Avaliação de Controle em Malha Fechada através de Controlador PID

Curso Engenharia Mecânica Data 16112023 Período Noturno Disciplina CAPM8 Controle e Automação de Processos Avaliação Professor Cristhiano Herrera Aluno Controle em Malha Fechada através de um Controlador PID 1 Supondo que a Função de transferência em malha aberta de um sistema que desejamos controlar é dada por 𝐺𝑠 1 𝑠 1𝑠 2𝑠 12 Inicialmente adotando o método II de ZieglerNichols para considerando apenas um controlador proporcional encontrar a função de transferência do sistema em malha fechada com realimentação negativa unitária Inicialmente vamos expandir o denominador de Gs 𝐷𝑒𝑛 𝐺𝑠 𝑠 1𝑠 2𝑠 12 𝑠2 2𝑠 𝑠 2𝑠 12 𝑠2 3𝑠 2𝑠 12 𝐷𝑒𝑛 𝐺𝑠 𝑠3 12𝑠2 3𝑠2 36𝑠 2𝑠 24 𝑠3 15𝑠2 38𝑠 24 𝐷𝑒𝑛 𝐺𝑠 𝑠3 15𝑠2 38𝑠 24 𝑇1𝑠 𝐾𝑝𝐺𝑠 1𝐾𝑝𝐺𝑠 ou 𝑇1𝑠 𝐾𝑝 𝑁𝑢𝑚𝐺𝑠 𝐷𝑒𝑛𝐺𝑠 𝐾𝑝 𝑁𝑢𝑚𝐺𝑠 𝑇1𝑠 𝐾𝑝 1 𝑠315𝑠238𝑠24 𝐾𝑝 1 logo 𝑇1𝑠 𝐾𝑝 𝑠315𝑠238𝑠24 𝐾𝑝 2 Aplique o Critério de Routh Hurwitz para encontrar o valor do ganho proporcional que torna o sistema em malha fechada marginalmente estável Ganho crítico Kcr 𝐷𝑠 𝑠3 15𝑠2 38𝑠 24 𝐾𝑝 Logo para ser marginalmente estável devemos impor que não haja troca de sinal na primeira coluna ou seja 546𝐾𝑝 15 0 546 𝐾𝑝 0 𝐾𝑝 546 e 4 𝐾𝑝 0 𝐾𝑝 4 mas 𝐾𝑝 0 logo 0 𝐾𝑝 546 O ganho crítico então é dado por 𝐾𝑐𝑟 546 𝑠1 𝑠0 𝑠2 1 38 0 𝑠3 15 24 𝐾𝑝 0 546 𝐾𝑝 15 0 0 24 𝐾𝑝 0 0 𝑏1 15 38 1 24𝐾𝑝 15 570 24 𝐾𝑝 15 546𝐾𝑝 15 𝑏3 15 0 1 0 15 0 𝑐1 546𝐾𝑝 15 24𝐾𝑝 15 0 544𝐾𝑝 15 24 𝐾𝑝 𝑐3 546𝐾𝑝 15 0 15 0 546𝐾𝑝 15 0 3 Utilizando o Método II de ZieglerNichols determine os valores dos ganhos proporcional integrativo e derivativo Kp Ki e Kd para um controlador PID a ser utilizado em malha fechada com realimentação negativa unitária Pela tabela do método II temos que Inicialmente vamos calcular o valor da velocidade angular crítica 𝑤𝑐𝑟 a partir da equação de 𝐷𝑠 0 sabendo que 𝑠 𝑗𝑤 𝐷𝑠 𝑠3 15𝑠2 38𝑠 24 𝐾𝑝 𝑠3 15𝑠2 38𝑠 24 546 𝑠3 15𝑠2 38𝑠 570 0 𝑗𝑤3 15𝑗𝑤2 38𝑗𝑤 570 0 𝑗𝑤3 15𝑤2 38𝑗𝑤 570 0 570 15𝑤2 𝑗𝑤38 𝑤2 0 1538 𝑤2 𝑗𝑤38 𝑤2 0 Para que 𝐷𝑠 0 devemos ter 38 𝑤2 0 logo 𝑤2 38 𝑤 38 𝑤𝑐𝑟 616 𝑟𝑎𝑑𝑠 O período crítico é dado por 𝑃𝑐𝑟 2𝜋 𝑤𝑐𝑟 2𝜋 616 102 𝑠 𝑃𝑐𝑟 102 𝑠 Agora consultando a tabela temos 𝐾𝑝 06𝐾𝑐𝑟 06 546 𝐾𝑝 32760 𝑇𝑖 05𝑃𝑐𝑟 05 102 𝑇𝑖 051 𝑠 𝑇𝑑 0125𝑃𝑐𝑟 0125 102 𝑇𝑑 01275 𝑠 𝐾𝑖 𝐾𝑝 𝑇𝑖 3276 051 64235 𝐾𝑖 64235 𝐾𝑑 𝐾𝑝 𝑇𝑑 3276 01275 183 𝐾𝑑 4177 4 Escreva a expressão do sistema em malha fechada com o controlador PID obtido no item anterior A expressão em malha aberta do sistema analisado é dada por 𝐺𝑠 1 𝑠3 15𝑠2 38𝑠 24 A expressão do controlador é dada por 𝐺𝑐𝑠 𝐾𝑝 𝐾𝑖 𝑠 𝐾𝑑 𝑠 𝐺𝑐𝑠 𝐾𝑝 𝐾𝑖 𝑠 𝐾𝑑 𝑠 𝐺𝑐𝑠 32760 64235 𝑠 4177 𝑠 𝐺𝑐𝑠 32760𝑠 64235 4177𝑠2 𝑠 𝐺𝑐𝑠 4177𝑠2 32760𝑠 64235 𝑠 A expressão do sistema com o controlador PID é dada por 𝑇𝑠 𝐺𝑐𝑠𝐺𝑠 1𝐺𝑐𝑠𝐺𝑠 ou 𝑇𝑠 𝑁𝑢𝑚𝐺𝑐𝑠𝑁𝑢𝑚𝐺𝑠 𝐷𝑒𝑛𝐺𝑐𝑠𝐷𝑒𝑛𝐺𝑠𝑁𝑢𝑚𝐺𝑐𝑠𝑁𝑢𝑚𝐺𝑠 𝑇𝑠 4177𝑠2 32760𝑠 64235 1 𝑠 𝑠3 15𝑠2 38𝑠 24 4177𝑠2 32760𝑠 64235 1 𝑇𝑠 4177𝑠2 32760𝑠 64235 𝑠4 15𝑠3 38𝑠2 24𝑠 4177𝑠2 32760𝑠 64235 𝑇𝑠 4177𝑠2 32760𝑠 64235 𝑠4 15𝑠3 7977𝑠2 35160𝑠 64235 Resposta ao degrau com o controlador PID 5 Qual seria um valor aproximado de um ganho Kd para efetuar um ajuste fino de forma a reduzir o sobressinal para ficar abaixo de 25 Para o sobressinal ficar abaixo de 25 devemos dobrar o valor do 𝐾𝑑 assim podemos adotar 𝐾𝑑 84 Resposta ao degrau com o controlador PID com 𝐾𝑑 84