Eletromagnetismo - Lista de Exercícios Resolvidos sobre Teorema da Divergência e Vetores

335 Verifique o teorema da divergência S A dS V A dV para cada um dos seguintes casos a A xy² aₓ y² aᵧ y² a𝓏 e S é a superfície de um cubóide definido por 0 x 1 0 y 1 0 z 1 b A 2ρ z aᵨ 3z sen ɸ aɸ 4ɸ cos ɸ a𝓏 e S é a superfície da fatia definida por 0 ɸ 20 ɸ 45 0 z 5 c A r² aᵣ r sen θ cos ɸ aɸ e S é a superfície de um quarto de uma esfera definida por 0 r 3 0 ɸ π2 0 θ π2 331 Dado F x i y j y k encontre a L F dl onde L é o da Figura 329 b S F dS onde S é a área limitada por L c O teorema de Stokes é satisfeito para esse caso Figura 329 Referente ao Problema 331 316 Encontre a divergência e o rotacional dos seguintes vetores a A exy aₓ sen xy aᵧ cos² xz a𝓏 b B ρ² cos ɸ aᵨ z sen³ ɸ aɸ c C r cos θ aᵣ 1r sen θ aɸ 2r² sen θ a𝓏 315 A temperatura em um auditório é dada por T x² y² z Um mosquito localizado em 1 1 2 dentro do auditório deseja voar em uma orientação tal que ele se aqueça o mais rápido possível Em qual orientação ele deve voar 314 Determine o vetor unitário normal à Sx y z x² y² z no ponto 1 3 0 313 Determine o gradiente dos seguintes campos e calcule seu valor nos pontos especificados a V e2x3y cos 5z 0 1 02 04 b T 5ρe2z sen ϕ 2 π3 0 c Q sen θ sen ϕ r² 1 π6 π2 37 Se a integral AB F dl for considerada como o trabalho realizado para deslocar uma partícula de A até B encontre o trabalho realizado pelo campo de força F 2y ax x² z² ay 3xz² az sobre uma partícula que se desloca de A0 0 0 até B2 1 3 ao longo a do segmento 000 010 210 213 b da linha reta entre 000 até 213 33 Utilize o volume diferencial dV para determinar os volumes das seguintes regiões a 0 x 1 1 y 2 3 z 3 b 2 ρ 5 π3 ϕ π 1 z 4 c 1 r 3 π2 θ 2π3 π6 ϕ π2 32 Calcule as áreas das seguintes superfícies utilizando a área da superfície diferencial dS a ρ 2 0 z 5 π3 ϕ π2 b z 1 1 ρ 3 0 ϕ π4 c r 10 π4 θ 2π3 0 ϕ 2π d 0 r 4 60 θ 90 ϕ constante 31 Utilizando o comprimento diferencial dl determine o comprimento de cada uma das seguintes curvas a ρ 3 π4 ϕ π2 z constante b r 1 θ 30 0 ϕ 60 c r 4 30 θ 90 ϕ constante 1 Eletromagnetismo Aulas 05 06 07 e 08 Cálculo vetorial grad div e rot e os teoremas integrais 1 O gradiente de um campo escalar 𝑉𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 ℝ2 ℝ 𝑓 ℝ3 ℝ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑘 𝑓𝑥 𝑦 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑘 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑛í𝑣𝑒𝑙 Exemplo 1 a Esboce o gráfico da função 