Interferência Luminosa: Conceitos e Experimentos de Fenda Dupla

INSTITUTO FERADERAL DO PARÁ CAMPUS BELÉM Coordenação de Licenciatura em Física Disciplina TME Prof Daniel Palheta Alunoa 2 ÓPTICA FÍSICA 21 INTERFERÊNCIA LUMINOSA 211 Introdução Como foi visto nos estudos das ondas quando duas ou mais ondas de mesmo comprimento de onda e mesma diferença de fase que encontram num certo ponto do espaço elas se superpõe originando o fenômeno da interferência a qual pode ser de três tipos construtiva destrutiva ou mista conforme é mostrado no Quadro 21 QUADRO 21 INTEFERÊNCIAS CONSTRUTIVA DESTRUTIVA E MISTA Fonte httpswwwaprhptrgciglossariointerferondashtml 212 Interferência de Fenda Dupla Por volta de 1801 Thomas Young 17731829 realizou uma experiência provando que a luz era uma onda Esta experiência ficou conhecida com Interferência Luminosa de Fenda Dupla a qual é mostrada na Figura 21 FIGURA 21 INTERFERÊNCIA DE FENDA DUPLA Fontehttpssitesgooglecomsiteafisicamodernadoensinomedi otopicosdefisicamodernaecontemporaneaadualidade ondaparticuladaluzadifracaoeinterferenciadaluz Na Figura 22 podese observar as franjas de interferência formadas no anteparo sendo construtiva fendas claras e destrutiva franjas escuras Ainda nesta figura observase a intensidade correspondente a cada uma das franjas onde é visto que a franja mais clara máximo central ou seja maior intensidade Para as demais franjas claras a intensidade vai diminuindo conforme elas vão se afastando do centro FIGURA 22 FRANJAS DE INTERFERÊNCIA DE FENDA DUPLA Fonte httpsbrasilescolauolcombrfisicaexperimentodas duasfendashtm Para determinar as condições de ocorrência de interfência construtiva ou interferência destrutiva podese usar o esquema mostrado na Figura 23 na qual são mostradas as distâncias envolvidas na inteferência de fenda dupla onde d é a distância entre as fontes S1 e S 2 S b r r 1 2 1 é a diferença de caminho entre as distâncias percorridas pela luz de cada fonte ao ponto observado P e D é a distância entre as fontes fendas e o anteparo FIGURA 23 DISTÂNCIAS NA INTERFERÊNCIA DE FENDA DUPLA Fontehttpssitesgooglecomsiteafisicamodernadoensinomedi otopicosdefisicamodernaecontemporaneaadualidade ondaparticuladaluzadifracaoeinterferenciadaluz Do triângulo SbS 1 2 podese escrever S b d 1 sin de onde se obtém d r r 2 1 sin Como a condição para ocorrência de interferência construtiva máxima é o encontro de dois pontos que estejam em concordância de fase ou seja que a diferença de caminho da luz referente a cada uma das fontes seja um número inteiro de comprimento de onda da luz ou seja r r m 2 1 onde m 1 2 3 4 Então a condição de interferência construtiva máxima é dada por d m sin 21 Já para que ocorra interferência destrutiva máxima é necessário o encontro de dois pontos que estejam em oposição de fase ou seja que a diferença de caminho da luz referente a cada uma das fontes seja um número ímpar de meio comprimento de onda da luz r r i 2 1 2 onde i 1 3 5 Então a condição de interferência destrutiva máxima é dada por d sin i 2 22 De posse das condições dadas podese localizar as franjas claras ou escuras em relação a y 0 a posição do máximo central que ocorre para r 1 r 2 Da Figura 13 podese escrever y D tan Para valores relativamente pequenos de obtém se y D sin tan Portanto para obter a posição por exemplo de uma franja clara m devese substituir a relação acima na equação 21 o que dá d ym m D ou m D y m d 23 A partir da equação 23 podese obter uma relação que é usada para determinação de um comprimento de onda desconhecido usando a distância entre dois máximos franjas claras consecutivos fazendo m m y y y 1 ou D D y m m d d 1 ou ainda D y d 24 213 Intensidade na Interferência de Fenda Dupla Como a intensidade luminosa depende do quadrado da amplitude da