Introdução ao Método do Lugar das Raízes em Sistemas de Controle

Sistemas de Controle Lugar das Raízes Introdução Característica básica da resposta transitória de um sistema de malha fechada LOCALIZAÇÃO DOS POLOS de malha fechada Se o ganho for variável o polo dependerá do ganho escolhido O projetista deve saber como os polos de malha fechada se movem no plano s na medida que o ganho de malha varia Introdução Os polos de malha fechada são as raízes da equação característica A determinação das raízes de uma equação de grau superior a 3 pode ser trabalhosa e pode não resolver pois a medida que o ganho varia as raízes mudam e os cálculos devem ser refeitos Se somente o ajuste do ganho não for suficiente será necessário a introdução de um compensador Introdução Método do Lugar das raízes ou root locus permite que as raízes da equação característica sejam representadas graficamente para todos os valores de um parâmetro do sistema Gráfico do Lugar das Raízes Condições de Ângulo e de Módulo Gráfico do Lugar das Raízes Um lugar dos pontos no plano complexo que satisfaz somente a condição angular é o lugar das raízes As raízes da equação característica que correspondem a um dado valor de ganho podem ser determinadas pela condição de módulo Em muitos casos GsHs envolve um parâmetro de ganho K e a equação característica pode ser escrita como O LUGAR DAS RAÍZES É O LUGAR DOS PÓLOS DE MALHA FECHADA QUANDO O GANHO K VARIA DE ZERO A INFINITO Condições de Ângulo e de Módulo Gráfico do Lugar das Raízes Condições de Ângulo e de Módulo Gráfico do Lugar das Raízes Gráfico do Lugar das Raízes Pelo fato dos polos e zeros complexos conjugados de malha aberta caso existam situaremse sempre simetricamente em relação ao eixo real o lugar das raízes será sempre também simétrico ao eixo real Portanto será necessário apenas construir a metade superior do lugar das raízes e desenha a imagem espelhada da metade superior na metade inferior do plano s Condições de Ângulo e de Módulo Exemplo 61 Considere o sistema da Figura Vamos supor que o valor do ganho K seja não negativo Para esse sistema Gs Kss 1s 2 Hs 1 1 esboçar o gráfico do lugar das raízes 2 determinar o valor de K de modo que o coeficiente de amortecimento ζ do par de pólos complexos conjugados dominantes de malha fechada seja 05 Exemplo 61 K 10383 K 6 K 6 K 10383 Exemplos 61 condicão angular Gs Kss 1s 2 s s 1 s 2 1802k 1 k 0 1 2 condicão de módulo Gs Kss 1s 2 1 Exemplo 61 Os pólos de malha aberta deste sistema são s 0 s 1 s 2 1 2 Exemplo 61 3 4 O LUGAR DAS RAÍZES EXISTIRÁ SOBRE O EIXO REAL NEGATIVO ENTRE 0 E 1 E ENTRE 2 E Exemplos 61 Determinar as assíntotas do lugar das raízes se um ponto de teste for selecionado muito distante da origem então lims Gs lims Kss 1s 2 lims Ks3 condicão angular 3 s 1802k 1 k 0 1 2 ou Ângulos das assíntotas 1802k 13 k 0 1 2 ângulos distintos para as assíntotas são 60 60 180 Exemplos 61 Determinar as assíntotas do lugar das raízes Antes de desenhar essas assíntotas no plano complexo devemos determinar o ponto onde elas cruzam o eixo real Como Gs Kss 1s 2 Para valores elevados de s essa última equação pode ser escrita aproximadamente como Gs Ks 13 Um gráfico do lugar das raízes de Gs consiste em três retas 3s 1 1802k 1 s 1 602k 1 Exemplo 61 Determinar as assintotas do lugar das raízes Substituindo s σ jω nessa última equação obtemos σ jω 1 602k 1 ou tg¹ω σ 1 60 60 0 Considerando a tangente de ambos os lados dessa última equação σ 1 ω 3 0 σ 1 ω 3 0 ω 0 Exemplo 61 Determinar as assintotas do lugar das raízes jω σ jω ω 0 σ 1 ω 3 0 σ 1 ω 3 0 Exemplo 61 Determinar o ponto de partida do eixo real Para desenhar com precisão o lugar das raízes devese definir o ponto de partida do eixo real onde as ramificações do lugar das raízes originiárias dos pólos em 0 e 1 saem do eixo real à medida que K aumenta e se movem no plano complexo O ponto de partida do eixo real corresponde a um ponto no plano s onde