Equações de Maxwell e a Teoria Eletromagnética

INSTITUTO FERADERAL DO PARÁ CAMPUS BELÉM Coordenação de Licenciatura em Física Disciplina Tec Mat Elétricos Prof Daniel Palheta Alunoa 1 Equações de Maxwell e a Teoria Eletromagnética As equações de Maxwell de certa forma equivalem ao resumo do Eletromagnetismo pois estabelecem as relações entre os campos elétrico e magnético bem como a fonte geradora deles A partir delas Maxwell estabeleceu a Teoria Eletromagnética Clássica 11 Equações de Maxwell a Lei de Gauss usada para determinação do vetorcampo elétrico E a partir do fluxo de campo elétrico Ela afirma que o fluxo de campo elétrico através de uma superfície fechada superfície gaussiana é diretamente proporcional à quantidade de carga elétrica líquida contida no interior da referida superfície Matematicamente a Lei de Gauss é dada por A q E dA 11 Como exemplo podemos citar o vetor campo elétrico de uma carga elétrica puntiforme conforme podemos ver na Figura 11 Nesta figura a superfície fechada é uma esfera de raio r para a qual todos os pontos dessa superfície o módudo vetor campo elétrico é o mesmo Para esse caso o fluxo de campo elétrico é dado por 2 4 esfera A E dA EA r E o qual levado à Lei de Gauss dá 2 4 q r E de onde obtemos 2 2 1 4 q q E K r r 12 FIGURA 11 CAMPO ELÉTRICO DE UMA CARGA PUNTIFORME Fonte httpswwwslideservecomkaitlincalleryfluxoeltrico b Ausência de Monopólos Magnéticos A Figura 12 mostra um dipolo magnético ímã sendo circundado por uma superfície fechada Como o número de linhas de indução magnética que entram na referida superfície é igual ao número linhas que saem da referida superfície concluímos que o fluxo de campo magnético através da referida superfície é nulo Matematicamente essa propriedade é representada por 0 AB dA 13 A equação 13 demonstra que não podemos encontrar monopolos magnéticos na natureza ou seja não é possivel separar o pólo norte do polo sul de um ímã Esta propriedade é conhecida como inseparabilidade deos polos de um ímã FIGURA 12 CAMPO MAGNÉTICO DE UM IMÃ Fonte httpwwwcursosvirtuaiswikibrEaDEletromagnetism c Lei de Faraday Quando o fluxo de campo magnético B através de uma espira circuito fechado varia com o passar do tempo é observado o surgimento de uma corrente elétrica nessa espira Figura 13 Como a existência de corrente está vinculada a uma diferença de potencial nesse caso chamada de força eletromotriz induzida eind podemos representar a Lei de Faraday matematicamente por B ind d e dt 14 FIGURA 13 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA Fonte httpsconhecimentocientificor7comleidefaraday Entretanto como a diferença potencial tem sua origem num campo elétrico no caso induzido pela variação do fluxo de campo magnético temos que a variação do campo magnético no tempo dá origem a um campo elétrico que poderá também variar com o tempo Nessas condições a Lei de Faraday passa a ser escrita como B C d E d dt 15 d Lei de AmpèreMaxwell A Lei de Ampère como sabemos explica que uma corrente elétrica gera um campo magnético efeito magnético da corrente elétrica No entanto a ideia de corrente elétrica na época estava apenas relacionada às cargas em movimento através de um meio condutor corrente de condução cI o que não explicava o carregamento de um capacitor visto que a corrente elétrica como movimento de cargas não passaria pelo dielétrico isolante do capacitor Figura 14 Maxwell por meio da Lei de Continuidade e utilizando a primeira equação cria um termo a mais na Lei de Ampère chamada de corrente de deslocamento dI que está diretamente relacionado à variação do fluxo de campo elétrico que ocorre na placa do capacitor Com esta alteração a lei passa a se chamar de Lei de AmpèreMaxwell cuja representação matemática é dada por c d C B d I I 16 FIGURA 14 CARREGAMENTO DE UM CAPACITOR E A CORRENTE DE DESLOCAMENTO Fonte httpfmaifuspbrmlimateaching43202922012Cap10pdf Como exemplo podemos citar o vetor indução magnética a uma distância r de um condutor reto de tamanho infinito percorrido por uma correte de intensidade I conforme podemos ver na Figura 15 Nesta figura o caminho fechado é uma circunferência de raio r em que todos os pontos da circunferência o módudo vetor indução magnética é o mesmo Para esse caso a Lei de AmpèreMaxwell fica C B d BC I pois não corrente de deslocmento Como 2 C r temos 2 I B r 17 FIGURA 15 CAMPO MAGNÉTICO DE UM FIO RETO DE CORRENTE Fonte Adaptado de httpsptslidesharenetjoaofernandes9803sa11eo1415 Voltando à Lei de AmpèreMaxwell como a corrente de deslocamento depende da variação do fluxo de campo elétrico temos que a variação do campo elétrico no tempo dá