a Figura 36 exemplifica todo o dimensionamento realizado nesta Seção e proposto por Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 86 Novak e Sprenger 2002 Tanto a imagem do detalhamento de Goodchild et al 2014 segundo o Eurocode 22004 quando de Novak e Sprenger 2002 segundo o ACI 3182002 foram desenhadas mantendo um padrão semelhante ao utilizado no Brasil Desta forma findase o dimensionamento e detalhamento dos exemplos propostos segundo o modelo de bielas e tirantes tradicional sendo em seguida realizadas as otimizações das estruturas pelo método de otimização topológica São realizadas posteriores verificações e comparações das estruturas detalhadas neste capítulo com as estruturas otimizadas e detalhadas no Capítulo 8 Figura 36 Detalhamento proposto por Novak e Sprenger Adaptada de NOVAK e SPRENGER 2002 Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 87 8 OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA DOS EXEMPLOS Neste capítulo são apresentados e discutidos os resultados obtidos por meio das otimizações topológicas dos exemplos de Goodchild et al 2014 e Novak e Sprenger 2002 São apresentadas as propriedades dos materiais concreto e aço os parâmetros de otimização utilizados os resultados e gráficos de otimização obtidos para cada exemplo bem como as estruturas finais otimizadas São apresentadas também as comparações das estruturas dimensionadas por meio do método tradicional de bielas e tirantes com as estruturas detalhadas com armaduras discretas a partir das estruturas otimizadas As comparações são feitas a nível tensões e deformações além de volume massa e custos aproximados Os custos são analisados apenas para se ter um parâmetro pois não são considerados impostos encargos e custos com fôrmas essenciais para uma composição de custos mais detalhada Para os exemplos são testadas malhas regulares até chegar às malhas de elementos finitos das as estruturas analisadas As malhas em questão visam a redução de tempo mantendo a qualidade no resultado final Os parâmetros utilizados na otimização topológica são escolhidos a partir de testes previamente realizados com o objetivo de obter a estrutura topologicamente otimizada e que contenha as distribuições de armaduras de forma suave sem que ocorra o efeito de checkerboard 81 EXEMPLO SEGUNDO O EUROCODE 22004 Iniciando pelo exemplo de Goodchild et al 2014 com base no Eurocode 22004 é realizada a otimização da estrutura e discretização das barras de aço como visto nas Seções 5 e 6 respectivamente afim de comparar a estrutura otimizada e detalhada com a estrutura projetada por meio da abordagem tradicional do método de bielas e tirantes 811 Parâmetros utilizados na otimização A escolha da fração volumétrica inicial é de extrema importância para o resultado final da estrutura uma vez que frações volumétricas muito baixas implicam na fase 2 em mais aço incorporado à estrutura ou até mesmo na inviabilidade da estrutura a nível de instabilidade estrutural Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 88 Como parâmetros para a simulação foram utilizados 3000 elementos finitos quadrático sólido de 4 nós em estado plano de tensão com dimensão de 5050 mm cada elemento finito São empregados os critérios de falha de Ottosen para o concreto e o critério de falha de von Mises para o aço A parcela de peso próprio é considerada a partir aceleração da gravidade 981 ms2 aplicada em cada grau de liberdade correspondente na vertical de forma distribuída em toda estrutura Visto que o peso próprio segundo o Eurocode 22004 é majorado se fez essa majoração na otimização No exemplo do Goodchild et al 2014 todo peso próprio foi considerado aplicado junto com a carga vertical Na Tabela 5 são apresentadas as propriedades do concreto e do aço tais como os módulos de elasticidade os coeficientes de Poisson as resistências do concreto à compressão e à tração a resistência do aço e os pesos específicos Para os elementos vazios é utilizada uma tolerância de 106 A tabela é baseada em alguns dados de Goodchild et al 2014 como 𝑓𝑐𝑘 e 𝑓𝑦 Os dados restantes são obtidos a partir da NBR 61182014 Tabela 5 Propriedades do concreto e do aço utilizadas na otimização 𝐸𝑐 GPa 𝐸𝑠 GPa 𝜈𝑐 𝜈𝑠 𝑓𝑐𝑘 MPa 𝑓𝑐𝑡 MPa 𝑓𝑦 MPa 𝜌𝑐 kgm3 𝜌𝑠 kgm3 33 210 022 030 35 32 500 2400 7780 Na sequência Tabela 6 são apresentados os parâmetros de otimização utilizados no código implementado seguindo a metodologia BESO É necessário considerar um raio mínimo para filtro do checkerboard 𝑟𝑚𝑖𝑛 fração volumétrica de cada fase 𝑉𝑓𝑟𝑎𝑐 valor mínimo e máximo para variável de projeto 𝑥𝑚𝑖𝑛 taxa evolutiva de cada fase 𝐸𝑅 expoente de penalização o para critério de compliance 𝑝 expoente de penalização para critério de tensão 𝑞 parâmetro de estabilização do processo de otimização 𝛼 e número máximo de iterações