Circuitos Elétricos de Segunda Ordem: Análise e Condições Iniciais

CIRCUITOS ELÉTRICOS E ENERGIA Circuitos de segunda ordem Vóldi C Zambenedetti Com material de Prof Alessandro Koerich Ementa Circuito RLC resposta natural Circuitos de Segunda Ordem Circuitos que contêm dois elementos armazenadores de energia Suas respostas são descritas por equações diferencias que contem derivadas de 2º grau Condição Inicial e Final Encontrar as condições iniciais e finais para 𝑖 𝑡 𝑣 𝑡 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 Lembrete Usar sempre a convenção de sinais dos elementos passivos para v no capacitor e i no indutor A tensão do capacitor não muda abruptamente 𝑣 0 𝑣 0 A corrente no indutor não muda abruptamente 𝑖 0 𝑖 0 Exemplo de Cálculo de valores iniciais e finais Chave fechada por um longo tempo e abre em t0s Encontre i0 v0 i v t0 t0 t A fonte de corrente de 3A inicia sua atuação em t0 depois da fonte de tensão de 20V estar um longo tempo atuando Encontre iL0 vC0 vR0 b diL0dt dvC0dt dvR0dt c iL vC vR Chave fecha em t0 depois de longo tempo aberta Estime i0 v0 e dv0dt Circuito RLCSérie Sem Fonte Analise de um circuito RLCSérie sem fonte resposta natural Aplicando a LTK temos VrVLVc 0 Então 𝑅 𝑖 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 1 𝐶 𝑡 𝑖𝑑𝑡 0 Diferenciando 𝑑2𝑖 𝑑𝑡2 𝑅 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑖 𝐿𝐶 0 Circuito RLCSérie Sem Fonte Para resolver a equação diferencial de segunda ordem 𝑑2𝑖 𝑑𝑡2 𝑅 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑖 𝐿𝐶 0 são necessárias duas condições iniciais a corrente no instante inicial t0 e a derivada da corrente naquele instante 1 𝑅 𝑖 0 𝐿 𝑑𝑖 0 𝑑𝑡 𝑉0 0 ou 𝑑𝑖 0 𝑑𝑡 1 𝐿 𝑅 𝐼0 𝑉0 2 i0 I0 A corrente será sempre uma exponencial genericamente dada por 𝑖 𝑡 𝐴 𝑒𝑠𝑡 sendo A e s constantes a serem determinadas Circuito RLCSérie Sem Fonte Substituindo 𝐴 𝑒𝑠𝑡 na equação diferencial obtemos 𝑑2𝑖 𝑑𝑡2 𝑅 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑖 𝐿𝐶 𝐴 𝑠2𝑒𝑠𝑡 𝐴𝑅 𝐿 𝑠 𝑒𝑠𝑡 𝐴 𝐿𝐶 𝑒𝑠𝑡 0 ou 𝐴 𝑒𝑠𝑡 𝑠2 𝑅 𝐿 𝑠 1 𝐿𝐶 0 Como o primeiro termo é a solução assumida devemos resolver a equação a seguir 𝑠2 𝑅 𝐿 𝑠 1 𝐿𝐶 0 A equação tem duas raízes chamadas s1 e s2 Circuito RLCSérie Sem Fonte 𝑠12 𝑅 2𝐿 𝑅 2𝐿2 1 𝐿𝐶 Fazendo 𝛼 𝑅 2𝐿 𝑒 𝜔0 1 𝐿𝐶 então 𝑠12 𝛼 𝛼2 𝜔02 Ainda temos 𝜔𝑑 𝛼2 𝜔02 