Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo IV - Números Complexos

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 4ª Lista de Cálculo IV Questão 1 Seja z um número complexo Se z 1z é um número real mostre que o argumento de z é 0 ou π ou o módulo de z é 1 Questão 2 Seja z um número complexo de módulo 1 e argumento θ Se n é um número inteiro positivo prove que zⁿ 1zⁿ 2 cosnθ Questão 3 Determine o lugar geométrico descrito pelo conjunto A z C z iz i 4 e faça seu esboço Questão 4 Determine o produto dos números complexos z x yi que tem módulo igual a 2 e se encontram sobre a reta y 2x 1 contida no plano complexo Questão 5 Determine o número natural n tal que 2iⁿ 1 i²ⁿ 16i sendo i a unidade imaginária do conjunto dos números complexos Questão 6 Considere as equações z³ i e z² 2 iz 2i 0 em que z é um número complexo Seja S o conjunto das raízes da primeira equação e S₂ o da segunda Determine S₁ S₂ Questão 7 Considere o número complexo z a 2i cujo argumento está no intervalo 0 π2 Seja S o conjunto de todos os possíveis valores de a para os quais z⁶ é um número real Calcule o produto dos elementos de S Questão 8 Determine o valor da potência 21 i⁹³ Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 4ª Lista de Cálculo IV Questão 9 O número complexo z 1 cos asin a cos a i 1 2 cos a 2 sin asin 2a com a 0 π2 tem argumento igual a π4 Calcule o valor de a Questão 10 Definimos uma série de potência centrada em a como o somatório ₙ₀ cₙ x aⁿ c₀ c₁ x a c₂ x a² c₃ x a³ em que x é uma variável e cₙ são constantes chamadas coeficientes da série Suponha que uma função fx tenha uma expansão em uma série de potência ou seja fx possa ser escrita na forma fx c₀ c₁ x a c₂ x a² c₃ x a³ É possível expressar os coeficientes da série em termos das derivadas de f isto é cₙ fⁿan Logo fx fa fax a fa2 x a² fa3 x a³ Está série é conhecida por série de Taylor centrado em a Se a 0 a série de Taylor se torna fx f0 f0x f02 x² f03 x³ Esse caso surge com frequência e lhe foi dado o nome especial de série de Maclaurin a Determine a série de Maclaurin das funções fx eˣ gx cos x e hx sin x com x R b Admita que as funções do ítem a f g e h são iguais a sua série de Maclaurin Sendo assim prove que eⁱᶿ cos θ i sin θ em que i representa a unidade imaginária do conjunto dos números complexos c Calcule iⁱ Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 4ª Lista de Cálculo IV Respostas 1 2 3 Circunferência de raio 2 e centro 01 4 65 85 i 5 n 3 6 S₁ S₂ i 7 4 8 1 i2 9 a π6 10 a fx ₙ₀ xⁿn gx ₙ₀ 1ⁿ x²ⁿ2n e hx ₙ₀ 1ⁿ x²ⁿ¹2n 1 c eπ2