Controlador por Realimentação

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS NATAL CENTRAL ENGENHARIA DE ENERGIA RELATÓRIO PROJETO PID VIA MÉTODO DE ZIEGLER NICHOLS Israel Fonseca Nascimento Jadson Carlos Felix de Macedo NatalRN Março 2024 Jadson Felix de Macedo Israel Fonseca Nascimento RELATÓRIO DO 1 PROJETO Primeiro relatório apresentado à disciplina de Sistemas de Controle correspondente à avaliação da 1 unidade do semestre 20241 do 7 período do curso de Engenharia de Energia da Instituição Federal do Rio Grande do Norte sob orientação do Prof Rafael Nunes de Almeida Prado NatalRN Março 2024 1 INTRODUÇÃO O método de sintonização desenvolvido por Ziegler e Nichols emergiu como uma técnica amplamente utilizada para determinar os parâmetros ideais do PID de maneira prática e eficaz Este trabalho tem a finalidade de projetar um controlador proporcionalintegralderivativo chamado de PID via métodos de Ziegler Nichols Esse tipo de controlador combina ações proporcionais integrais e derivativas para gerar um só sinal de controle Sua principal função é eliminar erros de regime permanente e antecipar o comportamento do processo A simulação do experimento no módulo xcos do Scilab consiste a fim de gerar parâmetros para projetar e testar o PID via método de Ziegler Nichols utilizando percentuais de 0 e 20 Ao implementar o método de ZieglerNichols os engenheiros de controle buscam otimizar a resposta dinâmica do sistema equilibrando a estabilidade e a velocidade de resposta A compreensão das nuances desse método proporciona uma base sólida para a sintonização precisa de controladores PID em uma diversidade de cenários contribuindo para o aprimoramento do desempenho de sistemas automáticos e processos industriais 2 Desenvolvimento Para o desenvolvimento do projeto nos foi dada a seguinte função de transferência 𝐹 𝑠 300 𝑠10 𝑠50 21 Projeto PID via método da resposta ao salto de Ziegler Nichols Foram realizadas simulações do processo utilizando um salto unitário em sua entrada conforme ilustrado na Figura 1 utilizando a função xcos do Scilab e obtivemos uma resposta conforme mostrado na Figura 2 Figura 1 Planta com salto unitário Figura 2 resposta ao salto unitário Com base na simulação do processo utilizando um salto degrau em sua entrada Neste foi adicionado o ramp e o mux para uma melhor precisão do ponto tangencial Figura 3 Planta com ramp e mux Figura 4 resposta ao salto unitário com parâmetros ajustados A partir desse gráfico é possível obter três parâmetros O atraso aparente L o ganho integral equivalente a e a constante de tempo dominante T Para obtêlos são traçados eixos coordenados tomando como referência no eixo das abscissas o instante de tempo em que foi aplicado o salto e no eixo das ordenadas o valor da variável de processo antes deste mesmo instante Em seguida é traçada uma reta tangente à curva de resposta no seu ponto de inflexão ou seja o ponto em que a taxa de variação da resposta é máxima Os parâmetros a e L são dados então pela interseção dessa reta com os eixos coordenados anteriormente definidos conforme indicado na Figura 5 O valor de T pode ser determinado pela curva de resposta do sistema por sua própria definição Figura 5 Parâmetros a L e T Com base na Figura 5 foram obtidos os seguintes parâmetros referente ao gráfico de resposta ao salto unitário a 004 L 001 T 0165004 0125 Com os dados obtidos utilizamos o método ZieglerNichols para calcular os parâmetros do controlador Para isso foram calculadas as equações propostas por Chien Hrones e Reswick CHR para atingir um sobrepasso nulo e um sobrepasso de 20 Figura 6 tabela de fórmulas Foram realizados os seguintes cálculos para sobrepasso nulo Ganho proporcional K 𝐾 06 004 15 Tempo integral Ti 𝑇𝑖 𝑇 0 175 Tempo derivativo Td 𝑇𝑑 0 6 𝐿 0 6 0 01 0 06 Após feito os cálculos foi adicionado um bloco PID e um bloco somatório na planta para criar a realimentação como mostra a Figura 7 Foram definidos os parâmetros do controlador conforme mostra a Figura 8 e após a realização