Método das Bielas e Método das Bielas e Tirantes Aplicados no Dimensionamento de Blocos de Concreto Armado

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL MARCELA MOREIRA DA ROCHA ALMEIDA MÉTODO DAS BIELAS E MÉTODO DAS BIELAS E TIRANTES APLICADOS NO DIMENSIONAMENTO DE BLOCOS DE CONCRETO ARMADO FORTALEZA 2013 MARCELA MOREIRA DA ROCHA ALMEIDA MÉTODO DAS BIELAS E MÉTODO DAS BIELAS E TIRANTES APLICADOS NO DIMENSIONAMENTO DE BLOCOS DE CONCRETO ARMADO Monografia apresentada ao Curso de Engenharia Civil do Centro de Tecnologia da Universidade Federal do Ceará como requisito parcial para obtenção do Título de Engenheira Civil Orientadora Profa Dra Magnólia Maria Campêlo Mota FORTALEZA 2013 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará Biblioteca de Ciências e Tecnologia A449m Almeida Marcela Moreira da Rocha Método das bielas e método das bielas e tirantes aplicados no dimensionamento de blocos de concreto armado Marcela Moreira da Rocha Almeida 2013 55 f il enc 30 cm Monografia graduação Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil Curso de Engenharia Civil Fortaleza 2013 Orientação Profa Dra Magnólia Maria Campêlo Mota 1 Concreto armado 2 Blocos Materiais de construção I Título CDD 620 MARCELA MOREIRA DA ROCHA ALMEIDA MÉTODO DAS BIELAS E MÉTODO DAS BIELAS E TIRANTES APLICADOS NO DIMENSIONAMENTO DE BLOCOS DE CONCRETO ARMADO Monografia apresentada ao Curso de Engenharia Civil do Centro de Tecnologia da Universidade Federal do Ceará como requisito parcial para obtenção do Título de Engenheira Civil Aprovada em BANCA EXAMINADORA Profa Dra Magnólia Maria Campêlo Mota Orientadora Universidade Federal do Ceará UFC Prof Dr Joaquim Eduardo Mota Universidade Federal do Ceará UFC Prof Dr Augusto Teixeira de Albuquerque Universidade Federal do Ceará UFC Aos meus pais Luciana e Eduardo AGRADECIMENTOS Ao meu Deus por ter me dado saúde e uma família maravilhosa que me permitiu ter força para conquistar meus objetivos A minha mãe Luciana Barbosa Moreira da Rocha sempre carinhosa companheira dedicada compreensiva e disposta a fazer o possível e o impossível para me fazer feliz Minha grande fã que tem muito orgulho de mim e da minha profissão que me deu muita força nesses cinco anos de faculdade abrindo meus olhos me aconselhando me guiando dizendo quando parar e quando ir em frente Ao meu pai Eduardo Odecio Camelo de Almeida pelo exemplo de homem trabalhador forte determinado talentoso e que não se deixa abater Um pai sempre presente que faz o que pode pelos seus filhos e que tem um grande coração A minha irmã Cecília Moreira da Rocha Almeida minha melhor amiga pelo seu otimismo constante pela sua autoconfiança que me inspira por sempre dizer as palavras mais sábias frente aos momentos difíceis e por ter colocado em nossas vidas o Miguel meu sobrinho e afilhado amado cuja existência mudou completamente a vida da minha família e que é a luz dos nossos dias Aos meus amigos da Universidade Federal do Ceará em especial a Tamyres Forte Eugênio Vasconcelos Juliana Quinderé Júlia Wolfgang Sâmara Ribeiro Sara Magalhães Manuella Romcy Ezequiel Dantas Renata Oliveira e Lais Teixeira pela companhia pelo apoio por sempre ajudar um ao outro e por serem minha fonte de alegria durante os últimos cinco anos na UFC A professora Magnólia Maria Campêlo Mota pela orientação pela atenção e pelo exemplo de profissional Ao professor Augusto Teixeira de Albuquerque pela oportunidade e pela confiança depositada em mim Aos companheiros da Hepta Estrutural em especial aos engenheiros Adizio Lima e Enson Portela pela paciência em me ensinar por acreditar no meu potencial por valorizar meu trabalho e por todos os outros colegas do escritório pelo maravilhoso ambiente de trabalho pela amizade e pelo conhecimento transmitido por cada um RESUMO O modelo das bielas e o modelo das bielas e tirantes aplicados a blocos sobre estacas são o foco dessa pesquisa Inicialmente fazse uma análise dos estudos que foram realizados até hoje na área de dimensionamento por método das bielas Em seguida o método das bielas e tirantes é fundamentado utilizando os parâmetros definidos pelo Código Modelo do CEBFIP 1990 Feito isso o modelo das bielas modelo estudado por Blévot também é fundamentado fornecendo informações para o dimensionamento de blocos sobre duas três e quatro estacas submetidos apenas à ação de força centrada São resolvidos analiticamente exemplos de blocos sobre duas três e quatro estacas pelo modelo das bielas e um exemplo de bloco sobre duas estacas pelo método das bielas e tirantes Comparamse então os resultados do dimensionamento de 90 diferentes blocos sobre estacas pelo método das bielas com resultados obtidos através do método da flexão simples Os resultados são apresentados em forma de planilhas que mostram as diferentes áreas de armadura encontradas na aplicação dos dois métodos Palavraschaves Concreto armado bielas e tirantes blocos sobre estacas ABSTRACT This paper is focused on the Blevót model and the strutandtie model applied to reinforced concrete pilecaps In the beginning studies that have been developed on the field of strut andtie models are analysed Afterwards the strutandtie model is explained using the parameters defined by the CEBFIP Model Code 1990 Finally the Blévot model is also clarified presenting information for the calculus of reinforced concrete pilecaps with two three and four piles subject only to patches of loading on the center top surfaces of the column Examples of pilecaps with two three and four piles by the Blévot model and one example of a pilecap with two piles by the strutandtie model are analytically solved The results of 90 different pilecaps calculated using the Blévot model are compared with the results achieved by applying the bending theory The results are then presented in a spreadsheet that shows the different reinforcement areas found on the application of both methods Keywords Reinforced concrete strutandtie pilecaps LISTA DE FIGURAS Figura 1 Parâmetros para classificação do bloco 10 Figura 2 Definição geométrica do modelo 13 Figura 3 Regiões B e D 14 Figura 4 Configurações típicas de campos de tensão de compressão 16 Figura 5 Influência das condições de ancoragem na área da seção transversal 17 Figura 6 Nós somente com forças de compressão 21 Figura 7 Nós com ancoragem somente de barras paralelas 22 Figura 8 Modelo de cálculo para blocos sobre duas estacas 24 Figura 9 Polígono de forças em bloco sobre duas estacas 25 Figura 10 Área das bielas para blocos sobre duas estacas 26 Figura 11 Modelo de cálculo para blocos sobre três estacas 29 Figura 12 Arranjos de armaduras para blocos sobre três estacas 31 Figura 13 Decomposição das forças de tração em bloco sobre três estacas 32 Figura 14 Modelo de cálculo para blocos sobre quatro estacas 33 Figura 15 Arranjos de armaduras para blocos sobre quatro estacas 35 Figura 16 Decomposição da força de tração em bloco sobre quatro estacas 36 Figura 17 Trajetórias de tensões elásticolineares e proposta de modelo de bielas e tirantes para blocos sobre duas estacas 38 Figura 18 Modelo de bielas e tirantes para bloco sobre duas estacas 39 Figura 19 Treliça resolvida por modelo de bielas e tirantes 39 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Parâmetros de resistência das bielas fcd1 para zonas não fissuradas e fcd2 para zonas fissuradas 19 Tabela 2 Parâmetros de resistência das bielas propostos 19 Tabela 3 Áreas de armadura para blocos sobre duas estacas e pilares de 30x30 47 Tabela 4 Áreas de armadura para blocos sobre três estacase pilares 30x30 47 Tabela 5 Áreas de armadura para blocos sobre quatro estacas e pilares 30x30 48 Tabela 6 Áreas de armadura para blocos sobre duas estacas e pilares de 40x40 47 Tabela 7 Áreas de armadura para blocos sobre três estacase pilares 40x40 47 Tabela 8 Áreas de armadura para blocos sobre quatro estacas e pilares 40x40 