Lista de Exercicios 2 - Sistemas de Controle - IFSP Cubatao

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SÃO PAULO CAMPUS CUBATÃO Lista de Exercícios 2 Identicação Professor Elian João Agnoletto Disciplina Sistemas de Controle SCOE7 Curso Engenharia de Controle e Automação Data 23052023 Data de entrega 30052023 Orientações Importantes Esta atividade valerá nota desde que entregue na data combinada Em caso de dúvidas na utilização de alguma função do MATLAB utilizar o comando help ou doc para acessar exemplos de como utilizálas Não serão aceitas entregas atrasadas Questões 1 Considere o sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta GsHs Ke2s s 1 Determine o máximo valor de K para o qual o sistema é estável 2 Considere o sistema de controle dotado de realimentação unitária com a seguinte função de transferência Gs 1 ss 1 2 Suponha que escolhamos o contorno de Nyquist mostrado na Figura 1 Dese nhe o lugar geométrico correspondente de Gjω no plano Gs Utilizando o critério de estabilidade de Nyquist determine a estabilidade do sistema 1 Figura 1 3 Considere o sistema de malha fechada mostrado na Figura 2 A função de transferência Gs não possui polos no semiplano direito do plano s Com base nessas informações responda o que se pede Figura 2 a Se o diagrama de Nyquist for o indicado na Figura 3a esse sistema será estável Justique sua resposta b Se o diagrama de Nyquist for o indicado na Figura 3b esse sistema será estável Justique sua resposta Figura 3 2 4 O diagrama de Nyquist de um sistema com realimentação unitária tem a função de transferência Gs no ramo direto mostrada na Figura 4 Obser vação considerar que o traçado se fecha no innito no sentido horário a Se Gs tiver um polo no semiplano direito do plano s o sistema será estável Justique sua resposta b Se Gs não tiver nenhum polo no semiplano direito do plano s mas tiver um zero nesse semiplano o sistema será estável Justique sua resposta Figura 4 5 O sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta é estável para K 2 GsHs K ss 12s 1 3 Por meio do critério de estabilidade de Nyquist determine o valor crítico do ganho K para que haja estabilidade 6 A Figura 5 mostra o diagrama de blocos do sistema de controle de um veículo espacial Determine o ganho K tal que a margem de fase seja de 50 Qual é a margem de ganho nesse caso 3 Figura 5 7 Considere o sistema mostrado na Figura 6 Desenhe o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta Gs Determine a margem de fase e a margem de ganho Figura 6 8 Considere o sistema da Figura 7 Utilizando o MATLAB desenhe o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta Gs o diagrama de Nyquist usando o arquivo nyqlog disponibilizado no Moodle e determine a margem de fase e a margem de ganho do sistema Apresentar todos os grácos e os códigos implementados Comentar sobre os resultados obtidos de acordo com o que estabelece o critério de estabilidade de Nyquist e as margens MG e MF Figura 7 4 Questão 1 Analisando a resposta de frequência da malha aberta do sistema temos GjωHjω Ke2jω jω Podemos analisar a fase da resposta frequência ao qual temos GjωHjω K e2jω jω Admitindo que K 0 K 0 e então GjωHjω 0 2ω π2 2ω π2 A fase atinge π quando ω π4 rads O módulo de GjωHjω é GjωHjω Ke2jω jω K jω K ω mas sabemos que quando a fase é π o módulo é unitário e então K ω π4 Então se requere que K π4 