onda resultante considerase que os módulos dos vetores campo elétrico que alcançam o ponto P da Figura 23 sejam respectivamente dados por E t E t 1 0 sin e E t E t 2 0 sin onde obtémse para a superposição dessas ondas E t E t E t 1 2 obviamente considerando os vetores de mesma direção e mesmo sentido A diferença de fase entre os dois sinais corresponde exatamente à diferença de caminho entre os raios das fontes a partir da equação r r 1 2 2 25 Da trigonometria temse a soma de senos dada por A B A B A B sin sin 2sin cos 2 2 Logo t t t t E t 2sin cos 2 2 ou E t t 2sin 2 cos 2 Fazendo 2 obtémse E t t 2cos sin onde E 2cos é a amplitude da onda resultante no ponto P que depende de pois usando 21 e 25 temse d sin 26 Portanto o módulo do campo elétrico resultante é dado por E t E t sin 27 Agora usando a equação da intensidade vista no Capítulo 1 podese obter a intensidade da onda resultante a qual é escrita como I cE 2 1 2 ou I c E 2 2 0 1 4 cos 2 Sendo a intensidade correspondente a cada sinal individual no ponto P dada por I cE 2 0 0 1 2 podese escrever I I 2 0 4cos ou ainda I I 2 4 0 cos 28 Observese que para 0 2 3 teremos I I 4 0 o que corresponde à interferência construtiva máxima Por outro lado para 3 5 2 2 2 temse I 0 o que corresponde à interferência destrutiva máxima A Figura 24 mostra o que foi observado anteriormente FIGURA 24 INTENSIDADE NA INTERFERÊNCIA DE FENDA DUPLA Fonte httpsslideplayercombrslide13580849 Duas ou mais fontes são consideradas coerentes quando a diferença de entre os campos que chegam num ponto da tela não muda com o tempo Somente esses de fontes originam padrões de interferências 214 Somando Sinais usando Fasores Podese também determinar o módulo do campo elétrico resultante no ponto P da Figura 23 usando o Método de Fasores Os módulos dos campos elétricos E t 1 e E t 2 estão representados por fasores conforme a Figura 25 FIGURA 25 REPRESENTAÇÃO FASORIAL DOS MÓDULOS DOS CAMPOS NO PONTO P Fonte httpsxdocscombrdocfisicacaula10qnjjz5x9kpn6 De posse dessa ideia podese somar os sinais e obter o módulo do resultante Figura 26 Aplicando a Lei dos Cossenos para o triângulo formado pela soma das amplitudes dos sinais Figura 26 obtémse E E E E 2 2 2 2 0 0 2 0 cos180 e como cos180 cos fica E E E 2 2 2 0 0 2 2 cos ou E E 2 2 2 0 1 cos Como 2 cos 2cos 1 temse E E 2 2 2 4 0 cos ou E E 2 0 cos a qual é a amplitude do sinal resultante no ponto P FIGURA 26 SOMA FASORIAL Fonte httpsxdocscombrdocfisicacaula10qnjjz5x9kpn6 215 Interferência em Películas Finas É comum notar figuras de interferência luminosa por exemplo numa bola de sabão Isto acontece pelo fato da espessura da camada de água e sabão ser extremamente fina Para estudar esse tipo de interferência será usado o esquema mostrado na Figura 27 e levar em conta que deve existir uma diferença de caminho diferença de fase entre os raios de luz que refletem respectivamente nas faces anterior e posterior FIGURA 27 INTERFERÊNCIA NUMA PELÍCULA FINA Fonte Adaptada de httpsslideplayercombrslide359069 Da refração na face anterior da película temse ar ar p n v nv onde ar ar v f é a velocidade da luz no ar e p n v f é a velocidade da luz na película para nar 1 e n o índice de refração da película Destas relações obtémse ar n n 29 É este comprimento de onda que deve ser levado em conta para analisar a diferença de caminho entre r1 e r2 Lembrando que a condição de interferência construtiva máxima é 02 4 6 o que corresponde à diferença de caminho dada por n n n n r r m 2 1 0 2 3 E que a condição de interferência construtiva máxima é 3 5 7 o que corresponde à diferença de caminho dada por n n n n n r r i 2 1 3 5 7 2 2 2 2 2 Agora é preciso analisar as reflexões com inversão de fase que ocorrem nas faces anterior e posterior da película Para isso devese lembrar o