Controle por Modelo Interno (IMC) em Processos Industriais

Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt CONTROLE POR MODELO INTERNO IMC 1 Introdução Dois tipos de problema são básicos na área de controle o problema do regulador onde o controlador é desenvolvido visando rejeitar as perturbações e o problema do servo em que o projeto do controlador busca fazer com que a saída do sistema rastreie a referência Neste texto são apresentadas estruturas IMC Internal Model Control com as quais os dois problemas regulador e servo podem ser resolvidos de maneira satisfatória Uma coisa boa sobre o procedimento IMC é que ele resulta num controlador com um único parâmetro de sintonia Existe uma grande variedade de técnicas para projeto de algoritmos de controle no entanto todos sabem que ainda hoje em dia 2023 o algoritmo de controle mais empregado industrialmente continua sendo o PID Neste texto será mostrado que o diagrama de blocos do IMC pode ser reorganizado na forma de um diagrama de controle de realimentação padrão Em seguida será mostrado que o controlador desta estrutura IMC é equivalente a um PID para uma série de funções de transferência de processos industriais comuns A ideia básica no projeto IMC consiste em incluir na malha de controle um modelo aproximado do processo a controlar A figura a seguir mostra o diagrama geral para um controlador IMC figura 1 Diagrama de blocos do controlador IMC Onde 𝑄 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟 𝐺 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝐺 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 Empregando a fórmula de Mason podemos encontrar diretamente as funções de transferência 𝑦𝑟 𝑟 e 𝑦𝑑 𝑑 do sistema 𝑦𝑟 𝑟 𝑄𝐺 1 𝑄𝐺 𝑄𝐺 𝑄𝐺 1 𝑄𝐺 𝐺 1 Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt CONTROLE POR MODELO INTERNO IMC 𝑦𝑑 𝑑 1 𝑄𝐺 1 𝑄𝐺 𝑄𝐺 1 𝑄𝐺 1 𝑄𝐺 𝐺 2 Considerando 𝑟 0 𝑑 0 e sistema linear então a saída 𝑦 𝑦𝑟 𝑦𝑑 será 𝑦 𝑄𝐺 1 𝑄𝐺 𝐺 𝑟 1 𝑄𝐺 1 𝑄𝐺 𝐺 𝑑 3 Considerando que o modelo seja exato 𝐺 𝐺 resulta em 𝑦 𝑄𝐺𝑟 1 𝑄𝐺 𝑑 4 Neste caso se a planta 𝐺 for estável a condição para que o sistema seja estável é que o controlador 𝑄 seja estável A primeira parcela do lado direito da equação 4 representa como a estrutura IMC lida com o problema servo e a segunda parcela como lida com o problema regulador Ao analisar as parcelas separadamente notase que o controlador se apresenta como um sistema em malha aberta tanto em relação a referência quanto em relação a perturbação o que favorece o alcance de um bom desempenho dessa estrutura perante dois tipos de problemas Além disso a estrutura IMC como será mostrado mais à frente nesse texto incluirá sempre um integrador no controle resultante assegurando erro