Critério de Estabilidade de Nyquist - Aula 11

Sistemas de Controle II SCOE7 Aula 11 Prof Elian João Agnoletto agnolettoelianifspedubr SCOE7 Sistemas de Controle II 1 Sumário SCOE7 Sistemas de Controle II 2 Critério de estabilidade de Nyquist Avaliação Data da divulgação Data máxima para entrega Avaliação Formativa 1 AF1 14022023 18042023 Avaliação Somativa 1 AS1 25042023 Avaliação Formativa 2 AF2 25042023 13062023 Avaliação Somativa 2 AS2 13062023 Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 3 Determina a estabilidade de um sistema de malha fechada com base na resposta em frequência de malha aberta e nos polos de malha aberta Conceito semelhante ao do lugar geométrico das raízes onde começamos com informações sobre o sistema em malha aberta seus polos e zeros e desenvolvemos informações sobre o transitório e a estabilidade do sistema em malha fechada Embora a princípio o critério de Nyquist forneça informações sobre a estabilidade estendemos o conceito para a resposta transitória e para os erros em regime permanente As técnicas de resposta em frequência são uma abordagem alternativa ao lugar geométrico das raízes Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 4 Para obter estabilidade todas as raízes da equação característica 1 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 0 devem ficar no semiplano esquerdo do plano s Critério de estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em frequência de malha aberta 𝐺 𝑗𝜔 𝐻𝑗𝜔 ao número de zeros e polos de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 que se situam no semiplano direito do plano s Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 5 Vantagem A estabilidade absoluta do sistema de malha fechada pode ser determinada graficamente a partir das curvas de resposta em frequência de malha aberta Não há necessidade de determinar de maneira efetiva os polos de malha fechada As curvas de resposta em frequência de malha aberta obtidas analítica e experimentalmente podem ser utilizadas na análise de estabilidade Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 6 O critério de estabilidade de Nyquist é fundamentado em um teorema a partir da teoria de variáveis complexas mapeamento de contornos no plano complexo Nas análises será considerada a função de transferência de malha aberta 𝐺𝑠𝐻𝑠 representada pela relação de polinômios em s Sistema fisicamente realizável o grau do polinômio do denominador da função de transferência de malha fechada deve ser maior ou igual ao do polinômio do numerador Para qualquer sistema realizável fisicamente o limite de 𝐺𝑠𝐻𝑠 é nulo ou uma constante à medida que s tende ao infinito Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 7 Será mostrado que uma dada trajetória contínua e fechada no plano s que não passe por quaisquer pontos singulares corresponde uma curva fechada no plano 𝐹𝑠 O número e o sentido dos envolvimentos da origem do plano 𝐹𝑠 pela curva fechada estarão relacionados à estabilidade do sistema A equação característica do sistema de malha fechada é Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 8 O critério de Nyquist pode nos dizer quantos polos em malha fechada estão no semiplano direito Para a dedução do critério de Nyquist serão utilizados alguns conceitos importantes teorema do mapeamento A relação entre os polos de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 e os polos de 𝐺𝑠𝐻𝑠 A relação entre os zeros de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 e os polos da função de transferência em malha fechada 𝑇𝑠 O conceito de mapeamento de pontos O conceito de mapeamento de contornos Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 