Prova 2 - Funções de Variável Complexa - Cálculo de Integrais e Teorema dos Resíduos

Funções de uma Variável Complexa Prof Angelo Papa Neto Prova 2 Nome ENTREGA 15 de dezembro de 2023 FAVOR ENVIAR AS SOLUÇÕES PARA O EMAIL papanetoifceedubr ATÉ O DIA 15122023 Questão 1 2 pontos Calcule a integral de linha C cos z z z12 dz onde C é o círculo centrado no ponto 1 i e de raio 2 Questão 2 2 pontos Mostre que se f ℂ ℂ é inteira e para todo z ℂ vale Imfz 0 então f é uma função constante Sugestão mostre que a função eifz é inteira e limitada e use o Teorema de Liouville Questão 3 2 pontos Seja C z ℂ z 1 a circunferência de raio 1 centrada na origem a 1 ponto Determine o valor da integral C ez z dz b 1 ponto Use o item anterior para calcular o valor da integral 02π ecos t cossen t dt Questão 4 2 pontos demonstre que a função dada por fz 2z 4 1 z2 sen3 z tem um pólo de ordem 3 na origem Questão 5 2 pontos O objetivo desta questão é usar o teorema dos resíduos para calcular a integral real imprópria 1 1 x4 dx 1 a 1 ponto Seja fz 1 1 z4 No semiplano superior esta função tem duas singularidades z1 eπi4 e z2 e3πi4 Calcule Resf z1 e Resf z2 b 1 ponto Seja C R R γ a curva obtida juntandose os caminhos R R percorrido da esquerda para direita e γ 0 π ℂ γt Reit o semicírculo de raio R centrado na origem percorrido no sentido antihorário Use o Teorema dos Resíduos para calcular C 1 1 z4 dz Use esse resultado para calcular a integral 1 Pág 1 de 1 Fim da Prova Boa Prova Questão 1 Calcule a integral de linha C cos z z z12 dz onde C é o círculo centrado no ponto 1 i e de raio 2 Observe que C cos z z z12 dz C cos z z12 z 0 Logo seja fz cos z z12 temos que é analítica em ℂ 1 Daí como γ 0 2π ℂ dada por γt 1 i 2eit é curva fechada simples suave por partes que parametrize C Logo pelo teorema da integral de Cauchy C fw w z0 dw 2πi fz0 C cos z z z12 dz 2πi cos0 0 12 2πi Logo C cos z z z12 dz 2πi Por hipótese f é inteira z ℂ e Imf 0 Seja g ℂ ℂ dada por gz eifz Observe y é composta de funções inteiras Escrevendo f u iv U V ℂ ℝ temos gz eifz eiuz ivz eifz eiuz eivz euz Agora como u uxy temos u harmônica logo satisfaz a desigualdade do valor médio Assim M 0 tq uxy M z xy ℂ Daí eifz eux M Ou seja gz eifz é limitada e inteira Logo pelo teorema de Liouville gz z0 z ℂ Assim eifz z0 Como Imf 0 tomemos no ramo principal temos fz i lnz0 que é constante Questão 3 Seja C z ℂ z 1 a circunferência de raio 1 centrada na origem a 1 ponto Determine o valor da integral C ez z dz b 1 ponto Use o item anterior para calcular o valor da integral ₀²π ecost cossent dt a Seja C z ℂ z 1 Seja f ℂ ℂ fz ez Observe que C D₁0 e que f é diferenciável em qualquer aberto ω que contenha D₁0 Agora pelo teorema da integral de Cauchy f0 1 2πi C fw w0 dw C ew w dw 2πi e⁰ 2πi b Por outro lado temos que γ 0 2π ℂ dada por γt cos t i sen t parametriza C Assim C ez z dz ₀²π eγt γt γt dt ₀²π eγt γt γt dt Assim ₀²π ecos t i sen t sen t i cos t cos t i sen t dt ₀²π ecos t i sen t i dt i ₀²π ecos t ei sen t dt i ₀²π ecos t cos sen t i sen sen t dt i ₀²π ecos t cos sen t dt ₀²π ecos t sen sen t dt Como ₀²π ecost sensent dt A ℝ temos c ez z dz i ₀²π ecos t cossent dt A 2πi ₀²π ecost cossent dt 2πi A i ₀²π ecost cossent dt 2π iA Questão 4 demonstre que a função dada por fz 2z 4 1 z²sen³z tem um pólo de ordem 3 na origem Sejam gz 2z 4 1 z² e hz λ sen³ z Observe que fz gz hz Agora veja que sen z z z³ 3 z⁵ 5 λ sen³ z z z³ 3 z⁵ 5 ³ λ sen³ z z³ θz⁵ onde lim z0 θz⁵ z 0 Da mesma forma podemos estimar 1 z² z² θz⁴ Substituindo temos fz 2z 4 1 z²λ sen³ z 2z 4 z² θz⁴ z³ θz⁵ 2z 4 z² z³ θz⁵ fz 2 z³ 1 z² θ1 ou seja 0 é um polo de ordem 3 Questão 5 2 pontos O objetivo desta questão é usar o teorema dos resíduos para calcular a integral real imprópria 11x⁴ dx 1 a 1 ponto Seja fz 11 z⁴ No semiplano superior esta função tem duas singularidades z₁ eπi4 e z₂ e3πi4 Calcule Resf z₁ e Resf z₂ a Vejamos Para z₁ eπi4 lim zeπi4 z eπi4 fz lim zeπi4 z eπi4z⁴ 1 lim zeπi4 1z³ eπi4 z² eπi2 z e3πi4 14 e3πi4 e3πi44 Logo Resf πi4 e3πi44 Para z₂ e3πi4 lim ze3πi4 z e3πi4z⁴ 1 lim ze3πi4 1z³ e3πi4 z² e3πi2 z e9πi4 14 e3πi e9πi44 Assim Resf e3πi4 e9πi44 b Seja C a curva simples fechada e suave por partes formada pela união do intervalo R R com o semicículo parametrizado por γ 0 π C dado por γt R eit percorrido no sentido antihorário Pelo teorema dos resíduos C 11 z⁴ dz 2πi k1n Resf zk C 11 z⁴ dz 2πi e3πi44 e9πi44 2πi 22 i 224 22 i 224 2πi i 24 C 11 z⁴ dz 2 π2 Ao longo de γ temos IR γ 1z⁴ 1 dz ₀π 1R⁴ e4it 1 R i eit dt ₀π R i eitR⁴ e4it 1 dt Usando a desigualdade triangular temos R⁴ R⁴ e4it 1 R⁴ e4it 1 1 R⁴ e4it 1 1 R⁴ e4it R⁴ 1 Daí IR ₀π RR⁴ 1 dt π RR⁴ 1 Assim 11 x⁴ dx limR RR 11 x⁴ dx limR RR 11 x⁴ dx IR C 11 z⁴ dz 2 π2 Portanto 11 x⁴ dx 2 π2