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 9 𝑥2 𝑦2 e esboce as curvas de nível para os valores níveis 𝑘 0 1 2 3 b Encontre as superfícies de nível da função 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑥2 𝑦2 𝑧2 O operador vetorial de diferenciação nabla del em coordenadas cartesianas 𝑥 𝑒 𝑥 𝑦 𝑒 𝑦 𝑧 𝑒 𝑧 Em cada ponto do domínio de uma função 𝑉𝑥 𝑦 𝑧 associase o vetor gradiente da função 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 𝑉 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 𝑉 𝑥 𝑒 𝑥 𝑦 𝑒 𝑦 𝑧 𝑒 𝑧 𝑉 𝑉 𝑉 𝑥 𝑒 𝑥 𝑉 𝑦 𝑒 𝑦 𝑉 𝑧 𝑒 𝑧 Exemplo 2 Calcule o gradiente da função num ponto 𝑃𝑥 𝑦 𝑧 qualquer e nos pontos indicados em cada caso a 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦3 𝑂00 𝑒 𝐴12 b 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦𝑧 𝑂000 𝐴111 𝑒 𝐵123 c 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑅 2 onde 𝑅 é o vetor posição do ponto 𝑃𝑥 𝑦 𝑧 𝑂000 𝐴111 𝑒 𝐵123 O vetor gradiente é perpendicular aos conjuntos de nível no domínio da função Considere a curva 𝑟 𝑟 𝑡 no domínio da função 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 A função 𝑓 avaliada ao longo da curva 𝑟 𝑡 é função do parâmetro da curva 𝑓𝑟 𝑡 𝑓𝑥𝑡 𝑦𝑡 𝑧𝑡 𝑓𝑡 𝑑𝑓 𝑑𝑡 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑓 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑓 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑓 𝑑𝑡 𝑓 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑓 𝑓 𝑑𝑟 Se 𝑟 𝑟 𝑡 é uma curva no conjunto de nível da função 𝑓 𝑟 𝑡 é vetor tangente a curva no conjunto de nível 𝑓𝑟 𝑡 𝑘 𝑑𝑓 𝑑𝑡 0 𝑓 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑓 𝑑𝑟 𝑑𝑡 2 Exemplo 3 Considere a função em ℝ2 𝑓𝑥 𝑦 1 4 𝑥2 𝑦2 1 4 𝑟 2 a Identifique as curvas de nível da função e encontre a equação vetorial das curvas de nível b Calcule o gradiente da função e o vetor tangente às curvas de nível Calcule o produto escalar entre eles c Calcule a derivada da função 𝑓 em relação ao parâmetro da curva d Faça um esboço das curvas de diferentes níveis 𝑘 Para cada nível esboçado encontre os vetores tangentes às curvas do nível e o vetor gradiente num ponto da curva de nível Derivada direcional taxa de variação da função na direção paralela a um vetor unitário Considere a função 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 avaliada ao longo da reta que passa pelo ponto 𝑃0𝑥0 𝑦0 𝑧0 e tem direção dada pelo vetor unitário 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 Consideraro 𝑟 0 𝑂𝑃 0 A equação da reta é 𝑟 𝑡 𝑟 0 𝑡𝑢 Querse calcular a derivada da função 𝑓 na