para a estabilidade Questão 2 Devemos usar o Critério de Estabilidade de Nyquist para determinar se a malha fechada realimentada é estável Para isso a primeira coisa que deve ser notada é que Gs contém um polo na origem ou seja sobre o eixo jω Veja o mapa de polos e zeros de Gs Então por isso o contorno de Nyquist a ser percorrido deve passar entorno da origem sem incluída como a curva dada pelo seu professor Agora devemos verificar como a curva de Gs se comporta para o contorno dado Para isso iremos fazer um esboço do Lugar Geométrico de Gs quando s se comporta como o contorno de Nyquist dado Faremos o esboço por meio dos pontos chaves da curva Os pontos são A0 jε s jε Bε 0 s ε C0 jε s jε D0 s j E 0 s F0 s j Aplicando eles em Gs segue GAs jε lim s jε 1 ss1 1 jε1jε 1 jε j GBs ε lim s ε 1 ss1 1 ε1ε 1 ε GCs jε lim s jε 1 ss1 1 jε1jε 1 jε j GDs j lim s j 1 ss1 1 j1j 0 GEs lim s 1 ss1 1 1 0 GFs j lim s j 1 ss1 1 j1j 0 Em usamos a propriedade ε 0 o que leva a jε 1 1jε 1 Em usamos ϵ 0 faz com que 1ϵ O sentido do caminho A B C é obtido usando s ϵejθ para 90 θ 90 e temos GϵejθHϵejθ K ϵejθϵejθ 1 K ϵejθ K ϵ ejθ observe que o ganho negativo indica que o caminho será no semiplano esquerdo e o ganho negativo no ejθ indica que o sentido é antihorário O diagrama de Nyquist é então σ jω j j A B C D E F A função tem um polo s 1 no semiplano direito do plano s Portanto P 1 O diagrama de Nyquist envolve o ponto 1 j0 uma vez no sentido horário Portanto N 1 Então Z N P 2 Isso significa que o sistema de malha fechada tem dois polos de malha fechada no semiplano direito do plano s e é instável Questão 3 Letra a Foi dito no enunciado que Gs não tem polos no semiplano direito logo P 0 Verificando quantos enlaçamentos temos no ponto 1 j0 para 0 ω temos σ jω Ou seja nenhum enlaçamento do ponto 1 j0 e portanto N 0 Assim Z N P 0 Existem 0 polos no semiplano direito na malha fechada isto é o sistema é estável Letra b Já vimos que P 0 Verificando quantos enlaçamentos temos no ponto 1 j0 para 0 ω temos σ jω Ou seja um enlaçamento do ponto 1 j0 e portanto N 1 Assim Z N P 1 Existe 1 polo no semiplano direito na malha fechada isto é o sistema é instável Questão 4 Letra a Do enunciado sabemos que P 1 Verificando o Diagrama de Nyquist podemos perceber que o ponto 1 j0 é enlaçado uma vez no sentido horário e uma no antihorário Ou seja N 1 1 0 Logo Z N P 0 1 1 e existe um polo no semiplano direito da malha fechada e o sistema será instável Letra b Do enunciado sabemos que P 0 Verificando o Diagrama de Nyquist podemos perceber que o ponto 1 j0 é enlaçado uma vez no sentido horário e uma no antihorário Ou seja N 1 1 0 Logo Z N P 0 0 0 e não existe um polo no semiplano direito da malha fechada e o sistema será estável Questão 5 A malha aberta é Gs 2 ss 12s 1 Lembrando da teoria que para uma função transferência da forma GsHs K sT1s 1T2s 1 apresenta o Diagrama de Nyquist obtido do OGATA capítulo 75 p 417 Im Re Re 1 1 Plano GH ω 0 ω 0 Im Plano GH ω 0 ω 0 Pequeno valor de K Grande valor de K Estável Instável P 0 P 0 N 0 Z 0 ω ω ω ω N 2 Z 2 Basta determinar qual o ganho K que divide as duas situação chamado de ganho crítico Kc Para isso aplicamos s jω em G pois observe que o percurso feito de ω para é o que determina o enlaçamento no ponto 1 j0 e segue Gjω K jωjω1j2ω1 K 3ω² jω 2ω³ Já sabemos que para ω 0 segue G0 j e se ω 0 G0 j O passo agora