Expansão em Séries de Laurent e Singularidades

IFCE Licenciatura em Matematica 1 Se an bn entao a expansao 2 pode ser reescrita na Séries de Laurent e singularidades forma Prof Angelo Papa Neto tx n papanetogmailcom fz dn z 20 5 n0o e 3 e 4 podem ser reescritas como uma sé expressao 1 Séries de Laurent fw w ay 5 f dw nZ 6 Dados dois nimeros reais 0 ry re e 29 C 0 conjunto 2nt Jy w zo D Dz0371r2 2 C m1 z 2 re 1 2 Qualquer expresséo da mesma forma que converge para f ponto a ponto na regiao D tem que ser igual a expansao é uma coroa circular centrada em 29 com raio interno r e de Laurent 2 ou seja a série de Laurent é determinada raio externo ro de modo tinico pela fungao f e pela regiao D n 3 Nao podemos escrever a Go como fazemos na série de Taylor porque zp nao pertence ao dominio de f 4 A unicidade da série de Laurent depende da escolha da regiao D Vejamos um exemplo Exemplo 2 Considere as regides Di z C z 1 e Dz z C 0 z 1 A funedo f dada por fy wD é analttica em Dy e em Dg Em Dy 1 1 1 1 1 1 SOS i SO 1 see Figura 1 uma coroa circular Dz 1172 P 2az1 2 214 2 totpt 1 1 1 Ce ae atatat O Teorema a seguir é devido ao matematico e engenheiro z z z militar francés Pierre Alphonse Laurent 18131854 Sabese Esta série converge se z 1 Em Dao hoje que o matematico alemao Karl Theodor Wilhelm Weiers trass 18151897 jé conhecia o resultado por volta de 1840 f 1 lol mas seu trabalho s6 foi publicado postumamente Por isso zz1 z 1lz a séries do tipo que aparece no enunciado do teorema sao a 1 1 conhecidas como séries de Laurent l4z42741z2 Zz Zz Teorema 1 Sejam r e rg dois ntimeros reais tais que0 Assim a mesma funcao f tem séries de Laurent distintas em ry rq permitido que r 0 e também que rz co e regides distintas do plano seja z9 C Suponha que f D C holomorfa na coroa circular D Dz71T2 Entéo para cada z D oo love b 2 z Gnz Z0 2 fl alz 2 oS n0 n1 O A expresséo acima é chamada expansao de Laurent de f na coroa D As duas séries em 2 convergem absolutamente em D e convergem uniformemente em cada Dz0 p1P2 z C pr z 20 po onder py pz 1 Se y 027 C é a curva dada por yt 29 re circulo de centro 2 e raior comry 1 2 entdo 1 w 2ri J w 2 Figura 2 os circulos 7 e y2 e 0 compacto Dz p1p2 1 n1 bn 5 Flww 2 tdw t 4 Y Demonstragao do Teorema 1 Os circulos 71 e y2 com parametrizacées 71 t 29 sie e yt 2 se com Antes de demonstrarmos o teorema vejamos algumas ob 1 1 pi po 82 12 sao homotdépicos ou seja servacdes um deles pode ser deformado até se transformar de modo 1 continuo no outro sem que no processo de transformacao homotopia as curvas intermedidrias tenham pontos fora 12 da coroa circular D onde f estA definida Além disso se yt 2 re com ri r Tr entao 71 Yo também sao homotdépicas a y logo as integrais em 3 e 4 podem ser calculadas sobre os circulos 72 e 71 respectivamente Assim oo phy ltt gts LO Ini Jy w 29t 271 Jy w 2t para todo n 0e by t fww291 dw t fww29 dw noni 2rt Jy para todo n 1 Figura 3 a funcdo f é holomorfa na regido verde acima Se z Dz p1P2 W E Ye ento z z0 po sg w zo 0 que implica 1 Assim 1 1 1 1 2 Singularidades isoladas 2s wxmzexny wm 1s wz wo zz w 1 wz0 Vamos usar a notagao 1 Se zy 1 n 6 gom Loom Lwraete Dzosr Dz00r 2 C0z 201 r e P converge uniformemente Este é o disco Dzor sem o centro ou seja Dz0r Esta tiltima série converge uniformemente porque z pertence 2 207 zo que chamamos de disco furado em 70 a um conjunto compacto Assim é possivel integrar a série Se f D 201 C é holomorfa dizemos que 2 uma termo a termo Multiplicando por ss fw obtemos singularidade isolada de f so Pelo que vimos na secao anterior podemos expandir f em 1 fw série de Laurent 2k dw n 7 mila s dD ane 0 7 n0 bo by 2 onde os coeficientes a sao dados como em 3 faa TE mye 2 Zo a a1z29a22z0 Novamente considere z Dz 102 mas desta vez con sidere u y Entdo