48 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 11 11 Considerações Iniciais 11 12 Problema 13 13 Objetivos 14 14 Metodologia 14 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 15 21 Considerações Iniciais 15 22 Fundamentos do Modelo de Bielas e Tirantes 16 221 Definição Geométrica do Modelo 16 222 Regiões B e D 17 223 Rotina de Projeto 18 224 Otimização dos modelos 18 225 Dimensionamento das Bielas 19 226 Parâmetros de Resistência das Bielas 21 227 Dimensionamento dos Tirantes 23 228 Dimensionamento dos Nós 24 23 Fundamento do Modelo das Bielas 27 231 Bloco sobre duas estacas 27 232 Bloco sobre três estacas 32 233 Bloco sobre quatro estacas 36 3 APLICAÇÃO DOS MÉTODOS 40 31 Aplicação de Modelo de Bielas e Tirantes 40 311 Bloco sobre duas estacas 40 32 Aplicação do Método das Bielas 43 321 Bloco sobre duas estacas 43 322 Bloco sobre três estacas 45 323 Bloco sobre quatro estacas 47 4 COMPARAÇÃO DO MÉTODO DAS BIELAS COM O MÉTODO DA FLEXÃO SIMPLES 49 41 Pilares 30x30cm 49 42 Pilares 40x40cm 50 5 CONCLUSÃO 53 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 54 11 1 INTRODUÇÃO 11 Considerações Iniciais No projeto de estruturas de fundação devem ser primeiramente realizados estudos aprofundados sobre o solo em questão já que ele é a parte menos conhecida da construção e também uma análise cautelosa da melhor estrutura da fundação para o caso Esta análise deve sempre buscar o melhor solo possível isto é com as melhores características físicas químicas e mecânicas evitando lençóis dágua solos não consolidados heterogêneos e terrenos erodíveis Após conhecer profundamente o solo em questão é necessário conhecer também os esforços a serem dissipados para assim ser possível a escolha do tipo de estrutura de fundação sua geometria e cota de assentamento Não se deve esquecer a importância de um modelo de cálculo coerente que forneça os esforços corretamente Se os esforços da estrutura tiverem mal dimensionados a estrutura de fundação também será mal dimensionada o que pode causar grandes problemas Enfim devese usar de toda a prudência possível no cálculo das fundações As fundações podem ser do tipo profunda ou superficial e a escolha entre elas é baseada nas características do solo onde a edificação será executada Entre as fundações profundas estão as estacas de todos os tipos e os tubulões E esses tipos de fundações são geralmente utilizados para obras com cargas mais elevadas pois a sua capacidade de dissipação dessas cargas é maior Para obras com menores cargas esse tipo de fundação só é recomendada quando o solo só tem a capacidade de carga necessária a uma certa profundidade As fundações superficiais ou diretas são compostas por blocos simples sapatas e radieres Esse tipo de fundação é ideal para solos com boa a média capacidade de carga Os blocos sobre estacas são os elementos de fundações mais utilizados em obras de maior porte já as sapatas em obras de menor porte Segundo Carvalho e Pinheiro 2010 p 528 blocos são elementos estruturais volumétricos de transição que transferem as cargas dos pilares para um conjunto de estacas e tubulões diferentemente das sapatas que transferem as cargas diretamente para o solo e são em si mesmas um elemento de fundação As estruturas de fundações são elementos de extrema importância em uma construção A não realização de uma infraestrutura adequada que transmita de forma segura e eficiente essas cargas da construção para o solo resulta na maioria das vezes em problemas 12 graves Além de ser de corregao onerosa erros de calculo e de execugao de estruturas de fundagao também podem causar o colapso da estrutura Assim nao recomendavel economizar nas fundacoes Existem diversos métodos de dimensionamento de estruturas de fundagées entre elas o método das bielas e tirantes que ainda nao é plenamente dominado pelos projetistas Sabendose a importancia das estruturas de fundag6es nao se pode ignorar a possibilidade de incorporar cada vez mais esse método no dia a dia dos projetistas de fundagdes mas isso sé sera possivel com mais pesquisas na area de forma a esclarecer definir e normatizar os métodos Os outros métodos de dimensionamento de blocos sobre estacas utilizam modelos simplificados Além disso existem diversas divergéncias entre os parametros adotados entre as normas e processos A norma brasileira NBR 61182003 nao fornece um roteiro de verificagao e dimensionamento de blocos apenas faz sugestdes Dentre algumas normas estrangeiras o codigo americano ACI318 1994 recomenda a utilizagao da teoria da flexao e a verificagao do bloco contra o esforgo cortante Ja a norma espanhola EHE 2001 a Norma Canadense CSAA23394 1994 e o Método do CEBFIP 1990 utilizam modelos de treliga e fornecem recomendagdes de dimensionamento para diferentes tipos de blocos No Brasil os engenheiros calculistas geralmente utilizam o Método das Bielas ou por flex4o A norma brasileira NBR 61182003 considera os blocos sobre estacas como elementos especiais que nao respeitam a hipdtese de secdes planas j4 que nao sao suficientemente longos para que se dissipem as perturbagoes localizadas A NBR 61182003 classifica ainda o comportamento estrutural dos blocos em rigidos ou flexiveis Os blocos podem ser considerados rigidos quando for satisfeita a seguinte condiao n 3 onde h é a altura do bloco a é a distancia entre os eixos das estacas mais afastadas e a a dimensao do pilar na mesma direcao Segundo o CEBFIP 1970 um bloco pode ser classificado como flexfvel quando atender a relacao 2 15h FIGURA 1 e ele pode ser classificado como rigido quando 15h Para o calculo de blocos rigidos podem ser utilizados os critérios indicados no boletim 73 do CEB 1970 Sugerese ainda que o bloco nao seja maior que duas vezes 0 porque assim ele teria um comportamento semelhante ao de uma viga parede Sendo assim temos 13 2 se Sh2ce 2 3 Figura 1 Paradmetros para classificagéo do bloco 1 TT T Fonte Munhoz 2004 12 Problema As normas brasileiras recomendam a utilizagao do modelo das bielas e tirantes bidimensionais em estruturas como vigasparede dentes gerber e consolos e de modelo das bielas e tirantes tridimensionais para elementos como sapatas e bloco sobre estacas Apesar disso ainda nao fornecem uma boa base de forma que os projetos utilizem esse método Devido a falta de divulgacao e do fato de ainda haver algumas controvérsias em relacao aos parametros de resisténcia das bielas e dos nos os projetistas nao costumam usar os modelos de bielas e tirantes Apenas a aplicacao rotineira destes modelos possibilitara aperfeigoamentos futuros Na graduacgaéo em Engenharia Civil também pouco se fala sobre os modelos de bielas e tirantes Nas disciplinas de Estruturas de Concreto e Estruturas de Fundagoes o método é apresentado porém de maneira naéo muito aprofundada Assim fica uma lacuna sobre esse assunto e ao final do curso pouco se sabe sobre como sao modeladas as estruturas através desse método Por isso pretendese esclarecer e divulgar o funcionamento do método de bielas e tirantes aplicado para o dimensionamento de blocos sobre estacas 14 13 Objetivos Dimensionar blocos sobre duas três e quatro estacas pelo método das bielas e um bloco sobre duas estacas pelo método das bielas e tirantes definindo rotinas de cálculo claras e objetivas identificando os gargalos dos processos e as deficiências encontradas Feito esse estudo que ele possa proporcionar a divulgação do método das bielas e tirantes em nível de graduação para que no futuro mais alunos tenham interesse em estudar e verificar o método não apenas no estudo de estruturas de fundação mas para todos os outros elementos onde esse método pode ser utilizado seja na forma de pesquisa científica ou de projetos de graduação Além disso outro objetivo é tentar encontrar as diferenças entre o dimensionamento pelo método das bielas e pelo método da flexão 14 Metodologia Para melhor entendimento sobre o