caso simples de um pulso numa corda que muda meio densidade e reflete na junção das duas cordas fina e grossa conforme a Figura 28 FIGURA 28 REFRAÇÃO DE UM NUMA CORDA Desta figura concluise que ocorre reflexão sem inversão de fase quando o pulso incidente está no maio mais denso e reflexão com inversão de fase quando o pulso incidente está no meio menos denso Como na maioria das vezes o meio mais denso é também o mais refringente e viceversa temse para 0 na Figura 27 n r r d 2 1 2 2 o que equivale ao caminho de ida e volta de r2 mais a inversão de fase na face anterior De posse disso obtémse a Interferência construtiva quando n n d m 2 2 210 para m 1234 e b Interferência destrutiva quando n n d i 2 2 2 211 para i 135 22 DIFRAÇÃO DA LUZ 221 Introdução e Difração de Fenda Única Difração é o fenômeno por meio do qual uma onda é capaz de contornar obstáculos ou fendas cujas dimensões são da ordem do comprimento de onda da onda No caso das ondas luminosas cujo comprimento de onda varia de 400nm violeta a 700nm vermelha teremos difração quando as dimensões dos obstáculos forem desta mesma ordem Na Figura 29 mostra a representação da difração da luz por uma única fenda FIGURA 29 DIFRAÇÃO DE FENDA ÚNICA Fonte httpswwwpreparaenemcomfisicadifracaohtm Notase que o padrão de difração é também representado por máximos e mínimos entretanto os máximos vão diminuindo rapidamente de intensidade conforme o afastamento do máximo central O máximo central ocorre devido a interferência construtiva entre os diversos raios que ultrapassam a fenda pois a diferença de caminho entre eles é praticamente nula Para determinar a largura do máximo central basta determinar os mínimos acima e abaixo os quais são chamados de primeiros mínimos de difração Depois disso vem os segundos mínimos de difração os quais determinam as larguras dos primeiros máximos laterais e assim sucessivamente Portanto determinando as posições dos mínimos também serão determinadas as posições dos máximos laterais 222 Posição dos mínimos na difração de fenda única A Figura 210 mostra dois raios de luz que saem do topo da fenda e do meio dela Considerando a difração de Fraunhofer a D onde a é abertura da fenda e D é a distância da fenda à tela para que os raios sejam praticamente paralelos Para que os raios originem uma interferência destrutiva a diferença de caminho entre eles deve ser no mínimo a metade do comprimento de onda ou seja bb 2 FIGURA 210 DIFRAÇÃO REFERENTE AO PRIMEIRO MÍNIMO Como bb a sin 2 temos a 2sin 2 ou simplesmente a sin 212 A equação 212 é a condição para ocorrência do primeiro mínimo Para determinarmos o segundo mínimo iremos usar raios posicionados conforme indica a Figura 211 FIGURA 211 DIFRAÇÃO REFERENTE AO SEGUNDO MÍNIMO Para que os raios r1 e r2 originem uma interferência destrutiva a diferença de caminho entre eles deve ser no mínimo a metade do comprimento de onda ou seja bb 2 Como bb a sin 4 temos a 4sin 2 ou simplesmente a sin 2 213 A qual é a condição para ocorrência do segundo mínimo Assim para seis raios teremos a sin 3 condição para o terceiro mínimo Generalizando para o mínimo de ordem m termos a m sin 214 Onde m 3 2 1 1 2 3 223 Intensidade de difração de fenda única Para determinarmos a intensidade para certo ângulo temos que fazer a soma das ondas de campo que chegam no ponto P da tela Para isso usamos o método fasorial para N fasores bem como para o máximo central 0 o qual possui intensidade máxima e servirá de referência para as intensidades nos demais pontos da tela A Figura 212 mostra essa relação FIGURA 212 MÉTODO FASORIA PARA SOBREPO N FASORES Fonte httpsxdocscombrdocfisicacaula10qnjjz5x9kpn6 Do triângulo destacado temse E R 2 sin onde da figura podese escrever também 2 Então E R 2 sin 2 Por outro lado ainda da Figura 212 