ju z0 81 pi z 2zo e isso Se na série de Laurent de f em Dzo7 temos b 0 para implica que unzo 1 Podemos escrever todo k n dizemos que zp 6 um polo de f O inteiro positivo n é chamado ordem do pélo Neste caso a série de Laurent 1 1 lt 1 tem o seguinte aspecto UuzZ 2z22uz2z 220 12 by n 2 Zz ot 00 01 220 02220 S u 2 yo aa 2 f yom 1220a2z20 z 20tt z 20 n0 n1 b by eS SS A soma Gon tt ay é chamada parte principal da converge uniformemente sos Z Mai ancia 6 unif série de Laurent de f em torno do pélo Zo ais uma ve a converancia é uni orme porane Zz Pertenece a Veja que z zo fz bn bn1z 20 kee tba z um conjunto compacto Integrando termo a termo obtemos 5 yn14 qazz4 6 uma funcdo analitica em Dzor 1 fu oe by Se n 1 dizemos que z um pélo simples de f al wa t Garay 8 v1 n1 Observacao 3 Se z é um polo de ordem n de f entéo onde os coeficientes b sao dados como em 4 A regiao n pintada de verde na figura acima é limitada pela curva jim z 20 fz Gen 76726 Nesta regiao a fungao f é holomorfa logo podemos aplicar a formula integral de Cauchy De fato a série de Laurent de f em torno de z é 1 w fe se f aw o ami Jp wz fz So axz 20 Como as integrais ao longo de 6 e d se cancelam temos kn 1 w 1 w fe 5 f Maw f Law 9 bo 271 Jay WZ 2nt Jy Wz Usando as igualdades em 7 e 8 chegamos a expresso 2 z x9 fz S anz 2 So ajnz 2 o que mostra a existéncia da série de Laurent kan j0 A unicidade nao sera demonstrada aqui Vocé pode consul tar o livro Basic Complex Analysis de J Marsden p 189 OO Portanto limz 20 fz an 2 Se by 0 para todo k 1 dizemos que zp uma singu na regiéo delimitada pela curva Isso estende a teoria da laridade removivel de f Neste caso fz a9 aiz integral desenvolvida por Cauchy 2 a2z 2 e definindo fz ap vemos que f é Para calcular integrais usando o Teorema dos residuos de holomorfa em todo o disco Dzor ou seja a singularidade vemos encontrar o residuo de uma funcdo f em uma singu em Zo pode ser removida laridade z Uma maneira é achar o desenvolvimento de f Se na série de Laurent em torno de zo existem termos em série de Laurent em torno de zp Infelizmente isso nem by 0 para arbitrariamente grande dizemos que z 6 uma sempre 6 uma tarefa simples Para contornar essa dificul singularidade essencial de f dade podemos usar alguns resultados que permitem calcular residuos diretamente Exemplo 4 Alguns exemplos de singularidades r 0 De acordo com a Observagao 3 se z é um pdlo simples de 1 f DOr C dada por fz S tem série de de f entao Laurent Resfzo a1 lim z zo fz 11 1 ze zt 76 0 f5159GG a z 2 4 6 Dizemos que zo é um zero de ordem m N de uma funcado 3 5 holomorfa logo analitica g se gz z z0giz e 12 a gizo 0 Isso significa que a série de poténcias de g em z 2 A 6 torno de zp é Logo f tem um polo simples em zo 0 so 2 Seg D0r C dada por gz 24 entéo g2 Om 220 4m41 220 Fe S AnzZ0 0 uma singularidade removivel de g pois a série de nam Laurent de g em torno de z 0 ou seja d 0 para todo n 01m 1 Logo 1 ys BGT g zo 0 para qualquer n 01m 1 gz 2559 é Teorema 6 Suponha que gz e hz sejam fungées 2 A 6 analiticas 1H4 24 3 5 7 1 Se z um zero de ordem m deg e deh Entaéo fz Colocando g0 ao 1 vemos que g analitica no get tem uma singularidade removivel em 2 disco completo 2 Se gzo 0 hzo 0 hz0 0 entdo zp é um polo 3 A fungado h D0r C dada por hz sinz sin 4 simples e tem série de Laurent gzo Resf20 5 12 0 antl oo 1zrtt h z0 hz S01 S01 2n 1 2n 1 n0 n0 3 Se z um zero de ordem k de g e de ordemk 1 deh oo 52nt1 oo sont entéo z um polo simples de fz ue com residuo 1 1 LO Graal tL areal k n0 n0 g 20 se Resfz0 k 1 k1 13 Como a parte principal da série tem uma infinidade de h 20 termos a singularidade essencial Os doi r sko de fund li tanci Demonstragaéo 1 Podemos escrever gz z 20 giz e s dois teoremas a segulr sao de un amental importancia hz zz0h1z onde gy hy sao