admissível Tabela 6 Parâmetros para otimização Fase 𝑟𝑚𝑖𝑛 𝑉𝑓𝑟𝑎𝑐 ER 𝑥𝑙𝑖𝑚 𝑝 𝑞 𝛼 𝑡𝑜𝑙 Máx Iterações 1 4 06 005 01 3 4 05 106 100 2 2 001 001 Fonte Autor Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 89 812 Resultados da otimização de Goodchild et al 2014 Como já mencionado neste trabalho foram consideradas as características especificas de cada material concreto e aço para otimização da estrutura diferindose de outros trabalhos em que a estrutura é constituída por apenas um material e é otimizada para obtenção do modelo treliçado Essa consideração em duas fases concreto e aço fez com que a compliance energia de deformação da estrutura reduzisse consideravelmente com a inserção de aço à estrutura como é visto na Figura 37 Isso indica que a estrutura é mais rígida em relação a uma estrutura otimizada considerando apenas o material concreto por exemplo É possível observar na Figura 37 que a mudança de fase e redução drástica da compliance ocorre a partir da 21ª iteração linha azul A partir dessa etapa os elementos finitos que violaram o critério de falha de Ottosen ou seja que extrapolaram a resistência do concreto foram substituídos por aço e a estrutura otimizada até a fração volumétrica predeterminada Notase também que há uma etapa de estabilização do processo evolutivo em cada fase ao atingir a fração volumétrica desejada isso devido ao algoritmo realocar material a fim de obter a menor compliance possível em outras palavras a estrutura mais rígida possível Figura 37 Curva compliancefração volumétrica versus iterações Após o fim da otimização e a partir da fração volumétrica alvo de 06 é possível chegar à estrutura ótima em termos de rigidez e tensão ilustrada na Figura 38 a qual apresenta as Fase 1 Fase 2 Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 90 densidades finais do concreto elementos cinza e do aço elementos pretos Vale salientar que a fração volumétrica final de 047 47 é devida à substituição de concreto por aço na 2ª fase reduzindo o volume de concreto Dessa forma podese afirmar que a fração volumétrica está relacionada apenas ao material concreto Na Subseção 814 é apresentada a estrutura final com barras discretas visto que a estrutura resultante da otimização ainda não se assemelha a uma estrutura com barras de aço discretas Figura 38 Gráfico das densidades finais do projeto A Figura 39 apresenta as curvas de tensões máximas e residuais de Ottosen e de von Mises em toda estrutura versus o número de iterações Para avaliar de forma adimensional as tensões no concreto e no aço optouse por criar a variável denominada de resíduo que para o concreto Resíduo𝜎𝑂𝑡𝑡 𝜎𝑂𝑡𝑡𝑓𝑐 1 e para aço Resíduo𝜎𝑣𝑀 𝜎𝑣𝑀𝑓𝑦 1 As curvas residuais em vermelho são um indicativo de que os materiais estão falhando quando 0 ou atendendo ao critério quando 0 Por análise quantitativa observase que ao término do processo iterativo tanto o concreto quanto o aço não estão falhando e inclusive o aço está sendo subutilizado porque sua tensão está abaixo do valor de referência É interessante notar que na fase 1 não há tensão de von Mises visto que não há o material aço alocado na estrutura Nessa fase o concreto excedeu seu limite resistente resíduo maior que 0 próximo a 5 e possui tensão elevada próxima a 200 MPa Quando se inicia a segunda fase e o aço começa a ser alocado na estrutura a tensão no concreto tensão de Ottosen começa a reduzir até um valor próximo a 30 MPa abaixo de sua resistência de 35 MPa e a tensão no aço tensão de von Mises estabilizase em aproximadamente 84 MPa abaixo da resistência limite do aço de 500 MPa x m y m Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 91 Figura 39 Curva tensões máximas e resíduos versus iterações Na Figura 40 é possível visualizar as solicitações que ocorrem nas regiões da estrutura A região do apoio esquerdo é a região mais solicitada na qual atua uma tensão de 836 MPa em um elemento de aço Como visto nos detalhamentos anteriores pelo método de bielas e tirantes tradicional esforços obtidos por uma treliça no regime elásticolinear é necessária a verificação dos nós singulares dos nós de apoio de aplicação da carga e de bielas com possíveis tensões de tração transversais Uma vez que nesta Seção se faz a otimização da estrutura os nós estão automaticamente verificados a partir dos resíduos e limites resistentes dos materiais guardadas as devidas aproximações pela análise elásticolinear uma vez que o algoritmo só irá parar quando todas as regiões estiverem seguras quanto ao critério correspondente Figura 40 Gráfico das tensões equivalentes de Ottosen e von Mises suavizadas Fase 1 Fase 2 x m y m x m x107 Pa Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 92 A Figura 41 auxilia na visualização das direções das tensões principais de tração e de compressão que atuam