As raízes s12 são chamadas de frequências naturais em Neperss a é o fator de amortecimento w0 é chamada de frequência de ressonância dada em rads Reescrevendo a equação em termos de a e w0 𝑠2 2𝛼𝑠 𝜔02 0 Circuito RLCSérie Sem Fonte Existem quatro possibilidades de resposta para s12 1 Se a w0 s1s2 e Reais SUPERAMORTECIDO 𝑖 0 𝐴1 𝐴2 𝑑𝑖0𝑑𝑡 1 𝐿 𝑅 𝐼0 𝑉0 𝑠1𝐴1 𝑠2𝐴2 𝑖 𝑡 𝐴1𝑒𝑠1𝑡 𝐴2𝑒𝑠2𝑡 2 Se a w0 s1s2 e Reais CRITICAMENTE AMORTECIDO Então 𝐶 4𝐿𝑅2 𝑠12 𝛼 𝑖 0 𝐴2 𝑑𝑖0𝑑𝑡 1 𝐿 𝑅 𝐼0 𝑉0 𝐴1 𝛼𝐴2 𝑖 𝑡 𝐴1𝑡 𝐴2𝑒𝛼𝑡 Circuito RLCSérie Sem Fonte 3 Se a w0 s1s2 complexos conjugados SUBAMORTECIDO Então 𝐶 4𝐿𝑅2 e 𝑠12 𝛼 𝑗𝜔𝑑 𝑖 𝑡 𝐴1𝑒𝑠1𝑡 𝐴2𝑒𝑠2𝑡 𝑒𝛼𝑡 𝐴1𝑒𝑗𝑤𝑑𝑡 𝐴2𝑒𝑗𝑤𝑑𝑡 Usando Euler 𝑒𝑗𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 temos então 𝑖 𝑡 𝑒𝛼𝑡 𝐴1 𝐴2 cos𝑤𝑑𝑡 𝑗 𝐴1 𝐴2 𝑠𝑒𝑛𝑤𝑑𝑡 Na forma trigonométrica 𝑖 0 𝐼0 𝐵1 e 𝑑𝑖0𝑑𝑡 1 𝐿 𝑅 𝐼0 𝑉0 𝛼𝐵1 𝜔𝑑𝐵2 𝑣 𝑡 𝑒𝛼𝑡 𝐵1cos𝜔𝑑𝑡 𝐵2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 Circuito RLCSérie Sem Fonte 4 Se a0 e w0 wd então s1s2 imaginário puro OSCILATÓRIO 𝑠12 𝑗𝜔𝑑 𝑖 𝑡 𝐴1𝑒𝑠1𝑡 𝐴2𝑒𝑠2𝑡 𝐴1𝑒𝑗𝑤𝑑𝑡 𝐴2𝑒𝑗𝑤𝑑𝑡 Usando Euler 𝑒𝑗𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 temos então 𝑖 𝑡 𝐴1 𝐴2 cos𝑤𝑑𝑡 𝑗 𝐴1 𝐴2 𝑠𝑒𝑛𝑤𝑑𝑡 Circuitos de RLC Série Resposta ao Degrau As constantes A1 e A2 podem ser determinadas a partir das condições iniciais para v0 e dv0dt Super Amortecido 𝑣 𝑡 𝐴1𝑒𝑠1𝑡 𝐴2𝑒𝑠1𝑡 𝑣 0 𝐴1𝑒𝑠10 𝐴2𝑒𝑠20 𝐴1 𝐴2 Criticamente 𝑣 0 𝐴1 0 𝐴2 𝑒𝛼0 𝐴1 SubAmortecido 𝑣 0 𝐵1cos𝜔𝑑 0 𝐵2sen𝜔𝑑 0 𝑒𝛼0 𝑣 0 𝐵1 Circuitos de RLC Série Resposta ao Degrau As constantes A1B1 e A2B2 podem ser determinadas a partir das condições iniciais para v0 e dv0dt Super Amortecido 𝑑𝑣 𝑡 𝑑𝑡 𝑠1𝐴1𝑒𝑠1𝑡 𝑠2𝐴2𝑒𝑠2𝑡 𝑑𝑣 0 𝑑𝑡 𝑠1𝐴1𝑒0 𝑠2𝐴2𝑒0 𝑠1𝐴1 𝑠2𝐴2 𝐼0 𝐶 Criticamente 𝑑𝑣 0 𝑑𝑡 𝛼𝐴1𝑒0 𝛼𝐴2 0 𝑒0 𝐴2𝑒0 𝑑𝑣 0 𝑑𝑡 𝛼𝐴1 𝐴2 𝐼0 𝐶 SubAmortecido 𝑑𝑣 0 𝑑𝑡 𝛼𝑒𝛼0𝐵1 cos 𝜔𝑑 0 𝐵1𝜔𝑑 sen 𝜔𝑑 0 𝛼𝑒𝛼0𝐵2 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑑 0 𝐵2𝜔𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑑 0 𝑑𝑣 0 𝑑𝑡 𝛼𝐵1 𝐵2𝜔𝑑 𝐼0 𝐶 Circuito RLCParalelo Sem Fonte Analise de um circuito RLCSérie sem fonte resposta natural Aplicando a LCK temos iRiLic 0 Então v R 1 𝐿 𝑡 𝑣𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑣 𝑑𝑡 0 Diferenciando 𝑑2𝑣 𝑑𝑡2 1 𝑅𝐶 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑣 𝐿𝐶 0 Circuito RLCParalelo Sem Fonte Da mesma forma que o circuito serie devemos resolver a equação