Controlador por Realimentação

Desenvolver o controlador por realimentação no espaço de estado com integrador deverá ser desenvolvido também o observador via transformação 10x mais rápido e verificar controlabilidade e observabilidade via suas respectivas matrizes Ao final comparar esse controlador com os melhores controladores desenvolvidos por cada método anteriormente ia tabela e via gráficos interessante ter a resposta ao degrau com todos os controladores juntos no mesmo gráfico ao final pois seria possível comparar todos em um mesmo gráfico Comparar Ts Tp Tr UP MF e MG entre todos s3s4s6s8 Ts1 UP15 e Erp001 Obs Deve ser feito no scilab por codigo ou xcos Preciso que coloque as fotos dos codigos utilizados também e todo o processo de cálculo Desconsidere o que arquivei mas serve como um parâmetro Modelagem A função de transferência de malha aberta do processo é Gs YsUs s 3s 4s 6s 8 s 3s3 18s2 104s 192 Este sistema pode ser representado na forma de espaço de estados de diversas formas por exemplo as formas canônicas controlável observável e diagonal Ao utilizar uma destas transformações o significado físico dos estados se perdem e portanto não é possível medilos diretamente no processo Deste modo optase por transformar o modelo da planta em espaço de estados pela forma canônica observável para garantir que o modelo tenha estados completamente observáveis Os coeficientes do numerador e denominador são a1 18 a2 104 a3 192 b0 0 b1 0 b2 1 b3 3 Portanto as matrizes do sistema na forma canônica observável são A 0 0 a3 1 0 a2 0 1 a1 0 0 192 1 0 104 0 1 18 B b3 a3b0 b2 a2b0 b1 a1b0 3 1 0 C 0 0 1 D b0 0 A dinâmica do sistema é descrita por ddt x1t x2t x3t 0 0 192 1 0 104 0 1 18x1t x2t x3t 3 1 0 ut yt 0 0 1x1t x2t x3t 2 Realimentação de estados O processo será submetido a uma malha de controle por realimenta ção negativa de estados Contudo desejase adicionar um integrador para ga rantir seguimento de referência Ademais a malha deve conter um observador de ordem completa pois como comentado anteriormente não há significado físico dos estados do processo e portanto não há como aferir seus valores O diagrama de blocos com o fluxo de sinais desta malha de controle é mostrada na FIG 1 Os estados da planta são estimados com o observador Estes estados estimados x são realimentados por um ganho K Adicional mente foi adicionado um novo estado ξ pois a adição do integrador adiciona um autovalor na origem C x x r B u B Plant A x x Observer K C y ye Controller u y ˆ Ko k i A y ξ ξ Figura 1 Realimentação de estados com integrador e observador Fonte Nise 2015 p 688 Adaptação de adição do integrador O projeto do controlador e observador de uma malha de controle desta forma é realizada inicialmente desconsiderando o observador e então determinando os ganhos K e ki Para isto deve ser considerado o modelo ex pandido com os estados x junto com ξ Em seguida projetase o observador somente para os estados da planta uma vez que a saída e a referência são conhecidas e ξ é descrito pela relação destes dois sinais 2 Controlabilidade e Observabilidade A equação de espaço de estados do sistema com os estados x e ξ segue ddt x1 x2 x3 ξ 0 0 192 0 1 0 104 0 0 1 18 0 0 0 0 1x1 x2 x3 ξ 3 1 0 0 u ẋ Âx Bu A matriz de controlabilidade do sistema é C B ÂB ² B 3 0 192 2880 1 3 104 1368 0 1 15 166 0 0 1 15 o determinante desta matriz é det C 3 0 192 2880 1 3 104 1368 0 1 15 166 0 0 1 15 45 ou seja a matriz não é singular e tem posto completo Portanto o sistema expandido tem estados completamente controláveis A matriz de observabilidade do sistema é O C CA CA² 0 0 1 0 1 18 1 18 220 o determinante desta matriz é det O 0 0 1 0 1 18 1 18 220 1 ou seja a matriz não é singular e tem posto completo Portanto a planta tem estados completamente observáveis como já era sabido devido ao sistema ser descrito pela forma canônica observável Projeto dos ganhos do controlador A performance do sistema controlado deve atender aos requisitos Ts 1 s UP 15 ERP 001 O coeficiente de amortecimento deve ser ζ lnUP100 π² lnUP100² 05169 enquanto a frequência de natural é ωn 4 Ts ζ 77380 rads Os demais autovalores serão alocados em μ3 3 para cancelar o zero da planta e μ4 10ζωn para afetar a dinâmica dos polos desejados Nestes termos a equação característica desejada é pλ λ² 2ζωn λ ωn²λ 3λ 10ζωn λ4 51λ3 52387631λ² 35346815λ 71851576 substituindo λ por  p Â4 51Â3 52387631Â2 35346815 71851576I4 8491576 33431748 5846223 0 893185 18958021 28323867 0 1741237 30449078 