de regime permanente nulo para entrada em degrau 2 Projeto de Controladores por Modelo Interno IMC Considere o diagrama geral para um sistema de controle realimentado da figura abaixo conforme SKOGESTAD POSTLETHWAIT 2000 Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt CONTROLE POR MODELO INTERNO IMC figura 2 Diagrama geral para um sistema de controle realimentado Onde 𝑛 𝑟𝑢í𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖çã𝑜 𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒 𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡ú𝑟𝑏𝑖𝑜 𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑢 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐺𝑑 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑡ú𝑟𝑏𝑖𝑜 As seguintes notações e terminologias são empregadas SKOGESTAD POSTLETHWAIT 1986 𝐿 𝐺𝐾 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑙𝑎ç𝑜 𝑆 𝐼 𝐺𝐾1 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑇 𝐼 𝐺𝐾1𝐺𝐾 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑡𝑎𝑟 Vemos que 𝑆 é a função de transferência em malha fechada MF para a saída de 𝐺𝑑 até a saída do sistema enquanto 𝑇 é a função de transferência em MF do sinal de referência e a saída O termo sensitividade complementar para 𝑇 decorre de 𝑇 𝐼 𝑆 Para o sistema da figura 1 com 𝐺 0 𝑆 1 1 𝑄𝐺 5 A equação 4 repetida a seguir mostra que para obter 𝑆 0 rejeição total a perturbações deve se fazer 𝑄 𝐺1 Além disto obtémse um rastreamento perfeito da referência 𝑦 𝑟 𝑦 𝑄𝐺𝑟 1 𝑄𝐺 𝑑 4 No entanto fazer 𝑄 𝐺1 pode não ser possível RIVERA MORARI SKOGESTAD 1985 enumeram as seguintes situações que vão impossibilitar 𝑄 𝐺1 a Zeros no semiplano direito SPD Neste caso 𝐺1 terá polos no semiplano direito e será portanto instável b Retardo puro no tempo 𝑒𝜃𝑠 𝐺1 terá avanço puro no tempo 𝑒𝜃𝑠 e será não causal ou não realizável c O modelo do processo é estritamente próprio 𝐺1 será impróprio e portanto não realizável A solução para os problemas a e b é fatorar em duas a planta 𝐺 𝐺 𝐺𝐺 Sendo que a planta 𝐺 deve conter a parte ruim ou seja zeros no semiplano direito eou retardo puro Assim a planta boa 𝐺 será estável e realizável Desse modo utilizar no projeto a planta incompleta 𝐺1 é melhor que usar 𝐺1 Para resolver o problema da planta estritamente própria da letra c devese multiplicar 𝐺1 por um filtro de modo que o número de polos se torne igual ou maior que o número Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt CONTROLE POR MODELO INTERNO IMC de zeros Para isto o filtro deve conter um número de polos 𝑁 minimamente necessários para que o número de polos controlador 𝑄 seja igual ou maior que o número de zeros Além de garantir causalidade o filtro também ajuda a aumentar a robustez do sistema Em