diferencial de segunda ordem 𝑑2𝑣 𝑑𝑡2 1 𝑅𝐶 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑣 𝐿𝐶 0 São necessárias duas condições iniciais a tensão no instante inicial t0 e a derivada da tensão naquele instante 1 𝑉0 𝑅 𝐼0 𝐶 𝑑𝑣 0 𝑑𝑡 0 ou 𝑑𝑣 0 𝑑𝑡 𝑅𝐼0𝑉0 𝑅𝐶 2 v0 V0 A tensão será sempre uma exponencial genericamente dada por 𝑣 𝑡 𝐴 𝑒𝑠𝑡 sendo A e s constantes a serem determinadas Circuito RLCParalelo Sem Fonte Da mesma forma substituindo 𝐴 𝑒𝑠𝑡 na equação diferencial obtemos 𝑑2𝑣 𝑑𝑡2 1 𝑅𝐶 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑣 𝐿𝐶 𝐴 𝑠2𝑒𝑠𝑡 𝐴 𝑅𝐶 𝑠 𝑒𝑠𝑡 𝐴 𝐿𝐶 𝑒𝑠𝑡 0 ou 𝐴 𝑒𝑠𝑡 𝑠2 1 𝑅𝐶 𝑠 1 𝐿𝐶 0 Novamente a equação tem duas raízes chamadas s1 e s2 Circuito RLCParalelo Sem Fonte 𝑠12 1 2𝑅𝐶 1 2𝑅𝐶2 1 𝐿𝐶 Fazendo 𝛼 1 2𝑅𝐶 𝑒 𝜔0 1 𝐿𝐶 então 𝑠12 𝛼 𝛼2 𝜔02 Ainda temos 𝜔𝑑 𝛼2 𝜔02 As raízes s12 são chamadas de frequências naturais em Neperss a é o fator de amortecimento w0 é chamada de frequência de ressonância dada em rads Reescrevendo a equação em termos de a e w0 𝑠2 2𝛼𝑠 𝜔02 0 Circuito RLCParalelo Sem Fonte Também aqui existem quatro possibilidades de resposta para s12 1 Se a w0 s1s2 e Reais SUPERAMORTECIDO 𝑣 0 𝑉0 𝐴1 𝐴2 e 𝑑𝑣 0 𝑑𝑡 𝑅𝐼0𝑉0 𝑅𝐶 𝑠1𝐴1 𝑠2𝐴2 𝑣 𝑡 𝐴1𝑒𝑠1𝑡 𝐴2𝑒𝑠2𝑡 2 Se a w0 s1s2 e Reais CRITICAMENTE AMORTECIDO Então L 4𝐶𝑅2 𝑠12 𝛼 𝑣 0 𝑉0 𝐴2 e 𝑑𝑣 0 𝑑𝑡 𝑅𝐼0𝑉0 𝑅𝐶 𝐴1 𝛼𝐴2 𝑣 𝑡 𝑡 𝐴1𝐴2𝑒𝛼𝑡 Circuito RLCParalelo Sem Fonte Também aqui existem quatro possibilidades de resposta para s12 3 Se a w0 s1s2 complexos conjugados SUBAMORTECIDO 𝑣 0 𝑉0 𝐵1 e 𝑑𝑣 0 𝑑𝑡 𝑅𝐼0𝑉0 𝑅𝐶 𝛼𝐵1 𝜔𝑑𝐵2 𝑣 𝑡 𝑒𝛼𝑡 𝐵1cos𝜔𝑑𝑡 𝐵2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 4 Se a0 e w0 wd então s1s2 imaginário puro OSCILATÓRIO 𝑣 𝑡 𝐵1cos𝜔𝑑𝑡 𝐵2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 RCL natural Resumo Serie Paralelo s12 𝛼 𝛼2 𝜔02 𝛼 𝑅 2𝐿 1 2𝑅𝐶 𝜔0 1 𝐿𝐶 𝜔𝑑 𝛼2 𝜔02 Variável xt it série ind vt paralela cap Condição inicial i0 I0 𝑑𝑖 0 𝑑𝑡 1 𝐿 𝑅 𝐼0 𝑉0 v0 V0 𝑑𝑣 0 𝑑𝑡 𝑅 𝐼0 𝑉0 𝑅𝐶 RCL natural Resumo Tipo Condição inicial Equação solução a w0 SUPER AMORTECIDO 𝑥 0 𝐴1 𝐴2 𝑑𝑥 0 𝑑𝑡 𝑠1𝐴1 𝑠2𝐴2 𝑥 𝑡 𝐴1𝑒𝑠1𝑡 𝐴2𝑒𝑠2𝑡 a w0 CRITICAMENTE AMORTECIDO 𝑥 0 𝐴1 𝑑𝑥 0 𝑑𝑡 𝛼𝐴1 𝐴2 x 𝑡 𝐴1𝑡 𝐴2𝑒𝛼𝑡 a w0 SUB AMORTECIDO 𝑥 0 𝐵1 𝑑𝑥 0 𝑑𝑡 𝛼𝐵1 𝜔𝑑𝐵2 𝑥 𝑡 𝑒𝛼𝑡 𝐵1cos𝜔𝑑𝑡 𝐵2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 a 0 OSCILAÇÃO LIVRE 𝑥 0 𝐵1 𝑑𝑥 0 𝑑𝑡 𝜔𝑑𝐵2 𝑥 𝑡 𝐵1cos𝜔𝑑𝑡 𝐵2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