método de bielas e tirantes e método das bielas serão estudados livros de estruturas de fundações além de publicações científicas projetos de graduação dissertações de mestrado e doutorado sobre o assunto Desse modo é visada a formação de uma sólida base de conhecimento sobre esses métodos para que sejam feitos modelos de cálculo de blocos e essas estruturas possam ser dimensionadas através de rotinas de cálculo Os resultados encontrados pela aplicação do método das bielas serão comparados com resultados obtidos com a aplicação do método da flexão simples 15 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 21 Considerações Iniciais Ritter 1899 desenvolveu a analogia da treliça que serviu para o entendimento do comportamento de vigas submetidas a esforços cortantes Esse modelo foi posteriormente melhorado por Mörsch O modelo de Mörsch tem seus conceitos aceitos até os dias de hoje e com o passar dos anos esse modelo clássico de treliça foi aperfeiçoado por diversos pesquisadores No dimensionamento de consolos é utilizado o modelo de treliça equivalente e estruturas como sapatas isoladas e blocos sobre estacas são verificadas quanto à ruptura por compressão através do método das bielas comprimidas Na década de 80 a utilização do modelo de bielas e tirantes foi sugerido por diversos pesquisadores entre eles SchlaichSchafer 1987 da Alemanha Estes sugeriram a utilização do modelo de bielas e tirantes de forma mais generalizada no dimensionamento de elementos estruturais como vigasparede consolos sapatas blocos sobre estacas entre outros O Código Modelo do CEBFIP 1990 e a Norma Canadense CSAA23394 1994 recomendam a utilização dos modelos de bielas e tirantes As normas brasileiras chegam a recomendar a utilização dos modelos em alguns casos mas não chega a se aprofundar no assunto São escassos os estudos de modelos de bielas e tirantes alguns desses modelos ainda não foram ensaiados de forma a comprovar os modelos teóricos e de justificar os parâmetros adotados O modelo de treliça de Ritter 1899 e Mörsch 1902 baseiase na analogia entre uma viga fissurada e uma treliça Nesse modelo foi admitido que o comportamento de uma viga biapoiada de seção retangular após o início da fissuração é semelhante ao de uma treliça isostática Esse modelo admitia as fissuras e bielas inclinadas a 45 banzos paralelos e armadura de cisalhamento com inclinação entre 45 e 90 Porém estudos comprovaram que esse modelo de treliça possui algumas deficiências A inclinação das fissuras é de menos que 45 os banzos não são paralelos pois há o arqueamento do banzo comprimido e a treliça é na verdade hiperestática com o engastamento das bielas no banzo comprimido É a partir deste modelo aperfeiçoado que se dá o método das bielas e tirantes A NBR 61182003 caracteriza o comportamento estrutural de um bloco rígido por trabalho à flexão nas duas direções mas com trações essencialmente concentradas nas linhas sobre as estacas reticulado definido pelo eixo das estacas com faixas de largura igual a 12 16 vezes seu diâmetro cargas transmitidas do pilar para as estacas essencialmente por bielas de compressão de forma e dimensões complexas e por seu trabalho ao cisalhamento também em duas direções não apresentando ruptura por tração diagonal e sim por compressão das bielas A NBR 61182003 diz ainda sobre os modelos de cálculo de blocos rígidos sobre estacas que para cálculo e dimensionamento dos blocos são aceitos modelos tridimensionais lineares ou não e modelos bielatirante tridimensionais sendo esses últimos os preferidos por definir melhor a distribuição de esforços pelos tirantes Diversos pesquisadores ao longo dos anos já fizeram análises numéricas e experimentais em blocos sobre estacas como Blévot 1967 que ensaiou blocos de duas três e quatro estacas submetidos a forças centradas com a finalidade de analisar a formação de fissuras e o estado limite último dos elementos Observando a ruína pelo esmagamento da biela do concreto na base do pilar ou das estacas ele concluiu que o ângulo de inclinação das bielas para garantir a segurança deve estar entre 45 e 55 Blévot também ensaiou os blocos variando a disposição das armaduras buscando o arranjo mais adequado e seguro Além de Blévot outros pesquisadores como Mautoni 1972 Taylor e Clarke 1976 Adebar Kuchma e Collins 1990 Miguel 2000 e Munhoz 2004 também fizeram experimentos em blocos sobre estacas O método de Blévot 1967 também chamado de Método das Bielas é um pouco diferente do Modelo das Bielas e Tirantes Blévot não define as regiões nodais e as tensões que nelas deveriam ser verificadas ou seja faz apenas uma verificação da tensão nas bielas Já o Modelo das Bielas e Tirantes sugere que sejam feitas verificações nas regiões nodais que são pontos de aplicação de cargas Além disso o Método das Bielas não define dimensão de bielas e tirantes e portanto está mais próximo de um modelo de treliça ao invés de um modelo de bielas e tirantes 22 Fundamentos do Modelo de Bielas e Tirantes 221 Definição Geométrica do Modelo A definição geométrica de blocos sobre estacas pelo método das bielas e tirantes deve ser feita por meio da determinação dos campos de compressão no concreto bielas e dos campos de tração no aço tirantes utilizando o processo do caminho da carga FIGURA 2 17 Figura 2 Definição Geométrica do Modelo Fonte Da Silva RC Giongo J S 2000 Segundo o Código Modelo CEBFIP 1990 em regiões nodais com concentração de tensões as bielas principais e os tirantes do modelo devem normalmente se encontrar em ângulos em torno de 60 e nunca menor que 45 222 Regiões B e D O modelo das bielas e tirantes é uma estrutura composta por barras comprimidas e tracionadas ligadas por nós Segundo Giongo e Da Silva 2000 p 8 regiões onde há uma distribuição linear das deformações segundo a hipótese de Bernoulli são chamadas de regiões B de Bernoulli e regiões onde essas deformações são descontínuas são chamadas regiões D FIGURA 3 Figura 3 Regiões B e D Fonte SchaferSchlaich 1988 18 É natural que os modelos das regiões B sejam diferentes dos modelos das regiões D pois as regiões descontínuas são de extrema importância para a segurança das estruturas e elas não devem ser calculadas por processos aproximados enquanto o restante da estrutura é projetada com mais exatidão Em regiões B quando não há fissuração as tensões são calculadas com o auxílio das propriedades da seção como área e momento de inércia Quando essas tensões excedem a resistência à tração do concreto o comportamento pode ser obtido através do modelo de treliça Em regiões D quando não há fissuração a análise é feita por métodos elásticos lineares porém quando há fissuração não existem muitos procedimentos para a realização da análise por isso que as regiões D são críticas 223 Rotina de Projeto Segundo Giongo e Da Silva 2000 p 12 a rotina de projeto para o dimensionamento de elementos estruturais por meio dos modelos das bielas e tirantes segue o seguinte roteiro a dividese a estrutura em regiões B e D b isolase a região D c determinamse os esforços solicitantes no contorno d aplicase o processo do caminho de carga e dimensionamse os tirantes f verificamse as tensões nas bielas e regiões nodais g definemse o tipo e os comprimentos de ancoragem h fazse o arranjo das armaduras 224 Otimização dos modelos Existem casos onde há liberdade de escolha entre vários modelos A escolha do modelo mais adequado resulta em um dimensionamento mais econômico porém essa escolha exige experiência Segundo Schlaich et al 1987 percebese que as ações tentam utilizar o caminho de mínimas forças e deformações Como os tirantes são mais deformáveis que as bielas o modelo com tirantes mais curtos é o melhor Matematicamente temos 19 Fi liεmi mínimo 3 onde Fi é a força li é o comprimento e εmi é a deformação específica média 225 Dimensionamento das Bielas No modelo as bielas são discretizações dos campos de