9 Os polos de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 são os mesmos que os polos de 𝐺𝑠𝐻𝑠 o sistema em malha aberta Os zeros de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 são os mesmos que os polos de 𝑇𝑠 o sistema em malha fechada Função de transferência de malha aberta Polinômio característico da função de transferência de malha fechada 𝐹 𝑠 Função de transferência de malha fechada Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 10 Mapeamento Se tomarmos um número complexo no plano s e o substituirmos em uma função 𝐹𝑠 o resultado é outro número complexo Exemplo Considere o ponto s 4 𝑗3 no plano 𝑠 e uma função 𝐹 s 𝑠2 2𝑠 1 Substituindo o ponto na função temos 𝐹 𝑠 𝑠2 2𝑠 1 𝐹 𝑠 4 𝑗322 4 𝑗3 1 𝐹 𝑠 16 𝑗24 9 8 𝑗6 1 𝐹 𝑠 16 𝑗30 Portanto dizemos que o ponto s 4 𝑗3 é mapeado em 16 𝑗30 através da função 𝐹 𝑠 Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 11 Mapeamento de contornos O contorno A pode ser mapeado através de Fs no contorno B substituindose cada ponto do contorno A na função Fs e representandose graficamente os números complexos resultantes Exemplo o ponto Q é mapeado no ponto Q através da função Fs Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 12 Exemplo Considere a seguinte função de transferência de malha aberta A equação característica é A função 𝐹𝑠 é analítica em todos os pontos do plano s exceto em seus pontos singulares Cada ponto de análise no plano s corresponde a um ponto no plano 𝐹𝑠 Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 13 Por exemplo se 𝑠 2 𝑗1 então 𝐹𝑠 será Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 14 𝐹 𝑠 1 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 𝑠 1 𝑠 1 Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 15 Se o contorno no plano s envolver o polo de 𝐹𝑠 o lugar geométrico de 𝐹𝑠 envolverá uma vez a origem do plano 𝐹𝑠 no sentido antihorário 𝐹 𝑠 1 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 𝑠 1 𝑠 1 Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 16 Se o contorno no plano s envolver um zero de 𝐹𝑠 haverá um envolvimento da origem do plano s pelo lugar geométrico de 𝐹𝑠 no sentido horário 𝐹 𝑠 1 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 𝑠 1 𝑠 1 Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 17 𝐹 𝑠 1 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 𝑠 1 𝑠 1 Se o contorno no plano s envolver tanto o zero como o polo então NÃO HAVERÁ o envolvimento da origem do plano 𝐹𝑠 pelo lugar geométrico de 𝐹𝑠 Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 18 𝐹 𝑠 1 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 𝑠 1 𝑠 1 Se o contorno no plano s não envolver nenhum zero e nenhum polo então não haverá o envolvimento da origem do plano 𝐹𝑠 pelo lugar geométrico de 𝐹𝑠 Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 19 Conclusão O sentido do envolvimento da origem do plano 𝐹𝑠 pelo lugar geométrico de 𝐹𝑠 está relacionado ao fato do contorno no plano s envolver um polo ou um zero A localização de um polo ou um zero no plano s seja no semiplano direito ou no semiplano esquerdo não faz nenhuma diferença mas o envolvimento de um polo ou um zero faz Se o contorno no plano s envolver igual número de polos e de zeros então a curva fechada correspondente no plano 𝐹𝑠 não envolverá a origem do plano 𝐹𝑠 A discussão apresentada é uma explicação gráfica do teorema do mapeamento que é a base do critério de estabilidade de Nyquist Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 20 Definição Seja 𝐹𝑠 a relação de dois polinômios em s Seja 𝑃 o número de polos e 𝑍 o número de zeros de 𝐹𝑠 que estão no interior de um contorno fechado no