Estabilidade de Sistemas: Sistema Instável - Análise e Equações

Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estabilidade de Sistemas 33 Caso 3 Sistema Instável Vamos estudar agora um caso especial quando todos os elementos de uma linha são nulos Isso indica que podem ocorrer as seguintes situações A equação possui pelo menos um par de raízes reais iguais mas de sinais opostos A equação tem um ou mais pares de raízes imaginárias A equação tem pares de raízes complexas conjugadas com partes reais simétricas Ex 𝑠 𝑥 𝑗𝑦 e 𝑠 𝑥 𝑗𝑦 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estabilidade de Sistemas Gs 3 𝑠24 2𝑠10 𝑠2 𝑠1 𝑠0 𝑠3 𝑎0 𝑎1 𝑎2 𝑎3 3 𝑠510𝑠48𝑠380𝑠216𝑠160 𝑎0𝑠𝑛 𝑎1𝑠𝑛1 𝑎𝑛1𝑠 𝑎𝑛 0 𝑎4 𝑎5 𝑠4 𝑠5 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estabilidade de Sistemas Gs 3 𝑠24 2𝑠10 𝑠2 𝑠1 𝑠0 𝑠3 1 10 8 80 3 𝑠510𝑠48𝑠380𝑠216𝑠160 16 160 𝑠4 𝑠5 𝑏1 10 8 1 80 10 0 0 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estabilidade de Sistemas Gs 3 𝑠24 2𝑠10 𝑠2 𝑠1 𝑠0 𝑠3 1 10 8 80 3 𝑠510𝑠48𝑠380𝑠216𝑠160 16 160 𝑠4 𝑠5 𝑏3 10 16 1 160 10 0 0 0 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estabilidade de Sistemas Gs 3 𝑠24 2𝑠10 𝑠2 𝑠1 𝑠0 𝑠3 1 10 8 80 3 𝑠510𝑠48𝑠380𝑠216𝑠160 16 160 𝑠4 𝑠5 𝑏5 10 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estabilidade de Sistemas Gs 3 𝑠24 2𝑠10 𝑠2 𝑠1 𝑠0 𝑠3 1 10 8 80 3 𝑠510𝑠48𝑠380𝑠216𝑠160 16 160 𝑠4 𝑠5 0 0 0 0 0 Quando todos os coeficientes em uma linha são nulos é necessário substituir esses coeficientes pelos coeficientes obtidos através de uma equação auxiliar Equação auxiliar 𝑃𝑠 10𝑠480𝑠2160 𝑑𝑃𝑠 𝑑𝑠 40𝑠3160𝑠 Polinômio Auxiliar Ps Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estabilidade de Sistemas Gs 3 𝑠24 2𝑠10 𝑠2 𝑠1 𝑠0 𝑠3 1 10 8 80 3 𝑠510𝑠48𝑠380𝑠216𝑠160 16 160 𝑠4 𝑠5 40 160 0 0 0 Equação auxiliar 𝑃𝑠 10𝑠480𝑠2160 𝑑𝑃𝑠 𝑑𝑠 40𝑠3160𝑠 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estabilidade de Sistemas Gs 3 𝑠24 2𝑠10 𝑠2 𝑠1 𝑠0 𝑠3 1 10 8 80 3 𝑠510𝑠48𝑠380𝑠216𝑠160 16 160 𝑠4 𝑠5 40 160 0 0 0 𝑐1 40 80 10 160 40 40 40 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estabilidade de Sistemas Gs 3 𝑠24 2𝑠10 𝑠2 𝑠1 𝑠0 𝑠3 1 10 8 80 3 𝑠510𝑠48𝑠380𝑠216𝑠160 16 160 𝑠4 𝑠5 40 160 0 0 0 𝑐3 40 160 10 0 40 160 40 160 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estabilidade de Sistemas Gs 3 𝑠24 2𝑠10 𝑠2 𝑠1 𝑠0 𝑠3 1 10 8 80 3 𝑠510𝑠48𝑠380𝑠216𝑠160 16 160 𝑠4 𝑠5 40 160 0 0 0 𝑐5 40 0 10 0 40 0 40 160 0 0 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estabilidade