Estudo de Série de Laurent

1 Qual é a série de Laurent de fz e1z em torno de z0 0 e o seu domínio de convergência A e1z n0 1n 1zn z2 B e1z n0 n z 0 C e1z n0 zn z 0 D e1z n0 1n 1zn z 0 E e1z n0 zn z2 2 Encontre a série de Laurent de fz z3 sen1z em torno da origem A z2 16 k1 1k1 2k3 z2k z2 16 k1 1k1 2k3 z2k B 1 2 n0 zn 1 2 n0 zn C z2 16 k1 2k3 z2k D z2 k1 1k1 2k3 z2k E z2 16 k1 1k1 z2k 3 Obtenha a série de Laurent para a função fz z 1 z 1 no domínio z 1 A a Extra close brace or missing open brace B b 1 2 n0 z C c Extra close brace or missing open brace D d Extra close brace or missing open brace E e 1 2 n1 1zn 4 Qual é o valor da integral C z 1z 1 dz onde C é o círculo z2 percorrido no sentido antihorário A a πi B b 4πi C c 2 D d 2πi E e 4 5 Determine qual é a série de Laurent da função Double exponent use braces to clarify em torno do ponto z0 1 A a ea n0 ak4 ukk B b ea n0 k C c ea n4 ak4 ukk 4 D d ea n1 ak4 uk E e ea n1 ak4 ukk Série de Laurent 1 Para encontrar a série de Laurent de fz e1z em torno de z0 0 vamos primeiro considerar a expansão em série de Taylor de ew ew n0 wnn Substituindo w 1z obtemos fz n0 1n 1zn n0 1n zn com z 0 pois a função não é definida em z0 0 Resposta D 2 Considere a série de Taylor da função senw senw n0 1n w2n12n1 Substituindo w 1z obtemos sen12 n0 1n2n1 1z2n1 Logo multiplicando por z3 obtemos fz z3 n0 1n2n1 z2n1 n0 z3 1n2n1 z2n1 n0 1n2n1 z2n2 n0 1n2n1 z2n1 Substituindo k n 1 ou seja n k 1 obtemos fz from k1 to 1k1 z2k 2k11 from k1 to 1k1 z2k 2k3 z2 16 from k1 to 1k1 z2k 2k3 Resposta C 3 Primeiramente observe que z1z1 z12z1 1 2z1 1 2z112 Como z1 podemos expandir 1112 como uma série geométrica 1112 from n0 to 1zn from n0 to 1zn Assim fz 1 2z from n0 to 1zn 1 2 from n0 to 1zn1 1 2 from k1 to 1zk Fazemos kn1 Resposta E 4 Utilizando o resultado da questão 3 temos que c z1z1 dz c 1 2 from n1 to 1zn dz c 1 2z 2z2 dz Temos pelo Teorema de Cauchy que a integral c zn dz 0 para todo n 1 onde C é uma fechada que não passa pela origem logo c z1z1 dz 0 2 c 1z dz 22πi 4πi Resposta B No text found on this page