tensão de compressão no concreto Esses campos de tensões podem assumir diferentes formas a partir de ações concentradas ou reações Existem três configurações típicas das tensões a distribuição de tensões radial FIGURA 4 ITEM a b distribuição de tensões em linhas curvilíneas com afunilamento da seção FIGURA 4 ITEM b c distribuição de tensões paralela FIGURA 4 ITEM c Figura 4 Configurações típicas de campos de tensão de compressão a a a b a c b b Fonte SchaferSchlaich 1988 Giongo e Da Silva 2000 p 16 definiram as diferentes distribuições de tensões A distribuição de tensões radiais é uma idealização de um campo de tensão com curvatura desprezível Este tipo de distribuição de tensões pode ser encontrado em regiões D onde forças concentradas são introduzidas e propagadas de maneira suave Neste campo de tensão não se desenvolvem tensões de tração transversais A distribuição de tensões em linhas curvilíneas com afunilamento da seção ocorre quando forças concentradas são introduzidas e propagadas através de curvaturas acentuadas A difusão dessas tensões provoca compressão biaxial ou triaxial abaixo da força e tensões de tração transversais consideráveis Esta tração transversal 20 combinada com a compressao longitudinal pode provocar fissuras longitudinais e iniciar uma ruptura prematura Como a resisténcia a tracéo do concreto é muito baixa normalmente se reforga este campo de tensao na direcao transversal A distribuigao de tensdes paralela ocorre quando as tensdes se distribuem uniformemente sem perturbacao Este campo de tensfo é tipico de uma regiao B e evidentemente nao desenvolve tens6es de trago transversais A Norma Canadense CSAA23394 1994 diz que as dimensdes das bielas devem assegurar que a forga de compressao calculada nao exceda o valor DeAcsfeu 4 onde A é a area da secao transversal da biela fo é o parametro de resisténcia da biela e é o fator de seguranga do concreto 06 No calculo da area da secao transversal da biela devese considerar as condides de ancoragem tanto na regiao de aplicacao de forga quanto na biela ancorada por armadura como mostrado na Figura 5 Figura 5 Influéncia das condicg6es de ancoragem na area da secao transversal da biela bsend 8d t SL 4 WA 88 a b a biela ancorada por armadura a hgist cosO A hy eye xo dist y Sata 7 be Jo bsen acosd b biela ancorada por apoio e armadura c biela ancorada por regiao de aplicagao de carga e outra biela Fonte CSAA233941994 21 Para o caso de bielas ancoradas por armadura caso se queira aumentar as dimensées da biela devese aumentar o numero de camadas da armadura de tracaéo ou aumentar a largura da regiao de aplicacgao de forcga concentrada Para bielas armadas com barras paralelas ao seu eixo a forga na biela nao podera ser maior que De Acsfou OsAssfy 5 Onde A é a area da armadura da biela fy é a resist6ncia ao escoamento do aco e é o fator de seguranga da armadura 085 Segundo o Cédigo Modelo CEBFIP 1990 se as tensdes nos nds forem verificadas e se houver a disposicao de armadura transversal ao e1xo da biela as tenses nas bielas normalmente ficam abaixo dos valores limites Quando a biela possui um n6 em uma das extremidades supdese que a forga transversal total néo supera 25 da forga na biela Para o caso de nos nas duas extremidades a armadura transversal deve resistir de 30 a 40 da forca na biela 226 Pardmetros de Resisténcia das Bielas SchaferSchlaich 1988 sugerem os seguintes valores para as resisténcias das bielas 085fq para um estado de tensAo uniaxial e sem perturbacao 068f4 para campos de compressao com fissuras paralelas as tensdes de compressao 051fq para campos de compressao com fissuras inclinadas fox onde fig cd Ye No Cédigo Modelo CEBFIP 1990 a resisténcia de projeto do concreto pode ser determinada por meio de um diagrama simplificado de tensdes uniformes A tensao média é igual a a para zonas nao fissuradas f fia 085 1 Fug fex em MPa 6 22 b para zonas fissuradas faa 060 1 fog fex em MPa 7 Esses valores sao validos desde que a compress4o maxima no concreto seja de oy 0004 0002 fy em MPa 8 A Tabela 1 mostra os valores dos parametros de resisténcia das bielas para as regides fissuradas e nao fissuradas Tabela Parametros de resisténcia das bielas fcd1 para zonas nao fissuradas e fcd2 para zonas fissuradas Fonte Cédigo Modelo CEBFIP 1990 A Tabela 2 apresenta os valores de Oca proposto por Fusco 1994 para o dimensionamento das bielas Tabela 2 Parametros de resisténcia das bielas propostos Tipo de Biela f440MPa f440MPa confinada em estado plano de tensdes 090 fea nao confinada e fissurada 060 fea 050 fea Fonte Fusco 1994 A norma canadense CSAA23394 1994 sugere valores para resisténcia das bielas calculados pela expressao 23 Pe 9 fy 085f 08170 onde f é a resisténcia caracteristica do concreto definida pelo quantil de 1 é a deformacao de tragao na direcao perpendicular a biela dada por 1 e0002cotg6 10 onde 0 é o menor Angulo entre a biela e a barra de armadura que a atravessa e a deformacao média na barra de armadura que atravessa a biela O FIB 1999 adota os mesmos valores que 0 Cédigo Modelo CEBFIP 1990 mas acrescenta um valor intermediario fq3 para verificagaéo das tensdes nas regides nodais para nds com tirantes ancorados em apenas uma direcao Esse valor esta definido na equagao 11 fox fea3 070 E fea fer em MPa 11 250 Silva e Giongo 2000 chamam atengao para a divergéncia dos valores de parametros de resisténcia onde podem surgir dtividas sobre qual valor adotar para cada caso Os autores recomendam que no caso de duvidas sejam utilizados os valores de critérios definidos pelo Codigo Modelo CEBFIP 1990 227 Dimensionamento dos Tirantes As armaduras tém como fungao absorver os esforcos atuantes nos tirantes cujos eixos devem coincidir com os eixos das armaduras A area de armadura necessaria é obtida relacionando diretamente a forga atuante no tirante e a resisténcia de escoamento de calculo do aco considerando o Estado Limite Ultimo YVe Ret As 12 fya 24 228 Dimensionamento dos Nós Segundo Giongo e Da Silva 2000 p 23 um nó pode ser definido como um volume de concreto que envolve as interseções das bielas comprimidas em combinação com forças de ancoragem eou forças de compressão externas ações concentradas ou reações de apoio Em um modelo de bielas e tirantes um nó representa uma mudança brusca na direção das forças enquanto que em uma estrutura real de concreto armado essa mudança de direção possui um certo comprimento e largura Os nós devem ser dimensionados de forma que todas as forças sejam ancoradas e equilibradas de forma segura Segundo o Código Modelo do CEBFIP 1990 normalmente as verificações dos nós só precisam ser feitas quando as forças concentradas são aplicadas na superfície do elemento estrutural e a verificação de nós dentro da estrutura pode se tornar necessária em casos de descontinuidade geométrica Alguns tipos de regiões nodais aparecem repetitivamente em diferentes estruturas e o Código Modelo CEBFIP 1990 apresenta quatro exemplos típicos de regiões nodais a nós somente com forças de compressão b nós com ancoragem somente de barras paralelas c nós com barras dobradas d nós com tirantes em direções ortogonais Segundo Munhoz 2004 os dois primeiros tipos de regiões nodais têm mais importância na análise da segurança de blocos sobre estacas então apenas eles serão comentados Segundo o código Modelo CEBFIP 1990 p 222 nós somente com forças de compressão ocorrem por exemplo sob forças concentradas acima de apoios intermediários de vigas contínuas em apoios onde há cabos protendidos ancorados ou em vértices reentrantes comprimidos A figura 6 mostra um exemplo de nó somente com forças de compressão 25 Figura 6 Nés somente com forcas de compressao F et Shs QQ a ION A F ed Feo Fonte Cédigo Modelo CEBFIP 1990 Nesse caso é suficiente avaliar as tensGes causadas pelas forgas F1 Fea 03 13 c1 Ay b onde a e b sao as dimensoes do apoio onde a forga F aplicada Segundo