Análise da Estabilidade de Sistemas de Controle no Plano Complexo

Sistemas de Controle Análise de Estabilidade Análise da Estabilidade no Plano Complexo A estabilidade de um sistema linear de malha fechada pode ser determinada a partir da localização dos polos de malha fechada no plano s Se qualquer um desses polos estiver no semiplano direito do plano s então com o decorrer do tempo eles darão origem ao modo dominante e a resposta transitória aumentará monotonicamente ou oscilará com amplitude crescente Isso representa um sistema instável Assim que for ligado a saída desse sistema poderá aumentar com o tempo Se não for alcançado um ponto de saturação do sistema ou se não houver um fim de curso mecânico então o sistema poderá estar sujeito a danos e apresentar falhas já que a resposta de um sistema físico real não pode aumentar indefinidamente Por isso nos usuais sistemas lineares de controle não são permitidos polos de malha fechada no semiplano direito do piano s Se todos os polos de malha fechada se situarem a esquerda do eixo jω qualquer resposta transitória poderá alcançar o equilíbrio Isso caracteriza um sistema estável Análise da Estabilidade no Plano Complexo A estabilidade ou a instabilidade de um sistema linear é propriedade do próprio sistema e não depende da entrada ou da função de excitação do sistema Os polos da entrada não afetam a estabilidade do sistema mas contribuem somente para os termos da resposta de regime permanente na solução Assim o problema da estabilidade absoluta pode ser resolvido prontamente pela escolha dos polos de malha fechada no semiplano direito do piano s incluindo o eixo jω Os polos de malha fechada no eixo jω resultarão em oscilações cuja amplitude não vai decrescer nem aumentar com o tempo Nos casos práticos em que existem ruídos entretanto a amplitude das oscilações pode aumentar a uma taxa determinada pelo nível de potência do ruído Portanto um sistema de controle não deve ter polos de malha fechada no eixo j ω Análise da Estabilidade no Plano Complexo O problema mais importante relacionado aos sistemas de controle é o da estabilidade Sob quais condições o sistema se tornará instável Se for instável como fazer para estabilizálo A maioria dos sistemas de controle tem funções de transferência da forma O critério de Estabilidade de Routh possibilita determinar o número de polos de malha fechada que se situam no semiplano direito de s sem ter que fatorar o polinômio do denominador Critério de Estabilidade de Routh Critério de Estabilidade de Routh Passo 1 Critério de Estabilidade de Routh Passo 2 Se algum dos coeficientes for zero ou negativo na presença de pelo menos um coeficiente positivo então existirá uma ou mais raízes imaginárias que tenham partes reais positivas Nesse caso o sistema não será estável Não há necessidade de continuar o procedimento Critério de Estabilidade de Routh Passo 2 Todos os argumentos são positivos Poderá ser fatorado em fatores lineares e quadráticos O fator s2bsc resulta em raízes com partes reais negativas somente se b e c forem ambos positivos Para que todas as raízes tenham partes reais negativas as constantes ab e c em todos os fatores devem ser positivas A condição necessária mas não suficiente para a estabilidade é que os coeficientes do polinômio estejam todos presentes e tenham sinais positivos Critério de Estabilidade de Routh Passo 3 Organize os coeficientes do polinômio em linhas e colunas de acordo com o seguinte padrão Critério de Estabilidade de Routh Passo 4 O número de raízes com partes reais positivas é igual ao número de mudanças no sinal dos coeficientes da primeira coluna da matriz Condição necessária e suficiente para que todas as raízes se situem no semiplano esquerdo do plano s é que todos os coeficientes sejam positivos e que todos os elementos da primeira coluna da matriz tenham sinais positivos Exemplos 512 Vamos aplicar o critério de estabilidade de Routh ao seguinte polinômio de terceira ordem a0s³ a1s² a2s a3 0 onde todos os coeficientes são números positivos A matriz dos coeficientes é s³ a0 a2 s² a1 a3 s¹ a1a2 a0a3 a1 s⁰ a3 A condição para que todas as raízes tenham partes reais negativas é dada por a1a2 a0a3 Exemplos 513 Considere o seguinte polinômio s⁴ 2s³ 3s² 4s 5 0 o resultado não se altera quando os coeficientes de uma linha são multiplicados ou divididos por um número positivo visando simplificar o cálculo Casos Especiais Se um termo na primeira coluna for nulo mas os termos restantes não forem nulos ou não existirem então o termo nulo será substituído por um número positivo muito pequeno e o resto da matriz será calculada Casos Especiais Por exemplo na equação s³ 3s 2 s 1²s 2 0 a matriz dos coeficientes é Uma mudança de sinal Uma mudança de sinal Ocorrem duas mudanças de sinal dos coeficientes da primeira coluna Isso está de acordo com o resultado correto indicado pela forma fatorada da equação polinomial Casos Especiais Se todos os coeficientes em uma dada linha forem nulos isso indica que há raízes de mesmo valor radialmente opostas situadas no plano s Duas raízes reais de igual valor e sinais opostos eou Duas raízes imagináriasconjugadas Nesse caso podese continuar o cálculo do resto da matriz formandose um polinômio auxiliar com os coeficientes da última linha e utilizando os coeficientes da derivada desse polinômio na próxima linha Casos Especiais Por exemplo considere a seguinte equação s5 2s4 24s3 48s2 25s 50 0 A matriz de coeficientes é s5 1 24 25 s4 2 48 50 Polinômio auxiliar Ps s3 0 0 Ps 2s4 48s2 50 dPs ds 8s3 96s Casos Especiais s5 1 24 25 s4 2 48 50 s3 8 96 Coeficientes de dPsds s2 24 50 s1 1127 0 s0 50 Vemos que ocorre uma mudança de sinal na primeira coluna da nova matriz Assim a equação original tem uma raiz com uma parte real positiva Resolvendo as raízes da equação polinomial auxiliar 2s4 48s2 50 0 obtemos s2 1 s2 25 ou s j5 Análise da Estabilidade Relativa O Critério de Estabilidade de Routh fornece a resposta para a questão da estabilidade absoluta Um método eficiente para determinar a estabilidade relativa é deslocar o eixo do plano s e aplicar o critério da estabilidade de Routh Isto é substituise Assim o teste revela o número de raízes que se situam à direita da linha vertical Aplicação do Critério de Estabilidade de Routh à Análise de Sistemas de Controle Tem aplicabilidade limitada pois não sugere como melhorar a estabilidade relativa ou como estabilizar um sistema instável É possível determinar os efeitos da mudança de um ou dois parâmetros do sistema examinando os valores que causam a instabilidade Aplicação do Critério de Estabilidade de Routh à Análise de Sistemas de Controle Aplicação do Critério de Estabilidade de Routh à Análise de Sistemas de Controle