Lista 1 - Números Complexos - Variáveis Complexas 2021 1

Fungoes de Varidvel Complexa IC 260 Lista 1 Nimeros Complexos Prof Daniel Oliveira 1 Reduza a forma a bi cada uma das seguintes expressoes a 35i 2 4 b 3 5i2 4i c V3 2 i2 iV3 4 1 d 1 e 1 2 31 473 5i4 67 f 2 32 1i 1 1 730 tat LEH 8 5 arp GG N 2 Mostre que o valor da soma S i 61177 ou 0 conforme o resto da diviséo de N por 4 seja 01 2 n0 ou 3 respectivamente 3 Escreva na forma polar na forma re e represente no plano complexo os pontos z w zw e onde woz 1iV3 V3i a it tive av8 tt b z1ie w 2 2 2 4 Escreva na forma polar e represente no plano complexo os seguintes pontos i V2 iV2 i a4 0 isené 5 Multiplique o numerador e o denominador de ricos 61 sen 61 pelo conjugado do denominador e r2cos 62 isen 62 0 isené desenvolva até concluir que rucos i tsen 41 cosO1 62 isen 6 62 esta 6 outra maneira de rocos 62 isenO2 re mostrar que quando numerador e denominador sao naonulos o médulo do quociente é o quociente dos médulos e o argumento do quociente é a diferenga dos argumentos 1itgd 6 Mostre que oe cos20 isen 20 para todo 6 4 krk Z 7 Prove que se zw Ce zw 0 entao z0 ouw 0 8 P ib id sio tai 1 enta d dat obt Prove que se z ew ao ta e zw 1 entao c ed s dai obtemo rove que se zaibewcids is que zw ntao c Dae Dae i mos as partes real e imagindria do inverso multiplicativo de z 4 0 9 Prove que as seguintes igualdades sao validas para todos zw C aZ2 bzFU74U cAW20 dsewA0 Rez w w zz f Imz a g2zz h z 2 i Rez z2 j Imz z 10 Determine o médulo dos seguintes nimeros complexos 3i1 32 14 2i1 a V3 7 i p i V5 3 4i 2 11 Mostre que se 21 z2 23 C e z2 z3 entao lal c al 22 23 z2 zal 22 23 z2 zal 12 Mostre que se z a ib entao z Ja b V2z 13 Calcule as seguintes raizes e as represente no plano complexo a V2i b 1 c V1iv3 14 Decomponha o polindmio Pz z4 4 como a um produto de polinémios do primeiro grau b um produto de polinédmios do segundo grau com coeficientes reais 15 Decomponha cada um dos polindémios abaixo como um produto de polinémios do primeiro grau a Pz 272242 b Pz 32 i c Pz 2 14 iz4 5i d Pz 24 1i2 i 16 Prove que se w é uma raiz nésima da unidade diferente de 1 entao a ltwwtw0 b 12w3wnw t 17 Mostre que para todo z C vale que a e 0 b e7 eRe ce 1e22knik Z 18 Mostre que e7 e cif 4 i8 e9 ei0 19 Mostre que cos 7 e send a para todo 6 R essas duas expressdes sao conhecidas como formulas de Euler 20 Mostre que se z re entao e e8r 21 Para cada item represente no plano complexo o conjunto dos numeros z C tais que a Rez 3 b Rez 3 e Imz 1 c z 2 2 d z1i 3 e1z12i 2 0 argz 52 0 g z 2 largz 7 h 3z 2i 5 i Rez 0 j Imz 0 k jarg 2 z 0 22 Mostre que o conjunto dos nimeros z C tais que z 5 z 1 7 representa uma reta no plano complexo Esboce esta reta 3 Gabarito 1 a14 6i b 26 2i c 44i d 24 2 e 3 4 2 3 v21 1v2 1 f i i h i i 1 33 7 13 83 tg 3 i 3 Em cada caso a representacdo polar é dada por rcos isen sendo aerrLed wirsleg cwirleg z T 3 w 7 pi a lee5 us 7 iraieds bzrv20e0 2 on wir20e0 zwir22620e04 4 4 2 4 z J2 37 om w 30 png CF HZ UT SirVv2e0 A representacdo na forma re também é obtida substituindo os valores de r e 0 4 Em cada caso a representacgdo polar é dada por rcos isen sendo 2 11 ara eg b r2e 8 4 12 6 Dica Se necessario use a relacdo 1 tg0 sec6 10 a 2V2 b I 25 13 As raizes z tem representacgao polar dada por rcos isen sendo aarrrv20e0 airs Vieg 7 on Zirzle zoirledT zirled 3 3 4 T 4 27 4 71 4 on airW2c0 airV20d agirWV200 zgirV200 14 a Pe 2 102 1 2140 2 19 b Pz 27 22 22 22 4 2 15 a Pz z1z11 py mer 2 E E 3 FH c Pz z 144 2iz 2i v2 v2 v2 V2 d P 21 2Ce FE e 16 a Dica Utilize a fatoracgao x y xya a 2y 4 cy y valida para todos zyEeEC neENn 4 b Dica Utilize o item a 22 Dica Escreva z a ib eleve ambos os lados da igualdade ao quadrado e desenvolva ate obter a equacao de uma reta no plano