o cdédigo Modelo CEBFIP 1990 p 223 os néds com ancoragem somente de barras paralelas quando um tirante encontra duas ou mais bielas por exemplo em apoios extremos e abaixo de forgas concentradas que sao aplicadas a consolos ou em apoios pr6ximos as extremidades das vigasparede A Figura 7 mostra um exemplo de né6 com ancoragem somente de barras paralelas Figura 7 Nos com ancoragem somente de barras paralelas Feo Oc2 rul2 u F U2 Hoc Fes Ip net Fonte Cédigo Modelo CEBFIP 1990 26 SchaferSchlaich 1991 apresentam algumas expresses para a verificagao das tensdes em regides de nds com ancoragem somente de barras paralelas Fea 14 O1 Ay b Foe Fot 15 Me2 Ab ab send 15 Onde a largura a é definida por haist Az a hgist cotgOsen a1 7 cotg9 sen 16 1 Que substituindo na equacao 15 fica 6 Foy ooH 91 cz Ndist c2 hdist 2 17 send a 41 ast cotgé senb 1 ast cotgé sené A altura onde pode ser distribuida as barras da armadura do tirante é determinada por haist n O 2c n 1s 18 onde n é o ntimero de camadas de armadura é o didmetro da armadura c é o cobrimento e s é 0 espagamento vertical entre as barras de armadura Os limites para as tensdes médias de compressdo nos contornos dos nés podem ser verificados pela sugestao feita por SchaferSchlaich 1988 a 0935f4 para nds onde s6 se encontram bielas comprimidas criando estado de tensdo biaxial ou triaxial b 0680 fq para nds onde a armadura é ancorada O cédigo Modelo CEBFIP 1990 indica como parametros de resisténcia os mesmos que indicados na verificagao das bielas de compress4o fcai foaz como foi definido nas equacoes 6 e 7 Assim fica definido que para nos aonde so chegam bielas de compressao 27 o limite para as tensões médias em qualquer superfície ou seção de um nó singular é de fcd1 e para nós onde as barras tracionadas são ancoradas o limite é de fcd2 A tensão limite fcd1 também pode ser aplicada a outros tipos de nós quando o ângulo de inclinação das bielas não for menor que 55 e se a armadura for detalhada com cuidado na região do nó 23 Fundamento do Modelo das Bielas 231 Bloco sobre duas estacas A fundamentação do Modelo das Bielas foi baseada em Munhoz 2004 No projeto de blocos sobre duas estacas o esquema de cálculo a ser considerado está mostrado na Figura 8 A treliça tem a barra tracionada submetida a força Rst enquanto as diagonais comprimidas estão submetidas à força Rcb Figura 8 Modelo de cálculo para blocos sobre duas estacas Fonte Adaptado de Munhoz 2004 28 A rotina de calculo para blocos sobre duas estacas consiste em a Determinagao da forga de tragao nos tirantes O angulo de inclinagao das bielas é determinado pela equacao 19 d d tan Ta 6 arctan Ta 19 2 4 2 4 Observando a Figura 8 é possivel montar o poligono de forgas Figura 9 Poligono de forgas em bloco sobre duas estacas Reb Fd2 Rst Fonte Elaborada pela autora Pelo poligono de forgas temse que Fa 20 tan Rst Igualando 19 e 20 é possivel ter a forga no tirante Fq2l ap 21 Rss 8d A partir dos seus estudos e ensaios Blévot 1967 concluiu que o valor de Rg deve ser majorado em 15 pois a equacao determinada pelo poligono de forgas nao era a favor da seguranga b Recomendagées de altura util do bloco 29 Blévot 1967 assegura que 0 angulo de inclinaao das bielas para assegurar uma transferéncia segura de carga do pilar para cabecga da estaca deve estar entre 45 e 55 Substituindo os valores de 8 pelos seus valores limites determinase o intervalo de variagao da altura util d Ap ap 22 jde 0501 a 07141 c Tensao de compressao nas bielas Do poligono de forgas da Figura 9 temse Fa F send RR 23 Rep 2sen0 Como é possivel ver na Figura 10 as bielas de compressd4o tem drea variavel necessitando a verificagao das tensOes junto ao pilar e junto a estaca Figura 10 Area das bielas para blocos sobre duas estacas Ap2 Abp n gf f f Abe JOS oY f A Fonte Adaptado de Munhoz 2004 c1 Tensao de compressao na biela junto ao pilar Relacionando a 4rea do pilar com a Area da biela na base do pilar 30 24 App 3 Apsend 24 Para determinar a tensao normal da biela junto ao pilar dividimos a forga na biela pela sua area Rep Ocbp 25 Substituindo em 25 as express6es 23 e 24 26 Ochbp 72 Asen6 c2 Tensao de compressao na biela junto a estaca Relacionando a drea da estaca com a Area da biela na base da estaca Ape Aesen 27 Para determinar a tensao normal da biela junto a estaca dividimos a forga na biela pela sua area Rep Tcbe F 28 coe Abe Substituindo em 22 as expressoes 17 e 21 4 29 Fche 2Asen26 d Verificagaéo das tensdes limite Na verificagao das tensdes limite no estado limite ultimo de ruptura do concreto Fusco 1994 sugere que no plano da secao transversal possa atuar uma tensdo de compressao 31 de calculo de 085fcqg O valor desse coeficiente de modificagao kmoa 085 é resultado do produto de outros trés coeficientes kmoa Kmoakmoa2kmoa3 12 095075 085 30 Nessa expressao 0 coeficiente Kmoa1 12 considera 0 acréscimo da resisténcia do concreto apos os 28 dias de idade O coeficiente Kmoa2 095 considera a resisténcia medida em corposdeprova cilfndricos de 15cm x 30cm em relagdo 4a resisténcia do concreto no elemento estrutural Finalmente 0 coeficiente kmoa2 075 leva em conta 0 efeito deletério da acao de longa duracao Efeito Riisch Na consideragao da tensdo limite na biela levase em conta ainda um coeficiente de forma Och lim 085 a fea 31 onde fi ck fi ck fea Ve 14 O coeficiente a proveniente de andlises numéricas e experimentais Os valores de autilizados nesse trabalho foram sugeridos por Machado 1979 que para um bloco de duas estacas é 14 e Area das barras de armadura A area de armadura é determinada a partir do valor da forga no tirante Ry considerando 0 escoamento do aco no estado limite tltimo Assim temos a expressao Rt As 33 f yd Onde fya DE Be 34 va yp 115 32 232 Bloco sobre três estacas A rotina de cálculo para blocos sobre três estacas é análoga a de duas estacas sendo que para três estacas a treliça é formada por três barras comprimidas O modelo de cálculo considerado é mostrado na Figura 11 Figura 11 Modelo de cálculo para blocos sobre três estacas Fonte Adaptado de Munhoz 2004 a Determinação da força de tração nos tirantes A força de tração nos tirantes é determinada pelas expressões do equilíbrio do polígono de forças EQUAÇÃO 35 e da tangente do ângulo de inclinação da biela EQUAÇÃO 36 33 tan d 8 t d 35 ang 8 arctan N3 03a N38 03a 3 3 Fa tand 36 Ret Igualando as equagdes 35 e 36 temse a equacao que determina a forcga de tracao no tirante Fylv3 09 Ry FalV3 094y 37 9d b Recomendacoes de altura util do bloco O Angulo de inclinagao das bielas deve estar entre 45 e 55 Substituindo os valores de 8 pelos seus valores limites determinase o intervalo de variacgao da altura util d 05771 052a d 08251 052ay 38 c Tensdes de compressao na biela Do poligono de forgas escrevese Fa sen 39 Rep Portanto Fa R 40 cb 3sen0 c1 Tensao de compressao na biela junto ao pilar Relacionando a area do pilar com a Area da biela na base do pilar 34 1 41 App 3 Apsend 41 Para determinar a tensao normal da biela junto ao pilar dividimos a forga na biela pela sua area como mostrado na equacao 25 Substituindo em 25 as equacgdes 40 e 41 obtém se a mesma equacdo da tensAo de compressao determinada para blocos sobre duas estacas como mostrada na equacao 26 c2 Tensdes de compressao na biela junto a estaca A relacao entre as areas da secao transversal da estaca e da biela junto a estaca é definida pela equacao 27 Para determinar a tensdo normal da biela junto a estaca dividimos a forga na biela pela sua area como mostrado na equacado 28 Substituindo em 28 as equacodes 27 e 40 obtémse nt 42 Ocbe che 3Asen26 d Verificagaéo das tensdes limite As tensdes em um bloco de trés estacas devem estar abaixo do limite definido na equaao 24 Segundo Machado 1979 0 coeficiente de forma a para blocos sobre trés estacas é igual a 175 e Area das barras de armadura Em um bloco sobre trés estacas conforme os ensaios de Blévot 1967 