Materiais Semicondutores: Elétrons e Buracos

Capítulo 5 Materiais semicondutores 52 Elétrons e buracos em semicondutores intrínsecos 521 Massa efetiva de elétrons e buracos Como vimos anteriormente a massa efetiva do elétron é dada por Me ħ² Ek² ou seja a massa efetiva depende da função EEk para o elétron no semicondutor mais precisamente na banda de condução onde Ek tem concavidade para cima teremos ²Ek² 0 ponto de mínimo portanto a massa efetiva é positiva e dada por 53 onde Kme é o valor de k mínimo da banda condutora Quando o elétron se encontra na banda de valência temos ²Ek² 0 Ek côncava p baixo o que dá uma massa efetiva negativa p o elétron Para entender o que acontece com os buracos vamos aplicar um campo elétrico na direção 100 na banda de valência com apenas um buraco t0 buraco tt₁ kx tt₂ kx Nesse caso temos o buraco se deslocando no mesmo sentido que os elétrons na banda de condução Por esse motivo a massa efetiva do buraco deve ser Mb ħ²Ek² kx kmur 57 522 Criação e recombinação de pares elétronburaco A criação de pares elétronburaco ocorre principalmente por dois motivos a Excitação térmica Com o aumento de temperatura devido a energia kT os elétrons migram p banda de condução BC ficando buracos em menor número na banda de valência BV b Absorção óptica Pela absorção de fótons com energia hνEg os elétrons transitam da BV p a BC Obs a taxa de criação é igual ao número de pares criados por unidade de volume e por unidade de tempo g A recombinação de pares elétronburaco ocorre principalmente por dois motivos a Desexcitação térmica Ao diminuir a temperatura os elétrons da BC decaem p a BV dessa forma recombinando com os buracos b Emissão óptica Ao emitir fótons os elétrons decaem da BC p BV Obs a taxa de recombinação é igual ao número de pares recombinados por unidade de volume e por unidade de tempo r Como para o semicondutor intrínseco temos ni então no equilíbrio térmico temos n p ni 58 ni concentração de portadores num semicondutor intrínseco Obs1 Num regime estacionário o número de pares elétronburaco é constante ou seja λ qf 59 Este é o princípio do balanceamento detalhado Obs2 A criação e a recombinação de pares por meio de processo óptico ocorre com maior probabilidade para semicondutores de gap direto Exemplo 51 λ 5145Å A 1mm² P 100mW Laser l 100μm Eficiência de 10 a cada 10 fótons absorvidos é formado um par de elétronburaco g g N de pares V Δt Entãp g 102 5145107 10662103431010 8101 g 51451010 66231030 g 2591019 cm3s1 523 Concentração de portadores em equilíbrio térmico Para calculamos as concentrações de elétrons na BC e buracos na BV adotemos um semiconduor com a relação de dispersão é da seguinte forma Entãp Ev E frachbar2k22m Qi A energia de Fermi EF é tal que Ev EF Ec A concentração de elétrons na BC é dada por n intEcinfty DEfEdE 514 onde DE Densidade de estados disponíveis fE É a probabilidade dos elétrons ocuparem os níveis energéticos entre E e E dE fE frac11eEEFkBT Então n frac12pi2frac2mh2frac32intEcinfty EEcfrac12eEEFkBTdE Pois o nº de buracos na BV corresponde à falta dos elétrons na referida banda Dd Como fE 1 1 eEEfkT Rem 1fE 1 fE 1 1 1 eEEfkT eEfEkT 1 eEfEkT Como Ef E 1 eV kT Logo E Ef kT Então eEEfkT 1 ou seja eEEfkT 1 1 Portanto 1 fE eEEfkT Logo P 1 2π2 2mh232 Ev E12 eEvEfkT dE P Nv eEfEikT 520 Onde Nv 2 m kB T 2π h232 E é a concentração efetiva de buracos devido à excitação