Resposta em Frequência: Método e Aplicações em Sistemas de Controle

Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 1 O Método da Resposta em Frequência 1 Introdução O termo resposta em frequência significa a resposta estacionária 𝑦𝑡 de um sistema quando a entrada aplicada nele for uma senoide genérica 𝑥𝑡 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜃 Através da resposta em frequência para um sistema em malha aberta podese determinar a estabilidade deste sistema em malha fechada Além disto através da técnica da resposta em frequência é possível determinar quais modificações devem ser feitas na função de transferência em malha aberta para a obtenção das características de desempenho desejadas em malha fechada O método é muito utilizado para desenvolvimento de protótipos de laboratório pois uma entrada senoidal de frequência variável é fácil de ser gerada O gráfico aproximado da resposta em frequência de funções de transferência de sistemas de ordem bem elevada pode ser traçado com relativa facilidade o que torna esta abordagem muito própria também para aplicações de campo Uma limitação desta técnica é que somente é obtida uma informação qualitativa da resposta transitória pois a correlação entre as respostas em frequência e transitória é indireta exceto no caso de sistemas de segunda ordem 11 A Resposta em Frequência de um sistema linear invariante no tempo definido por sua resposta ao impulso ℎ𝑡 é determinada por 𝐻𝑗𝜔 ℎ𝑡𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 1 A condição para a existência de 𝐻𝑗𝜔 é ℎ𝑡𝑑𝑡 2 Observe que a transformada de Laplace de ℎ𝑡 é 𝐻𝑠 ℎ𝑡𝑒𝑗𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑚 𝑠 𝜎 𝑗𝜔 3 Então 𝐻𝑗𝜔 𝐻𝑠𝑠𝑗𝜔 Logo podemos obter a resposta em frequência de funções diretamente das tabelas de transformada de Laplace com a substituição 𝑠 0 𝑗𝜔 2 Obtenção da Resposta em Frequência Regra Geral Um sistema linear estável invariante no tempo e sujeito a uma entrada senoidal figura1 resulta em regime estacionário numa saída senoidal com a mesma frequência da entrada Porém a amplitude e o ângulo de fase da saída serão em geral diferentes daquelas da entrada Pode ser demonstrado Dorf cap8 que para um sistema linear estável invariante no tempo submetido a uma entrada senoidal a saída será dada por Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 2 figura 1 Onde 𝑦𝑠𝑠 𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜 𝐻𝑗𝜔0 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐻𝑗𝜔 𝑟𝑒𝑎𝑙𝐻𝑗𝜔02 𝑖𝑚𝑎𝑔𝐻𝑗𝜔02 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜔 𝜔0 𝑎𝑟𝑔𝐻𝑗𝜔0 𝑡𝑔1 𝑖𝑚𝑎𝑔𝐻𝑗𝜔0 𝑟𝑒𝑎𝑙𝐻𝑗𝜔0 Observe que este resultado é válido em estado estacionário quando os modos exponenciais de ht já tenderam a zero Isso porque 𝑥𝑡 é uma função de excitação e a saída forçada de qualquer sistema LIT inclui sempre dois termos 𝑦𝐹𝑡 que contém os modos do próprio sistema ℎ𝑡 que são exponenciais decrescentes já que ℎ𝑡 é estável 𝑦𝑁𝑡 contém os modos da excitação que neste caso é uma função senoidal de amplitude constante 𝑦𝑡 𝑦𝐹𝑡 𝑦𝑁𝑡 Exemplo 1 A resposta ao impulso de um sistema de 1ª ordem como o filtro RC da figura 2 é ℎ𝑡 1 𝑅𝐶 𝑒𝑡 𝑅𝐶 𝑢𝑡 Encontre a resposta em frequência deste sistema Sendo a constante de tempo do sistema 𝜏 𝑅𝐶 ht Sistema LIT Estável 𝑥𝑡 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑡 𝜃 𝑦𝑠𝑠𝑡 𝐴𝐻𝑗𝜔0𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑡 𝜃 Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 3 A equação geral para a resposta em frequência é 𝐻𝑗𝜔 ℎ𝜏𝑒𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏 Para