as armaduras podem ser dispostas em planta nas diregdes das bielas ou seja nas medianas do triangulo formado pelas estacas ou também segundo os lados das estacas como mostra a Figura 12 Figura 12 Arranjos de armaduras para blocos sobre quatro estacas direcao Rs iz N 9 peo diregao ey direcao cl R YY R A IILax IW QR seen AD NS SR LEK CZ a SS pe SAR 7 Fonte Munhoz 2004 35 Segundo Munhoz 2004 o modelo armaduras segundo as medianas apresenta alguns inconvenientes como por exemplo a superposicao de trés feixes de barra no centro do bloco Além do que propicia um maior nimero de fissuras nas faces laterais do bloco provocadas pela falta de apoio em uma das extremidades das barras A forga de tragao calculada no item a considerou as barras dispostas em planta nas diregdes das bielas ou seja nas medianas do triangulo formado pelas estacas Entao a forga de tragao para esse caso é a mesma anteriormente definida pela equacao 37 Para o calculo das armaduras dispostas segundo as medianas utilizamos a mesma expressao definida para o bloco de duas estacas determinada a partir do valor da forga no tirante Ry considerando o escoamento do aco no estado limite ultimo como definido na equacao 33 Para armaduras arranjadas seguindo os lados as forgas resultantes devem ser decompostas nas diregdes dos lados do triangulo formado pelas estacas como mostrado na Figura 13 Figura 13 Decomposicao das forgas de tragao em bloco sobre trés estacas R R S s R R R R eo Laas R R R Fonte Elaborada pela autora Decompondo as forgas é possivel determinar a forca de tragao segundo os lados RseV3 Rey 43 3 Para a area de armadura do bloco com armadura disposta segundo os lados utilizase a mesma equac4o anteriormente definida em 33 substituindo Ry por Ry Rt A 44 f yd 36 233 Bloco sobre quatro estacas Em blocos sobre quatro estacas a carga do pilar é transmitida para as estacas através de quatro bielas diagonais comprimidas e o equilíbrio dessas forças se dá pela armadura que pode ser distribuída de diferentes formas A Figura 14 mostra o modelo estrutural de um bloco sobre quatro estacas Figura 14 Modelo de cálculo para blocos sobre quatro estacas Fonte Adaptado de Munhoz 2004 a Determinação da força de tração nos tirantes 37 A forga de tragao nos tirantes é determinada pelas expressdes do equilibrio do polfgono de forgas EQUACAO 45 e da tangente do Angulo de inclinacio da biela EQUACAO 46 6 d 6 d tan 2 apv2 arctan W2 ay 45 2 4 2 4 Fa Rst Igualando as equacées 45 e 46 temse a equacdo que determina a forca de tragao no tirante Rep Pavel ay 47 16d b Recomendacoes de altura util do bloco O Angulo de inclinagao das bielas deve estar entre 45 e 55 Substituindo os valores de 8 pelos seus valores limites determinase o intervalo de variacgao da altura util d Ap Ap 07071 d100l 48 c Tensdes de compressao na biela A tensao de compressao na biela junto ao pilar 6 a mesma que a definida para o bloco de duas estacas na equacao 26 e a tensdo de compressao na biela junto a estaca Dividimos a forga na biela pela sua drea como mostrado na equacao 28 e assim temos 4 49 Fche 4Asen20 d Verificagaéo das tensdes limite 38 As tensões em um bloco de quatro estacas devem estar abaixo do limite definido na equação 27 Segundo Machado 1979 o coeficiente de forma α para blocos sobre quatro estacas é igual a 210 e Área das barras de armadura Em um bloco sobre quatro estacas as armaduras podem ser dispostas em planta nas direções das bielas ou seja segundo as diagonais segundo os lados das estacas ou também em malha uniformemente distribuída como mostra a Figura 15 Figura 15 Arranjos de armaduras para blocos sobre quatro estacas Fonte De Oliveira2009 Segundo Munhoz 2004 a adoção de modelos de armaduras segundo as diagonais ou segundo os lados pode causar fissuração lateral Já a disposição de armadura em malha apresenta bom desempenho com relação à fissuração mas menor eficiência com relação à força de ruína do bloco O ideal seria usar em conjunto uma disposição de armaduras segundo os lados e em malha A força de tração calculada no item a considerou as barras dispostas em planta nas direções das bielas ou seja segundo as diagonais Então a força de tração para esse caso é a mesma anteriormente definida Para as barras dispostas segundo as diagonais utilizamos a mesma expressão definida para o bloco de duas estacas determinada a partir do valor da força no tirante Rst considerando o escoamento do aço no estado limite último como foi mostrado na equação 33 Para armaduras arranjadas segundo os lados as forças resultantes devem ser decompostas nas direções dos lados do triângulo formado pelas estacas como mostrado na Figura 16 39 Figura 16 Decomposicao da forga de tragdo em bloco sobre quatro estacas R R e Sy R Fonte Elaborada pela autora Decompondo a forga é possivel determinar a forga de tragao segundo os lados RspV2 Roe 50 2 Para a area de armadura do bloco com armadura disposta segundo os lados utilizase a mesma equac4o anteriormente definida substituindo Ry por Rey Rstr A 51 f yd Para armaduras em malha o calculo é feito analisando apenas uma direcao da mesma forma que foi feita para o caso de duas estacas Assim encontramos 0 mesmo valor da forga de tragao definido na equacao 21 A area de armadura encontrada é para apenas uma direcao 40 3 APLICAÇÃO DOS MÉTODOS Para os exemplos mostrados a seguir foram adotadas resistências características do concreto de 25MPa e aço CA50 Segundo a NBR 61182003 no caso de conjunto de blocos e estacas rígidas com espaçamento entre 25φ e 30φ onde φ é o diâmetro da estaca podese admitir plana a distribuição de carga nas estacas Então para os blocos a serem dimensionados o espaçamento entre estacas obedece a esse intervalo 31 Aplicação de Modelo de Bielas e Tirantes Adebar Kuchma e Collins 1990 ensaiaram diferentes blocos sobre 4 e 6 estacas visando estudar o modelo de bielas e tirantes tridimensional Após diversas constatações foi concluído que um modelo mais refinado de bielas e tirantes deve ser adotado A sugestão de Adebar et Al 1990 foi utilizar um modelo onde fosse adicionado um tirante no lugar onde os campos de tensão de compressão se expandem e são produzidas tensões de tração Esse modelo representaria melhor a distribuição de tensões Munhoz 2004 mostrou um exemplo resolvido com esse mesmo modelo e foi necessário acrescentar duas barras paralelas bielas para que houvesse equilíbrio dos nós Esse modelo proposto é mostrado na Figura 17 e será utilizado no exemplo a seguir Figura 17 Trajetórias de tensões elásticolineares e proposta de modelo de bielas e tirantes para blocos sobre duas estacas Fonte Munhoz 2004 311 Bloco sobre duas estacas Calcular a armadura de um bloco sobre duas estacas de 30cm de diâmetro espaçadas 90cm entre si com uma altura total de 50cm e uma altura útil de 45cm e com pilar 41 quadrado de lado 30cm A carga do pilar é de 700kNo concreto tem fck 25 MPa e o aço é CA50 A treliça foi resolvida através do programa FTOOL a Modelo de bielas e tirantes O modelo refinado utilizado no cálculo desse exemplo é mostrado na Figura 18 Esse modelo é baseado no modelo mostrado na Figura 17 porém foram acrescentadas duas barras para que houvesse o equilíbrio dos nós Figura 18 Modelo de bielas e tirantes para bloco sobre duas estacas Fonte Elaborada pela autora Resolvendo a treliça temos as forças nas barras Figura 19 Treliça resolvida por modelo de bielas e tirantes Fonte Elaborada pela autora 42 b Dimensionamento dos tirantes A forga de tragao encontrada no tirante inferior foi de Rg 49520 kN Dividindo a forca Rg pela resisténcia de calculo a tragao do ago como mostrado na equaao 33 temos 49520 9 A 50 1139cm 115 Para o tirante em diagonal foi encontrada uma forga Rg 16410 KN E necessario verificar a resisténcia a tragdo do concreto ou adotar uma armadura que resista a esse esforco Segundo a NBR 6118 a resisténcia 4 tragao do concreto é obtida através das equacoes 