Análise da Resposta em Frequência em Sistemas de Controle

Sistemas de Controle Diagrama de Bode Resposta em Frequência Quando um sinal senoidal é aplicado na entrada de um sistema linear será obtido na saída também um sinal com mesma forma e frequência do sinal de entrada porém haverá uma alteração na amplitude e na fase do sinal A resposta em frequência apresenta um gráfico da variação do módulo e da fase do sistema a medida que a frequência do sinal Resposta em Frequência É um método de análise e projeto do sistema de controle muito utilizado Podese obter a resposta em frequência experimentalmente aplicando um sinal com frequência variável na entrada do sistema e medindo a variação do módulo e fase do sinal de saída Desta forma mesmo sem dispor da função de transferência do sistema podese fazer a análise e projeto a partir do ensaio experimental Se a função de transferência do sistema é conhecida podese obter a resposta em frequência de forma analítica através de softwares ou manualmente por aproximações assintóticas A seguir é apresentado um procedimento simplificado para a obtenção da resposta em frequência através de assíntotas e posteriormente serão abordadas as informações pertinentes ao projeto de controladores utilizando a resposta em frequência Resposta em Frequência Expressão analítica Para determinar uma expressão analítica para a resposta em frequência considere a função de transferência composta por um polo GS 1S 2 Sendo S jω A parte real da variável S não é considerada pois avaliase a resposta do sistema para uma entrada senoidal apenas em regime permanente Assim temos Gjω 1jω 2 Multiplicando Pelo conjugado Gjω 2 jωω² 4 Resposta em Frequência Expressão analítica O módulo do sistema é dado por Gjω 2² jω²ω² 4 4 ω²ω² 4² 1ω² 4 A fase do sistema é Gjω tg¹ωω² 42 tg¹ω2 tg¹ω2 Para obter a resposta em frequência devese atribuir valores de frequência ω nas expressões acima obtendose uma tabela de módulo e fase em função da variação de frequência Com estes dados podese construir os gráficos Este processo pode ser bastante trabalhoso principalmente para funções de transferência com maior complexidade Uma alternativa mais rápida é a obtenção da resposta em frequência através de assintotas ou através de softwares específicos Resposta em Frequência Para construir a resposta em frequência será definido qual é a contribuição de cada elemento que compõem a função de transferência sendo a contribuição final o somatória das contribuições individuais Este processo também auxilia no entendimento da influência de cada elemento na resposta em frequência do sistema Como o gráfico do módulo é representado em dB 20log x a contribuição final que é dada pelo produto dos elementos que compõem a FT graficamente transformase em somatório pois o módulo é representado em dB Portanto basta representar graficamente a contribuição individual de cada elemento polo zeros etc e posteriormente realizar o somatório das contribuições para obter o resultado final A fase é obtida da mesma forma Representase graficamente as contribuições individuais em graus e posteriormente fazse o somatório para obter a resultante Resposta em Frequência o Ganho k O ganho k desloca o módulo do sistema em 20log K Notase que se k1 o modulo será positivo e se k1 o modulo será negativo Se o ganho for unitário o módulo será 0dB O ganho não causa alteração na fase do sistema Resposta em Frequência 8 o Integrador A alteração do módulo devido ao integrador resulta em uma reta com inclinação negativa a qual decai 20 dB por década e tem módulo igual a 0 dB quando a frequência é 1 rads A fase é deslocada em 90 Se houver dois integradores considerase uma redução de 40dB por década e uma contribuição de 180º e assim sucessivamente S 1 GS Resposta em Frequência 9 o Pólo Real A contribuição de módulo será de 0 dB até a frequência do pulo A e decai 20 dB por década a partir desse ponto A fase segue em 0º até uma década antes da frequência do pulo A onde decai 45 por década até uma década após a frequência A onde se mantêm constante em 90 1 1 S A G S Resposta em Frequência 10 Exemplo 10 1 S S G Pólo Ganh o Resposta Final 1 10 1 10 1 S S G ou o Pólo Real Resposta em Frequência 11 o Zero Real A contribuição de módulo será de 0 dB até a freqüência do pólo A e aumenta 20 dB por década a partir desse ponto A fase segue em 0º até uma década antes da freqüência do pólo A onde aumenta 45 por década até uma década após a freqüência A onde se mantêm constante em 90 1 A S G S Resposta em Frequência 12 o Zero Real 1 A S G S Resposta em Frequência 13 o Zero Real Exemplo 10 S S G 1 10 10 S S G ou Resposta em Frequência 14 o Zero Real Exemplo 10 S S G M9exemp1m n10 10 d1 bodend MATLAB Command Window Resposta em Frequência 15 o Polos complexos A resposta em frequência de polos e zeros complexos sofrem muita influência do coeficiente de amortecimento conforme mostra a figura ao lado Portanto recomenda se não utilizar a representação por assíntotas em sistemas com polos complexos Nestes casos podese partir para a utilização de softwares para a obtenção da resposta em frequência Resposta em Frequência 16 o Gráficos normalizados para a Gs s b Gs 1s c Gs s a d Gs 1s a Resposta em Frequência 17 o Exercício Obter a resposta em frequência da função Gs através de assíntotas 10 1 100 S S S G 1 S10 1 S 10 S G 1 S10 10 1 S 100 S G Resposta em Frequência 18 o Verificação com MATLAB 10 1 100 S S S G n100 100 d1 10 bodend MATLAB Command Window Resposta em Frequência Consideremos um sistema com desempenho em frequência semelhante ao apresentado no Figura abaixo Analise a resposta estática o rastreamento de sinal de referência a rejeição da perturbação e o comportamento transitório do sistema de malha fechada Resposta em Frequência Plote o diagrama BODE da malha aberta szpks L00120s1sss1 TL1LT minrealT figure1bodeLgrid Analise o comportamento do sistema para rastreamento de sinal de referência e rejeição de perturbação Vamos pegar um sinal de referência contendo dois componentes um sinal sinusoidal de baixa e alta frequência Resposta em Frequência Que a wa seja uma baixa frequência que está localizada na primeira parte do diagrama BODE de inclinação 40 dBdécada e wm esta na segunda parte na parte de alta frequência com a mesma inclinação wa 005 wm 2 Plote a entrada e o sinal de saída t001500 wa005 wm2 rsinwat05sinwmt ylsimTrt figure2 subplot211 plottr subplot212 plotty Resposta em Frequência O comportamento transitório pode ser analisado na resposta ao degrau do sistema de malha fechada figure3stepTgrid Exercício Avaliativo Vamos analisar a relação entre a frequência de corte e o tempo de acomodação Seja um sistema L1 mais rápido do que o sistema L no exercício anterior Determine a frequência de corte do sistema e o tempo de acomodação Compare com os resultados encontrados no exemplo anterior e comente as diferenças O relatório deve ser editado em Word e enviado em PDF Só serão aceitos trabalhos enviados na tarefa aberta no TEAMS