o filtro RC 𝐻𝑗𝜔 1 𝑅𝐶 𝑒𝜏 𝑅𝐶 𝑢𝜏𝑒𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏 1 𝑅𝐶 𝑒𝜏 𝑅𝐶 𝑒𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏 0 1 𝑅𝐶 𝑒𝜏1 𝑅𝐶 𝑗𝜔𝑑𝜏 0 𝐻𝑗𝜔 1 𝑅𝐶 1 𝑗𝜔 1 𝑅𝐶 𝑒𝑗𝜔1 𝑅𝐶 𝜏0 𝐻𝑗𝜔 1 𝑅𝐶 1 𝑗𝜔 1 𝑅𝐶 0 1 𝐻𝑗𝜔 1 𝑅𝐶 𝑗𝜔 1 𝑅𝐶 O módulo desta resposta em frequência será 𝐻𝑗𝜔 1 𝑅𝐶 𝜔2 1 𝑅𝐶 2 E a fase 𝜙𝜔 𝑎𝑟𝑔𝐻𝑗𝜔 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝜔𝑅𝐶 3 Diagramas de Bode A resposta em frequência de um sistema LIT e estável 𝐺𝑗𝜔 pode ser expressa como G j G j tg Gj Gj 1 parte imaginaria de parte real de Num diagrama de Bode o módulo Gj e a fase de Gj são plotadas em dois gráficos um fornecendo o módulo versus frequência e o outro a fase versus frequência No diagrama de bode a frequência é colocada em escala logarítmica e o módulo é marcado em decibéis db 20log Gj a base do logaritmo é 10 observe que Gj 1 resulta 20 log 1 0 db Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 4 Gj 10 resulta 20 log 10 20 db Gj 01 resulta 20 log 01 20 db Gj 100 resulta 20 log 100 40 db A principal vantagem de usar um gráfico logarítmico é que produtos de módulos são convertidos em simples adições e divisões em subtrações Observe ainda que não é possível construir o gráfico até a frequência zero porque log 0 Fatores Básicos Uma função de transferência geralmente pode ser decomposta num produto de quatro tipos de fatores que são 1 Ganho K 2 Fatores integral e derivativo j 1 3 Fatores de primeira ordem 1 1 j T 1 𝑗𝜔𝜏1 𝜏 é 𝑎 constante de tempo do sistema 4 Fatores quadráticos 1 2 2 1 j j n n Como a escala é logarítmica podemos formar o gráfico da função de transferência completa somando os gráficos dos fatores individuais Além disto o processo de obtenção do gráfico pode ser ainda mais simplificado quando empregamos aproximações assintóticas para as curvas Veremos em seguida o traçado de cada fator O ganho K O logaritmo de um número maior que um possui um valor positivo e o logaritmo de um número K tal que 0 K 1 um valor negativo em decibéis db 0 A curva do logmódulo para um ganho constante K é uma reta horizontal de valor 20logK O ângulo de fase do ganho K é nulo O efeito da variação do ganho K num diagrama de bode é que ele desloca para cima ou para baixo a curva do logmódulo de Gj de uma quantidade 20logK decibéis A curva de ângulo de fase não é afetada Note ainda que expresso em decibéis o recíproco de um número difere do seu valor apenas pelo sinal porque 20 log 𝐾1 20log𝐾 Os Fatores Integral e Derivativo j 1 O módulo logarítmico de 1j em db é 20 1 20 20 1 log log log j db O ângulo de fase de 1 j é Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 5 tg 1 1 0 90 Portanto uma reta constante igual a 90o quando 1 resulta 0 db 10 resulta 20 db 100 resulta 40 db 𝜔 01 resulta 20 𝑑𝑏 Mas num gráfico logarítmico a distância entre 1 e 10 é igual a distância entre 10 e 100 Por isto a reta para j1 tem uma inclinação tal que a cada década de variação na frequência o módulo varia 20db Ou seja a inclinação é de 20dbdécada O código Matlab a seguir plota os gráficos de módulo e fase dos fatores integral e derivativo clearclc omega logspace22500 G1 tf11 0 G2 tf1 01 figure1bodeG1G2omegagrid Módulo e fase para os fatores 𝑗𝜔 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜 e 1𝑗𝜔 𝑎𝑧𝑢𝑙 Se a função de transferência contém o fator 1 j n n ou j o logmódulo será Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 6 20log 1 j ou 20log j n n j n db n j n db n 20 20 20 20 log log log log As respectivas inclinações serão portanto 20n db década e 20n db