23 fetm 0363 52 fetking 07 form 53 Para fck 25MPa temos que fetm 256MPa e fotking 179MPa Adotando tirante de concreto seria necessario considerar a drea de concreto Ag definida na equacao 54 Fqz 16410 3 Act Fora 179 12834 cm 54 14 A outra solucao seria adotar uma area de armadura Ao segundo a equacao 55 Fa2 16410 Ag 377 cm feta O 115 c Verificagao das tenses A tensao no né junto ao pilar é dada por o e seu valor nao pode exceder o valor de tensdo fai que o limite para nds onde s6 chegam bielas de compressao Aplicando as equacgoes 6 e 13 temos 43 f 0851 137kNcm ca 250114 cm 490 9 0 1530 109 kNcm Como 01S fea a verificagaéo esta OK para o no junto ao pilar A tensaé0 62 no né junto a estaca encontrase em uma regido onde ha a ancoragem das barras dos tirantes sendo o tirante ancorado em apenas uma direcgao e seu valor nao pode exceder o valor de tensao fa3 Aplicando as equagées 11 e 14 e utilizando aje b como sendo os lados de um quadrado de area equivalente a uma estaca de didmetro 30cm isto é a b 266cm temos f 0701 112 kNcm cas 250114 cm 069 kNcm 002 266266 cm Como 02S fca3 a verificagaéo esta OK para o no junto a estaca 32 Aplicacéo do Método das Bielas 321 Bloco sobre duas estacas O bloco resolvido a seguir 0 mesmo que foi resolvido em 311 a Angulo de inclinagiio das bielas Aplicando a equacao 19 45 6 arctan 55z 5019 20 4 b Forga no tirante Aplicando a equacao 21 44 R 70014290 30 40833 kN aan 845 Oo Majorando em 15 o valor na forga do tirante segundo recomendagao de Blévot 1967 Rg 29167115 46958kN c Verificagao da altura util do bloco Aplicando a equacao 22 30 30 050 90 d0714 90 3750cm d 5355cm d Tens4o na biela junto ao pilar Aplicando a equacao 26 70014 185 kN 5 cb 900 sen25019 78 KNem e Tensao na biela junto a estaca Aplicando a equacao 29 70014 117 kN 9 coe F7686sen25019 127 KNcm f Verificagao das tensdes limite nas bielas Aplicando a equacao 31 25 Ocblim 0851477 2125MPa 212 kNcm Como os valores das tens6es nas bielas junto ao pilar e 4 estaca s4o menores que a tensao limite Op jim a verificagao esta ok 45 g Determinacao da area de armadura Aplicando a equaao 33 46958 A s0 1080cm 115 322 Bloco sobre trés estacas Calcular a armadura de um bloco sobre trés estacas de 30cm de diametro espacadas 90cm entre si com uma altura total de 60cm e uma altura util de 55cm e com pilar quadrado de lado 30cm A carga do pilar é de 1OOOKN 0 concreto tem fck 25 MPa e 0 aco é CA50 a Angulo de inclinagiio das bielas Aplicando a equacao 35 55 6 arctan nd 5201 i 0330 b Forga no tirante Aplicando a equacao 37 10001490V3 0930 Rt ee 36452 kN c Verificagao da altura util do bloco Aplicando a equaao 38 057790 05230 d 082590 05230 4293cm d 6138cm d Tensao na biela junto ao pilar Aplicando a equagao 26 46 100014 SON 9 Scop 900 sen252 7 OKNem e Tensao na biela junto a estaca Aplicando a equacao 42 100014 106kN 3 Ccbe 370686sen29 v0OkKNcm f Verificagao das tensdes limite nas bielas Aplicando a equacao 31 25 5 Ocblim 085175 77 2656MPa 266kNcm Como os valores das tens6es nas bielas junto ao pilar e 4 estaca s4o menores que a tensao limite Op jim a verificagao esta ok g Determinagao da area de armadura Para disposicao de armaduras segundo as medianas Aplicando a equacao 33 36452 5 A s0 838 cm 115 Para disposiao de armaduras segundo os lados do bloco Aplicando a equacao 43 RyV3 36452V3 Rs 3 21046 kN 3 3 Aplicando a equacao 44 Rstr Rstr 21046 Aga s t 484 cm ya Lyk 115 115 47 323 Bloco sobre quatro estacas Calcular a armadura de um bloco sobre quatro estacas de 30cm de diametro espacadas 90cm entre si com uma altura total de 80cm e uma altura util de 75cm e com pilar quadrado de lado 30cm A carga do pilar é de 1300KN 0 concreto tem feck 25 MPa e 0 aco é CA50 a Angulo de inclinagao das bielas Aplicando a equagao 45 6 7s 5474 NEON soe aos J 8 2 4 b Forga no tirante Aplicando a equacao 47 130014V2290 30 Rst Fee 321 73kN c Verificagao da altura util do bloco Aplicando a equacao 48 30 30 0707 90 d100 90 5302d 75 d Tens4o na biela junto ao pilar Aplicando a equaao 26 130014 303 kNem2 Ccby 900sen25474 7 e Tensao na biela junto a estaca Aplicando a equacao 49 130014 0 97kNem Ccbe 4706865en25474 48 f Verificagao das tens6es limite nas bielas Aplicando a equaao 31 25 3 Ocblim 085 a fog 085210 5 3188MPa 319kNcm Como os valores das tensOes nas bielas junto ao pilar e a estaca s4o menores que a tensao limite Op jim a verificagao esta ok g Determinagao da area de armadura Para armadura segundo as diagonais aplicamos a equaao 33 32173 A s 740cm 115 Para armadura segundo os lados aplicamse as equacgdes 50 e 51 32173V2 Rstr 7 22750kN 22750 A s 523cm 115 Para armadura em malha aplicamse as equag6es 21 e 33 R 130014290 30 ASS OOKN aan 875 an 45500 A s 1046cm2 115 49 4 COMPARAÇÃO DO MÉTODO DAS BIELAS COM O MÉTODO DA FLEXÃO SIMPLES 41 Pilares 30x30cm Foram dimensionados 15 blocos sobre duas estacas 15 sobre três estacas e 15 sobre quatro estacas Foram mantidos o fck no valor de 25MPa e as dimensões do pilar de 30x30cm A distância entre estacas foi definida como sendo 90cm para estacas φ30 120cm para φ40 e 125cm para φ50cm Foram consideradas uma distância de 15cm entre a face das estacas e as extremidades dos blocos e uma área de seção resistente no meio do bloco Variando os valores de altura útil e da carga os valores de área de armadura pelo método das bielas e por flexão simples encontrados e a diferença entre esses valores se encontram nas Tabelas 3 4 e 5 Tabela 3 Áreas de armadura para blocos sobre duas estacas e pilares de 30x30 Bloco d cm L cm Ap cm φ estaca cm F kN Método das Bielas Flexão Simples Diferença As cm2 As cm2 B0230A 40 90 30 30 650 1128 934 1720 B0230B 45 90 30 30 700 1080 894 1722 B0230C 50 90 30 30 750 1041 862 1720 B0230D 50 90 30 30 800 1111 919 1728 B0230E 50 90 30 30 850 1180 977 1720 B0240A 55 120 30 40 700 1237 1049 1520 B0240B 60 120 30 40 750 1215 1031 1514 B0240C 65 120 30 40 800 1196 1012 1538 B0240D 70 120 30 40 850 1180 992 1593 B0240E 70 120 30 40 870 1208 1015 1598 B0250A 60 125 30 50 700 1188 1001 1574 B0250B 65 125 30 50 750 1175 990 1574 B0250C 70 125 30 50 800 1164 980 1581 B0250D 75 125 30 50 850 1154 966 1629 B0250E 75 125 30 50 880 1195 1000 1632 Fonte Elaborada pela autora Tabela 4 Áreas de armadura para blocos sobre três estacas e pilares de 30x30 Bloco d cm L cm Ap cm φ estaca cm F kN Método das Bielas Flexão Simples Diferença As cm2 As 50 cm2 B0330A 50 90 30 30 900 830 675 1867 B0330B 50 90 30 30 950 876 712 1872 B0330C 55 90 30 30 1000 838 681 1874 B0330D 60 90 30 30 1050 807 656 1871 B0330E 60 90 30 30 1100 845 687 1870 B0340A 65 120 30 40 900 896 740 1741 B0340B 70 120 30 40 900 832 687 1743 B0340C 75 120 30 40 1000 863 713 1738 B0340D 80 120 30 40 1050 849 701 1743 B0340E 85 120 30 40 1100 837 692 1732 B0350A 70 125 30 50 900 872 722 1720 B0350B 75 125 30 50 950 859 711 1723 B0350C 80 125 30 50 1000 848 702 1722 B0350D 85 125 30 50 1050 838 694 1718 B0350E 90 125 30 50 1100 829 686 1725 Fonte Elaborada pela autora Tabela 5 Áreas de armadura para blocos sobre quatro estacas e pilares de 30x30 Bloco d cm L cm Ap cm φ estaca cm F kN Método das Bielas Flexão Simples Diferença As cm2 As cm2 B0430A 55 90 30 30 1000 1098 1022 692 B0430B 55 90 30 30 1050 1153 1080 633 B0430C 65 90 30 30 1200 1115 1038 691 B0430D 70 90 30 30 1250 1078 1004 686 B0430E 75 90 30 30 1300 1047 974 697 B0440A 85 120 30 40 1150 1144 1085 516 B0440B 90 120 30 40 1200 1127 1069 515 B0440C 95 120 30 40 1250 1112 1055 513 B0440D 100 120 30 40 1300 1099 1042 519 B0440E 105 120 30 40 1350 1087 1031 515 B0450A 90 125 30 50 1170 1151 1095 487 B0450B 95 125 30 50 1220 1137 1082 484 B0450C 100 125 30 50 1270 1125 1070 489 B0450D 105 125 30 50 1320 1113 1059 485 B0450E 110 125 30 50 1360 1095 1041 493 Fonte Elaborada pela autora 42 Pilares 40x40cm 51 Foram dimensionados os mesmos 15 blocos sobre duas estacas 15 sobre três estacas e 15 sobre quatro estacas do item 