térmica de elétrons p BC eletros buracos fE E 12 Ec Ev 34 kB lnm mc 522 Obs P Ef Ei estar no ponto médio entre Ec e Ev devemos ter a T 0 Ef Ec Ev 2 ou b mV mc ln1 0 Ef Ec Ev 2 No geral m m mc P TDO pois as bandas de condução e valência são assimétricas E f sai do ponto médio Entretanto para o Si Ge e GaAs a diferença é muito pequena P o cálculo da concentração ni usamos o seguinte artifício ni P n pn ni2 logni 12 P ni NcNv12 eEg2kT ou Nc Nv 483x1021 T32 cm3K32 ni 483x1021 T32 m3K32 ou ni 483x1021 T32 cm3K32 P Eg 1 eV e T 300k kT 0026 eV temos ni 483x1015 300 e0025 ou ni 112x1010 cm3 531 Nível de energia de impureza num cristal a Tipo N Ed mee432π2e02h2 onde E ke k constante dielétrica do cristal logo Ed memoe4mok232π2h2 Pois EH moe232πe0h2 136 eV Portanto Ed memok2 16 eV 532 Tipo P a Formula do nível de aceitação Ea mbmok2 136 eV onde mb massa efetiva do buraco Mo absolita de elétrons k constante elétrica do cristal Ex p o germânio mb 023 e mo 16 Ea 0012 eV 532 CONCENTRAÇÃO DE PORTADORES EM SEMICONDUTORES EXTRÍNSECOS No equilíbrio térmico as concentrações nos semicondutores extrínsecos são dadas por n0 Nc e ECEFkBT 527 e P0 Nv e EFEVkBT 528 Fazendo n0P0 NcNv e ECkBT e EFEVkBT ou e ECEVkBT n0P0 NcNv e ECEVkBT Como ECEV Eg temos n0P0 NcNv e EgkBT 529 Que comparando com ni NcNv e EgkBT temos n0P0 ni² 530 Isso significa que o produto n0P0 é sempre constante independente do tipo e da concentração de impurezas Lei de Ação das Massas Usando as equações ni Ne e ECEikBT e Pi miNv e EiEVkBT e Fazendo n2n1 N0N1 e Ne e ECEFkBT ou n0 eEFkBT eEFkBT n0ni e EFEVkBT FAZENDO P0 Nv e EFkBT ou eEVkBT P0 ni eEFEF 531 E TAMBÉM FAZENDO P0 ni eEVkBT 532 Portanto a Para semicondutores intrínsecos temos EiEF Então da 531 temos n0 ni e0kBT n0 ni ou da 532 temos P0ni ou que dá n0 P0 ni b Para semicondutores dopados tipo n temos EFEVkBT 1 n0 ni Como o material semicondutor é eletricamente neutro então n0 Na P0 Nd 533 onde Nd concentração de impurezas doadoras ionizadas Na concentração de impurezas aceitadoras ionizadas Para o semicondutor tipo n temos Nd Nd quase todas as impurezas ionizadas T 0 bem como Na 0 portanto levando em 533 temos n0 0 P0 Nd ou n0 P0 Nd 534 Usando 530 temos P0 n²n0 ao substituirmos em 532 dá n0 n₀²n₁²n0 n0 n₁²n₁²n0 Portanto Na Nc eEcEFkBT A qual pode ficar NcNd eEcEFkBT ou EcEF lnNcNd ou ainda EF Ec kBT lnNcNd 539 Da mesma forma comparando No Nd com No ni eEFEikBT Obtemos Nd ni eEFEikBT ou ainda EF Ei kBT lnNdni 540 Obs As equações acima só valem p Nd ni b Para um semicondutor tipo P Comparando as equações Po Nd e Po Nv eEFEikBT Temos Na Nv eEFEikBT o que nos leva a EF Ev kBT lnNvNd 543 Da mesma forma comparando as equações Po Na Po ni eEiEFkBT Temos Na ni eEiEFkBT Onde explicitando EF obtemos EF Ei kBT lnNaNi 544 Range de trabalho p um semicondutor dopado Da equação 534 temos No Po Nd Po Nd A qual dividida por Nd fica NoNd 1 PoNd Como Po ni²Nd PoNd ni²Nd² Portanto NoNd 1 ni²Nd² eEFEikBT Da equação Nd ni eEFEikBT Temos ni²Nd² e2EFEikBT Portanto No 1 e2EFEikBT Ou seja ni é função da temperatura Num semicondutor dopado a igualdade No Nd é válida apenas para um determinado intervalo de temperatura onde temos Nd Nd Para o caso onde a temperatura é muito baixa 100K os átomos da impureza não estão totalmente ionizados Para o silício dopado com Nd 10¹⁶ cm³ temos NoNd 54 Dinâmica de elétrons e buracos em semicondutores 