na estrutura Em vermelho é possível notar as tensões de tração indicando reforço horizontal e inclinado Em azul estão as regiões com tensões de compressão indicando as bielas de concreto Neste caso as regiões sob tração são substituídas por aço visto que o concreto não resiste às solicitações internas Figura 41 Gráfico das direções das tensões principais 813 Detalhamento da estrutura otimizada Tendo sido realizada a otimização da estrutura como visto na subseção anterior partese para o dimensionamento e detalhamento da mesma uma vez que a estrutura otimizada resultante Figura 38 não condiz com uma estrutura real a nível de execução necessitando de barras equivalentes à de estruturas reais e de cobrimentos Iniciando pelo dimensionamento das barras de aço da parte inferior da viga equivalente ao tirante principal sob flexão a força atuante na barra dada pelo programa de otimização topológica equivale à Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 93 5 5 5 6 4735 10 3993 10 3262 10 1199 10 N tF 81 Considerando o coeficiente de segurança 𝛾𝑠 115 segundo o Eurocode 22004 e a resistência característica do aço a tração 𝑓𝑦𝑘 500106 Nm2 a área de aço resultante equivale à 6 3 1199 10 2758 10 m² 27577mm² 500 115 t s yk s F A f 82 A área determinada na Equação 82 foi distribuída em 3 camadas mantendo um cobrimento na região inferior da viga Tal área resultando em 91923 mm2 por camada e foram distribuídas em 3 barras de 20 mm para resistir à força atuante Assim as armaduras sob flexão ficaram distribuídas em 33𝜙20 resultando em uma área total de 2828 mm2 Nomeouse as barras inferiores de N1 a N4 e o detalhamento completo é apresentado na Tabela 7 As armaduras N5 com uma força de 893 kN resultaram em uma área necessária de 20539 mm2 Optouse por distribuílas em 4𝜙8 resultando em 2012 mm2 As barras N6 por sua vez com uma força de 250 kN e área necessária de 575 mm2 resultou em 3𝜙16 com área total de 6033 mm2 Optouse por distribuir em pelo menos 3 barras ao longo da seção transversal da viga para garantir um espaçamento adequado Tabela 7 Detalhamento proposto da viga otimizada com barras discretas Barra 𝐹𝑢 kN 𝐴𝑠𝑛𝑒𝑠𝑐 mm2 𝜙 mm Nº de barras 𝐴𝑠𝑓𝑜𝑟𝑛 mm2 Espaçamento cm Comprimento m Distribuição N1 3997 9192 20 3 9426 169 478 3𝜙20 N2 3997 9192 20 3 9426 169 272 3𝜙20 N3 3997 9192 20 3 9426 169 222 3𝜙20 N4 4253 9782 20 3 9426 169 205 3𝜙20 N5 893 2054 8 4 2012 122 048 4𝜙8 N6 250 5750 16 3 6033 175 042 3𝜙16 Uma vez determinadas as barras necessárias para resistir às forças de tração atuantes na viga ilustradas na Figura 42 é realizada a análise de elementos finitos da viga proposta afim de gerar os valores de tensões e deslocamentos para comparação com a viga segundo o Eurocode 22004 guardas às simplificações para análise elásticalinear Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 94 Figura 42 Detalhamento proposto da estrutura otimizada 814 Estrutura final proposta para análise e verificação Após detalhada a estrutura otimizada procedese com a análise de elementos finitos para obter as tensões e deslocamentos que ocorrem na viga Dessa forma a partir da estrutura apresentada na Figura 38 impõese as regiões com barras de aço determinadas na Subseção 813 Tabela 7 Figura 42 A nova estrutura é apresentada na Figura 43 Neste momento o procedimento de homogeneização apresentado na Seção 6 é aplicado Figura 43 Estrutura otimizada com as armaduras propostas para varificação 815 Estrutura de Goodchild et al 2014 simplificada para análise Para que possa ser feita a verificação da estrutura proposta por Goodchild et al 2014 detalhada e apresentadas na Figura 29 é realizada uma simplificação na distribuição das x m y m Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 95 armaduras em que as barras originais foram condensadas em elementos de mesmo comprimento e área conforme Figura 44 Figura 44 Simplificação do detalhamento de Goodchild et al 2014 para verificação 816 Comparativo de tensões e de flechas Por fim com a viga projetada por Goodchild et al 2014 e com a estrutura proposta com barras discretas e homogeneizada é possível gerar os gráficos de tensões atuantes em cada estrutura bem como os deslocamentos que ocorrem em ambas Para que as análises e comparações sejam realizadas no regime elásticolinear é considerado 20 da combinação da carga permanente e variável que ocorrem nas estruturas Vale lembrar que a parcela de peso próprio é aplicada nos graus de liberdade dos elementos finitos e é mantido o mesmo valor da aceleração da gravidade majorada visto que o peso da estrutura não muda mesmo alterando o carregamento A iniciar pelos gráficos das tensões equivalentes de Ottosen e de von Mises atuantes nas estruturas a estrutura com detalhamento proposto apresenta tensão máxima equivalente de Ottosen no concreto de 