Ativ Variáveis

γ fzz2 dz γ dzz2 z2 2πi f2 2πi 14 πi2 1 seja y o círculo de centro 0 e raio 3 mostre que y dzz31 2π13 calcule y z dz onde y é o triângulo de vértices 01i1i e orientado no sentido antihorário 3 calcule usando resíduos a integral γ 1z3 z2 4 dz onde γ é o círculo centrado em 0 e raio 5 4 utilizando a fórmula integral de Cauchy calcule y dzz z29 onde xt 2 eit 0 t 2π 1 seja y o círculo de centro 0 e raio 3 Mostre que abs y dzz31 2π13 fz dz Cγ max fz onde Cγ é o comprimento de γ Primeiro precisamos encontrar as singularidades de fz 1z31 ou seja os pontos em que z310 Repare que z3 1 0 z3 1 Podemos escrever 1 1cos2πk i sen2πk fórmula de Euler k Z Assim z3 1 e2πki z e2πki13 k012 p k0 z0 e20π i3 e0 1 p k1 z1 e21π i3 e2πi3 p k2 z2 e22π i3 e4πi3 Como c 1 para todos os raízes esses pontos estão no círculo de raio 1 e como y é um círculo de raio 3 que contêm z0 z1 z2 a função fz tem três polos de ordem 1 no interior de y O comprimento de γ é Cγ 2π r onde r3 Cγ 6π já o máximo de fz z γ é z γ z3 então z31 z31 33 1 26 Assim max fz 326 Qui γ dz z²z4 2πi Σ Resf zn 2πi Resf 4 Resf 0 2πi 164 164 0 γ 2 eit t 0 2π ou seja γ é o círculo de centro em 2 e raio 1 γ dz z²z2 usando a fórmula integral de Cauchy Primeiro precisamos encontrar as singularidades de fz 1 z²z2 ou seja os pontos em que z²z2 0 z² 0 z0 um polo de ordem 2 em z0 z2 0 z 2 um polo de ordem 1 em z2 z0 não está em γ já que γ apenas tem centro em 2 e raio 1 z2 é o centro de γ então pertence a γ Sabemos que a integral de Cauchy para uma singularidade simples i é dada por γ fzz ζ dz 2πi fζ singularidade simples f é uma função holomorfa f2 14 Como o polo simples é z2 podemos reescrever fz 1 z² z2 assim 2πi γ dz z³z4 2πi Σ Resf zn zn as singularidades de f Encontrar as singularidades z³z4 0 z³0 um polo de ordem 3 em z0 e z4 um polo de ordem 1 em z4 Como γ tem raio 5 as singularidades estão dentro deste círculo Calcular os resíduos Para z 4 Resf4 lim z4 fz lim z4z4 z4z³z4 lim 1 z³ 14³ 164 Para z 0 polo de ordem 3 Resf 0 1 31 lim z0 d²dz² z³ fz Polo de 3ª ordem z³ fz z³ z³z4 1z4 ddz z³ fz 1z4² d²dz² z³ fz 2z4³ Assim Resf 0 12 lim z0 2z4³ 12 24³ 164 Dois modos γ dz z³1 6π 126 3π13 2π13 γ é o triângulo de vértices 0 i i1 no sentido antihorário γ z dz Vamos parametrizar os segmentos sentido antihorário Parametrização dos lados do triângulo retos 0 i zti t01 dz i dt i i1 z it t 01 dz dt i1 0 z1i1t t 01 dz1idt Dessa forma γ z dz 0i z dz ii1 z dz i10 z dz 2 01 xi dt 01 it dt 01 1i1t 1i dt 2 01 t²2 dt 2i 1 21i12 2i 1 1 i 1