analiticas e giz0 0 para a teoria das fungdes de uma variavel complexa giz vas e hizo 0 Assim fz ia analitica em zo Teorema 5 Teorema dos Residuos Seja fi Dzr C 2 Az limes hzheo limz 2 Me Como uma funao holomorfa Seja y uma curva simples suave por h2o 0 podemos escrever lim52 222 1 Assim partes e fechada cujo trago esté contido em Dzor Entao 2 20 g2 fz dz by 2ni Resfzo lim 2 zo Fz Jim 2 20 cy Demonstragao Basta considerar n 1 em 4 oO jj z go lim gz 220 hz hz0 O Teorema 5 acima da ao coeficiente b a um papel importante Chamamos este coeficiente de residuo de f em O z e denotamos a Resfz0 10 Exemplo 7 Calcule a integral real O Teorema dos residuos permite que calculemos integrais ro d dz de fungoes ao longo de curvas mesmo que haja singularidades oo 142 3 Solugéo Seja C a curva simples fechada e suave por partes 3 Exercicios formada pela uniao do intervalo RR com o semicirculo superior parametrizado por 07 C yt Re 1 Determine a série de Laurent da funcao dada por O ntmero complexo 7 é a tinica singularidade na regiao z5 C delimitada pela curva Se fz a entado limz fz P23 i fz limz 4 3 Isso mostra que i é um pélo simples veul de f e que Resfi Assim I aa dz2mi b nas seguintes coroas circulares tt Ao longo de 7 temos Ip J tos dz So iehiem dt a D001 Usando a desigualdade triangular vemos que R Re b D013 2 dit 2 it Qit 2 l Re IlR e 1 logo 1 R 2e 2 R 1 c D0300 e portanto r J qizdt gry Isso significa que limpsco In limp sco A 0 Assim Observacao 11 Considere a fungao fz cotgz sone Para cada k inteiro maior ou igual a zero seja too Roy Dy D0k7k17 A fungéo f tem uma infinidade dx li dt Sang I 14 2 OS R30 I 14 x2 7 de séries de Laurent centradas em 0 uma em cada Dx k0 li oew las 2 M i é ingularidade nao isolada d lim dz sdznT row pp lx R colt ostre que a origem é uma singularidade nao isolada da fungao oO 1 f2 ae sen 1z Teorema 8 Se f é analitica e limitada em um disco furado Dzr de uma singularidade isolada z9 Entéo zo uma 3 Determine as possiveis séries de Laurent das fungoes singularidade removivel abaixo em torno da origem Demonstragao Existe M 0 real tal que fz M para a Aeajs todo z Dz0r Seja 7 027 C yt zo pe onde b 22 O0pr Para cada n 1 temos 2z122 1 1 GED dn 5 fzz 20 dz mt dy 4 a Determine a série de Laurent de e em torno da logo origem A partir dos coeficientes dessa série con clua que 1 M p Jan 5 PM fe 2a de SE 2p Mp 1 on l T Sy u eS cos sent nt dt T n Como zo é uma singularidade isolada podemos fazer p 0 Logo jan Mp com p 0 portanto a 0 para todo n 0 para todo n 1 Isso mostra que a série de Laurent de b Determine a série de Laurent de e212 em torno f em Dzor é uma série de Taylor Portanto zo é uma da origem A partir dos coeficientes dessa série singularidade removivel O conclua que Teorema 9 CasoratiWeierstrass Se fz tem uma singula Ls cost oo 1 ridade essencial isolada no ponto a entéo a imagem por f de mn e cosnt dt S Tin LEI tT Jo kn k qualquer disco furado Dar centrado em a é densa em C k0 Demonstracéo Suponha por absurdo que exista c Ce para todo n 0 numeros reais r 0 0 tais que 5 Encontre o erro no seguinte argumento fz Se para z Dar Como co 1 Seja gz Fayre Entao gz para todo z Dz9r S a To Pelo Teorema 8 g pode ser estendida a uma funcao analitica n0 no disco Dzor Se ga 0 entao fz c Ww seria e analitica em Dar e a singularidade em a seria removivel lod 1 1 1 1 n 0 que nao ocorre por hipdtese Se ga 0 entaéo fz S ZS stptta te 2 1te I c Ww teria um polo em a o que também nao ocorre por n0o hipétese Isso mostra que nenhum ponto c pode ser isolado temos da imagem de f O oo 1 oo 1 1 Teorema 10 Picard Se f Dzor C holomorfa com So 2 So 2 So 2 1 To 0 singularidade essencial em zo entdo para qualquer w C o o 0 com a posstvel excesséo de um ponto a equagdo fz w para todo z C tem uma infinidade de solugdes em Dzr 4