34 MPa e máxima tensão equivalente de von Mises no aço de 31 MPa frente à 30 MPa e 34 MPa respectivamente que ocorrem na estrutura detalhada por Goodchild et al 2014 e analisada pelo código de verificação implementado Os gráficos são apresentados na Figura 45 A diferença de tensões nas estruturas não é muito significativa mas notase que a estrutura otimizada apresenta uma tensão equivalente ligeiramente maior do que a estrutura por bielas e tirantes Isso muito provavelmente devido à estrutura otimizada distribuir concreto de forma melhor e com isso gerar uma redistribuição de tensões notoriamente melhor x m y m Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 96 Figura 45 Tensões equivalentes suavizadas de Ottosen e de von Mises atuantes na estrutura Figura 46 Gráficos das deformadas das estruturas e seus deslocamentos x107 Pa x 104 m x 104 m Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 97 Agora a fim de traçar comparativos entre os deslocamentos máximos que ocorrem nas estruturas a Figura 46 apresenta os gráficos de suas deformadas contendo seus respectivos deslocamentos A estrutura com detalhamento proposto tem um deslocamento máximo 𝛿 029 mm e a estrutura de Goodchild et al 2014 um deslocamento máximo 𝛿 023 mm Sendo deslocamentos extremamente pequenos na ordem de milímetros indicando que ambas as vigas são rígidas o suficiente para suportarem ao carregamento a viga com detalhamento proposto apresenta 26 mais deslocamento do que a viga de Goodchild et al 2014 Isso já era esperado uma vez que a estrutura sem vazios é a mais rígida Mas vale destacar que mesmo com deslocamento maior a viga proposta tem menos material 817 Comparativos entre massas volumes e custos Afim de trazer mais comparativos ao trabalho se fez um estudo quantitativo e qualitativo em relação aos volumes massas e custos das estruturas dimensionadas até o presente momento São traçados comparativos entre a estrutura dimensionada por bielas e tirantes com a estrutura com a área de aço proposta pelo autor a partir da estrutura otimizada topologicamente Para tornar os valores mais próximos do que de fato ocorre na estrutura projetada por Goodchild et al 2014 calculouse a taxa de aço a partir do detalhamento proposto pelos autores Figura 29 Para isso com base nos comprimentos e áreas das barras utilizadas chegouse ao volume total de aço presente na estrutura e a partir do volume da estrutura Equação 83 chegouse na taxa de aço de 197 Entendese aqui que a taxa de aço é a relação entre o volume de aço pelo volume da estrutura semelhante ao que se diz no caso de seções de concreto na qual a taxa de aço é a relação entre a área de aço pela área da seção transversal Também se calculou a massa total da estrutura a partir das proporções de concreto e aço e suas respectivas densidades de 2400 kgm3 e 7780 kgm3 50 15 045 3375 ³ VSTM m 83 337509803 2400 00197 7780 8458 mSTM kg 84 Da mesma forma se determinou o volume e a massa da estrutura com o detalhamento proposto com barras discretas da estrutura otimizada A partir da Tabela 7 foram determinadas as proporções de volume de concreto 9943 e de aço 057 para a fração volumétrica alvo de 060 na qual resultou no volume e massa determinados pelas seguintes expressões Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 98 3375 060 2025 ³ VOT m 85 2025 09943 2400 00057 7780 4922 mOT kg 86 A nível de volume e massa a estrutura com barras com detalhamento proposto possui 40 menos volume e 418 menos massa A nível de custos de acordo com o SINAPI Sistema Nacional de Pesquisa de Custos e Índices da Construção Civil de janeiro de 2022 considerando os custos médios desonerados do concreto C30 de R 469m3 e do aço CA50 de R 10kg os cálculos dos custos das estruturas projetadas pelo método de bielas e tirantes e da estrutura com o detalhamento proposto são os seguintes 469 3375 09803 10 3375 00197 7780 R6724 CustoSTM 87 469 2025 09925 10 2025 00075 7780 R1842 CustoOT 88 Desta forma para estrutura dimensionada por meio do método de bielas e tirantes com uma taxa de aço de 197 se gastaria com concreto e aço em torno de R 6724 e para a estrutura com armadura proposta a partir da otimização topológica se gastaria em torno de R 1842 Esse valor representa 726 menos custo com concreto e aço do que a estrutura projetada por Goodchild et al 2014 segundo o Eurocode 022004 Podese notar as vantagens da otimização topológica para um elemento estrutural de concreto armado frente ao método tradicional de dimensionamento de elementos estruturais com descontinuidades o método de bielas e tirantes em vigor Claro que se deve levar em conta o projeto e fabricação da fôrma para a estrutura otimizada visto que sua produção não é convencional e simples como se pode observar em Jipe e Bernhard 2016 Em contraponto as