origem a um campo magnético que poderá também variar com o tempo O fato de o campo magnético variar no tempo pela equação 15 origina um campo elétrico que também varia no tempo que por sua vez origina um campo magnético e assim por diante Isso explica a propagação de uma radiação ou onda eletromagnética assunto da próxima sessão 12 Radiações Eletromagnéticas Na propagação da onda eletromagnética no vácuo temos 0 e 0 cI q ou seja não teremos nem corrente de condução e nem carga elétrica Logo as equações acima ficam I 0 A E dA II 0 A B dA III B C d E d dt e IV d C B d I 18 De posse das equações 18 Maxwell demonstrou a equação da onda eletromagnética para o vetorcampo elétrico se propagando ao longo do eixo x obtendo 2 2 2 2 E xt E xt x t 19 A equação acima também pode ser obtida para o vetor campo magnético Ao comparar a equação 19 com a equação de uma onda progressiva senoidal dada por 2 2 2 2 2 1 y xt y xt x v t onde v é a velocidade de propagação ou velocidade de fase da onda obtemos 1 v 110 Como exemplo para o vácuo temos 7 4 10 SI e 8 85 10 12 SI de onde obtemos a velocidade dada por 8 3 10 SI v c A solução da equação 19 a função dada por 0 E xt E cos kx t 111 onde 2 k é o número de onda e 2 f é frequência angular da onda Substituindo a solução 111 na equação 19 obtémse v f 112 Agora consderando o vetor campo elétrico vibrando no plano xy ou seja 0 ˆ 0 E jE recorrendo às Equações de Maxwell obteremos o campo magnético vibrando no plano xz ou seja ˆ 0 cos B kB kx t 113 Dessa forma observase que os campos magnético e elétrico são perpendiculares entre si e perpendiculares à propagação representada pelo vetor de onda k o qual nesse caso tem o mesmo sentido do eixo x positivo conforme podemos observar na Figura 16 Quando a radiação se propaga num meio material sua velocidade sofre influência das características do meio Em se tratando de um meio transparente a velocidade está relacionada com o índice de refração n do material em se propaga cuja relação é dada por c v n 114 FIGURA 16 PROPAGAÇÃO DA RADIAÇÃO ELETROMAGNÉTICA Fonte httpswwwomundodaquimicacombracademicaorg1mec ondulatoria Comparando a equação 114 com a equação 110 para 0 r e 0 temos o índice de refração dado por r n 115 Onde r e são respectivamente a permeabilidade magnética relativa e constante dielétrica do meio material Concluímos que o índice de refração do meio o qual é uma característica óptica do material que o constitui depende das características elétricas e magnéticas deste meio Para o caso particular de um meio não magnético 1 r temos a seguinte relação n2 13 Transporte de Energia Como sabemos uma onda qualquer é caracterizada pelo transporte de energia sem o transporte de matéria No caso específico de uma onda eletromagnética no vácuo as energias são armazenadas tanto no campo elétrico quanto no campo magnético por meio das densidades de energia as quais são dadas por 2 0 1 2 E u r t E 2 0 1 2 B B u r t Como E c B onde c 1 2 0 0 obtemos a densidade de energia de campo magnético em função do campo elétrico dada por 2 0 1 2 B u r t E Dessa forma obtemos a densidade de energia total é dada por u r t E E 2 2 0 0 1 1 2 2 ou 2 0 u r t E 116 Quadrando a função de onda obtemos 2 2 2 0 cos E x t E kx t a qual levada à equação 116 nos dá u r t E kx t 2 2 0 0 cos cujo valor médio é dado por 2 0 0 1 2 u E 117 A intensidade é definida pela energia por unidade área por unidade de tempo ou seja U I A t a qual num deslocamento fica U I A t onde A V é o volume de propagação e c t Portanto a intensidade da onda eletromagnética no vácuo fica Uc I V ou I uc ou ainda 2 0 0 1 2 I c E 118 A equação 118 é portanto a intensidade da radiação eletromagnética grandeza detectável a qual é proporcional à amplitude valor de pico do campo elétrico variante no tempo Fazendo algumas deduções levando em conta os vetores campo elétrico E r t e campo magnético B r t chegaremos a seguinte relação E B c E I 2 0 0 0 2 ou seja a intensidade da radiação eletromagnética é o módulo do vetor que possui a mesma direção e sentido da propagação da onda conforme podemos ver na Figura 17 FIGURA 17 TRANSPORTE DE ENERGIA ELETROMAGNÉTICA Fonte httpsmoodleufscbrmodbookviewphpid504305chapte rid2732 Este vetor é conhecido como Vetor de Poynting S o qual é o responsável pelo transporte de energia de uma onda eletromagnética sendo dado por E B S 0 119 Na Figura 18 temos o espectro eletromagnético onde as radiações eletromagnéticas estão organizadas de acordo com a frequência e o comprimento de onda FIGURA 18 ESPECTROELETROMAGNÉTICO Fonte httpswwwantonioguilhermewebbrcomblogmateriaisparticulasmateriaisespectroeletromagnetico