Função de Transferência em Sistemas Elétricos

Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Função de Transferência Estaremos vendo aqui alguns exemplos de como determinar a função de transferência em alguns sistemas Função de Transferência em Malha aberta de Sistemas A Função de transferência pode ser obtida através de cálculos analíticos mais precisos ou através de estudos do comportamento de alguns sistemas adotando algumas simplificações que podem ser úteis e que ensaios poderão mostrar se a mesma é válida ou não atende levando o sistema à instabilidades Inicialmente veremos sistemas de segunda ordem s2 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Consideremos o circuito abaixo para obtermos a função de transferência em malha aberta extraindo da equação que governa o sistema Temos que Função de Transferência 1 Função de Transferência de Circuito Elétrico 𝑣𝐿𝑡 𝑣0𝑡 𝐿 𝑑𝑖𝑡 𝑑𝑡 𝑣𝑅𝑡 𝑅𝑖𝑡 𝑣𝐶𝑡 𝑣0𝑡 1 𝐶 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 𝑣𝐶0 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Função de Transferência Se aplicarmos a transformada de Laplace para cada termo temos 𝑣𝑅𝑡 𝑅𝑖𝑡 logo 𝑉𝑅𝑠 𝑅𝐼𝑠 𝑣𝐿𝑡 𝐿 𝑑𝑖𝑡 𝑑𝑡 logo 𝑉𝐿𝑠 𝐿 𝑠𝐼𝑠 A relação entre a tensão e corrente é dada por 𝑉𝑅𝑠 𝐼𝑠 𝑅 𝑅 𝐿 A relação entre a tensão e corrente é dada por 𝑉𝐿𝑠 𝐼𝑠 𝑠𝐿 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Função de Transferência 𝑑𝑣𝐶𝑡 𝑑𝑡 1 𝐶 𝑖 𝑡 0 𝑣𝐶𝑡 1 𝐶 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 𝑣𝐶0 Aqui antes vamos derivar os dois lados E agora aplicamos a Transformada de Laplace 𝑠𝑉𝑐𝑠 1 𝐶 𝐼 𝑠 𝐶 A relação entre a tensão e corrente é dada por 𝑉𝐶𝑠 𝐼𝑠 1 𝑠𝐶 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estes termos obtidos são na verdade as impedâncias de cada componente no domínio da frequência Se agora reescrevermos o nosso circuito com as impedâncias no domínio da frequência temos Se encontrarmos agora a relação entre a tensão de saída 𝑣𝑜 e a tensão de entrada 𝑣𝑖 teremos a nossa função de transferência 𝐺 𝑠 Função de Transferência Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Se observamos o nosso circuito temos um divisor de tensão e podemos escrever que 𝐺 𝑠 𝑣𝑜𝑠 𝑣𝑖𝑠 Função de Transferência 𝑠𝐿 1 𝑠𝐶 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑠𝐿 1 𝑠𝐶 𝑠𝐿 1 𝑠𝐶 𝑠𝐿 𝑠2𝐿𝐶 1 𝐿 𝐶 𝑠2𝐿𝐶 1 𝑠𝐶 𝐺 𝑠 𝑠𝐿 𝑠2𝐿𝐶 1 𝑅 𝑠𝐿 𝑠2𝐿𝐶 1 𝐺 𝑠 será dada por 𝑠𝐿 𝑠2𝐿𝐶 1 𝑠2𝑅𝐿𝐶 𝑅 𝑠𝐿 𝑠2𝐿𝐶 1 𝑠𝐿 𝑠2𝑅𝐿𝐶 𝑠𝐿 𝑅 𝑠𝐿 1 𝑠𝐶 𝑅 𝑠𝐿 1 𝑠𝐶 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Essa é a função de transferência do nosso circuito em malha aberta Função de Transferência É normal deixarmos o termo de maior potência do denominador apenas multiplicado por 1 assim se dividirmos o numerador e o denominador por 𝑅𝐿𝐶 temos 𝐺 𝑠 𝑠𝐿 𝑠2𝑅𝐿𝐶 𝑠𝐿 𝑅 𝐺 𝑠 𝑠𝑅𝐶 𝑠2 1 𝑅𝐶 𝑠 1 𝐿𝐶 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Função de Transferência Se considerarmos por exemplo que nesse circuito os valores de R L e C são 𝐺 𝑠 𝑠𝑅𝐶 𝑠2 1 𝑅𝐶 𝑠 1 𝐿𝐶 𝑅 1 kΩ 𝐿 330 𝐻 𝐶 470 μ𝐹 𝑠 1000 470 106 𝑠2 1 1000 470 106 𝑠 1 330 470 106 𝐺 𝑠 213𝑠 𝑠2 213𝑠 645 E essa é a função de transferência em malha aberta da tensão de saída 𝑣𝑜 em função da tensão de entrada 𝑣𝑖 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Vamos agora ver