42 mantendo os critérios definidos anteriormente e mudando apenas a dimensão do pilar para 40x40 Os valores de área de armadura pelo método das bielas e por flexão simples encontrados e a diferença entre esses valores se encontram nas Tabelas 6 7 e 8 Os blocos que estão sem o valor da área de armadura para o dimensionamento pelo método das bielas são aqueles que não atenderam às condições de limite do ângulo de inclinação das bielas Já o que está sem área de armadura para o caso da flexão simples é um bloco onde o KMD encontrado está fora do limite na tabela de flexão Tabela 6 Áreas de armadura para blocos sobre duas estacas e pilares de 40x40 Bloco d cm L cm Ap cm φ estaca cm F kN Método das Bielas Flexão Simples Diferença As cm2 As cm2 B0230F 40 90 40 30 650 1053 839 2032 B0230G 45 90 40 30 700 1008 803 2034 B0230H 50 90 40 30 750 775 B0230I 50 90 40 30 800 826 B0230J 50 90 40 30 850 878 B0240F 55 120 40 40 700 1178 975 1723 B0240G 60 120 40 40 750 1157 955 1746 B0240H 65 120 40 40 800 1139 934 1800 B0240I 70 120 40 40 850 1124 922 1797 B0240J 70 120 40 40 870 1151 943 1807 B0250F 60 125 40 50 700 1134 934 1764 B0250G 65 125 40 50 750 1122 923 1774 B0250H 70 125 40 50 800 1111 909 1818 B0250I 75 125 40 50 850 901 B0250J 75 125 40 50 880 933 Fonte Elaborada pela autora Tabela 7 Áreas de armadura para blocos sobre três estacas e pilares de 40x40 Bloco d cm L cm Ap cm φ estaca cm F kN Método das Bielas Flexão Simples Diferença As cm2 As cm2 B0330F 50 90 40 30 900 772 606 2150 B0330G 50 90 40 30 950 815 640 2147 B0330H 55 90 40 30 1000 780 612 2154 B0330I 60 90 40 30 1050 586 B0330J 60 90 40 30 1100 614 B0340F 65 120 40 40 900 851 688 1915 52 B0340G 70 120 40 40 900 790 639 1911 B0340H 75 120 40 40 1000 820 662 1927 B0340I 80 120 40 40 1050 807 652 1921 B0340J 85 120 40 40 1100 643 B0350F 70 125 40 50 900 830 673 1892 B0350G 75 125 40 50 950 818 663 1895 B0350H 80 125 40 50 1000 807 655 1884 B0350I 85 125 40 50 1050 798 647 1892 B0350J 90 125 40 50 1100 Fonte Elaborada pela autora Tabela 8 Áreas de armadura para blocos sobre quatro estacas e pilares de 40x40 Bloco d cm L cm Ap cm φ estaca cm F kN Método das Bielas Flexão Simples Diferença As cm2 As cm2 B0430F 55 90 40 30 1000 1025 918 1044 B0430G 55 90 40 30 1050 1076 964 1041 B0430H 65 90 40 30 1200 104 933 1029 B0430I 70 90 40 30 1250 1006 902 1034 B0430J 75 90 40 30 1300 870 B0440F 85 120 40 40 1150 1089 1008 744 B0440G 90 120 40 40 1200 1073 993 746 B0440H 95 120 40 40 1250 1059 980 746 B0440I 100 120 40 40 1300 1047 969 745 B0440J 105 120 40 40 1350 958 B0450F 90 125 40 50 1170 1099 1021 710 B0450G 95 125 40 50 1220 1085 1009 700 B0450H 100 125 40 50 1270 1073 998 699 B0450I 105 125 40 50 1320 1063 987 715 B0450J 110 125 40 50 1360 971 Fonte Elaborada pela autora 53 5 CONCLUSÃO Esse trabalho teve como finalidade esclarecer os métodos das bielas e tirantes e o método das bielas aplicados à blocos de fundação explicando as diferenças entre eles através de revisão bibliográfica e exemplos resolvidos O método das bielas e tirantes ainda não possui seus parâmetros totalmente definidos Na bibliografia existente há divergências sobre esses parâmetros além de praticamente não existirem exemplos aplicados a blocos sobre estacas Assim foi feito para o método das bielas e tirantes apenas uma introdução sobre o assunto Dessa maneira esse trabalho pode vir a despertar o interesse de outros alunos de graduação em desenvolver o trabalho iniciado Foi feita também uma comparação entre o dimensionamento pelo método das bielas e por flexão simples Para os dois exemplos de dimensionamento de bloco sobre duas estacas resolvidos em 311 e 321 sendo o primeiro o dimensionamento feito pelo método das bielas e tirantes e o segundo pelo método das bielas a área de armadura encontrada no primeiro exemplo foi de 1139cm2 e a do segundo exemplo foi de 1080cm2 A diferença entre as duas armaduras foi de 518 Essa diferença entre os dois modelos ocorreu em virtude da consideração de uma treliça de altura d para o modelo das bielas enquanto que o modelo das bielas e tirantes considerou uma altura de 085d O primeiro modelo é a solução mais coerente já que as bielas e os tirantes foram posicionados em cima dos campos e trajetórias de tensões o que representa melhor a realidade do bloco Na comparação feita entre 90 exemplos de blocos sobre duas três e quatro estacas os modelos de bielas quando comparados ao dimensionamento por flexão se mostraram mais conservadores em todos os casos Quando foram aumentadas as dimensões dos pilares de 30x30cm para 40x40cm a diferença entre os dois dimensionamentos cresceu ainda mais Isto é quando o ângulo das bielas aumentou ficou ainda maior a diferença entre o cálculo feito pelo método das bielas em comparação ao feito por flexão simples Para trabalhos futuros é sugerido analisar e resolver modelos de blocos sobre três quatro e mais estacas pelo método das bielas e tirantes através de modelagem em programas que resolvam treliças tridimensionais e verificando a trajetória das tensões através de programas de elementos finitos Assim será possível determinar com maior precisão as diferenças entre o método das bielas e tirantes e o método das bielas A extensão dessa pesquisa também é importante para continuar a esclarecer e divulgar o método das bielas e tirantes 54 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ADEBAR P KUCHMA D COLLINS MP Strutandtie models for design of pile caps an experimental study ACI Structural Journal v87 janfeb 1990 AMERICAN CONCRETE INSTITUTE ACI 318M Building code requirements for reinforced concrete Detroit 1994 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 6118 Projeto de estruturas de concreto Procedimento Rio de Janeiro 2003 BLÉVOT J FRÉMY R Semellessurpieux AnnalesdInstitut Technique du Bâtimentet des Travaux Publics Paris v 20 n 230 1967 CANADIAN STANDARDS ASSOCIATIONCSA standardA23394 Design of concrete structuresRexdale 1994 CARVALHO Roberto Chust PINHEIRO Libânio MirandaCálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado 2 Ed São Paulo Pini 2010 COMISIÓN PERMANENTE DEL HORMIGÓN Instrucción de hormigónestructural Madrid Ministerio de Fomento Centro de Publicaciones 2001 COMITÉ EUROINTERNATIONAL DU BÉTON CEBFIP model code for concrete structuresParis Bulletin dInformation n 203205 1990 COMITÉ EUROINTERNATIONAL DU BÉTON CEBFIP Recommendations particulières au calculet à lexécutiondêssemelles de fondation Paris Bulletin dInformation n 73 1970 DA SILVA Reginaldo Carneiro GIONGO José Samuel Modelos de bielas e tirantes aplicados a estruturas de concreto armado 1 ed São Carlos EESCUSP 2000 DE OLIVEIRA Letícia Marchiori Diretrizes para projeto de blocos de concreto armado sobre estacas 2009 Dissertação Mestrado em Engenharia de Estruturas Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo São Carlos 2009 FÉDÉRATION INTERNATIONALE DU BÉTONStructural ConcreteLausanneFIB Bulletin n 13 1999 FUSCO Péricles Brasiliense Técnicas de armar estruturas de concreto 1 ed São Paulo Pini 2004 MAUTONI M Bloco sobre dois apoios São Paulo Grêmio Politécnico 1972 MIGUEL M G Análise experimental e numérica de blocos sobre três estacas 2000 Tese Doutorado em Engenharia de Estruturas Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo São Carlos 2000 55 MUNHOZ Fabiana Stripari Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à ação de força centrada 2004 Dissertação Mestrado em Engenharia de Estruturas Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São PauloSão Carlos 2004 SCHLAICH J SCHAFERK Design and detailing of structural concrete using strutandtie modelsThe Structural EngineerLondres v 69 n 6 mar 1991 SCHLAICH J SCHAFER K Towards a consistent design of structural concretePCI JournalChicago v 32 n 3 maiojun 1987 TAYLOR HPJ CLARKE JLSome detailing problems in concrete frame structuresThe Structural EngineerLondres v 54 n 1 jan 1976