Eletrões em Cristais: Bandas de Energia e Materiais

CAP4 Eletrões em Cristais 41 Bandas de energia em cristais origem Quando os átomos de determinados materiais estão afastados um do outro caí da um robustiço seus níveis energéticos representados por linhas únicas Ao se aproximarem os estados energéticos se sobrepõem formando do fixas com os N estados energéticos separadas por regiões de energias não permitidas para os elétrons do material as quais são devidas a não continuidade da função energética EEk para certos valores de k Por exemplo se usamos um potencial periódico cristalino dado pelo gráfico abaixo V 0 a x Potencial unidimensional Este modelo é conhecido como potencial periódico com elétron quase livre Nesse caso a curva de dispersão Ekxk a qual a cada período de 2π terá uma descontinuidade A representação desta curva A no esquema de bandas reduzidas a primeira zona de Brillouin é dada por Ek Este modelo cuja solução é da onda plana é válido por exemplo para o sódio cristalino Entretanto para cristais mais complexos usase o conhecido teorema de Bloch o qual resulta da invariança dos cristais no que diz respeito a traslação para esses materiais a energia não é apenas função de k mas sim do vetor k o qual depende da simetria do cristal 42 Condutores isolantes e semiconductores a Os materiais isolantes são aqueles que possuem as chamadas banda de valência BV totalmente ocupada e a região proibida GAP localizada entre esta e a banda de condução a qual está totalmente vazia possui valores que a excitação térmica não consegue transitar elétrons entre essas duas bandas Ek b Materiais semicondutores são materiais que possuem a mesma configuração do material isolante PT0 Entretanto para temperaturas T0 os elétrons da banda de valência são excitados para banda de condução apenas alguns pois a energia de gap Eg é relativamente pequena da ordem de 1eV quando comparada com o isolante ou dielétrico Ex Silício Eg11eV semicondutor Dielante Eg55eV isolante Ek PT0 c Materiais condutores metais são aqueles que possuem a última banda BC parcialmente preenchidas possibilitando de forma a excitação dos elétrons sem que haja gap Obs no caso de um condutor podemos considerar a energia de gap nula para o caso da banda de condução se sobrepor à de valência Obs para os semicondutores a condução elétrica é feita tanto pelos elétrons na BC quanto pelos buracos na BV 43 Massa efetiva m e A massa do elétron no interior de um cristal quando o mesmo sofre ação de um campo elétrico Sendo a velocidade de grupo da onda de elétron dada por vg dωdk Como E ħω e ω Eħ então vg dEħ ou vg 1ħ dEdk dE ħkg dk 47 Como o trabalho de uma força é dado por W F dx dW F dx Onde F é a intensidade da força para um campo aplicado na direção a0 Considerando a equivalência dE dW temos usam do 47 dE ħkg dk e assim F dk ħkg dk Como dW F dx e dx vg dt temos F vg dt ħkg dk ou F ħkg vg dt Então de fato F ħkg 73 observamos que a segunda lei de Newton A aceleração é dada por a dvgdt Como vg ħ1 dEdk temos a 1ħ ddt ħ1 dEdk ħ1 d²Edk² dt Aceleração é dada por a 1ħ δdk Ek a ℏ² ²Ek² dkdt 49 Onde a massa efetiva é m ℏ²k²km Cada volume 2πk³ no espaço dos k será ocupado por dois elétrons por um conjunto de números quânticos m₁ m₂ m₃ N DEPEdE onde módulo é dado por k kF PE 19 onde a 4225 Å T 5K U V π² 2mh²32 EF525 45 MECANISMO DA CORRENTE ELÉTRICA EM METAIS Podemos escrever Jx Ne ΔxΔt Ne UxV Exemplo 43 P Prata Ag na temperatura ambiente temos n 586x1028 m3 e τ 38x1014 s a Determine R P L100m e A01 mm2 como R ρ LA onde ρ mne2τ Temos R mLne2τ fazendo m m R mLne2τA Temos R mLne2τA onde m 911x1031 kg e e 16x1019 C Obtemos R 16 Ω c Determine a velocidade de deriva Como J n e V temos IA n e V V In e A DU V 01 586x1028 x 16x1019 x 107 DU V 407x104 ms d A velocidade de Fermi Como EF 12 m VF2 onde EF 3π2 n23 h2 2m 12 m VF2 3π2 n23 h2 m uf 3π2 n13 h m P h 105x1034 Js temos VF 14x106 ms d Qual a intensidade corrente I para V16V Como VRI temos I 16 16 01 A