direção do vetor 𝑢 no ponto 𝑃0 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑓𝑟 𝑡 𝑓𝑟 0 𝑡𝑢 𝑓𝑥𝑡 𝑦𝑡 𝑧𝑡 𝐷𝑢 𝑓𝑃0 𝑑𝑓 𝑑𝑡 𝑡 0 𝑓 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑃0 𝑓 𝑢𝑃0 Então a derivada da função 𝑓 na direção de um vetor 𝑣 é 𝐷𝑣 𝑓 𝑓 𝑣 Observe que a derivada direcional dá a projeção do gradiente 𝑓 na direção de 𝑣 no ponto 𝑃 Exemplo 4 Considere os versores 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 𝑒 𝑒 𝑧 Interprete a derivada direcional de 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 nessas direções Exemplo 5 Calcular a derivada direcional de 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦2𝑧3 no ponto 321 na direção dos vetores 𝑎 𝑣 2 10 𝑒 b 𝑤 541 O gradiente informa a direção de mais rápido crescimento da função e seu módulo é o valor da taxa no ponto 𝜃 0 máxima taxa de crescimento 𝐷𝑣 𝑓 𝑓 𝑣 𝑓 cos 𝜃 𝜃 𝜋 2 a função não varia 𝜃 𝜋 máxima taxa de decrescimento Portanto 𝑓 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑟á𝑝𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑓 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜𝑢 𝑑𝑒𝑐𝑎𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 Exemplo 6 Suponha que a temperatura T medida em graus Celsius em um ponto do espaço x y z em que as coordenadas são medidas em metros seja dada por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 80 1 𝑥2 2𝑦2 3𝑧2 Em que direção no ponto 11 2 a temperatura aumenta mais rapidamente Qual é a taxa máxima de aumento Exemplo 7 Considere o vetor posição relativa 𝑅 𝑟 𝑟 em que 𝑟 é o vetor posição de um ponto do espaço em relação a origem do sistema de coordenadas cartesiana e 𝑅 𝑅 Mostre que será utilizado posteriormente quando estudarmos meios materiais 1 𝑅 1 𝑅 𝑒 𝑅 𝑅2 3 Resumo Interpretação do gradiente de uma função 𝑉𝑥 𝑦 𝑧 A taxa de variação espacial da função 𝑉 é a derivada direcional a qual é máxima na direção normal a superfície de nível 𝑑𝑉 𝑉 𝑥 𝑑𝑥 𝑉 𝑦 𝑑𝑦 𝑉 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑉 𝑉 𝑑𝑙 𝑑𝑉 𝑑𝑙 𝑉 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑙 𝑉 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑙 𝑉 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑙 𝑉 𝑑𝑙 𝑑𝑙 𝑑𝑉 𝑑𝑛 𝑑𝑛 𝑑𝑙 𝑑𝑉 𝑑𝑛 𝑒 𝑛 𝑒 𝑙 𝑉 𝑒 𝑙 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑛 𝑒 𝑛 𝑑𝑉 𝑑𝑙 𝑚á𝑥 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑛 𝑑𝑉𝑚á𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑙 𝑑𝑛 O gradiente de uma função nos sistemas de coordenadas ortogonais 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥 𝑦 𝑧 