Teoremas da Transformada de Laplace - Parte 02

Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 Veremos alguns teoremas sobre a transformada de Laplace que são importantes em Sistemas de Controle Teoremas da Transformada de Laplace Recordando a definição da Transformada de Laplace temos que 𝐹 𝑠 L 𝑓 𝑡 0 𝑓𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 Lembrando que t representa o domínio do tempo e s o domínio da frequência Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 A Transformada de Laplace é uma transformação linear isto é 1 Linearidade Sempre que cada uma das transformadas existirem L 𝑎𝑓 𝑡 𝑏𝑔𝑡 𝑎 L 𝑓 𝑡 𝑏 L 𝑔 𝑡 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 Exemplo Calcular a Transformada de Laplace da função abaixo f t 2t cos𝑤𝑡 L 𝑓 𝑡 0 𝑓𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 0 2t cos𝑤𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 2 0 𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 0 cos𝑤𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 2 𝑠2 𝑠 𝑠2 𝑤2 𝐹 𝑠 𝐹 𝑠 𝐹 𝑠 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 A Transformada Inversa de Laplace também é uma transformação linear isto é L1 𝑎𝐹 𝑠 𝑏𝐺𝑠 𝑎 L1 𝐹 𝑠 𝑏 L1 𝐺 𝑠 Exemplo Calcular a Transformada Inversa de Laplace da função abaixo 3 𝑠25𝑠6 𝐹 𝑠 𝑓 𝑡 L1𝐹 𝑠 L1𝐹 3 𝑠25𝑠 6 3 L1𝐹 1 𝑠 2 L1𝐹 3 𝑠 2𝑠 3 3 L1𝐹 1 𝑠 3 𝑓 𝑡 3 𝑒2𝑡 3 𝑒3𝑡 L1𝐹 3 𝑠 2 3 𝑠 3 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 A transformada de Laplace da derivada de uma função 𝑓 𝑡 é dada por 2 Teoremas da derivação real L 𝑑𝑓 𝑡 𝑑𝑡 s𝐹 𝑠 𝑓 0 Também podemos escrever que L 𝑑𝑓 𝑡 𝑑𝑡 s𝐹 𝑠 para 𝑓0 0 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Para demostrar o teorema da derivação real vamos partir da definição da transformada de Laplace Integrandose por partes a transformada de Laplace temos Transformada de Laplace Parte 02 0 𝑓𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑓 𝑡 𝑒𝑠𝑡 𝑠 0 0 𝑑𝑓𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝑠𝑡 𝑠 F𝑠 1 𝑠 0 𝑑𝑓𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝑠𝑡 1 𝑠 0 𝑓0 L 𝑑𝑓𝑡 𝑑𝑡 𝑓0 sF𝑠 1 𝑠 L 𝑑𝑓𝑡 𝑑𝑡 𝑓0 𝑠 F𝑠 1 𝑠 𝑓 0 L 𝑑𝑓𝑡 𝑑𝑡 F 𝑠 De modo semelhante podese obter a expressão referente à segunda derivada de 𝑓 𝑡 Transformada de Laplace Parte 02 L 𝑑2𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑠2𝐹 𝑠 𝑠𝑓 0 𝑓 0 Também podemos escrever que L 𝑑2𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑠2𝐹 𝑠 para 𝑑𝑓 0 𝑑𝑡 𝑓0 0 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Podemos usar o mesmo raciocínio para encontrarmos a transformada de Laplace para as derivadas de maior ordem Transformada de Laplace Parte 02 L 𝑑3𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑠3𝐹 𝑠 para 𝑑2𝑓 0 𝑑𝑡 𝑑𝑓 0 𝑑𝑡 𝑓0 0 L 𝑑4𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑠4𝐹 𝑠 para 𝑑3𝑓 0 𝑑𝑡 𝑑2𝑓 0 𝑑𝑡 𝑑𝑓 0 𝑑𝑡 𝑓0 0 L 𝑑5𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑠5𝐹 𝑠 para 𝑑4𝑓 0 𝑑𝑡 𝑑3𝑓 0 𝑑𝑡 𝑑2𝑓 0 𝑑𝑡 𝑑𝑓 0 𝑑𝑡 𝑓0 0 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica O Teorema do valor final pode ser enunciado da seguinte forma se 𝑓 𝑡 e 𝑑𝑓 𝑡 𝑑𝑡 forem transformáveis por Laplace se 𝐹 𝑠 for a transformada de Laplace de 𝑓 𝑡 e se lim 𝑡 𝑓 𝑡 existir então 3 Teorema do valor final Transformada