década O ângulo de fase de 1 j n é 90 n e o ângulo de fase de jn será 90 n em toda a faixa de frequência A figura a seguir mostra módulo e fase para 𝑗𝜔1 𝑒 𝑗𝜔2 Módulo e fase para 𝑗𝜔1 𝑒 𝑗𝜔2 Fatores de Primeira Ordem 1jT 1 O logmódulo do fator de primeira ordem 1 1 j T é 20 1 1 20 1 2 2 log log j T T db Para baixas frequências 2 2 T 1 portanto 20log 1 2 T db 2 0 Para altas freqüências 2 2 T 1 portanto 20log 1 2 T T db 2 20 log Quando 1T resulta 0 db Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 7 10T resulta 20 db 100T resulta 40 db Portanto para baixas frequências a curva logmódulo tende assintoticamente para uma reta de 0 db e à medida que a frequência aumenta tende assintoticamente para uma reta com inclinação 20db década A frequência 1T determina o ponto de encontro das duas assíntotas e é por isto denominada frequência de canto Veja a figura a seguir O ângulo de fase exato do fator 1 1 j T T é tan1 Portanto 0 0o 1T 45o 90o O erro máximo na curva de módulo causado pela aproximação assintótica ocorre na frequência de canto com 𝜔 1 𝜏 e pode ser calculado 𝑒𝑚𝑎𝑥𝑑𝑏 0 20𝑙𝑜𝑔1 1 20𝑙𝑜𝑔2 301𝑑𝑏 Para o fator recíproco 1jT as curvas logmódulo e fase são obtidas simplesmente trocando se o sinal desde que Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 8 20 1 20 1 1 1 1 log log j T j T j T tg T A frequência de canto é a mesma em ambos os casos A inclinação para altas frequências é 20dbdécada e o ângulo de fase varia entre 0 e 90o Veja a figura a seguir Módulo e fase para o fator 1 j Para o caso em que a função de transferência envolve fatores do tipo 1jTn a construção assintótica é similar A frequência de canto continua sendo 1T e as assíntotas são retas A assíntota horizontal é uma reta em 0db e as inclinações das assíntotas de alta frequência são 20n dbdécada O ângulo de fase e n vezes aquele de 1jT1 na freqüência correspondente Os erros envolvidos nas representações assintóticas são também n vezes o correspondente a 1jT1 Fatores Quadráticos 𝐺𝑠 𝜔𝑛2 𝑠2 2𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛2 0 𝜁 1 𝐿𝑜𝑔𝑜 𝐺𝑗𝜔 𝜔𝑛2 𝑗𝜔2 2𝜁𝜔𝑛𝑗𝜔 𝜔𝑛2 𝐺𝑗𝜔 1 1 2𝜁 𝑗𝜔 𝜔𝑛 𝑗𝜔 𝜔𝑛 2 Uma notação também muito utilizada Dorf por exemplo é definir 𝑢 𝜔 𝜔𝑛 Então o fator quadrático pode ser escrito como 𝐺𝑢 1 1 𝑗2𝜁𝑢 𝑢2 Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 9 Quando 1 então o fator quadrático pode ser expresso como um produto de dois fatores de 1o ordem com polos reais Se 0 1 o fator quadrático será o produto de dois fatores complexos conjugados 20 20 1 1 2 2 log log G j j j db n n 20 20 1 2 2 2 2 2 log log G j n n Quando n 20 20 1 0 log log G j db Portanto uma reta sobre a linha 0 db Quando n 20 20 40 2 log log log G j db n n Então a assíntota de alta frequência é uma reta Para essa assíntota quando n Gj 40log1 0db 10n Gj 40log10 40db 100n Gj 40log100 80db A inclinação da reta é 40db pois para cada década de variação de o módulo varia em 40db A intercessão entre as assíntotas de baixa e alta frequência ocorre em n pois neste caso Gj 0db Esta é a frequência de canto do fator quadrático É preciso notar que as duas assíntotas independem do valor de O ângulo de fase do fator quadrático é 1 1 2 j n n j tg n n 2 1 2 1 2 O ângulo de fase é função de e de Quando Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 10 𝜔 0 𝜙 𝑡𝑔10 0𝑜 𝜔 𝜔𝑛 𝜙 𝑡𝑔1 2𝜁 0 90𝑜 𝜔 𝜙 𝑡𝑔1 2𝜁𝜔𝑛 𝜔 180𝑜 A figura a seguir mostra módulo e fase para o fator quadrático 1 2 2 1 j j n n para diversos valores de Observe que a curva do ângulo de fase é antissimétrica em relação a 90o o qual é o ponto de inflexão