ocorrem raízes múltiplas da equação característica Vamos escrever a equação característica como fs Bs KAs 0 onde As e Bs não contêm K Exemplos 61 Determinar o ponto de partida do eixo real Suponha que fs tenha raízes múltiplas de ordem r Então fs pode ser escrita como fs s s1s s2s sn Derivando essa equação com relação a s e igualando s s1 teremos dfs ds ss1 0 Isso indica que dfs ds Bs KAs 0 onde As dAs ds Bs dBs ds Note que fs 0 tem raízes múltiplas nos pontos onde dfs ds 0 Exemplos 61 Determinar o ponto de partida do eixo real O valor específico de K que produzirá raízes múltiplas da equação característica é K Bs As Se substituirmos esse valor de K na Equação teremos fs Bs Bs As As 0 ou BsAs BsAs 0 Exemplos 61 Por outro lado a partir da Equação fs Bs KAs 0 obtemos K Bs As dK ds BsAs BsAs A²s Assim os pontos de partida do eixo real podem ser determinados a partir das raízes de dK ds 0 nem todas as soluções da Equação 69 ou dKds 0 correspondem ao real ponto de partida do eixo real Se um ponto no qual dKds 0 estiver sobre o lugar das raízes este será mesmo um ponto de partida ou de chegada ao eixo real Exemplo 61 No presente exemplo a equação característica Gs 1 0 é dada por Kss 1s 2 1 0 ou K s³ 3s² 2s Definindo dKds 0 obtemos dKds 3s² 6s 2 0 ou s 04226i s 15774 K 03849 para s 04226 K 03849 para s 15774 Exemplo 61 Determinar os pontos em que o lugar das raízes cruza o eixo imaginário critério de estabilidade de Routh s³ 3s² 2s K 0 matriz de Routh tornase s³ 1 2 s² 3 K s¹ 6 K3 s⁰ K O valor de K que faz com que o termo s¹ na primeira coluna seja igual a zero é K 6 Exemplo 61 Determinar os pontos em que o lugar das raízes cruza o eixo imaginário Os pontos de cruzamento com o eixo imaginário podem então ser determinados com a resolução da equação auxiliar obtida a partir da linha s² isto é 3s² K 3s² 6 0 ou s j2 Um método alternativo é jω³ 3jω² 2jω K 0 ou K 3ω² j2ω ω³ 0 Igualando tanto a parte real como a imaginária dessa última equação a zero obtemos K 3ω² 0 2ω ω³ 0 ω 2 K 6 Exemplo 61 Escolher um ponto de teste nos entornos do eixo jω e da origem Exemplo 61 Desenhar o lugar das raízes Exemplo 61 coeficiente de amortecimento ζ05 Os pólos de malha fechada com ζ 05 situados em linhas que passam pela origem e formam ângulos cos¹ ζ cos¹ 05 60 com o eixo real negativo Com auxílio da Figura esses pólos de malha fechada com ζ 05 são obtidos da seguinte maneira s₁ 03337 j05780 s₂ 03337 j05780 O valor de K que fornece esses pólos é determinado pela condição de módulo K ss 1s 2ₛ₀₃₃₃₇j₀₅₇₈₀ 10383 utilizando esse valor de K o terceiro pólo é obtido em s 23326 Exemplo 62 Neste exemplo será esboçado o gráfico do lugar das raízes de um sistema com pólos de malha aberta complexos conjugados Considere o sistema mostrado na Figura Para esse sistema Gs Ks 2 s² 2s 3 Hs 1 onde K 0 Vêse que Gs tem um par de pólos complexos conjugados em s 1 j2 s 1 j2 Exemplo 62 Determinar o lugar das raízes no eixo real Para qualquer ponto de teste s no eixo real a soma das contribuições angulares dos pólos complexos conjugados é 360 A localização do lugar das raízes sobre o eixo real é determinada pelo zero de malha aberta o intervalo entre 2 e no eixo real negativo constitui uma parte do lugar das raízes Verificase que como esse lugar está situado entre dois zeros em s 2 e s Exemplo 62 Determinar o ângulo de partida dos pólos complexos conjugados de malha aberta A presença de um par de pólos complexos conjugados de malha aberta requer a determinação do ângulo de partida desses pólos se for escolhido um ponto de teste móvel em uma região muito próxima do pólo complexo conjugado de malha aberta em s p₁ verificase que a soma das contribuições angulares do pólo em s p₂ e do zero em s z₁ pode ser considerada invariável Se o ponto de teste estiver sobre o lugar das raízes então a soma de φ₁ θ₁ e θ₂ deverá ser 1802k 1 onde k 0 1 2 Exemplo 62 Determinar o ponto de chegada ao eixo real Um ponto de chegada ao