𝜌 𝜙 𝑧 𝑟 𝜃 𝜙 ℎ1 ℎ2 ℎ3 𝑒 1 𝑒 2 𝑒 3 111 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 𝑒 𝑧 1 𝜌 1 𝑒 𝜌 𝑒 𝜙 𝑒 𝑧 1 𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝑒 𝑟 𝑒 𝜃 𝑒 𝜙 𝑉𝑥1 𝑥2 𝑥3 1 ℎ1 𝑥1 𝑒 1 1 ℎ2 𝑥2 𝑒 2 1 ℎ3 𝑥3 𝑒 3 𝑉𝑥1 𝑥2 𝑥3 Exemplo 8 O campo elétrico 𝐸 pode ser encontrado sabendo que é o negativo do gradiente da função potencial elétrico 𝑉 isto é 𝐸 𝑉 Determine 𝐸 no ponto 110 se 𝑎 𝑉 𝑉0𝑒𝑥 sin 𝜋𝑦 4 𝑒 𝑏 𝑉 𝐸0𝑟 cos 𝜃 sendo 𝑉0 e 𝐸0 constantes 2 O fluxo integral de superfície e a divergência de um campo vetorial Linhas de fluxo de campos vetoriais 𝐸 𝑘 𝜌 𝑒 𝜌 𝐷 𝜎𝑒 𝑧 𝐻 𝑘 𝜌 𝑒 𝜙 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 𝐵 𝑦 𝑥 0 Fluxo ou escoamento de um campo vetorial por uma superfície a integral de superfície ψ 𝐴 𝑠𝑢𝑝 𝑑𝑠 𝑒 ψ𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝐴 𝑑𝑠 𝑠𝑢𝑝 4 Exemplo 9 Considere o campo vetorial 𝐴 𝑥2𝑒 𝑥 𝑥𝑦𝑒 𝑦 𝑦𝑧𝑒 𝑧 para calcular o fluxo líquido através da superfície de um cubo de lado 1 definido por 0 𝑥 𝑦 𝑧 1 encontro de 6 superfícies planas Exemplo 10 Considere o campo vetorial 𝐴 𝑘𝑟𝑒 𝑟 Calcule o fluxo deste campo vetorial através da casca esférica definida pelas esferas 𝑟 𝑅1 𝑒 𝑟 𝑅2 sendo 𝑅2 𝑅1 A divergência de um campo vetorial fontesumidouro de linhas de fluxo 𝐴 𝑥 𝑦 𝑧 𝐴𝑥𝑥 𝑦 𝑧𝑒 𝑥 𝐴𝑦𝑥 𝑦 𝑧𝑒 𝑦 𝐴𝑧𝑥 𝑦 𝑧𝑒 𝑧 𝐴 𝑥 𝑒 𝑥 𝑦 𝑒 𝑦 𝑧 𝑒 𝑧 𝐴𝑥𝑒 𝑥 𝐴𝑦𝑒 𝑦 𝐴𝑧𝑒 𝑧 𝑑𝑖𝑣 𝐴 𝐴𝑥 𝑥 𝐴𝑦 𝑦 𝐴𝑧 𝑧 Definição interpretação sumidouro ou fonte de linhas e a divergência nos sistemas de coordenadas 𝐴 lim 𝑣0 1 𝑣 𝐴 𝑑𝑠 𝑠𝑢𝑝 calcular os fluxos ψ1 ψ2 𝑒 ψ3 através das faces do cubo de comprimentos ℎ1𝑥1 ℎ2𝑥2 𝑒 ℎ3𝑥3 𝐴 1 ℎ1ℎ2ℎ3 𝑥1 ℎ2ℎ3𝐴1 𝑥2 ℎ1ℎ3𝐴2 𝑥3 ℎ1ℎ2𝐴3 Exemplo 11 Calcule a divergência do campo vetorial definido pelo vetor posição de um ponto no espaço tanto em coordenadas cartesianas quanto em esféricas Exemplo 12 A densidade de fluxo magnético 𝐵 fora de um fio condutor por onde flui uma corrente elétrica é circunferencial direção 𝑒 𝜙 e inversamente proporcional a distância ao fio Calcule 𝐵 O teorema da divergência teorema de Gauss ψ𝑠𝑗 𝐴 𝑑𝑠𝑗 𝑠𝑗 𝐴 𝑗 𝑣𝑗 ψ𝑆 𝐴 𝑑𝑠𝑗 𝑠𝑗 𝑗 𝐴 𝑗 𝑣𝑗 𝑗 𝐴 𝑑𝑠 ℛ𝑆 𝐴 𝑑𝑣 ℛ Exemplo 13 Verifique o teorema da divergência para o campo vetorial e região definidos no exemplo 9 Exemplo 14 Verifique o teorema da divergência para o campo vetorial e região definidos no exemplo 10 Exemplo 15 Considere o campo vetorial 𝐴 𝜌𝑒 𝜌 𝑧𝑒 𝑧 a Calcule o fluxo total do campo 𝐴 para fora do cilindro circular em torno do eixo 𝑧 de raio 2 e altura 4 com centro na origem b Repita a parte a para o mesmo cilindro sendo que agora a sua base coincide com o plano 𝑥𝑦 c Calcule a divergência