vantagens da otimização topológica vão além da diminuição de volume e massa de um elemento estrutural apenas se estendem também à redução de volume massa e custos com pilares e fundações podendo reduzir consideravelmente o custo global de uma edificação como um todo 82 NOVAK E SPRENGER 2002 SEGUNDO O ACI 3182002 Assim como no exemplo anterior neste exemplo é feita a otimização da estrutura do exemplo proposto por Novak e Sprenger 2002 segundo o ACI 3182002 Figura 36 Também é feita a discretização e homogeneização das barras de aço a partir da otimização estrutural afim de Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 99 comparar esta estrutura com a aquela projetada por meio da abordagem tradicional do método de bielas e tirantes apresentada na Seção 7 821 Parâmetros utilizados na otimização A estrutura de Novak e Sprenger 2002 possui duas peculiaridades uma abertura na região central e uma descontinuidade geométrica no canto superior direito Figura 30 Para considerar a abertura e descontinuidade geométrica adicionouse ao programa listas contendo elementos vazios afim de eliminar esses elementos em específico para não interferir na otimização topológica Foram utilizados 254 120 elementos finitos cheio vazio com dimensão de 50 mm cada A seguir na Tabela 8 são apresentadas as propriedades do concreto e do aço para otimização do modelo de Novak e Sprenger 2002 Tabela 8 Propriedades do concreto e do aço utilizadas na otimização de Novak e Sprenger 2002 𝐸𝑐 GPa 𝐸𝑠 GPa 𝜈𝑐 𝜈𝑠 𝑓𝑐𝑑 MPa 𝑓𝑐𝑡 MPa 𝑓𝑦𝑑 MPa 𝜌𝑐 kgm3 𝜌𝑠 kgm3 31 210 022 030 31 3 414 2400 7780 Fonte Autor Na Tabela 9 são apresentados os parâmetros para otimização utilizados segundo a abordagem BESO Assim como em Goodchild et al 2014 se considera o raio mínimo fração volumétrica valor mínimo e máximo para variável de projeto taxas evolutivas para cada fase coeficientes de penalização para critério de compliance e para critério de tensão parâmetro de estabilização do processo de otimização e número máximo de iterações admissível Tabela 9 Parâmetros para otimização Fase 𝑟𝑚𝑖𝑛 𝑉𝑓𝑟𝑎𝑐 ER 𝑥𝑙𝑖𝑚 𝑝 𝑞 𝛼 𝑡𝑜𝑙 Máx Iterações 1 4 08 002 01 3 4 05 106 100 2 3 0001 001 Fonte Autor 822 Resultados da otimização de Novak e Sprenger 2002 Devida às grandes dimensões e robustez da estrutura dimensionada por Novak e Sprenger Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 100 2002 é possível notar na Figura 47 um valor inicial de compliance mais elevado se comparado à estrutura de Goodchild et al 2014 por exemplo Considerar que a compliance é o inverso da rigidez ou seja é equivalente à flexibilidade notoriamente esta estrutura é mais flexível do que aquela dimensionada no exemplo anterior segundo o Eurocode 22004 Na primeira fase a compliance se estabiliza quando a fração volumétrica alvo de 08 é atingida Vale relembrar que neste estágio há apenas elementos de concreto e vazios Na fase 2 a compliance reduz até atingir a mínima energia de deformação e estabilizase quando a estrutura é a mais rígida para fração volumétrica desejada A fração volumétrica reduz um pouco mais de 08 devido à substituição de elementos de concreto por elementos de aço na segunda fase Figura 47 Curva compliance e fração volumétrica versus iterações A Figura 48 apresenta as densidades da estrutura final otimizada a partir da fração volumétrica alvo de 08 contendo regiões com aberturas vazios concreto cinza e aço preto Nesta etapa a malha de aço ainda é grosseira sendo posteriormente inseridas barras discretas homogeneizadas a fim de realizar as devidas verificações Bem semelhante ao que já é dito na análise do gráfico de Goodchild et al 2014 Figura 39 Subseção 812 na Figura 49 pode ser visto que o material ou está falhando resíduo 0 ou está com a tensão abaixo de seu limite resistente resíduo 0 Na fase 1 o concreto excede seu limite resistente como se observa o resíduo próximo à 2 e possui tensões elevadas acima de 95 MPa Quando se inicia a segunda fase e o aço começa a ser alocado na estrutura tanto a Fase 1 Fase 2 Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 101 máxima tensão quanto o resíduo relacionado à tensão de Ottosen ficam abaixo de seus valores limites indicando que o material concreto não está sob falha O mesmo se aplica ao aço em que tanto a máxima tensão quanto o resíduo relacionado à tensão de von Mises estão abaixo de seus valores limites Figura 48 Gráfico das densidades finais de projeto Figura 49 Curva tensões máximas e resíduos versus iterações Na Figura 50 que apresenta as tensões equivalentes de Ottosen e de von Mises é possível visualizar as regiões mais solicitadas da estrutura Como visto no gráfico anterior após ter a estrutura otimizada e com elementos que representam o aço a máxima tensão na estrutura é em torno de 26 MPa que são alguns pontos vermelhos