3585032 0 33 1741237 30449078 71851576 O projeto dos ganhos é feito usando a fórmula de Ackermann K k1 k2 k3 ki 0 0 0 1 C1 p 1 30 26412369 23950525 ou seja K k1 k2 k3 1 30 26412369 ki 23950525 5 Projeto dos ganhos do observador A dinâmica do observador deve ser dez vezes mais rápida do que a dinâmica dos polos em malha fechada para garantir que a estimação dos estados não influencie na performance projetada Portanto os autovalores do observador são λ1 2 3 100ζωn A equação característica desejada para o observador é poλ λ 100ζωn3 λ3 1200λ2 480000λ 64000000 substituindo λ por AT poA AT3 1200AT2 480000AT 64000000I3 63999808 226944 88055040 479896 63876880 47923424 1182 458620 55621720 O projeto dos ganhos do observador é feito usando a fórmula de Ackermann Ko ko1 ko2 ko3 poAO1 0 0 1 63999808 479896 1182 6 Espaço de estados da malha fechada Os estados do diagrama de blocos da FIG 1 pode ser representado pelas equações x Ax Bu ξ r y Enquanto as equações do observador são x Ax Bu Koye O sinal de controle é u Kx kiξ E por fim a saída é descrita por y Cx ỹ Cx Portanto ye y ỹ y Cx Cx Cx x Ax BKx Bkiξ x A BK KeCx Bkiξ KeCx ξ r Cx é necessário remover o termo Key A equação de espaço de estados do sistema da FIG 1 é ddt x x ξ A BK Bki KoC A BK KoC Bki C 0 0 x x ξ 0 0 1r y C 0 0 x x ξ Com os valores calculados ẋ1t ẋ2t ẋ3t x1t x2t x3t ξt 0 0 192 3 90 79237 7185 1 0 104 1 30 26412 2395 0 1 18 0 0 0 0 0 0 63999808 3 90 63999208 7185 0 0 479896 0 30 479736 2395 0 0 1182 0 1 1200 0 0 0 1 0 0 0 0 x1t x2t x3t x1t x2t x3t ξt 0 0 0 0 0 0 1rt yt 0 0 1 0 0 0 0 x1t x2t x3t x1t x2t x3t ξtT 7 Simulação da malha fechada Admitindose que rt seja uma entrada degrau unitário a simulação da resposta dos estados considerando condições iniciais nulas é calculada com o Scilab código completo enviado em anexo e os resultados são apresentados na FIG 2 Figura 2 Simulação da saída da malha de controle O desempenho é exposto na TAB 1 no qual se constata que todos os requisitos de performance foram atendidos e o controlador e o observador projetados obtiveram êxitos A FIG 3 evidencia que quando os estados inicias da planta e do observador são iguais não há nenhum erro na estimação dos estados e o controlador projetado opera perfeitamente Figura 3 Simulação dos estados da planta e dos estados estimados No entanto nem sempre esta condição é satisfeita em especial na inicialização da malha fechada no qual e são nulos enquanto a planta pode ter estados totalmente arbitrário Em ordem de representar este comportamento realizouse a simulação no qual os estados da planta são gerados aleatoriamente como sendo x0 0685398 08906225 05042213T enquanto os demais estados iniciais são nulos O resultado desta nova simulação é apresentado na FIG 4 no qual se observa uma alteração significativa na curva de reação da saída Em especial existe um undershoot na resposta causado pela diferença entre os estados x e Contudo em aproximadamente t 01 s todos os estados estimados já convergiram para os estados reais da planta Tirando estes 01 s iniciais a saída da planta performou igual a resposta da FIG 2 Portanto o observador também foi validado para diferentes estados inciais da planta a saída b estados reais e estimados Figura 4 Simulação da malha de controle com estados inicias diferentes 8 Comparação dos controladores Os melhores controladores projetados anteriormente foram 9 1 projeto 2 via LGR C2s 200s 3 s 005 2 projeto 3 via avanço de fase C3s 862 6336s 2272 s 195924 Plotando a resposta de todas as malhas de controle obtémse o grá fico da FIG 5 As performances destes controladores está posta na TAB 1 no qual se compara os índices Tr Tp Ts UP MF e MG Figura 5 Comparação da performance dos controladores O controlador projetado por avanço de fase cumpriu os requisitos da margem de fase contudo a resposta temporal se mostrou muito distante do que se desejava pois o overshoot quase dobrou o requisitado enquanto o tempo de acomodação foi muito abaixo mostrando que a dinâmica da saída está muito agressiva e é possível que a saturação do atuador ocorra O projeto via LGR se mostrou bem sucedido com menores valor em 10 todas as métricas quando comparado com o controlador projetado via reali mentação Portanto em termos de performance a melhor sugestão é justa mente C2s Tabela 1 Performance dos controladores Controlador UP Tr s Tp s Ts s MP deg MG dB ERP Realimentação 1469 0347 0502 1036 8576 0 LGR 1328 0166 0234 1008 4979 0 avanço de fase 2725 001 00150 0055 4257 001 11