de Laplace Parte 02 lim 𝑡 𝑓 𝑡 lim 𝑠0 𝑠𝐹 𝑠 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 Exemplo Sendo ft dada por 𝑓 𝑡 1 𝑒𝑡 para 𝑡 0 𝐹 𝑠 0 𝑓𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 0 1 𝑒𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 0 1 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 0 𝑒𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 1 𝑠 1 𝑠 1 𝑠1𝑠 𝑠𝑠1 𝐹 𝑠 1 𝑠𝑠 1 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 lim 𝑡 𝑓 𝑡 lim 𝑡1 𝑒𝑡 1 lim 𝑠0 𝑠𝐹 𝑠 lim 𝑠0 𝑠 1 𝑠𝑠 1 lim 𝑠0 1 𝑠 1 1 Logo podemos verificar que lim 𝑡 𝑓 𝑡 lim 𝑠0 𝑠𝐹 𝑠 lim 𝑡 1 1 𝑒𝑡 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 O Teorema do valor inicial é a contraparte do teorema do valor final Através da utilização deste teorema será possível obter o valor de 𝑓 𝑡 em 𝑡 0 diretamente a partir da transformada de Laplace de 𝑓 𝑡 3 Teorema do valor inicial 𝑓 0 lim 𝑠 𝑠𝐹 𝑠 O Teorema do valor inicial não fornece o valor de 𝑓 𝑡 exatamente em 𝑡 0 mas num instante ligeiramente superior a zero 𝑡 0 O Teorema do valor inicial pode ser enunciado da seguinte forma se 𝑓 𝑡 e 𝑑𝑓 𝑡 𝑑𝑡 forem ambas transformáveis por Laplace se 𝐹 𝑠 for a transformada de Laplace de 𝑓 𝑡 e se lim 𝑠 𝑠𝐹 𝑠 existir então Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 Consideremos um sistema qualquer em malha aberta que pode ser expresso como Planta ou Processo Entrada Saída 𝑢𝑡 𝑦𝑡 E que a equação da saída 𝑦𝑡 possa ser expressa em função do sinal de entrada 𝑢𝑡 4 Função de Transferência Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Adotando a convenção abaixo 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 Transformada de Laplace Parte 02 𝑦 𝑑2𝑦 𝑑𝑡 𝑦 𝑑3𝑦 𝑑𝑡 E assim sucessivamente os nossos sistemas físicos podem ser expressos por equações diferenciais A partir das equações diferenciais que regem um sistema qualquer podemos utilizar as transformações e os teoremas de Laplace para transformar essas equações no domínio do tempo para o domínio da frequência Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 Supondo que tenhamos uma equação diferencial do tipo abaixo 𝑦 𝑎1 𝑦 𝑎0𝑦 𝑏0𝑢 Podemos aplicar a transformada de Laplace L 𝑦 L 𝑏0𝑢 Aplicar a propriedade da Linearidade L 𝑦 𝑎1 𝑦 𝑎0𝑦 𝑎1 L 𝑦 𝑎0 L 𝑦 𝑏0 L 𝑢 E aplicar a transformada das derivadas com as condições iniciais nulas 𝑠2𝑌 𝑠 Obtendo a equação no domínio da frequência 𝑏0 𝑈𝑠 𝑎1 𝑠𝑌 𝑠 𝑎0 𝑌 𝑠 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Colocando 𝑌 𝑠 em evidência temos 𝑠2𝑌 𝑠 𝑎1 𝑠𝑌 𝑠 𝑎0 𝑌 𝑠 𝑏0 𝑈𝑠 𝑌 𝑠 𝑠2 𝑎1 𝑠 𝑎0 Reescrevendo a relação da Transformada de Laplace da saída em relação à da entrada temos 𝐺 𝑠 𝑌𝑠 𝑈𝑠 𝑏0 𝑠2 𝑎1 𝑠 𝑎0 𝑏0 𝑈𝑠 Essa relação da Transformada de Laplace da saída em relação à Transformada de Laplace da entrada é chamada de Função de Transferência e normalmente denotada por 𝐺 𝑠 Transformada de Laplace Parte 02 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 Como essa relação é válida para qualquer entrada podemos usar a função de transferência do sistema para obter a transformada da saída para uma entrada específica 𝐺 𝑠 𝑌𝑠 𝑈𝑠 𝐺 𝑠 𝑌1 𝑠 𝑈1 𝑠 𝐺 𝑠 𝑌2 𝑠 𝑈2 𝑠 𝑌1 𝑠 𝐺 𝑠 𝑈1 𝑠 𝑌2 𝑠 𝐺 𝑠 𝑈2 𝑠 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 Exemplo1 Sendo 𝑦 2 𝑦 3𝑦 𝑢 a equação