plano s considerandose a multiplicidade dos polos e dos zeros Esse contorno não deve passar por nenhum dos polos ou zeros de 𝐹𝑠 Esse contorno no plano s é então mapeado no plano 𝐹𝑠 como uma curva fechada Quando o ponto representativo descreve todo o contorno do plano s no sentido horário o número total 𝑁 de envolvimentos da origem no sentido horário no plano 𝐹𝑠 é igual a 𝑍 𝑃 Note que por esse teorema do mapeamento o número de zeros e polos não pode ser determinado apenas sua diferença 𝐹 𝑠 1 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 N número de envolvimentos da origem no sentido horário no plano 𝐹𝑠 𝑃 número de polos de 𝐹𝑠 que estão no interior do contorno fechado no plano 𝑠 𝑍 número de zeros de 𝐹𝑠 que estão no interior de um contorno fechado no plano s considerandose a multiplicidade dos polos e dos zeros 𝑁 𝑍 𝑃 Teorema do mapeamento SCOE7 Sistemas de Controle II 21 𝑁 0 enlaces da origem no sentido horário excesso de zeros em relação aos polos de 𝐹𝑠 𝑁 0 enlaces da origem no sentido antihorário excesso de polos em relação aos zeros de 𝐹𝑠 O número 𝑃 pode ser facilmente determinado por 𝐹𝑠 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 a partir da função 𝐺𝑠𝐻𝑠 Portanto se 𝑁 for determinado a partir do diagrama de 𝐹𝑠 o número de zeros no interior do contorno fechado do plano s poderá ser determinado facilmente 𝐹 𝑠 1 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 N número de envolvimentos da origem no sentido horário no plano 𝐹𝑠 𝑃 número de polos de 𝐹𝑠 que estão no interior do contorno fechado no plano 𝑠 𝑍 número de zeros de 𝐹𝑠 que estão no interior de um contorno fechado no plano s considerandose a multiplicidade dos polos e dos zeros 𝑁 𝑍 𝑃 Análise de estabilidade SCOE7 Sistemas de Controle II 22 Aplicações do teorema do mapeamento à análise de estabilidade dos sistemas de malha fechada Para a análise de estabilidade dos sistemas de controle lineares fazemos o contorno no plano s envolver TODO o semiplano direito O contorno é constituído por todo o eixo 𝑗𝜔 de 𝜔 a 𝜔 e de um percurso semicircular de raio infinito no semiplano direito do plano s percurso de Nyquist feito no sentido horário Análise de estabilidade SCOE7 Sistemas de Controle II 23 Aplicações do teorema do mapeamento à análise de estabilidade dos sistemas de malha fechada O percurso de Nyquist envolve todo o semiplano direito do plano s e todos os zeros e polos de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 que têm partes reais positivas Se no semiplano direito do plano s não houver zeros de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 então também não haverá polos de malha fechada e o sistema será estável 𝑁 𝑍 𝑃 Análise de estabilidade SCOE7 Sistemas de Controle II 24 É necessário que o contorno fechado ou o percurso de Nyquist não passe sobre zeros e polos de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 Se 𝐺𝑠𝐻𝑠 tiver um polo ou polos na origem do plano s o mapeamento do plano 𝑠 0 fica indeterminado Nesses casos a origem é evitada tomandose um desvio ao seu redor Aplicações do teorema do mapeamento à análise de estabilidade dos sistemas de malha fechada Análise de estabilidade SCOE7 Sistemas de Controle II 25 O termo 𝐹 s 1 𝐺 𝑗𝜔 𝐻𝑗𝜔 pode ser reescrito como a soma vetorial do vetor unitário e do vetor 𝐺 𝑗𝜔 𝐻𝑗𝜔 O envolvimento da origem pelo diagrama de 1 𝐺 𝑗𝜔 𝐻𝑗𝜔 é exatamente equivalente ao envolvimento do ponto 1 𝑗0 pelo lugar geométrico de 𝐺 𝑗𝜔 𝐻𝑗𝜔 A estabilidade de um sistema de malha fechada pode ser investigada examinandose os envolvimentos do ponto 1 𝑗0 pelo lugar geométrico de 𝐺 𝑗𝜔 𝐻𝑗𝜔 Aplicações do teorema do mapeamento à análise de estabilidade dos sistemas