da simulação foi obtida a resposta ilustrada na Figura 9 Figura 7 planta com controlador PID Figura 8 bloco PID com parâmetros do sobrepasso nulo As definições dos parâmetros do bloco PID foram obtidas através dos cálculos de CHR e passados para o bloco como o K Ti e Td Figura 9 resposta do controlador PID com sobrepasso nulo Assim como foi feito para sobrepasso nulo os cálculos para sobrepasso de 20 foram realizados com base na tabela da Figura 6 Ganho proporcional K 𝐾 095 004 23 75 Tempo integral Ti 𝑇𝑖 1 4 𝑇 1 4 0 125 0 175 Tempo derivativo Td 𝑇𝑑 0 47 𝐿 0 47 0 01 0 0047 Com esses novos parâmetros calculados foram atribuídos no bloco PID e foi gerada uma nova resposta demonstrada na Figura 11 Figura 10 bloco PID com parâmetros do sobrepasso de 20 Figura 11 resposta do controlador PID com sobrepasso de 20 1 Requisitos de controle Considere o processo em malha aberta descrito pelo modelo Gs s 4 s 1s 5s 8 s 4 s3 14s2 53s 40 O objetivo do projeto será desenvolver um controlador por realimentação de estados com integrador Os estados devem ser estimados por um observador de estados cujos ganhos devem ser ajustados de modo que este seja dez vezes mais rápidos que a malha de controle O diagrama de blocos da malha fechada é apresentado na FIG 1 Figura 1 Realimentação de estados com integrador e observador Fonte OGATA 2010 p 678 Além disto o controlador deve atender aos requisitos de desempenho Ts 07 s UP 25 ERP 002 2 Modelo em espaço de estados A representação do processo em malha aberta para o modelo em espaço de estados se dará pela forma canônica controlável na qual se observa da função de transferência da planta que a3 40 a2 53 a1 14 a0 1 b3 4 b2 1 b1 0 b0 0 portanto a representação na forma canônica controlável é A 0 1 0 0 0 1 40 53 14 B 0 0 1 C 4 1 0 3 Controlabilidade e Observabilidade A controlabilidade do sistema deve ser avaliada em termos do sistema com integrador pois do ponto de vista do controlador desenvolvido os ganhos de realimentação o estado adicionado ξ também deve ser controlável Para isto considere inicialmente o sistema em malha fechada controlador sem o observador como apresentado na FIG 2 Figura 2 Realimentação de estados com integrador e observador Fonte OGATA 2010 p 676 Adicionando o estado ξ na equação de estados do sistema segue ẋt ξt A 0 C 0 xt ξt B 0 rt Ax Brt A matriz de controlabilidade deste sistema é Mc B AB A2B A3B 0 0 1 14 0 1 14 143 1 14 143 1300 0 0 1 10 cujo posto é completo Destarte a planta tem estados completamente controláveis A observabilidade da planta deve ser avaliada em termos somente dos estados do processo sem o integrador Pois o estados ξ é resultado direto da derivação do erro de medição r y portanto ele é conhecido pois a saída é necessariamente conhecida Para tal considere somente o sistema observado e com estados x realimentados exposto na FIG 3 u y y A B C L K A B C x x Figura 3 Realimentação de estados com integrador e observador Fonte OGATA 2010 p 690 A matriz de observabilidade do sistema é Mo C CA CA2 4 1 0 0 4 1 40 53 10 cujo posto é completo Deste modo a planta tem estados completamente ob serváveis 4 Projeto do controlador Para o projeto do controlador devese considerar inicialmente que o observador da FIG 1 estima exatamente os estados do processo Gs Nestes termos podese considerar o sistema de controle como na FIG 2 O projeto dos ganhos de realimentação é realizado considerando o 3 par  B exposto anteriormente Os polos de malha fechada serão escolhidos de modo a atender aos requisitos de projeto Observe no entanto que existirão 4 polos no sistema expandido enquanto desejase uma performance característica de um sistema de segunda ordem subamortecida Diante disto um dos polos será alocado sobre o zero da planta em s 4 e o outro uma década abaixo da dinâmica dominante Admitindose um sobressinal máximo de 25 o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes deve ser z ln UP sqrtpi2 ln2 UP 04037 Se o tempo de acomodação do projeto é Ts 07 s a frequência natural não