apresentados na Figura 50 Em conjunto Fase 1 Fase 2 y m x m Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 102 com o gráfico da Figura 51 é possível notar que são regiões são regiões com elementos de aço sob tração A máxima tensão no concreto é em torno de 24 MPa Figura 50 Gráfico das tensões equivalentes suavizadas de Ottosen e von Mises A Figura 51 indica as direções das tensões principais de tração e de compressão que ocorrem na estrutura As regiões em vermelho são as regiões onde ocorre tração no concreto as regiões com vermelho mais forte são regiões onde houve a troca de concreto por aço e as regiões em azul são regiões sob compressão É notório que os nós são as regiões mais comprimidas da estrutura e em algumas arestas há compressões um pouco mais pronunciadas mas que ainda assim não excedem o limite resistente do concreto bem como as regiões sob tração Figura 51 Gráfico das direções das tensões principais 823 Detalhamento da estrutura otimizada A partir da otimização da estrutura iniciase a etapa de dimensionamento e detalhamento da Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 103 estrutura otimizada pois além da região de sob tração apresentar elementos de aço condensados a estrutura otimizada resultante não condiz com uma estrutura real a nível prático necessitando de elementos que representem barras de aço discretas e de elementos que façam o papel do cobrimento da estrutura Como o procedimento para cálculo das forças resultantes nos elementos que representam as barras de aço já foi demonstrado no detalhamento da estrutura ótima de Goodchild et al 2014 nesta Subseção são apresentados apenas os resultados que foram utilizados para o dimensionamento da estrutura e que estão presentes na Tabela 10 Tabela 10 Detalhamento das barras do exemplo otimizado Barra 𝐹𝑢 kN 𝐴𝑠𝑛𝑒𝑠𝑐 mm2 𝜙 mm Nº de barras 𝐴𝑠𝑓𝑜𝑟𝑛 mm2 Espaçamento cm Comprimento m Distribuição N1 344 1109 22 3 11403 845 1363 3𝜙22 N2 344 1109 22 3 11403 845 1363 3𝜙22 N3 344 1109 22 3 11403 845 1363 3𝜙22 N4 363 1169 20 4 12568 517 481 4𝜙20 N5 363 1169 20 4 12568 517 454 4𝜙20 N6 259 8335 20 3 9426 875 269 3𝜙20 Fonte Autor Figura 52 Detalhamento proposto para a estrutura otimizada Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 104 Desta forma a Figura 52 ilustra o detalhamento proposto a partir da estrutura otimizada e em seguida é realizada a análise de elementos finitos para gerar os valores de tensões e deslocamentos para comparação com a viga dimensionada segundo o ACI 3182002 método de bielas e tirantes 824 Análise da estrutura final com as armaduras propostas Agora procedese com a análise de elementos finitos para geração dos gráficos de tensões e deslocamentos para assim ser possível traçar comparativos entre as estruturas Na Figura 53 apresentase o detalhamento final da estrutura otimizada topologicamente e com barras discretas Figura 53 Estrutura otimizada com armaduras proposta para verificação De acordo com a Figura 48 foram estendidas as barras de aço para além das regiões indicadas necessárias para terem aço com o objetivo de garantir uma certa ancoragem dessas barras Como por exemplo as dobras nas barras inferiores de flexão Percebese na Figura 53 que os estribos estão sendo empregados de uma forma mais racional inclinados à 45 diferente do detalhamento tradicional de bielas e tirantes com estribos verticais Figura 36 825 Análise do exemplo do Novak e Sprenger 2002 Assim como na Subseção 815 é realizada uma simplificação na distribuição das armaduras y m x m Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 105 na qual as barras originais foram condensadas em elementos de mesmo comprimento e área permitindo as comparações Vale lembrar que essa simplificação tem por objetivo tornar as comparações realizadas pelo mesmo código de análise evitando diferenças que eventualmente haveria utilizando códigos distintos Figura 54 Simplificação do detalhamento de Novak e Sprenger 2002 para verificação 826 Comparativo de tensões e deslocamentos Com as duas estruturas detalhadas e implementadas no algoritmo de verificação é possível gerar os gráficos de forças e tensões principais atuantes em cada estrutura São considerados para as estruturas 10 do carregamento atuante para que as análises pudessem ocorrer no regime elásticolinear Iniciando pelo gráfico da estrutura otimizada a tensão no concreto é de 27 MPa e no aço de 46 MPa Já na estrutura dimensionada por Novak e Sprenger 2002 atua uma tensão no concreto de 17 MPa e no aço de 49 MPa Em ambos os casos estes valores limites estão restringidos às regiões de apoio da estrutura e cantos da abertura central sendo estes mesmos valores bem menores nas outras regiões da estrutura Relativo aos deslocamentos vistos na Figura 56 a estrutura proposta apresenta deslocamento máximo 𝛿 