As curvas de resposta em frequência para o fator 1 2 2 1 j j n n são obtidas simplesmente invertendose o sinal das expressões para módulo e fase já vistas Frequência de Ressonância 𝜔𝑟 e valor de pico ressonante 𝑀𝑝𝜔 O valor máximo do módulo de 𝐺𝑗𝜔 denominado 𝑀𝑝𝜔 ocorre na frequência de ressonância 𝜔𝑟 Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 11 A frequência de ressonância corresponde ao máximo valor de 𝐺𝑗𝜔 𝐺𝑗𝜔 1 1 𝜔2 𝜔𝑛2 2 2𝜁𝜔 𝜔𝑛 2 11 Como o numerador é constante esse máximo ocorrerá no mínimo valor do denominador 1 𝜔2 𝜔𝑛2 2 2𝜁𝜔 𝜔𝑛 2 12 Chamando 𝑢 𝜔 𝜔𝑛 e substituindo em 12 1 𝑢22 4𝜁2𝑢2 𝑢4 𝑢22 4𝜁2 1 Derivando em relação a 𝑢 e igualando a derivada a zero para encontrar o mínimo da função 4𝑢3 4𝑢 8𝑢𝜁2 4𝑢3 4𝑢1 2𝜁2 0 Como 𝑢 𝜔 𝜔𝑛 0 podemos dividir os dois lados por 4𝑢 𝑢2 1 2𝜁2 𝜔 𝜔𝑛 1 2𝜁2 Logo o máximo 𝐺𝑗𝜔 ocorrerá com 𝜔 𝜔𝑛1 2𝜁2 13 A esta frequência 𝜔 corresponderá o valor máximo 𝑀𝑝𝜔 Logo 𝜔𝑟 𝜔𝑛1 2𝜁2 14 A substituição de 𝜔𝑟 𝜔𝑛1 2𝜁2 em 𝐺𝑗𝜔 resulta em 𝑀𝑝𝜔 𝐺𝑗𝜔𝑟 1 2𝜁1 𝜁2 15 Note que o valor do pico só depende de 𝜁 e tende para infinito quando 𝜁 0 o que corresponderia a um sistema sem atrito Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 12 Procedimentos para traçar o Diagrama de Bode 1 Inicialmente escreva a função de transferência Gj como um produto de fatores básicos 2 Identifique as frequências de canto relativas a cada um dos fatores básicos 3 Trace as curvas assintóticas dos fatores básicos 4 Trace a curva geral somando as individuais 5 A curva geral do ângulo de fase pode ser esboçada adicionandose as curvas de ângulos de fase dos fatores individuais Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 13 Exemplo de traçado do Diagrama de Bode Considere fazer o esboço do diagrama de Bode para 𝐺𝑠 a seguir 𝐺𝑠 2500𝑠 10 𝑠𝑠 2𝑠2 30𝑠 2500 Para o fator quadrático 𝑠2 30𝑠 2500 𝑠2 2 𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛2 Então 𝜔𝑛 50 e 2𝜁𝜔𝑛 30 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝜁 03 Então escrevemos 𝐺𝑗𝜔 na forma de seus fatores básicos 𝐺𝑗𝜔 250001 𝑗𝜔10 2 2500 𝑗𝜔1 𝑗𝜔21 𝑗06𝜔50 𝑗𝜔 50 2 Os fatore básicos são 1 Um ganho 𝐾 5 20 log5 14𝑑𝐵 2 Um polo na origem 20𝑑𝐵𝑑𝑒𝑐𝑎𝑑𝑎 3 Um polo em 𝜔 2 𝜏1 05 20𝑑𝐵𝑑𝑒𝑐𝑎𝑑𝑎 4 Um zero em 𝜔 10 𝜏2 0120𝑑𝐵𝑑𝑒𝑐𝑎𝑑𝑎 5 Um par de polos complexos em 𝜔 𝜔𝑛 50 𝑢 𝜔50 40𝑑𝐵𝑑𝑒𝑐𝑎𝑑𝑎 Primeiro traçamos o módulo para cada um dos fatores básicos Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 14 475 90 𝑡𝑔1 475 2 180 𝜋 𝑡𝑔1 475 10 180 𝜋 𝑡𝑔1 2 03 475 50 1 475 50 2 180 𝜋 1798 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 15 Código Matlab para o sistema do EXEMPLO 1 clearclcclose omega logspace12500 G tf25001 10 conv1 2 01 30 2500 figure1bodeGomegagrid Calculo do ângulo de fase para phi 475 graus w 475 zeta 03 wn 50 fase1 90atanw2180pi fase2 atanw10180pi fase3 atan2zetaw501wwn2180pi fase fase1 fase2 fase3 Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 16 Exercício 111 Construa o diagrama de Bode para G j j j j j 40 2 8 10 2 1 G j j j j j 1 2 1 8 1 10 2 2 As frequências de canto são 2 8 e 10 31 Fator k 1 20log1 0 32 Fator 1 2 j 33 Fator 1 2 j 0 db 0 db 20 2 20 Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 17 34 Fator 1 8 j 35 Fator 1 10 j 40 db 0 1 10 100 40 40db década 01 20 db 0 8 80 20 db 0 10 100 Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 18 4 Trace a curva geral somando os db de cada fator 5 O diagrama da fase será também a soma da fase de cada fator db 40 1 2 8 10 40 db 20db 40db 60db 01 0o 1 2 8 10 90o 180o 270o Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 19 tg tg tg 1 1 1 2 