geral as diferenças entre o modelo e a planta real se acentuam em sinais de alta frequência por causa disso o filtro passa baixa 𝑇𝑓 ajuda a atenuar essas diferenças 𝑄 𝐺1𝑇𝑓 Onde 𝑇𝑓 1 𝜆𝑠 1𝑁 O parâmetro 𝜆 que aparece em 𝑇𝑓 determina a velocidade da resposta do sistema Maiores valores de 𝜆 aumentam a constante de tempo em malha fechada e diminuem a velocidade dessa resposta Valores pequenos de 𝜆 acentuam a velocidade da resposta O parâmetro 𝜆 deve ser ajustado durante o teste de desempenho do sistema um valor grande de 𝜆 confere em geral maior robustez ao sistema RIVERA 1999 3 Controladores IMCPID e IMCPI A estrutura IMC mostrada na figura 1 pode ser modificada para uma forma equivalente mostrada na figura 3 Esta nova representação IMC é mais apropriada para obtenção de uma função de transferência para o controlador 𝐶𝑠 como a de um clássico sistema realimentado 𝐶𝑠 𝑄𝑠 1 𝐺𝑠𝑄𝑠 9 Figura 3 Diagrama de blocos da estrutura IMC equivalente Observe que Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt CONTROLE POR MODELO INTERNO IMC Na formulação IMC o controlador 𝐶𝑠 é baseado diretamente na parte boa da função de transferência do processo 𝐺𝑠 Esta formulação resulta geralmente em apenas um parâmetro de ajuste 𝜆 a constante de tempo de malha fechada 𝜆 é o fator de filtro do IMC Os parâmetros de ajuste do PID são então uma função desta constante de tempo em malha fechada A seleção da constante de tempo em malha fechada está diretamente relacionada à robustez sensibilidade ao erro do modelo do sistema em malha fechada 31 Controlador IMCPI Seja encontrar um PI equivalente a um IMC para um processo de 1ª ordem 𝐺𝑠 𝐾 𝜏𝑠 1 O 1º passo é encontrar a função de transferência do IMC 𝐶𝑠 𝑄𝑠 1 𝐺𝑠𝑄𝑠 𝐺1𝑇𝑓 1 𝐺𝐺1𝑇𝑓 𝜏𝑠 1 𝐾 1 𝜆𝑠 1 1 1 𝜆𝑠 1 𝜏𝑠 1 𝐾𝜆𝑠 10 Sendo a função de transferência de um 𝑃𝐼 𝑃𝐼𝑠 𝐾𝑐 𝜏𝑖𝑠 1 𝜏𝑖𝑠 11 Multiplicando 10 por 𝜏 𝜏 para se ajustar à forma de 11 resulta 𝐶𝑠 𝜏 𝐾𝜆 𝜏𝑠 1 𝜏𝑠 𝐾𝑐 𝜏𝑖𝑠 1 𝜏𝑖𝑠 Logo 𝐾𝑐 𝜏 𝐾𝜆 𝑒 𝜏𝑖 𝜏 12 O procedimento de projeto PI baseado em IMC para um processo de primeira ordem resultou em um controle PI Para um algoritmo PI seria necessário ajustar dois parâmetro 𝐾𝑐 e 𝜏𝑖 com o procedimento baseado em IMC apenas o ganho proporcional precisa ser ajustado O tempo integral é simplesmente igualado à constante de tempo do processo Percebese que o ganho proporcional está inversamente relacionado a λ o que faz sentido Se λ é pequeno a malha fechada é rápida e o ganho do controlador deve ser grande Da mesma forma se λ for grande malha fechada é lenta o ganho do controlador deve ser pequeno Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt CONTROLE POR MODELO INTERNO IMC Exercício Considere um sistema de controle de rotação em que o modelo do motortacômetro foi