de malha fechada Análise de estabilidade SCOE7 Sistemas de Controle II 26 Análise da estabilidade pelo critério de Nyquist é realizada utilizando a função de transferência de malha aberta e os envolvimentos no ponto 1 𝑗0 Aplicações do teorema do mapeamento à análise de estabilidade dos sistemas de malha fechada Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 27 Análise de um caso especial em que 𝐺𝑠𝐻𝑠 não possui nem polos nem zeros sobre o eixo 𝑗𝜔 Definição se a função de transferência de malha aberta 𝐺𝑠𝐻𝑠 tiver 𝑘 polos no semiplano direito do plano 𝑠 e lim s0 𝐺𝑠𝐻𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 então por questão de estabilidade o lugar geométrico de 𝐺 𝑗𝜔 𝐻𝑗𝜔 à medida que 𝜔 varia de a deve envolver o ponto 1 𝑗0 𝑘 vezes no sentido antihorário Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 28 Observações sobre o critério de estabilidade de Nyquist Esse critério pode ser expresso como 𝑍 número de zeros de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 no semiplano direito do plano s 𝑁 número de envolvimentos do ponto 1 𝑗0 no sentido horário 𝑃 número de polos de 𝐺𝑠𝐻𝑠 no semiplano direito do plano s Se 𝑃 não for zero para um sistema de controle estável devese ter 𝑍 0 ou 𝑁 𝑃 o que significa que se deve ter 𝑃 envolvimentos do ponto 1 𝑗0 no sentido antihorário Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 29 Se 𝐺𝑠𝐻𝑠 não tiver nenhum polo no semiplano direito do plano 𝑠 então 𝑍 𝑁 Portanto para que haja estabilidade não devem existir envolvimentos do ponto 1 𝑗0 pelo lugar geométrico de 𝐺 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 Não é necessário considerar o lugar geométrico para todo o eixo 𝑗𝜔 apenas para a parte relativa à frequência positiva A estabilidade desse sistema pode ser determinada verificando se o ponto 1 𝑗0 está envolvido pelo diagrama de Nyquist de 𝐺 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 Para que haja estabilidade o ponto 1 𝑗0 deve estar fora da região sombreada indicada na Figura Observações sobre o critério de estabilidade de Nyquist Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 30 Esboce o diagrama de Nyquist para o sistema representado pela função de transferência de malha aberta 𝐺 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 4 2 4 A B C D Análise do ponto A 𝜎 0 e 𝜔 0 𝐺 𝑗𝜔 1 8 𝐺 𝑗𝜔 0 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 31 2 4 A B C D Análise do ponto B 𝜎 0 e 𝜔 𝐺 𝑗𝜔 0 𝐺 𝑗𝜔 180 Esboce o diagrama de Nyquist para o sistema representado pela função de transferência de malha aberta 𝐺 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 4 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 32 2 4 A B C D Análise do ponto C 𝜎 e 𝜔 0 𝐺 𝑗𝜔 0 𝐺 𝑗𝜔 0 Esboce o diagrama de Nyquist para o sistema representado pela função de transferência de malha aberta 𝐺 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 4 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 33 2 4 A B C D Análise do ponto D 𝜎 0 e 𝜔 𝐺 𝑗𝜔 0 𝐺 𝑗𝜔 180 Esboce o diagrama de Nyquist para o sistema representado pela função de transferência de malha aberta 𝐺 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 4 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 34 2 4 A B C D A BCD 𝐺 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 4 𝑃 0 𝑁 0 𝑍 0 Como 𝑍 0 não existem polos de malha fechada no semiplano direito do plano 𝑠 Portanto o sistema representado por 𝐺𝑠 é estável em malha fechada Verificar pelo LGR também O sistema é estável em malha fechada Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 35 2 4 A B C D 𝐺 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 4 O sistema é estável