de Sistemas Gs 3 𝑠24 2𝑠10 𝑠2 𝑠1 𝑠0 𝑠3 1 10 8 80 3 𝑠510𝑠48𝑠380𝑠216𝑠160 16 160 𝑠4 𝑠5 40 160 0 0 0 𝑑1 40 160 40 160 40 0 40 160 0 0 0 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estabilidade de Sistemas Gs 3 𝑠24 2𝑠10 𝑠2 𝑠1 𝑠0 𝑠3 1 10 8 80 3 𝑠510𝑠48𝑠380𝑠216𝑠160 16 160 𝑠4 𝑠5 40 160 0 0 0 𝑑3 40 0 40 0 40 0 40 160 0 0 0 0 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estabilidade de Sistemas Gs 3 𝑠24 2𝑠10 𝑠2 𝑠1 𝑠0 𝑠3 1 10 8 80 3 𝑠510𝑠48𝑠380𝑠216𝑠160 16 160 𝑠4 𝑠5 40 160 0 0 0 40 160 0 0 0 0 Novamente os coeficientes em uma linha são nulos sendo necessário substituir esses coeficientes pelos coeficientes obtidos através de uma equação auxiliar Equação auxiliar 𝑃𝑠 40𝑠2160 𝑑𝑃𝑠 𝑑𝑠 80𝑠 Polinômio Auxiliar Ps 0 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estabilidade de Sistemas Gs 3 𝑠24 2𝑠10 𝑠2 𝑠1 𝑠0 𝑠3 1 10 8 80 3 𝑠510𝑠48𝑠380𝑠216𝑠160 16 160 𝑠4 𝑠5 40 160 0 0 0 40 160 0 0 80 0 Equação auxiliar 𝑃𝑠 40𝑠2160 𝑑𝑃𝑠 𝑑𝑠 80𝑠 0 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estabilidade de Sistemas Gs 3 𝑠24 2𝑠10 𝑠2 𝑠1 𝑠0 𝑠3 1 10 8 80 3 𝑠510𝑠48𝑠380𝑠216𝑠160 16 160 𝑠4 𝑠5 40 160 0 0 0 40 160 0 0 80 0 0 𝑒1 80 160 40 0 80 160 160 Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estabilidade de Sistemas Gs 3 𝑠24 2𝑠10 𝑠2 𝑠1 𝑠0 𝑠3 1 10 8 80 3 𝑠510𝑠48𝑠380𝑠216𝑠160 16 160 𝑠4 𝑠5 40 160 0 0 0 40 160 0 0 80 0 0 160 1 A equação possui pelo menos um par de raízes reais iguais mas de sinais opostos 2 A equação tem um ou mais pares de raízes imaginárias 3 A equação tem pares de raízes complexas conjugadas com partes reais simétricas Ex 𝑠 𝑥 𝑗𝑦 e 𝑠 𝑥 𝑗𝑦 Conclusões 1 Como não ocorreu troca de sinal na primeira coluna as situações 1 e 3 são descartadas 2 A equação possui raízes imaginárias 3 Como a situação 3 é falsa as raízes complexas conjugadas situamse na origem 𝑠 𝑗𝑦 4 Como ocorreram duas linhas nulas o sistema possui dois pares de raízes complexas conjugadas na origem 5 Sistema instável Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica Estabilidade de Sistemas Gs 3 𝑠24 2𝑠10 3 𝑠510𝑠48𝑠380𝑠216𝑠160 Através do MATLAB é possível comprovar que os polos são 𝑝1 10 𝑝2 2i 𝑝3 2i 𝑝4 2i e 𝑝5 2i Cristhiano da Costa Herrera Instituto Federal de São Paulo IFSP Campus Itapetininga Área Mecânica REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS OGATA Katsuhiko Engenharia de Controle Moderno 4 ed São Paulo PrenticeHall 2003 MELO E G LOM3203 Controle e Automação EEL Lorena 2020