eixo real existe onde um par de ramos do lugar das raízes se funde quando K aumenta dado que K s² 2s 3 s 2 dK ds 2s 2s 2 s² 2s 3 s 2² 0 s² 4s 1 0 s 37320 s 02680 s 37320 K 54641 Exemplo 62 Esboçar o gráfico do lugar das raízes Linha de ζ 07 Resumo das Regras Gerais Para a Construção do Lugar das Raízes Obter a equação característica Modificar a equação de modo que o parâmetro de interesse apareça como fator de multiplicação No caso de realimentação positiva a condição de ângulo deve ser modificada Resumo de Regras 3 Determinar as assíntotas dos lugares das raízes Ângulos das assíntotas 1802k 1 n m k 0 1 2 onde n número finito de pólos de GsHs m número de zeros finitos de GsHs Resumo de Regras Os ramos do lugar das raízes se iniciam nos pólos de malha aberta e terminam nos zeros zeros finitos ou infinitos O lugar das raízes são simétricos em relação ao eixo real Possui tantos ramos quantas forem as raízes da equação característica O número de ramos é igual ao número de pólos Resumo de Regras Os trechos do lugar das raízes no eixo real são determinados pelos polos e zeros que se encontram sobre ele Os polos e zeros complexos conjugados de malha aberta não têm nenhum efeito Resumo de Regras 3 Determinar as assintotas dos lugares das raízes Todas as assintotas se cruzam no eixo real Se tanto o numerador como o denominador forem expandidos GsHs Ksm z1 z2 zmsm1 z1z2 zm sn p1 p2 pnsn1 p1p2 pn Se um ponto de teste for situado muito distante da origem GsHs K snm p1 p2 pn z1 z2 zmsnm1 GsHs K p1 p2 pn z1 z2 zmnm n m Resumo de Regras 3 Determinar as assintotas dos lugares das raízes A abscissa do ponto de interseção das assintotas com o eixo real é então obtida igualando a zero o denominador do lado direito da Equação e resolvendo para s ou s p1 p2 pn z1 z2 zm n m Resumo de Regras 4 Determinar os pontos de partida e os de chegada ao eixo real Suponha que a equação característica seja dada por Bs KAs 0 dKds BsAs BsAs A2s Se uma raiz real da Equação não estiver sobre a região do lugar das raízes no eixo real então essa raiz não corresponderá nem a um ponto de partida nem a um ponto de chegada Se duas raízes s s1 e s s1 forem um par de complexos conjugados será necessário verificar o valor correspondente de K Se o valor de K for positivo o ponto s s1 será realmente um ponto de partida ou um ponto de chegada Resumo de Regras 5 Determinar o ângulo de partida de um pólo complexo ou de chegada a um zero complexo Ângulo de partida de um pólo complexo 180 soma dos ângulos dos vetores que chegam ao pólo complexo em questão com origem em outros pólos soma dos ângulos dos vetores que chegam ao pólo complexo em questão com origem nos zeros Ângulo de chegada em um zero complexo 180 soma dos ângulos dos vetores que chegam ao zero complexo em questão originários de outros zeros soma dos ângulos dos vetores de chegada ao zero complexo em questão partindo dos pólos Resumo de Regras 5 Determinar o ângulo de partida de um pólo complexo ou de chegada a um zero complexo Ângulo de partida Resumo de Regras Uso do critério de estabilidade de Routh fazendo sjω na equação característica e igualando a zero tanto a parte imaginária quanto a parte real Resolver para ω e K o valor de ω corresponde as frequências que cruzam o eixo imaginário e os valores de K determinam o respectivo ganho no ponto de cruzamento Resumo de Regras Determinar os lugares das raízes numa ampla região nas proximidades do eixo jω e da origem Resumo de Regras Um ponto particular sobre cada um dos ramos do lugar das raízes será um pólo de malha fechada se o valor de K nesse ponto satisfizer a condição de módulo Se necessário o lugar das raízes pode ser graduado em função de K O valor de K correspondente a um ponto s no lugar das raízes pode ser obtido como condição de módulo Configurações Típicas de Polos e Zeros e o Lugar das Raízes Correspondente Configurações Típicas de Polos e Zeros e o Lugar das Raízes Correspondente