180 8 10 2 2 2 180 2 8 2 10 160 35 1 1 1 tg tg tg 8 tg tg tg 1 1 1 8 2 180 8 8 8 10 187 70 10 10 2 180 10 8 10 10 197 65 1 1 1 tg tg tg O Tempo de Transporte Pela propriedade do deslocamento no tempo da Transformada de Laplace a TL de um sinal deslocado de um tempo 𝑡0 0 é dada pelo par 𝑥𝑡 𝑡0 𝑇𝐿 𝑒𝑠𝑡0𝑋𝑠 A função 𝑒𝑠𝑡0 é chamada de tempo de transporte ou retardo puro Na prática o retardo puro ocorre com bastante frequência Considere por exemplo o sistema de controle representado a seguir Suponha que a distância entre a válvula e o tanque é de 10m e que 2ms é a velocidade do vapor na tubulação Quando a saída do controlador variar somente 5s depois é que a correspondente variação de vazão chega ao tanque Portanto to 5s neste caso Vamos em seguida obter a resposta em frequência para o tempo de transporte Gj ejT O módulo será Tanque com água TT TC Vapor Ref Controlador Medidor de Temperatura Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 20 G j T j T G j db sen log cos 1 20 0 E a fase Gj tg 1 sen cos T T T radianos Então o ângulo de fase varia linearmente com a frequência sem atenuação em altas frequências Veja a figura a seguir para 𝑡0 1 𝑠𝑒𝑔 Critério de Estabilidade de Bode É um critério muito útil pois permite determinar a partir da resposta em frequência em malha aberta os limites de estabilidade para o sistema em malha fechada Seu enunciado é Um sistema de controle é instável se a resposta de frequência em malha aberta possui uma relação de amplitudes entre a saída e a entrada maior que um na frequência para a qual o defasamento entre a entrada e a saída é igual a 180o Margem de Ganho e Margem de Fase a Margem de Ganho MG Caminhe para a esquerda sobre a linha de 180º no gráfico de fase de um diagrama de Bode até o ponto de intercessão com 𝜙𝜔 Suba verticalmente nessa frequência de cruzamento no gráfico de fase até a curva de módulo Então a Margem de Ganho em dB MG é a distância da curva até a linha zero dB A MG também pode ser definida sem a unidade dB como o recíproco do módulo 𝐺𝑗𝜔 na frequência em que o ângulo é 180º 𝐾𝑔 1 𝐺𝑗𝜔𝜙180 Então em decibéis a MG é 𝐾𝑔𝑒𝑚 𝑑𝐵 20𝑙𝑜𝑔𝐾𝑔 20𝑙𝑜𝑔𝐺𝑗𝜔𝜙180 Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 21 A MG em dB será positiva se 𝐾𝑔 1 zero se 𝐾𝑔 1 e negativa se 𝐾𝑔 1 Desse modo MG 0 em dB significa que o sistema é estável e MG negativa em dB que o sistema é instável Veja a figura abaixo b Margem de fase MF Caminhe para a esquerda sobre a linha de 0 dB no gráfico do módulo de um diagrama de Bode até o ponto de intercessão com a curva Desça verticalmente até a curva de fase Então a Margem de fase é o atraso de fase adicional na frequência de cruzamento de ganho necessária para que o sistema atinja o limiar de instabilidade 180º A frequência de cruzamento de ganho é a frequência na qual o módulo 𝐺𝑗𝜔 1 A Margem de fase 𝛾 é 180𝑜 mais o ângulo de fase 𝜙 da função de transferência de malha aberta na frequência de cruzamento de ganho 𝛾 1800 𝜙 Os conceitos de margem de ganho e margem de fase são úteis porque permitem avaliar o grau de estabilidade de um sistema Também podem ser utilizados como condição de projeto ou sintonia de um sistema de controle Observe ainda que o tempo de transporte sempre prejudica a estabilidade de um sistema pois ele soma fase continuamente sem atenuação a altas frequências Por isto se um sistema inclui um tempo de transporte então a fase do sistema geralmente vai ultrapassar 180o em frequências mais altas Considere o sistema de controle descrito por 𝐺𝑠 𝐾𝑠 05 𝑠𝑠 01𝑠 025 A figura a seguir mostra o