temse Em R ou Em R qual levada na equação anterior dá Em E 2 sin 2 ou Em E sin 2 2 ou ainda Em E sin 215 De acordo com a equação 25 temse a sin 2 e como 2 podese escrever a sin 216 As equações 215 e 216 devem ser usadas em conjunto para obter a amplitude da onda resultante no ponto considerado Para determinar a intensidade dos máximos devese levar em conta o fato que a intensidade é diretamente proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico ou seja I c E 2 0 1 2 ou simplesmente I kE 2 onde k é uma constante Então podese escrever respectivamente as relações para o máximo central e um máximo lateral m m I kE 2 e I kE 2 onde de acordo com a equação 215 temse Em E 2 2 2 2 sin o que dá portanto m I I 2 sin 217 A equação 217 dá a intensidade dos máximos laterais em função da intensidade do máximo central Obs 1 Os mínimos ocorrem quando m sin2 0 sin 0 2 3 Como a sin temos a m sin ou m a sin a qual havia sido encontrado antes Obs 2 O máximo central corresponde a 0 o que dá sin 0 e 0 Entretanto sabemos que 0 lim sin 1 o que leva m I I 0 ou seja o esperado fisicamente Exemplo Para a 5 teremos 5 sin no qual podemos determinar a intensidade relativa m I I 2 sin em função de Ponto º rad º sin 2 sin A 5 13690 784402 09797 05121 B 10 27276 1562834 04022 00217 C 11537 31415 1800006 0 00000 D 15 40655 2329371 0798 00385 E 20 53724 3078181 079 00216 Este resultado é mostrado na figura abaixo 224 Difração em uma Abertura Circular Difração da luz também pode ocorrer através de uma abertura circular Figura 213 Este tipo de difração ocorre nas lentes dos telescópios ou microscópios e está diretamente relacionada com resolução da imagem observada Para essa difração dentro da condição de Fraunhofer o primeiro mínimo ocorre quando o ângulo de separação entre dois objetos é dado por d sin 122 FIGURA 213 DIFRAÇÃO NUMA ABERTURA CIRCULAR Fonte httpsenwikipediaorgwikiDiffraction Como é relativamente pequeno podese escrever 122 d 218 Onde d é o diâmetro da abertura e é o comprimento de onda da luz Rayleigh criou um critério que a separação angular entre dois ou mais objetos deve ser no mínimo igual a R 122 d 219 Isso significa que o máximo de um objeto deve estar no primeiro mínimo do outro conforme indica a Figura 214 FIGURA 214 CONDIÇÃO DE RESOLUÇÃO NA DIFRAÇÃO NUMA ABERTURA CIRCULAR Ou seja para aumentar a resolução de objetos distantes devese ter o menor diâmetro possível da abertura 225 Interferência e Difração de Fenda Dupla Combinadas Como foi visto na interferência por fenda dupla adotouse o critério que a abertura da fenda teria que ser bem menor que o comprimento de onda para se obter um padrão de interferência uniforme Quando essa condição Figura 215 não for satisfeita os padrões serão combinados de difração com interferência FIGURA 215 INTERFERÊNCIA DE FENDA DUPLA COMBINADA COM DIFRAÇÃO As intensidades envolvidas nesse novo processo são a De interferência de fenda dupla para m I I 2 int int cos onde d sin e d é a distância entre as fendas b Da difração por fenda única para m I I 2 dif dif sin onde a sin e a é a abertura da fonte Da combinação dessas duas intensidades obtémse m I I 2 2 sin cos 220 De onde se obtém que para a temse apenas o padrão de interferência e para d 0 temse apenas o padrão de difração A Figura 216a mostra o padrão da interferência por fenda sem difração m I I 2 int int cos a Figura 216b mostra o padrão de difração por fenda única m I I 2 dif dif sin e finalmente a Figura 216c mostra o resultado combinado da difração com a interferência o qual está na equação 220 Ou seja nesta última figura temse o padrão de interferência modulado pelo de difração FIGURA 216 PADRÃO DE INTERFERÊNCIA DE FENDA DUPLA COMBINADA COM DIFRAÇÃO Fonte httpsslideplayercombrslide359043 23 POLARIZAÇÃO DA LUZ 231 Introdução