amortecida deve ser ωn 4 ζ Ts 141543 rads Os polos dominantes são definidos como μ12 ζωn jωn sqrt1 ζ2 5714 j129496 E os polos não dominantes são alocados em μ3 4 μ4 60 O projeto dos ganhos via alocação de polos é realizado no Scilab com a função ppol ao qual retorna K k1 k2 k3 ki 3504238 11187738 6142857 1202071 5 Projeto do observador Como o modelo da planta é uma função de transferência somente a saída é conhecida Deste modo fazse necessário o projeto de um observador de estados de ordem completa em relação ao processo Gs isto é sem a adição do polo integrador Nestes termos o sistema observado é como mostrado na FIG 3 O projeto dos ganhos do observador L é realizado utilizandose o princípio da dualidade isto é utilizandose o par AT CT Contudo como durante o projeto do controlador foise assumido que os estados estimados x coincidem exatamente com os estados reais x é preciso que a dinâmica do observador seja tal que os estados estimados convirjam ra pidamente para os estados da planta de modo a não impactar no desempenho da malha fechada Deste modo alocase os polos do observador uma década abaixo da dinâmica dominante da malha fechada ou seja µ1 60 µ2 60 µ3 60 Com posse do par de matrizes e dos polos desejados da malha fe chada a função ppol do Scilab determina os ganhos do observador como sendo L 14635667 58376667 24192967 6 Espaço de estados da malha fechada Na FIG 3 observase que as equações do sistema são x Ax Bu y Cx u Kx combinando a primeira e a terceira equação x Ax BKx Ax BKx BKx BKx A BKx BKx x Definindo um novo vetor de estados como sendo o erro de estimação e x x temse que x A BKx BKe e A LCe 5 A equação de estado do sistema observado é xt ėt A BK BK 0 A LCxt et B 0ut Ãxt But y C 0xt et Cx Contudo a malha de controle completa é como mostrado na FIG 1 na qual é presente o estado oriundo da adição do integrador ξ Neste diagrama de blocos a equação de estados do sistema se torna xt ξt à Bki C 0xt ξt 0 1rt ou seja x₁t x₂t x₃t ė₁t ė₂t ė₃t ξt 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3544 1172 754 3504 1119 614 12021 0 0 0 58543 14635 0 0 0 0 0 233507 58377 1 0 0 0 0 967759 241983 14 0 4 1 0 0 0 0 0x₁t x₂t x₃t e₁t e₂t e₃t ξt 0 0 0 0 0 0 1 rt yt 4 1 0 0 0 0 0x₁t x₂t x₃t e₁t e₂t e₃t ξtᵀ 7 Implementação no Scilab O código completo utilizado está disposto no APÊNDICE A Para a simulação e validação do controlador e observador projetados devese aplicar um degrau na referência e iniciar os estados reais diferentes dos estados estimados A escolha da condição inicial foi x₀ 0 0 05 0 0 05 0ᵀ em que notase que x₃ e₃ 05 ou seja x₃ x₃ 0 Os resultados obtidos são apresentados na FIG 4 no qual percebese que o sistema segue a referência apresentado ERP 0 devido a presença do integrador Além disto os requisitos de desempenho foram cumpridos com Ts 061 s e UP 2423 0 1 02 04 06 08 01 03 05 07 09 0 1 02 02 04 06 08 12 14 t s saída a saída 0 1 02 04 06 08 01 03 05 07 09 0 02 04 06 estado 1 real estimado 0 1 02 04 06 08 01 03 05 07 09 0 2 1 1 estado 2 real estimado 0 1 02 04 06 08 01 03 05 07 09 0 10 t s estado 3 real estimado b estados reais e estimados Figura 4 Simulação da malha de controle 7 8 Comparação dos controladores O controlador por realimentação de estados com integração e obser vador projetado anteriormente será comparado com a performance de desem penho dos outros dois controladores projetados anteriormente A saber os controladores são C2s 068s 18559s 15 s PID LGR C3s 490225s 1739 s 39082 avanço de fase A FIG 5 exibe a curva de reação do sistema em malha fechada dos controladores projetados Embora todos os controladores estabilizaram a ma lha fechada a performance quando ao Tr Tp Ts UP MF e MG como é exposto na TAB 1 0 2 1 02 04 06 08 12 14 16 18 0 1 02 04 06 08 12 14 t s saída realimentação PID LGR avanço Figura 5 Comparação da performance dos controladores Os valores comprovam a leitura do gráfico na qual o controlador de avanço de fase acelerou excessivamente a planta acomodando muito antes do valor requerido Enquanto