041 mm enquanto a estrutura dimensionada por Novak e Sprenger 2002 apresenta um deslocamento máximo 𝛿 046 mm Comparativamente os deslocamentos das estruturas são pequenos e próximos um do outro indicando que as estruturas seão rígidas o suficiente para resistirem ao carregamento y m x m Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 106 Figura 55 Tensões equivalentes suavizadas de Ottosen e de von Mises atuantes na estrutura Figura 56 Gráficos das deformadas das estruturas x107 Pa x104 m Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 107 827 Comparativos de volume massa e custos No exemplo de Novak e Sprenger 2002 que é um caso de uma estrutura maior e robusta do que a estrutura de Goodchild et al 2014 o volume e a massa são apresentados nas Equações 89 e 810 O volume total da estrutura é calculado considerando a abertura central e a descontinuidade geométrica do canto superior direito O volume de aço representa 126 do volume total da estrutura logo 127 6 4 2 41 25 0305 1767 ³ VSTM m 89 1767 09874 2400 00126 7780 43618 mSTM kg 810 Da mesma forma se determina o volume e a massa da estrutura com o detalhamento proposto com barras discretas A partir da Tabela 7 foram determinadas as proporções de concreto e aço para a fração volumétrica alvo de 080 na qual resultou no volume e massa apresentados a seguir 1767 080 1414 ³ VOT m 811 1414 09957 2400 00043 7780 34262 mOT kg 812 A nível de volume e massa a estrutura com barras discretas proposta pelo autor possui 20 menos volume e 215 menos massa A nível de custos conforme SINAPI de janeiro de 2022 para os custos médios desonerados do concreto C30 de R 469m3 e do aço CA50 de R 10kg os cálculos dos custos das estruturas projetadas pelo método de bielas e tirantes e da estrutura com o detalhamento proposto serão os seguintes 469 1767 09874 10 1767 00126 7780 R25511 CustoSTM 813 469 1414 09957 10 1414 00043 7780 R11333 CustoOT 814 Desta forma para estrutura dimensionada por meio do método de bielas e tirantes com uma taxa de aço de 126 se gastaria com concreto e aço em torno de R 25511 e para a estrutura com armadura proposta a partir da otimização topológica com 043 de aço se gastaria em torno de R 11333 Dessa foram houve uma redução de 556 com custo de materiais em relação à estrutura projetada por Goodchild et al 2014 segundo o Eurocode 022004 Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 108 indicando a vantagem da otimização topológica Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 109 9 CONCLUSÃO Os objetivos deste trabalho são atingidos a partir da otimização topológica de estruturas presentes na literatura utilizando o algoritmo BESO Bidirectional Evolutionary Structural Optimization com as devidas modificações para levar em conta a otimização do concreto e do aço na estrutura Observase que as estruturas otimizadas e com os detalhamentos propostos apresentam tensões e deslocamentos semelhantes aos das estruturas tradicionais projetadas pelo método de bielas e tirantes e que as estruturas otimizadas são suficientemente rígidas seguras e com uma redução significativa de material É visto que o método de bielas e tirantes abordado inicialmente por Schlaich Schäfer e Jannewein em 1987 posteriormente difundido e aplicado nas principais normas como ABNT NBR 61182014 Eurocode 22004 e ACI 3182002 por exemplo simplifica o dimensionamento e detalhamento de estruturas especiais com algum tipo de descontinuidade estática eou geométrica São apresentados os conceitos de otimização estrutural e suas diferentes abordagens paramétrica de forma e topológica A otimização topológica além de mais completa possibilita gerar uma estrutura rígida com menos material com formas e dimensões diversas Tradicionalmente essas características são atingidas por meio da redução de material a partir da restrição de volume ou de tensão Uma estrutura otimizada por essa abordagem tem sua topologia otimizada sem perder sua funcionalidade e segurança Apresentamse também as variáveis essenciais do método BESO para redução da compliance energia de deformação a partir do número de sensibilidade de volume e de tensão A abordagem BESO implementada neste trabalho é realizada considerando as duas restrições de volume e de tensão e para isso as estruturas são otimizadas em 2 fases Como visto na fase 1 as estruturas são otimizadas quando a fração volumétrica é atingida e a compliance se estabiliza Na fase 2 os critérios de falha de Ottosen e de von Mises são utilizados para as análises de tensões dos elementos de concreto e de aço respectivamente Nessa fase os elementos de concreto que violam o critério de Ottosen são substituídos por aço e as estruturas atingem o estágio de otimização quando as tensões no concreto e no aço estão abaixo de seus limites resistentes Neste