541 Corrente de condução Em metais temos elétrons Em semicondutores temos elétrons buracos A densidade de corrente de elétrons jn é dada por jn qnE 545 E intensidade de campo elétrico jn q² no Tem 546 q a condutividade devida aos elétrons No concentração de equilíbrio T tempo de colisão JP sigmaP varepsilon 550 rho frac1sigma frac1439 imes 106 Ey fracJPe P0 Bz Considera uma barra semicondutora tipo P de área de secção transversal a cujo corte ao longo da direção x é JP Δx Δx A intensidade de corrente para direita é dada por Idir 12 Q Δt onde Q Ne ve A com ve Δx A e A onde e é o livre caminho médio ao longo de x e a densidade dada por P PxΔx2 Portanto Idir 12 e Aτ PxΔx2 543 Corrente de Difusão Quando existe um gradiente de concentração de portadores em pontos diferentes do semicondutor vai ocorrer o movimento desses portadores pelo semicondutor o qual é conhecido como corrente de difusão Jdifp e Dp fracdPxdx 557 Obs Lusual de Dp é cm²s De forma análoga podemos obter a corrente de difusão num semicondutor tipo n e é dada por Jdifn e Dn fracdωdx 558 Dn Coeficiente de difusão de elétrons No caso mais geral em que P Pxyz e n nxyz temos Jdifpx e Dp fracdPdx Jdifpy e Dp fracdPdy Jdifpz e Dp fracdPdz Portanto vecJdifp e Dp leftfracdPdx hati fracdPdy hatj fracdPdz hatkright P Jdifp e Dp abla P 559 E de forma análoga temos Jdifn e Dn abla n Pa difusão de elétrons Para obtermos a evolução da concentração no espaço e no tempo façamos Δx A intensidade líquida dentro do volume ΔV é dada por fracIΔV fracIAΔx fracJΔx fracJxJxΔxΔx Ou fracdQdtΔV fracdJxΔx Ou ainda fracdQΔVdt fracΔJxΔx Como ΔP dQΔV Como a densidade de carga é dada por ρ e pn 563 Quando o excesso é só de elétrons temos n en1 então J ne t en t Como Jndef e Dnn temos Dnmn en t 565 Esta é a equação de difusão de elétrons e de forma análoga Dp2p pt 0 é a equação de difusão de buracos Se além do gradiente de concentração corrente de difusão houver um campo elétrico aplicado corrente de condução aplicado ao semicondutor teremos Jn Jncond JnDF Com Jncond eμn n e E e Jndef e Dnn Temos Jn eμn n e E e Dnn 566 Para buracos temos Jp eμp p E e Dpp 567 Onde a corrente total é dada por J Jn Jp No equilíbrio térmico e sem campo externo temos Jn Jp 0 O que resulta em E Eint campo interno η n0 concentração no P Po equilíbrio Os quais substituídos em 566 e 567 temos D eμn n0 Eint e Dnn e 0 eλp Po Eint e DpPo Como E Φ onde Φ é o potencial elétrico portanto μn n0Φ 1 n0 n e Dn Dp Φ 1 Po Po 570 Considerando Po ni e Ei EFkBT podemos escrever Po Po e Ei EFkBT pois e 1 Fazendo a expansão em série de Taylor p Ei EF kBT 0 temos Po Po 1 EL EEkBT E também fazendo Po Po 1 Ei EFkBT Temos Po Po kBT E Como Ei eΦ e a energia potencial elétrica do elétron Portanto Po Po e kBT Φ A qual substituída em 570 dá μp Dp e kBT Dp kBT μp e 572 P elétrons temos n0 ni e EF ELkBT o que no final dá Dn kBT μn e Então Dp μp Dn μn relação de Einstein Δμ 0026eV Dp2p0 δp p0 δpt 0 Como 2p0 0 e p0t 0 temos Dp2δp δpt 0 Logo a evolução temporal do excesso de equilíbrio p buracos é dada por δptdiff Dp2δp Por outro lado a evolução temporal da recombinação de buracos em primeira aproximação é δptrec δpτp Onde τp tempo de recombinação de buracos Portanto para o caso de não haver outro mecanismo atuando para evolução de δp temos t δpδp dt τp δp0 mSp lnS0 ttp lnSPS0 ttp SPt S0 ettp SPt SPtdiff SPtrec Px P0 P exLp D 10² 200 cm²s