o comportamento de alguns sistemas mecânicos Na tabela a seguir temos uma relação entre força velocidade forçadeslocamento impedâncias para molas amortecedores viscosos e massa 2 Função de Transferência de Sistema Mecânico Função de Transferência Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Função de Transferência Componente Forçavelocidade Forçadeslocamento Impedância 𝑓 𝑡 𝐾 න 0 𝑡 𝑣 𝑡 𝑑𝑡 𝑓 𝑡 𝑓𝑣𝑣 𝑡 𝑓 𝑡 𝑀 𝑑𝑣 𝑡 𝑑𝑡 𝑓 𝑡 𝐾𝑥 𝑡 𝑓 𝑡 𝑓𝑣 𝑑𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝑓 𝑡 𝑀 𝑑2𝑥 𝑡 𝑑𝑡2 𝐾 𝑍𝑀 𝑠 𝐹 𝑠 𝑋𝑠 𝑓𝑣𝑠 𝑀𝑠2 𝐾 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑚𝑜𝑙𝑎 𝑓𝑣 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜 𝑀 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Vamos determinar a função de transferência 𝑋 𝑠 𝐹 𝑠 do sistema massa mola dado abaixo Coloque sobre a massa todas as forças exercidas sobre ela Admitimos que a massa esteja se movendo para a direita Assim apenas a força aplicada é orientada para a direita todas as demais forças dificultam o movimento e atuam para se opor a ele Assim as forças da mola do amortecedor viscoso e a decorrente da aceleração são orientadas para a esquerda Função de Transferência Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Função de Transferência Devemos escrever a equação diferencial de movimento utilizando a lei de Newton para igualar a zero a soma de todas as forças mostradas atuando sobre a massa 𝑓 𝑡 𝑀 𝑑2𝑥 𝑡 𝑑𝑡2 𝑓𝑣 𝑑𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝐾𝑥 𝑡 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Aplicando a transformada de Laplace também podemos obter a equação no domínio da frequência Função de Transferência Da mesma forma podemos utilizando a lei de Newton igualar a zero a soma de todas as forças mostradas atuando sobre a massa 𝐹 𝑠 𝑀𝑠2𝑋 𝑠 𝑓𝑣 𝑠𝑋𝑠 𝐾𝑋 𝑠 𝐹 𝑠 𝑀𝑠2 𝑓𝑣 𝑠 𝐾 𝑋 𝑠 ou Logo 𝐺 𝑠 𝑋𝑠 𝐹𝑠 1 𝑀𝑠2 𝑓𝑣 𝑠 𝐾 𝐺 𝑠 1 𝑀𝑠2 𝑓𝑣 𝑠 𝐾 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Função de Transferência 3 Exercícios 31 Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial Convertendo a equação no domínio do tempo para o domínio da frequência temos 𝑠3𝑌 𝑠 3 𝑠2𝑌 𝑠 5 𝑠𝑌𝑠 𝑌 𝑠 𝑠3 𝑋 𝑠 4 𝑠2𝑋 𝑠 6 𝑠𝑋 𝑠 8 𝑋 𝑠 Colocando em evidência 𝑌 𝑠 e 𝑋 𝑠 temos 𝑠33 𝑠2 5 𝑠 1 𝑌 𝑠 𝑠3 4 𝑠2 6 𝑠 8 𝑋 𝑠 Determine a expressão para a função de transferência do sistema YsXs Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Controle PID 𝑠33 𝑠2 5 𝑠 1 𝑌 𝑠 𝑠3 4 𝑠2 6 𝑠 8 𝑋 𝑠 Como desejamos a função de transferência dada por 𝑌 𝑠 𝑋 𝑠 temos 𝐺 𝑠 𝑌 𝑠 𝑋 𝑠 𝑠3 4 𝑠2 6 𝑠 8 𝑠3 3 𝑠2 5 𝑠 1 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Devemos observar que a função de transferência é a relação entre a saída e a entrada de um sistema Neste caso Xs é a saída e Fs é a entrada Sempre os termos em s do numerador são os termos da entrada e os termos em s do denominador são os termos da saída logo a equação diferencial fica Controle PID 32 Dada a função de transferência abaixo escreva a equação diferencial correspondente 𝑑2𝑥 𝑡 𝑑𝑡2 5 𝑑𝑥 𝑡 𝑑𝑡 10 𝑥 𝑡 7𝑓𝑡 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS OGATA Katsuhiko Engenharia de Controle Moderno 4 ed São Paulo PrenticeHall 2003 NISE N S Engenharia de Sistemas de Controle LTC 2013