trabalho o peso próprio é distribuído em cada grau de liberdade da estrutura como um Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 110 todo diferentemente do que é feito simplificadamente no método de bielas e tirantes no qual é considerado todo o peso como carregamento externo Essas abordagens acrescidas ao algoritmo BESO se diferenciam em muito de outras abordagens presentes na literatura Nos materiais revisados os autores consideram apenas um único material e a topologia final serve apenas como parâmetro para definir a orientação das barras do modelo treliçado contendo bielas comprimidas e tirantes tracionados para o método de bielas e tirantes Outro ponto distinto de outros trabalhos é a verificação das estruturas propostas e das estruturas dimensionadas por bielas e tirantes numa análise posterior sob as mesmas condições de carregamento Essa verificação por análise de elementos finitos possibilitou a inclusão das barras detalhadas às estruturas e para isso se homogeneizou as propriedades dos elementos de concreto e aço contidos em uma mesma região Sendo assim foi possível obter as tensões e os deslocamentos que ocorrem nas estruturas o que possibilitou traçar comparativos importantes A estrutura detalhada a partir da otimização da estrutura de Goodchild et al 2014 segundo o Eurocode 22004 apresentou vantagens notórias como a redução de 40 do volume e 42 de massa em relação à estrutura de Goodchild et al 2014 que levaram à uma redução de 73 de custo com concreto e aço Se verificou que a estrutura com detalhamento proposto apresentou 26 mais deslocamento Tal fato era esperado pois como visto a estrutura cheia sempre é a mais rígida se comparada à estrutura otimizada pois esta apresenta vazios aquela não Por sua vez a estrutura otimizada a partir do exemplo de Novak e Sprenger 2002 segundo o ACI 3182002 apresentou redução de 20 do volume total que acarretou em 215 menos massa total Essas reduções levaram a uma economia de 56 com os principais materiais concreto e aço Neste caso a estrutura otimizada teve um deslocamento máximo 11 menor do que a estrutura cheia Acreditase que tal ocorrido se deve pelas grandes dimensões da viga cheia acarretando em mais peso e mais deslocamento o que pode ter se sobreposto à menor rigidez da estrutura otimizada topologicamente que contém menos massa De forma geral é notório que a otimização estrutural traz vantagens significativas para redução de custo de uma estrutura especial e não apenas servir como uma abordagem para definir o modelo treliçado de bielas e tirantes Pelos exemplos analisados pôdese chegar a uma redução de até 73 dos custos com concreto e aço de apenas um elemento estrutural Caso se considere uma edificação como um todo essa redução pode ser ainda mais significativa Destacase que Otimização topológica para modelos de bielas e tirantes em estruturas de concreto armado 111 o elemento estrutural otimizado terá a mesma funcionalidade de um elemento estrutural não otimizado com tensões semelhantes e deslocamentos próximos 91 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS Como sugestão para futuros trabalhos que possam complementar ou iniciar outros estudos a partir deste trabalho se elaborou a lista apresentada a seguir Verificação detalhada da suficiência dos comprimentos de ancoragem das barras da estrutura otimizada topologicamente Análise não linear da estrutura final detalhada topologicamente Análise de outros tipos de estruturas não usuais como bloco de coroamento dente Gerber consoles de pilares vigas contínuas com furos etc Implementação de um modelo de barras discretas de aço incorporadas ao modelo de elementos finitos Extensão para análise tridimensional Refinamento da malha de elementos finitos Utilização de malhas não regulares de elementos finitos de baixa ordem triangular ou de alta ordem 8 ou 9 nós para problemas em estado plano de tensão Consideração de custos mais detalhados considerando custos com fôrmas bem como as possíveis economias com pilares e fundações devida às estruturas otimizadas serem mais leves e Implementar um código para adequar a geometria final do processo a um desenho mais suave e que possa ser construído Julian Alves Borges jlnabhotmailcom Dissertação de Mestrado PPGECUFRGS 2022 112 REFERÊNCIAS ALMEIDA V S SIMONETTI H L OLIVEIRA NETO L The strutandtie models in reinforced concrete structures analyzed by a numerical technique Revista IBRACON de Estruturas e Materiais vol 6 Num 1 Feb 2013 p 139157 AMERICAN CONCRETE INSTITUTE ACI 31802 Building code requirements for structural concrete ACI 3182002 and commentary ACI 318R02 Reposted by ACI Committee 318 Appendix A Strut and Tie Models American Concrete Institute Farmington Hills MI 2002 ASSOCIAÇÃO 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