isso o controlador PID via LGR apresentou uma 8 performance ainda pior com o tempo de acomodação mais lento do que se desejava Enquanto isto o controlador projetado com realimentação cumpriu todos os requisitos de projeto Ademais observase que o Tr e Ts do controle em espaço de estados e o PID LGR se mostraram bem próximos contudo o tempo de acomodação obteve uma diferença significativa de quase 50 entre eles Tanto a análise gráfica quanto a comparação da performance mostram que o controlador que melhor levou a dinâmica da malha fechada para o ponto desejado foi o contro lador por realimentação de estados com integrador e observador Tabela 1 Performance dos controladores Controlador UP Tr s Tp s Ts s MP deg MG dB ERP Realimentação 2423 01724 02616 06117 0 PID via LGR 2502 01886 03026 09783 4441 0 avanço de fase 2530 00678 01090 02787 4362 002 9 0001 Fecha todas as figuras 0002 closewinsid 0003 0004 Sistema em malha aberta 0005 s poly0 s 0006 G syslinc s4s1s5s8 0007 Converte o modelo em função transf para espaço de estados 0008 pela forma canônica controlável 0009 A 010 001 405314 0010 B 001 0011 C 410 0012 D 0 0013 sistema em espaço de estados 0014 sys syslinc ABCD 0015 0016 VERIFICA CONTROLABILIDADE DO SISTEMA COM INTEGRADOR 0017 Ah A zeros31 C 0 0018 Bh B0 0019 Mc Bh AhBh Ah2Bh Ah3Bh 0020 Se postoMc 4 o sistema tem estados completamente controláveis 0021 postoMc rankMc 4 0022 0023 VERIFICA OBSERVABILIDADE DO SISTEMA SEM INTEGRADOR 0024 Mo C CA CA2 0025 Se postoMo 3 o sistema tem estados completamente observáveis 0026 postoMo rankMo 3 0027 0028 Requisitos de desempenho da malha fechada 0029 Ts 07 tempo de acomodação 0030 UP 25100 sobressinal máximo 0031 Erp 002 erro de regime permanente nulo devivo ao integr 0032 0033 Polos de malha fechada 0034 z logUPsqrtpi2 logUP2 coef de amortecimento 0035 w 4zTs freq natural não amortecida 0036 Pd zw iwsqrt1z2 polo dominante 0037 0038 Sistema expandido com integrador 0039 Ah A zeros31 C 0 0040 Bh B0 0041 ph Pd conjPd 4 60 0042 0043 Projeto dos ganhos Kh k1 k2 k3 ki 0044 Kh ppolAhBhph 0045 K Kh13 ki Kh4 0046 0047 Projeto do observador 0048 pO 606060 0049 L ppolAC pO 0050 0051 Espaço de estados do sistema observado sem integrador 0052 Ao ABK BK zeros33 ALC 0053 Bo B zeros31 0054 Co C zeros13 0055 D 0 0056 0057 Espaço de estados da malha fechada 0058 AA Ao Boki Co 0 0059 BB 0000001 0060 CC Co 0 0061 DD 0 0062 x0 0005 cond inicial 0063 SYS syslinc AABBCCDDx0x00 0064 0065 Simulação 0066 t 0000012 0067 r onest 0068 yxt csimrtSYS simula a resposta do sistema 0069 0070 figure1 graf da saída 0071 plot2dty 0072 ylabelsaída xlabelt s 0073 0074 xt são todos os estados x1 x2 x3 e1 e2 e2 xi 0075 x xt13 0076 e xt46 0077 xi xt7 0078 xo xe 0079 0080 figure2 gráfico dos estados reais e observados 0081 subplot311 0082 plot2dtx1 xo1 0083 ylabelestado 1 0084 legendrealestimado1 0085 subplot312 0086 plot2dtx2 xo2 0087 legendrealestimado4 0088 ylabelestado 2 0089 subplot313 0090 plot2dtx3 xo3 0091 ylabelestado 3 xlabelt s 0092 legendrealestimado1 0093 0094 Comparação com os melhores controladores anteriores 0095 C2 syslinc 068s18559s15s 0096 C3 syslinc 225490s1739s39082 0097 Malhas fechadas 0098 F2 C2G1C2G 0099 F3 C3G1C3G 0100 Simulação 0101 y2 csimrtF2 0102 y3 csimrtF3 0103 0104 figure3 graf da saída 0105 plot2dty y2y3 0106 ylabelsaída xlabelt s 0107 legendrealimentaçãoPID LGRavanço4 0108 0109 Performance 0110 Mp1ip1 maxy 0111 Mp2ip2 maxy2 0112 Mp3ip3 maxy3 0113 UP 0114 up1 100Mp11 0115 up2 100Mp21 0116 up3 100Mp31 0117 Tp 0118 tp1 tip1 0119 tp2 tip2 0120 tp3 tip3 0121 Tr 0122 tr1 tfindy11 0123 tr2 tfindy211 0124 tr3 tfindy311 0125 Ts 0126 ts1 tmaxfindy 098 findy 102 0127 ts2 tmaxfindy2 098 findy2 102 0128 ts3 tmaxfindy3 09604 findy3 09996 0129 MP 0130 mp1 nan 0131 mp2 fr pmarginC2G 0132 mp3 fr pmarginC3G 0133 MG 0134 mg1 fr gmarginsyslincAoBoCo0 0135 mg2 fr gmarginC2G 0136 mg3 fr gmarginC3G 0137 0138 TABELA FINAL COMPARATIVA 0139 tab up1 tr1 tp1 ts1 nan mg1 0140 up2 tr2 tp2 ts2 mp2 mg2 0141 up3 tr3 tp3 ts3 mp3 mg3