É dito que uma onda está polarizada quando todos os pontos da onda vibram no mesmo plano denominado plano de polarização A Figura 217 mostra um sistema mecânico polarizador para demonstrar que a polarização da onda na Figura 217a é vertical fazendo a onda continuar vibrando enquanto na Figura 217b a onda polarizada horizontalmente é extinta absorvida ao passar pelo polarizador pelo mesmo polarizador FIGURA 217 ONDA POLARIZADA VERTICALMENTE CONTINUA SUA PROPAGAÇÃO Fonte httpsbrasilescolauolcombrfisicapolarizacao ondashtm Somente as ondas transversais podem ser polarizadas 232 Polarização de Ondas Eletromagnéticas Para observar a polarização de ondas eletromagnéticas devese considerar um dos dois campos Elétrico ou Magnético Na Figura 218 levando em conta as vibrações do campo elétrico percebese que ele vibra num plano de polarização vertical plano xy FIGURA 218 ONDA ELETROMAGNÉTICA POLARIZADA NO PLANO xy EM RELAÇÃO AO CAMPO ELÉTRICO Fonte Adaptada de httpfapifuspbrtabacnikaulas2008aula12mhtmaluspdf A polarização de ondas eletromagnéticas é de suma importância na emissão e recepção de sinais utilizando antenas 233 Lâminas Polarizadoras Para polarizar uma onda eletromagnética a luz por exemplo usase uma lâmina chamada de polarizador construído por partículas que transmitirão a radiação num único plano e irão absorver as demais componentes A Figura 219 mostra dois polarizadores dispostos de tal forma que seus planos de polarização formem entre si 90º Uma onda não polarizada atinge o primeiro polarizador originando uma onda polarizada verticalmente a qual atingirá o segundo polarizador chamado de analisador que faz com que a onda seja extinta FIGURA 219 ONDA ELETROMAGNÉTICA NATURAL NÃO POLARIZADA POLARIZADA VERTICALMENTE E DEPOIS EXTINTA Fonte httpsbrasilescolauolcombrfisicapolarizacao ondashtm Na Figura 220 temse um exemplo prático do esquema acima A luz ao passar pelo polarizador diminui de intensidade como veremos mais à frente Na superior Figura 220a temse dois polarizadores com a mesma direção de polarização e ainda assim podese observar as letras do livro Entretanto na Figura 220b da não é possível observar as letras pois as direções de polarização são perpendiculares entre si FIGURA 220 a DOIS POLARIZADORES ORIENTADOS NA MESMA DIREÇÃO b DOIS POLARIZADORES PERPENDICULARES ENTRE SI a b Fonte httpsdeffeupptluzpolarizacaohtml 234 Intensidade da Luz Polarizada Para determinar a intensidade da luz polarizada devese considerar uma onda não polarizada representada pela Figura 221 FIGURA 221 REPRESENTAÇÃO DE UMA ONDA NÃO POLARIZAZADA Fonte httpfapifuspbrtabacnikaulas2008aula12mht maluspdf Nessa representação um vetor campo elétrico aleatório de amplitude E0 ao passar pelo polarizador na vertical conforme indica a Figura 222 apenas a componente E 0 cos será transmitida FIGURA 222 REPRESENTAÇÃO DE UMA ONDA NÃO POLARIZAZADA Fonte httpfapifuspbrtabacnikaulas2008aula12mht maluspdf Como a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude temse Im E kE 2 2 0 cos e EI kE 2 0 as quais são respectivamente a intensidade transmitida e a incidente de onde obtémse m E E I I 2 cos 221 Agora se fizer a média das contribuições de todos os campos obtémse Im I 2 0cos ou ainda mI I 0 1 2 222 Ou seja apenas a metade da intensidade da luz não polarizada incidente é transmitida Para mais de um polarizador conforme é mostrado na Figura 223 temse o segundo polarizador formando um ângulo com primeiro Nesse caso temse I I 1 0 1 2 e I I 2 2 1cos onde não podemos fazer a média visto que a onda que alcança o segundo polarizador já está polarizada Portanto I I 2 2 0 1 cos 2 223 FIGURA 223 REPRESENTAÇÃO DE UMA ONDA NÃO POLARIZAZADA Fonte httpfapifuspbrtabacnikaulas2008aula12mht maluspdf A partir da equação 223 podese entender o que