em malha fechada para qualquer valor de ganho 𝐾 Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 36 2 4 A B C D A BCD 𝐺 𝑠 1 𝑠 2 𝑠 4 𝑃 0 𝑁 0 𝑍 0 Como 𝑍 0 não existem polos de malha fechada no semiplano direito do plano 𝑠 Portanto o sistema representado por 𝐺𝑠 é estável em malha fechada Verificar pelo LGR também O sistema é estável em malha fechada Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 37 Caso especial em que 𝑮𝒔𝑯𝒔 possui polos eou zeros sobre o eixo 𝒋𝝎 Como o percurso de Nyquist não deve passar pelos polos ou zeros de 𝐺𝑠𝐻𝑠 se a função 𝐺𝑠𝐻𝑠 tiver polos ou zeros na origem ou sobre o eixo 𝑗𝜔 em outros pontos que não a origem o contorno no plano s deve ser modificado A modificação é realizada por meio de um desvio em torno dos polos com um percurso de raio infinitesimal 𝜖 Percurso de Nyquist modificado Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 38 Considere um sistema de malha fechada cuja função de transferência de malha aberta seja dada por 𝑠 𝜖𝑒𝑗𝜃 𝜖 infinitesimal 90 𝜃 90 Caso especial em que 𝑮𝒔𝑯𝒔 possui polos eou zeros sobre o eixo 𝒋𝝎 Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 39 𝐺 𝜖𝑒𝑗𝜃 𝐻 𝜖𝑒𝑗𝜃 𝐾 𝜖𝑒𝑗𝜃 𝐾 𝜖 𝑒𝑗𝜃 Caso especial em que 𝑮𝒔𝑯𝒔 possui polos eou zeros sobre o eixo 𝒋𝝎 Considere um sistema de malha fechada cuja função de transferência de malha aberta seja dada por 𝑠 𝜖𝑒𝑗𝜃 Como 𝜖 é infinitesimal 𝑇𝑠 1 Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 40 𝐺 𝜖𝑒𝑗𝜃 𝐻 𝜖𝑒𝑗𝜃 𝐾 𝜖2𝑒2𝑗𝜃 𝐾 𝜖2 𝑒2𝑗𝜃 Caso especial em que 𝑮𝒔𝑯𝒔 possui polos eou zeros sobre o eixo 𝒋𝝎 Considere um sistema de malha fechada cuja função de transferência de malha aberta seja dada por 𝑠 𝜖𝑒𝑗𝜃 Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 41 Como não há nenhum polo no semiplano direito do plano 𝑠 𝑃 0 e o lugar geométrico envolve o ponto 1 𝑗0 duas vezes no sentido horário 𝑁 2 para qualquer valor positivo de 𝐾 existem dois zeros de 1 𝐺𝑠𝐻𝑠 ou seja dois polos de malha fechada no semiplano direito do plano s Portanto o sistema é instável para qualquer valor de 𝐾 Caso especial em que 𝑮𝒔𝑯𝒔 possui polos eou zeros sobre o eixo 𝒋𝝎 O sistema é estável em malha fechada Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 42 Análise de um caso especial em que 𝐺𝑠𝐻𝑠 possui polos eou zeros sobre o eixo 𝑗𝜔 Definição se a função de transferência de malha aberta 𝐺𝑠𝐻𝑠 tiver 𝑘 polos no semiplano direito do plano s então para que haja estabilidade o lugar geométrico de 𝐺𝑠𝐻𝑠 à medida que um ponto representativo 𝑠 descrever o percurso modificado de Nyquist no sentido horário deverá envolver o ponto 1 𝑗0 𝑘 vezes no sentido antihorário Critério de estabilidade de Nyquist SCOE7 Sistemas de Controle II 43 Examinando a estabilidade de sistemas lineares de controle utilizando o critério de estabilidade de Nyquist vemos que podem ocorrer três possibilidades 1 Não existe nenhum envolvimento do ponto 1 𝑗0 Isso implica que o sistema será estável se não houver polos de 𝐺𝑠𝐻𝑠 no semiplano direito do plano s caso contrário o sistema será instável 2 Existe um ou mais envolvimentos do ponto 1 𝑗 no sentido antihorário Nesse caso o sistema será estável se o número de envolvimentos no sentido antihorário for o mesmo que o número de polos de 𝐺𝑠𝐻𝑠 no semiplano direito do plano s caso contrário o sistema será instável 3 Existe um ou mais envolvimentos do ponto 1 𝑗0 no sentido horário Nesse caso o sistema é instável Exemplo SCOE7 Sistemas de Controle II 44 Considere um sistema de malha fechada cuja função de transferência de malha aberta é dada por Examine a estabilidade do sistema considerar 𝐾 𝑇1 e 𝑇2 constantes positivas Sistema é estável para quaisquer valores de 𝐾 𝑇1e 𝑇2 Exemplo 2 SCOE7 Sistemas