Resolução de Sistemas de Equações do 1º Grau: Métodos da Substituição e Adição

Alguns problemas de matemática são resolvidos a partir de soluções comuns a duas equações do 1º grau a duas variáveis 2X2 Nesse caso dizse que as equações formam um sistema de equações do 1º grau a duas variáveis que indicamos escrevendo as equações abrigadas por uma chave Veja os exemplos a b O par ordenado que verifica ao mesmo tempo as duas equações é chamado solução do sistema Indicamos pela letra S de solução da seguinte forma S xy Por exemplo o par 73 é solução do sistema Pois verifica as duas equações Ou melhor Então escrevemos como solução S73 Os métodos mais comuns para resolução de sistemas lineares 2X2 são o método da substituição e o método da adição Método da Substituição 1º Exemplo Resolver o sistema 1º passo Isolase uma das variáveis em uma das equações Vamos isolar x na 1ª equação 7 7 x y x y 2º passo Substituise a expressão encontrada no passo 1 na outra equação Obtemos então uma equação do 1º com apenas uma incógnita 1 7 1 7 1 7 2 1 x y y y y y y 3º passo Resolvemos a equação obtida no 2º passo 7 2 1 2 1 7 2 6 6 2 3 y y y y y obtendo assim o valor de y 4º passo Para encontrarmos o valor de x Substituise o valor encontrado no 3º passo em qualquer uma das equação iniciais 7 3 7 7 3 4 x y x x x 5º passo Por último escrevemos a solução do sistema S 43 2º Exemplo Resolver o sistema Passo 5 S63 Método da Adição O método consiste em somar as duas equações mas isso deve ser feito sempre de modo a eliminar uma das variáveis na nova equação obtida Ou seja é preciso chegar a uma só equação com uma só incógnita Para que isso ocorra é necessário existam termos opostos nas duas equações em relação a uma mesma letra 1o Exemplo Considere o sistema 5 3 15 2 3 6 x y x y Observe que a equação 1 tem o termo 3y e a equação 2 tem o termo 3y oposto de 3y Esse fato nos permite obter uma só equação sem a incógnita y somando as duas equações membro a membro 5 3 15 3 3 0 2 3 6 7 0 21 7 21 3 x y Como y y o ydesaparece x y Aí fica tudomais fácil x x x Agora é só substituir o valor de x em uma das equações do sistema A única solução do sistema é o par 30 5 3 15 53 3 15 15 3 15 3 15 15 3 0 0 x y y y y y y S 30 2o Exemplo Vamos resolver o sistema 2 5 16 3 2 2 x y x y Aqui seria inútil somar imediatamente as equações Como não observamos termos opostos que somados resulta 0 nenhuma letra desaparece Mas podemos obter termos opostos Veja que o MMC entre 5 e 2 coeficientes de x nas duas equações é 10 Daí multiplicamos a 1ª equação por 2 e a 2ª equação por 5 2 5 16 2 3 2 2 5 x y x y 4 10 32 15 10 10 x y x y Você viu bem Com isso conseguimos termos opostos neste último sistema E como 10y 10y 0 vem 4 10 32 15 10 10 11 0 22 11 22 22 11 2 x y x y x x x x Agora levamos x 2 na 2ª equação para encontrar o valor de y 3 2 2 3 2 2 2 6 2 2 2 2 6 2 8 4 x y y y y y y A solução é o par 24 S 24 3º Exemplo Resolva pelo método da adição o sistema 3 3 3 4 30 x y x y Vamos tornar opostos ou simétricos os coeficientes em x Para isso basta multiplicar a primeira equação por 1 não mexer na 2ª 3 3 1 3 3 3 4 30 1 3 4 30 3 27 x y x y x y x y y De 3y 27 tiramos y 9 Calculando x Substituímos y 9 na 1ª equação 3 3 3 9 3 3 3 9 3 6 6 3 2 x y x x x x x S 29 Nota importante Podemos aplicar o método da adição de outra forma neste caso procurando zerar a incógnita y Veja Multiplicamos a 1ª equação por 4 e a 2ª por 1 e então 3 3 4 12 4 12 3 4 30 1 3 4 30 9 0 18 x y x y x y x y x De 9 x 18 encontramos 18 2 9 x Viu Dá o mesmo resultado Portanto podese usar o processo da dição duas vezes seguidas 4º Exemplo Resolver o sistema pelo processo da adição 6 5 15 7 16 13 a b a b Temos que o MMC67 42 Então multiplicamos a 1ª equação por 7 e a 2ª por 6 temos 6 5 15 7 42 35 105 7 16 13 6 42 96 78 a b a b a b a b 42 35 105 42 96 78 61 183 183 3 61 a b a b b b Aplicações 5º Exemplo Em um lote de xícaras de porcelana a razão entre o número de xícaras com defeitos e o número de xícaras perfeitas nesta ordem é 23 Se o número total de xícaras do lote é 320 encontre a diferença entre o número de xícaras perfeitas e o número de xícaras com defeitos Seja x número de xícaras com defeitos y número de xícaras perfeitas Assim podemos obter as seguintes equações xy 23 ou seja x 2y3 x y 320 Temos um sistema de equações de primeiro grau Substituindo a primeira na segunda equação 2y3 y 320 multiplicando ambos os lados por 3 2y 3y 3203 5y 960 y 9605 192 Calculando x x 2y3 21923 128 Daí y x 192 128 64 Portanto a diferença é 64 Aplicações 6º Exemplo Com determinada quantidade de dinheiro é possível comprar 5 revistas em quadrinhos todas de mesmo valor e ainda sobram R 250 Porém se com a mesma quantia de dinheiro forem compradas 7 revistinhas de palavras cruzadas cada uma delas de mesmo valor sobrarão R 050 Sabendo que uma revistinha de palavra cruzada custa R 100 a menos que uma revistinha em quadrinhos encontre o preço de uma revistinha de palavras cruzadas Seja x valor de cada revista em quadrinhos y valor de cada palavra cruzada Pela afirmação é possível comprar 5 revistas em quadrinhos todas de mesmo valor e ainda sobram R 250 Porém se com a mesma quantia de dinheiro forem compradas 7 revistinhas de palavras cruzadas cada uma delas de mesmo valor sobrarão R 050 temos 5x 250 7y 050 Pela afirmação uma revistinha de palavra cruzada custa R 100 a menos que uma revistinha em quadrinhos temos y x 100 Note que temos duas equações com duas variáveis ou seja um sistema de primeiro grau Substituindo a segunda na primeira equação 5x 250 7x 100 050 5x 25 7x 7 05 7x 65 5x 25 7x 5x 25 65 2x 9 x 92 450 Calculando y y x 100 450 100 350 Portanto o preço da revistinha de palavras cruzadas é R 350