é encontrar os pontos em que o diagrama intercepta o eixo real negativo tomando a parte imaginária como nula obtemos ω12ω² 0 ω 0 ω 12 mas lembrando que nesta análise excluímos o ponto ω 0 Então achamos ω 12 Aplicando em Gjω segue Gj2 K32 2K3 observe que o Diagrama de Nyquist vai enlaçar o ponto 1 j0 se K 32 Ou seja o sistema é estável se 0 K 32 e marginalmente estável se K 32 E instável para K 32 Questão 6 A análise na frequência é Gjω Kjω2 jω² e a fase é Gjω K jω 2 2 jω tg¹ω2 290 tg¹ω2 180 Para uma margem de fase de 50 temos que Gjω 50 180 130 ou seja a frequência de cruzamento de ganho é ωc 2 tg¹50 23835 rads O módulo na frequência de cruzamento de ganho é Kj23835 2 j23835² 1 resolvendo para K K 23835² 2² 23835² 18259 O ganho que fornece uma margem de fase de 50 é K 18259 Questão 7 Aqui eu vou supor que não devemos desenhar o diagrama de Bode via software Então para o desenho a mão fazemos a aproximação linear Primeiro achamos os polos e zeros da malha aberta que serão frequências de canto logo p1 0 p2 1 p3 10 um integrador e dois polos reais negativos 1 Ganho de 25 Um ganho de 25 representa um deslocamento no módulo de 20 log 25 2796 dB 2 Integrador O integrador se caracteriza por 1 jω 20 dBdéc 1 jω 90 3 Polo em 1 A frequência de canto será ω 1 rads e teremos 1 jω 1 0 ω 1 20 dBdéc ω 1 1 jω1 tg1 ω 4 Polo em 10 A frequência de canto será ω 10 rads e teremos 1 j01ω 1 0 ω 10 20 dBdéc ω 10 1 j01ω1 tg1 01ω mas no terceiro caso perceba que dividindo encima e embaixo por 10 leva a 1 jω 10 01 j01ω 1 e aparece um ganho de 01 no numerador O ganho é positivo então sua fase é nula e não altera no valor dado acima Mas o ganho terá um deslocamento de 20 log 01 20 dB Escolhemos fazer o Bode no intervalo 102 até 102 O ganho inicial é então 20 log 25 log 01 20 log 102 4996 dB e cairá 20 dbdéc devido ao integrador até ω 1 rads Então começará a cair 40 dBdéc integrador polo em 1 até ω 10 rads Por fim a partir deste valor cairá 60 dBdéc todos os polos Já a fase começa em 90 integrador e como temos outros 2 polos deve diminuir ainda 180 indo até 270 O gráfico aproximado do Diagrama de Bode é mostrado a seguir gerei os gráficos no MATLAB mas não foi com a função bode Foi a mesma construção feita manual código ao final da questão A margem de fase ocorre quando a magnitude é 0 dB Observe que ocorre no meio entre 1 x 100 e 2 x 100 Verificando no gráfico da fase vemos que a fase do sistema é de aproximadamente 150 Portanto a margem de fase é de MF 30 A margem de ganho vemos quando o sistema atingiu 180 que ocorre próximo de 3 x 100 O ganho do sistema neste ponto é a margem de ganho aproximadamente MG 15 dB O código usado para obter o Bode manual foi w logspace221001 m 20log10w log1025 log1001 w1log10w w10log1001w ph 90 180 atanw atan01w pi subplot211 semilogxwm grid on yticks100806040200204050 ylabelmagnitude dB 9 10 subplot212 11 semilogxwph grid on yticks2704590 12 ylabelfase deg 13 xlabelw rads Questão 8 O diagrama de Bode de Gs é e o diagrama de Nyquist é basta simular o código com o arquivo nyqlogm na mesma pasta e obter o gráfico Pelo Diagrama de Bode vemos que quando a fase é 180 em ω 4 100 rads temos que a margem de ganho é MG 10 dB Quando o módulo é 0 dB em ω 45 101 rads temos que a margem de fase é MF 180 80 100 O código usado é 1 clc clear close all 2 3 Gzpk10131j131j520 4 figure1 bodeG grid on 5 figure2 nyqlogG