identificado como 𝐺𝑚 1712 𝑠5851 2926 0171𝑠1 Encontre os valores de ajuste para um controlador IMCPI Diretamente das equações 12 𝑘𝑝 0171 2926 1 00584 𝜏𝑖 1 5851 0171 A seguir Código Matlab para este problema com 𝜆 variando de 02 até 2 ICMPI para Gp 29260171s 1 clearclc fa 100 Ta 1fa t 0Ta10 N lengtht K 2926 tau 0171 lambda 02022 Gm tfKtau 1 lambda 02022 N lengthlambda for i1N Gc tftauKlambdaitau 1tau 0 G GcGm Gmf feedbackG1 y stepGmft figure1plotty hold on end grid hold off titleICMPI lambda variando de 02 até 2 xlabelTempo em segundos ylabelResposta ao degrau Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt CONTROLE POR MODELO INTERNO IMC 32 Controlador IMCPID Considere encontrar um PID equivalente a um IMC para um processo de 2ª ordem 𝐺𝑠 𝐾 𝜏1𝑠 1𝜏2𝑠 1 Primeiro vamos encontrar a função de transferência 𝑄𝑠 𝑄𝑠 𝐺1𝑠𝑇𝑓𝑠 𝜏1𝑠 1𝜏2𝑠 1 𝐾 1 𝜆𝑠 1 13 Em seguida vamos encontrar o controlador realimentado padrão 𝐶𝑠 𝐶𝑠 𝑄𝑠 1 𝐺𝑠𝑄𝑠 𝜏1𝑠 1𝜏2𝑠 1 𝐾𝜆𝑠 1 1 𝐾 𝜏1𝑠 1𝜏2𝑠 1 𝜏1𝑠 1𝜏2𝑠 1 𝐾𝜆𝑠 1 Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt CONTROLE POR MODELO INTERNO IMC 𝐶𝑠 𝜏1𝜏2𝑠2 𝜏1𝜏2𝑠 1 𝐾𝜆𝑠 14 A equação do PID clássico é 𝑃𝐼𝐷𝑠 𝐾𝑐 1 1 𝜏𝑖𝑠 𝜏𝑑𝑠 𝐾𝑐 𝜏𝑖𝜏𝑑𝑠2 𝜏𝑖𝑠 1 𝜏𝑖𝑠 15 Comparando 14 com 15 temos 𝜏𝑖 𝜏1𝜏2 Multiplicando 14 por 𝜏1𝜏2𝜏1𝜏2 𝐶𝑠 𝜏1𝜏2 𝐾𝜆 𝜏1𝜏2𝑠2 𝜏1𝜏2𝑠 1 𝜏1𝜏2𝑠 De onde obtemos as relações 𝐾𝑐 𝜏1𝜏2 1 𝐾𝜆 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝐾𝑐 𝜏1𝜏2 𝐾𝜆 𝜏𝑑 𝜏1𝜏2 𝜏1𝜏2 Então para implementar um IMC empregando um algoritmo PID deve se utilizar os ajustes da equações a seguir Observe que o único parâmetro a ser ajustado é 𝜆 𝐾𝑐 𝜏1𝜏2 𝐾𝜆 𝜏𝑖 𝜏1𝜏2 𝜏𝑑 𝜏1𝜏2 𝜏1𝜏2 16 Exercício Considere um sistema de controle de rotação em que o modelo do motortacômetrofiltro de ruído foi identificado como 𝐺𝑚 2926 0171𝑠105𝑠1 Baseado neste modelo de 2ª ordem identificado determine os ajustes para um algoritmo de controle PID Do modelo 𝐾 2926 𝜏1 0171 𝜏2 05 Empregando as equações 227 𝐾𝑐 𝜏1𝜏2 𝐾𝜆 02293 𝜆 𝜏𝑖 0671 𝜏𝑑 01274 A seguir Código Matlab para este problema com 𝜆 variando de 02 até 2 ICMPID para Gp 29260171s 105s1 clearclc fa 100 Ta 1fa t 0Ta10 N lengtht K 2926 tau1 0171 tau2 05 Gm tfKconvtau1 1tau2 1 lambda 02022 N lengthlambda Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt CONTROLE POR MODELO INTERNO IMC for i1N Kc tau1tau2Klambdai Ki 1tau1tau2 Kd tau1tau2tau1tau2 Gc tfKcKd1 Kd KiKd1 0 G GcGm Gmf feedbackG1 y stepGmft figure1plotty hold on pause end grid hold off titleICMPID lambda variando de 02 até 2 xlabelTempo em segundos ylabelResposta ao degrau Na figura a seguir a resposta ao degrau para o sistema em MF A saída com maior sobre sinal corresponde a 𝜆 02 e a mais lenta a 𝜆 2 Na simulação o melhor resultado resposta mais rápida sem sobre sinal é obtida com 𝜆 10 22 Controlador IMC