aconteceu na Figura 220 polarizadores sobre o livro No primeiro caso temse 0 o que dá I I 2 0 1 2 Já no segundo caso temse 90º o que dá I 2 0 ou seja a luz é extinta 235 Polarização por Reflexão Quando a luz não polarizada incide na superfície de separação entre dois meios de tal forma que o ângulo entre o raio refletido e o raio refratado é 90º observase que o raio refletido estará totalmente polarizado tendo apenas a componente de campo perpendicular ao plano de reflexão enquanto o raio refratado está parcialmente polarizado Figura 224 FIGURA 224 POLARIZAÇÃO POR REFLEXÃO Fonte httpwwwinfisufubrinfissyspdfTCC20 20Marcos20Garcia2020Final201pdf Este ângulo de incidência ou reflexão é conhecido como Ângulo Brewster e pode ser calculado aplicando a segunda lei da refração na interface entre os meios 1 e 2 ou seja P n n 1 2 2 sin sin onde P 2 90 ou P 2 90 portanto P P n n 1 2 sin sin 90 Como o seno da diferença é dado por P P P sin 90 sin90cos sin cos90 ou P P sin 90 cos temse P P n n 2 1 sin cos ou P n n 2 1 tan ou ainda P n n 1 2 1 tan 224 236 Refração Dupla Certos cristais possuem uma propriedade de apresentar duas imagens por refração Figura 225 Essa propriedade é chamada de birrefringência pois esses cristais possuem dois índices de refração o ordinário no e o extraordinário ne FIGURA 225 CRISTAL BIREFRINGENTE DE CALCITA Fonte httpsmicromagnetfsueduopticslightandcolorbirefringenceht ml A onda ordinária se propaga no material com a mesma velocidade em qualquer direção Enquanto a extraordinária se propaga com velocidade que depende da direção de propagação O fato é que esses dois índices de refração originam feixes polarizados com planos de polarizações distintos conforme indica a Figura 226a FIGURA 226 a FEIXES COM POLARIZAÇÕES DISTINTAS NO INTERIOR DO CRISTAL b SUPERFÍCIES DAS ONDAS ORDINÁRIA E EXTRAORDINÁRIA Fonte não localizada No caso do cristal de calcita CaCO3 as frentes de onda ordinária e extraordinária de Huygens são representadas na Figura 226b como se a fonte pontual tivesse dentro do cristal Percebese que a velocidade da onda extraordinária varia de vo quando as duas se propagam na direção do eixo óptico para o valor ve vo quando as duas se propagam perpendicular ao eixo óptico 237 Polarização Circular Quando um raio de luz polarizado incide numa placa de material transparente e birrefringente com um ângulo de 45º com o eixo óptico dessa placa de tal forma que as componentes do campo elétrico Ey e Ez se propaguem dentro do material com velocidades diferentes ao emergirem da placa o farão com uma diferença de fase entre elas Fazendo com que espessura da placa origine uma diferença de fase de 90º placa de quarto de comprimento de onda temse o vetor campo elétrico emergente aparentemente girando em movimento circular uniforme cuja frequência da ordem de 1015Hz é a mesma da luz pois completa um círculo a cada ciclo da onda Nesse caso é dito que a luz é polarizada de forma circular A Figura 227 mostra exatamente o que foi dito anteriormente ou seja uma defasagem de 90º entre as componentes do vetor campo elétrico incidente Notese que a primeira componente ao chegar no observador é T1 em seguida T2 e depois T3 e finalmente T4 dando a ideia do vetor emergente está girando para direita Por isso dizemos que a polarização é circular e para direita FIGURA 227 ONDA POLARIZADA CIRCULARMENTE PARA A DIREITA Fonte não localizada Para finalizar esta parte de óptica física ressaltase que esses fenômenos experimentados pela luz interferência difração e polarização são estudados porque existem materiais que os apresentam de forma natural devido às estruturas de cada um deles Portanto conhecendo cada um desses fenômenos podese usálos na caracterização desses materiais bem como de novos materiais de interesse tecnológico