de Controle II 45 Considere o sistema com a seguinte função de transferência Determine a estabilidade do sistema para dois casos 1 o ganho 𝐾 é pequeno e 2 𝐾 é grande Exemplo 2 SCOE7 Sistemas de Controle II 46 Exemplo 3 SCOE7 Sistemas de Controle II 47 A estabilidade de um sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta depende dos valores relativos de 𝑇1 e 𝑇2 Construa os diagramas de Nyquist e determine a estabilidade do sistema Exemplo 3 SCOE7 Sistemas de Controle II 48 Exemplo 4 SCOE7 Sistemas de Controle II 49 Considere o sistema de malha fechada que tem a seguinte função de transferência de malha aberta Determine a estabilidade do sistema Exemplo 4 SCOE7 Sistemas de Controle II 50 O sistema possui um polo no semiplano direito 𝑃 1 Para o sistema ser estável em malha fechada deverá haver um envolvimento do ponto 1 no sentido antihorário Exemplo 4 SCOE7 Sistemas de Controle II 51 O diagrama de Nyqusit envolve o ponto 1 uma vez no sentido horário 𝑁 1 Portanto 𝑍 𝑁 𝑃 𝑍 1 1 𝑍 2 Assim o sistema possuirá 2 polos de malha fechada no semiplano direito do plano 𝑠 Logo esse sistema será instável em malha fechada Exemplo 5 SCOE7 Sistemas de Controle II 52 Investigue a estabilidade de um sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta Exemplo 5 SCOE7 Sistemas de Controle II 53 A curva enlaçou o ponto 1 Como determinar o ponto de cruzamento do eixo real No ponto de cruzamento com o eixo real a parte imaginária de 𝐺 𝑗𝜔 𝐻𝑗𝜔 é nula Portanto é possível determinar qual será a frequência que fará a função 𝐺 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 cruzar o eixo real Em seguida pela condição de módulo podese determinar qual é o ganho 𝐾 limite para o envolvimento do ponto 1 Exemplo 5 SCOE7 Sistemas de Controle II 54 𝐺 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 𝐾 𝑗𝜔 3 𝑗𝜔 𝑗𝜔 1 𝐺 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 𝑗𝜔𝐾 3𝐾 𝜔2 𝑗𝜔 𝐺 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 𝑗𝜔𝐾 3𝐾 𝜔2 𝑗𝜔 𝜔2 𝑗𝜔 𝜔2 𝑗𝜔 𝐺 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 𝑗𝜔3𝐾 𝜔2𝐾2 3𝐾𝜔2 𝑗3𝐾𝜔 𝜔4 𝜔2 𝐺 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 𝜔2𝐾2 3𝐾𝜔2 𝜔4 𝜔2 𝑗𝜔3𝐾 3𝐾𝜔 𝜔4 𝜔2 Exemplo 5 SCOE7 Sistemas de Controle II 55 𝐺 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 𝜔2𝐾2 3𝐾𝜔2 𝜔4 𝜔2 𝑗𝜔3𝐾 3𝐾𝜔 𝜔4 𝜔2 No ponto de cruzamento com o eixo real a parte imaginária de 𝐺 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 é nula 𝜔3𝐾 3𝐾𝜔 𝜔4 𝜔2 0 𝜔3𝐾 3𝐾𝜔 0 𝜔𝐾 𝜔2 3 0 𝜔2 3 0 𝜔 3 rads Frequência na qual ocorre o cruzamento com o eixo real Exemplo 5 SCOE7 Sistemas de Controle II 56 Substituindo 𝑠 3 rads na função 𝐺 𝑠 𝐻𝑠 e igualando a 1 podese determinar o valor de 𝐾 limite para envolvimento do ponto 1 𝐺 𝑗 3 𝐻 𝑗 3 𝐾 𝑗 3 3 𝑗 3 𝑗 3 1 1 𝐾 𝑗 3 3 3 𝑗 3 1 𝐾 3 𝑗 3 3 𝑗 3 𝐾 9 3 9 3 12 12 1 O ganho limite para o envolvimento do ponto 1 Exemplo 5 SCOE7 Sistemas de Controle II 57 𝑃 1 𝑁 1 𝑍 𝑁 𝑃 𝑍 1 1 𝑍 0 Sistema estável em malha fechada Bibliografia SCOE7 Sistemas de Controle II 75 OGATA K Engenharia de controle moderno 5ª edição Ed Pearson 2011 Livro Digital NISE N S Engenharia de sistemas de controle 7 ed São Paulo Editora LTC 2017 DORF R C BISHOP R Sistemas de Controle Modernos 11 ed Rio de Janeiro LTC Editora 2009 SOUZA A C Z LIMA I PINHEIRO C A M PROJETOS SIMULAÇÕES E EXPERIÊNCIAS DE LABORATÓRIO EM SISTEMAS DE CONTROLE Editora Interciência 2014 ISBN 9788571933491 FELÍCIO L C Modelagem da Dinâmica de Sistemas e Estudo da Resposta 1 ed São Carlos Editora Rima 2010 MAYA P A e LEONARDI F Controle Essencial 2 ed São Paulo Pearson 2014 Sistemas de Controle II SCOE7 Obrigado Prof Elian João Agnoletto agnolettoelianifspedubr SCOE7 Sistemas de Controle II 76