diferencial de um sistema obter a função de transferência do mesmo Aplicando a Transformada de Laplace temos 𝑠2𝑌 𝑠 𝑈𝑠 2𝑠𝑌 𝑠 3𝑌 𝑠 Colocando 𝑌 𝑠 em evidência temos 𝑌 𝑠 𝑠2 2𝑠 3 𝑈𝑠 Logo 𝐺 𝑠 𝑌𝑠 𝑈𝑠 1 𝑠2 2𝑠 3 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Exemplo2 Sendo 𝑦 6 𝑦 4𝑦 3𝑢 a equação diferencial de um sistema obter a função de transferência do mesmo Aplicando a Transformada de Laplace e já colocando 𝑌 𝑠 em evidência temos 𝑌 𝑠 𝑠2 6𝑠 4 3𝑈𝑠 𝐺 𝑠 3 𝑠26𝑠 4 Exemplo3 Sendo 𝑦 5 𝑦 8𝑦 𝑢 2𝑢 a equação diferencial de um sistema obter a função de transferência do mesmo 𝐺 𝑠 𝑠 2 𝑠25𝑠 8 𝑌 𝑠 𝑠2 5𝑠 8 𝑠 2𝑈𝑠 Transformada de Laplace Parte 02 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 Podemos escrever diretamente a função de transferência apenas olhando os termos da equação diferencial Suponhamos que a nossa equação diferencial seja expressa por 𝑦 𝑎2 𝑦 𝑎1 𝑦 𝑎0𝑦 𝑏2 𝑢 𝑏1 𝑢 𝑏0𝑢 𝑏2𝑠2 𝑏1𝑠 𝑏0 Podemos também escrever diretamente a equação diferencial apenas olhando os termos da função de transferência 𝐺 𝑠 𝑠 5 𝑠27𝑠 3 𝑦 7 𝑦 3𝑦 𝑢 5𝑢 𝐺 𝑠 𝑠3 𝑎2𝑠2 𝑎1𝑠 𝑎0 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 5 Polos p e zeros z da Função de Transferência 𝐺 𝑠 𝑏2𝑠2 𝑏1𝑠 𝑏0 𝑠3 𝑎2𝑠2 𝑎1𝑠 𝑎0 51 Polos p da Função de Transferência 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐺 𝑠 𝑏2𝑠2 𝑏1𝑠 𝑏0 𝑠3 𝑎2𝑠2 𝑎1𝑠 𝑎0 52 Zeros z da Função de Transferência 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 53 Raízes dos Polinômios Se tivermos um polinômio dado por 𝑠𝑛 𝑎𝑛1𝑠𝑛1 𝑎𝑛2𝑠𝑛2 𝑎1𝑠 𝑎0 Onde 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎1 𝑎0 𝑅 𝑃 𝑠 As raízes desse polinômio podem ser números reais pares de números complexos conjugados Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 Exemplo 1 𝑃 𝑠 𝑠2 3𝑠 2 As raízes desse polinômio podem ser obtidas por Báscara 𝑎𝑠2 𝑏𝑠 𝑐 𝑏2 4𝑎𝑐 32 4 1 2 1 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑏 2𝑎 3 1 2 𝑠1 1 𝑠2 2 Exemplo 2 𝑃 𝑠 𝑠2 2𝑠 2 𝑏2 4𝑎𝑐 22 4 1 2 4 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑏 2𝑎 2 4 1 2 𝑠1 1 𝑗 𝑠2 1 𝑗 4 1 2 2 1 2 𝑗2 1 𝑗 1 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 6 Função de Transferência na forma fatorada Se voltarmos ao nosso polinômio dado por 𝑃 𝑠 𝑠2 3𝑠 2 Vimos que as raízes são 𝑠1 1 e 𝑠2 2 Então se tivermos uma Função de Transferência dada por 𝐺 𝑠 𝑠 5 𝑠23𝑠 2 𝑠 5 𝑠 1 𝑠 2 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Transformada de Laplace Parte 02 Generalizando podemos escrever Sendo A Função de Transferência fatorada pode ser escrita como 𝐺 𝑠 𝑏𝑚 𝑠 𝑧1 𝑠 𝑧2 𝑠 𝑧𝑚1𝑠 𝑧𝑚 𝑠 𝑝1 𝑠 𝑝2 𝑠 𝑝𝑛1𝑠 𝑝𝑛 𝐺 𝑠 𝑠𝑚 𝑏𝑚1𝑠𝑚1 𝑏1𝑠 𝑏0 𝑠𝑛 𝑎𝑛1𝑠𝑛1 𝑎1𝑠 𝑎0 A escrita da Função de Transferência com o denominador na forma fatorada facilita a análise pois os polos 𝑝1 𝑝2 𝑝𝑛 é que vão determinar o comportamento do sistema que desejamos analisar e controlar Normalmente não necessitamos fatorar o numerador Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS OGATA Katsuhiko Engenharia de Controle Moderno 4 ed São Paulo PrenticeHall 2003 GOLNARAGHI F KUO B C Automatic Control Systems 9th edition Willey 2010 DORF R C BISHOP RH Sistemas de Controle Moderno LTC 2013 NISE N S Engenharia de Sistemas de Controle LTC 2013 ANDERSON P Control Systems Classical Controls Global Media 2009