para sistemas com retardo puro Para obter um PI ou PID equivalente para plantas com retardo puro é necessário utilizar alguma aproximação para esse retardo Isso será feito empregando uma aproximação de Padé de 1ª ordem ou de ordem zero Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt CONTROLE POR MODELO INTERNO IMC 221 Projeto IMCPID para planta de 1ª ordem com retardo puro Seja encontrar um controlador PID que aproxima um IMC para um processo de 1ª ordem com retardo puro 𝐺𝑠 𝐾𝑒𝜃𝑠 𝜏𝑠 1 17 Primeiro vamos empregar uma aproximação de Padé de 1ª ordem 𝑒𝜃𝑠 05𝜃𝑠1 05𝜃𝑠1 Então 𝐺𝑠 𝐾𝑒𝜃𝑠 𝜏𝑠 1 𝐾05𝜃𝑠 1 𝜏𝑠 105𝜃𝑠 1 18 Vamos retirar a parte ruim de 𝐺𝑠 𝐺1𝑠 𝐾 𝜏𝑠 105𝜃𝑠 1 Em seguida formamos o controlador ideal 𝑄𝑠 𝜏𝑠 105𝜃𝑠 1 𝐾 Na sequência adicionaremos o filtro Para tornar o controlador próprio seria necessário um filtro de 2ª ordem 𝑁 2 No entanto não vamos fazer isto porque se fizermos não será possível encontrar o PID equivalente Então 𝑄𝑠 𝜏𝑠 105𝜃𝑠 1 𝐾 1 𝜆𝑠 1 Agora vamos encontrar o PID equivalente 𝐶𝑠 𝑄𝑠 1 𝐺𝑠𝑄𝑠 𝜏𝑠 105𝜃𝑠 1 𝐾 1 𝜆𝑠 1 1 𝐾05𝜃𝑠 1 𝜏𝑠 105𝜃𝑠 1 𝜏𝑠 105𝜃𝑠 1 𝐾 1 𝜆𝑠 1 𝐶𝑠 𝜏𝑠 105𝜃𝑠 1 𝐾 1 𝜆𝑠 1 1 05𝜃𝑠 1 𝜆𝑠 1 1 𝐾 𝜏𝑠 105𝜃𝑠 1 𝜆 05𝜃𝑠 Expandindo o numerador 𝐶𝑠 1 𝐾 05𝜏𝜃𝑠2 𝜏 05𝜃𝑠 1 𝜆 05𝜃𝑠 19 Multiplicando 19 por 𝜏 05𝜃 𝜏 05𝜃 e comparando com a equação do PID repetida abaixo encontramos os parâmetros do PID Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt CONTROLE POR MODELO INTERNO IMC 𝐶𝑠 𝜏 05𝜃 𝜏 05𝜃 1 𝐾 05𝜏𝜃𝑠2 𝜏 05𝜃𝑠 1 𝜆 05𝜃𝑠 𝑃𝐼𝐷𝑠 𝐾𝑐 𝜏𝑖𝜏𝑑𝑠2 𝜏𝑖𝑠 1 𝜏𝑖𝑠 𝐾𝑐 𝜏 05𝜃 𝐾𝜆 05𝜃 𝜏𝑖 𝜏 05𝜃 𝜏𝑑 𝜏𝜃 2𝜏 𝜃 20 O procedimento de projeto do controlador PID baseado em IMC resultou num controlador PID para um processo de primeira ordem retardo puro Lembrese que uma aproximação de Padé para o retardo puro foi usada nesse desenvolvimento o que significa que o fator de filtro não pode ser feito arbitrariamente pequeno Rivera et al 1986 recomendam que 𝜆 08𝜃 por causa da incerteza do modelo devido a aproximação de Padé A seguir código Matlab ICMPIDLAG para Gp exp5s292601711 clearclc fa 100 Ta 1fa t 0Ta20 N lengtht s tfs K 2926 tau 0171 teta 2 Gm exptetastfKtau 1 lambda 1023 N lengthlambda for i1N Kc tau05tetaKlambdai05teta Ki 1tau05teta Kd tauteta2tetatau Gc tfKcKd1 Kd KiKd1 0 G GcGm Gmf feedbackG1 y stepGmft figure1plotty hold on pause end grid hold off titleICMPIDLAG lambda variando de 1 até 3 xlabelTempo em segundos ylabelResposta ao degrau Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt CONTROLE POR MODELO INTERNO IMC Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt CONTROLE POR MODELO INTERNO IMC Referências Abreu Marcus Paulo Silva Síntese de controladores multivariáveis baseados em controle por modelo interno e otimização evolucionária multiobjetivo Marcus Paulo Silva de Abreu 2019