traçado de ganho e fase para 𝐾 0058 Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 22 Pela figura concluímos que com este valor de 𝐾 o sistema está exatamente no limiar da região de instabilidade pois o defasamento de 180o corresponde a um ganho unitário Se fizermos o ganho ligeiramente menor que 0058 o sistema será estável mas a resposta ao degrau será muito oscilatória Numa situação prática devemos estabelecer uma margem de segurança para a fase e para o ganho Sistemas de fase mínima e não mínima Funções de transferência com zeros no semiplano direito são classificadas como de fase não mínima Se os zeros de duas FT forem simétricos em relação ao eixo imaginário 𝑗𝜔 com polos iguais então elas possuem o mesmo módulo mas fases diferentes A fase daquela com zero no semiplano direito de fase não mínima sempre irá apresentar um deslocamento de fase maior do que a FT que não tem zero no semiplano esquerdo de fase mínima Considere as FTs 𝐺1𝑠 𝑠𝑧 𝑠𝑝 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝐺2𝑠 𝑠𝑧 𝑠𝑝 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑛ã𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 23 Para 𝑧 05 𝑒 𝑝 10 o diagrama de Bode para 𝐺1 e 𝐺2 é mostrado a seguir Como se observa no diagrama o módulo é o mesmo mas a excursão da fase de 𝐺1 fase mínima é 64𝑜 e a de 𝐺2 fase não mínima é 180𝑜 ESPECIFICAÇÕES DE DESEMPENHO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Considere o sistema de 2ª ordem em malha fechada e seu correspondente diagrama de Bode da figura a seguir A função de transferência em malha fechada do sistema da figura é 𝑇𝑠 𝜔𝑛2 𝑠2 2𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛2 A resposta em frequência para um sistema de 2ª ordem como este é parecida com o diagrama do lado direito da figura Como este é um sistema de 2ª ordem sua razão de amortecimento está relacionada com seu módulo máximo 𝑀𝑝𝜔 que ocorre na frequência de ressonância 𝜔𝑟 Denominase banda passante de um sistema representado por seu diagrama de Bode ao valor da frequência 𝜔𝐵 na qual o módulo cai de 3 𝑑𝐵 em relação a seu valor em baixa frequência Veja a figura Controle de Processos Industriais Automação PROF Antonius Henricus Maria de Knegt Resposta em Frequência 24 A frequência de ressonância 𝜔𝑟 e a banda passante 𝜔𝐵 podem ser relacionadas com a velocidade da resposta transitória quando 𝜔𝐵 aumenta o tempo de subida da resposta ao degrau diminui Além disto a ultrapassagem da resposta a um degrau se relaciona com 𝑀𝑝𝜔 através do fator de amortecimento 𝜁 A resposta ao degrau unitário de um sistema de 2ª ordem é dada por 𝑦𝑡 1 𝐵𝜁𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡cos 1 𝜁2𝑡 𝜃 A banda passante de um sistema de 2ª ordem pode ser relacionada aproximadamente com a frequência natural do sistema A figura abaixo mostra a banda passante normalizada 𝜔𝐵 𝜔𝑛 em função de 𝜁 Para 𝜁 constante quanto maior for o valor de 𝜔𝑛 mais rapidamente a resposta tenderá para o valor final de estado estacionário Então as especificações desejadas no domínio da frequência são a Magnitudes de ressonância relativamente pequenas por exemplo 𝑀𝑝𝜔 15 b Larguras de banda passante relativamente grandes de modo que a constante de tempo 𝜏 1 𝜁𝜔𝑛 seja suficiente pequena Estas relações serão válidas na medida em que a resposta do sistema for dominada por um par de polos complexos conjugados Referências Dorf Richard Sistemas de Controle Modernos 8ª Edição Ogata Katsuhiko Engenharia de Controle Moderno 5ª Edição Palhares Reinaldo Controle de sistemas lineares notas de aula