do campo 𝐴 e verifique o teorema da divergência R a48𝜋 c 3 5 3 A integral de linha circulação e o rotacional de um campo vetorial A integral de linha de um campo vetorial e a circulação 𝐶 desse campo por uma curva ou contorno 𝛾 𝐴 𝛾 𝑑𝑙 𝑒 C 𝐴 𝑑𝑙 𝛾 Exemplo 16 a Calcule o trabalho para mover uma partícula de 𝐴001 a 𝐵241 ao longo da trajetória parabólica 𝑦 𝑥2 𝑧 1 no campo de força 𝐹 2𝑦𝑒 𝑥 2𝑥𝑒 𝑦 𝑧𝑒 𝑧 b Calcule o trabalho agora pela curva 𝑦 2𝑥 c Calcule agora por caminhos paralelos aos eixos coordenados d Calcule a o trabalho de 𝐹 para mover o corpo desde o ponto 𝐴 ao ponto 𝐵 pela parábola e retornando ao ponto 𝐴 pela reta ou seja calcule a circulação de 𝐹 R abc16 J d0 O rotacional de um campo vetorial fonte de vorticidade Cálculo a partir do operador nabla usando coordenadas cartesianas 𝐴 𝑥 𝑒 𝑥 𝑦 𝑒 𝑦 𝑧 𝑒 𝑧 𝐴𝑥𝑒 𝑥 𝐴𝑦𝑒 𝑦 𝐴𝑧𝑒 𝑧 𝑟𝑜𝑡 𝐴 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 𝑒 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝑦𝐴𝑧 𝑧𝐴𝑦𝑒 𝑥 𝑧𝐴𝑥 𝑥𝐴𝑧𝑒 𝑦 𝑥𝐴𝑦 𝑦𝐴𝑥𝑒 𝑧 Exemplo 17 Considere 𝐵 um corpo rígido girando em torno do eixo 𝑧 A rotação pode ser descrita pelo vetor 𝜔 𝜔𝑒 𝑧 em que 𝜔 é a magnitude da velocidade angular de 𝐵 Seja 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 o vetor posição do ponto 𝑃 de 𝐵 a Considerando o ângulo 𝜃 da figura mostre que o campo de velocidades de 𝐵 é dado por 𝑣 𝜔 𝑟 b Mostre que 𝑣 𝜔𝑦𝑒 𝑥 𝜔𝑥𝑒 𝑦 c Mostre que 𝑣 2𝜔 Exemplo 18 Faça um esboço do campo vetorial 𝐴 𝐾𝑧𝑒 𝑥 𝐾 é uma constante Pelo esboço visualize que este campo é análogo ao escoamento de água em um rio Calcule o rotacional deste campo vetorial R 𝐾𝑒 𝑦 Definição interpretação medida da intensidade da fonte de vórtex e o rotacional nos sistemas 𝐴 𝑛 lim 𝑠𝑛0 1 𝑠𝑛 𝐴 𝑑𝑙 𝛾 𝑒 𝑛 calcular a circulação através da espira C1 de comprimentos ℎ2𝑥2 𝑒 ℎ3𝑥3 e depois para C2 𝑒 C3 𝐴 1 ℎ1ℎ2ℎ3 ℎ1𝑒 1 ℎ2𝑒 2 ℎ3𝑒 3 1 2 3 ℎ1𝐴1 ℎ2𝐴2 ℎ3𝐴3 6 Exemplo 19 Verifique que 𝐴 0 define campo irrotacional conservativo para 𝑎 𝐴 𝑘 𝜌 𝑒 𝜙 𝑒 𝑏 𝐴 𝑓𝑟𝑒 𝑟 O teorema do rotacional Stokes Regra da mão direita para orientar 𝑑𝑙 dedos e 𝑑𝑠 polegar contornando a curva borda da superfície ficando esta interna a mão direita C𝛾𝑗 𝐴 𝑑𝑙𝑗 𝛾𝑗 𝐴 𝑗 𝑠 𝑗 C𝑆 𝐴 𝑑𝑙𝑗 𝛾𝑗 𝑗 𝐴 𝑗 𝑠 𝑗 𝑗 𝐴 𝑑𝑙 𝑆𝐶 𝐴 𝑑𝑠 𝑆 Exemplo 20 Verifique o teorema do rotacional para o campo vetorial 𝐹 𝜌𝑒 𝜙 quando o caminho fechado é o círculo de raio 𝜌 𝑎 com centro na origem R2𝜋𝑎2 2𝜋𝑎2 Exemplo 21 a Considere o campo vetorial 𝐴 𝑥𝑦𝑒 𝑥 2𝑥𝑒 𝑦 calcule a circulação do campo pela curva 𝛾 𝑂𝐴𝐵𝑂 mostrada na figura abaixo b Verifique o teorema do rotacional Exemplo 22 Seja 𝐹 sin 𝜙 𝑒 𝜌 3 cos 𝜙 𝑒 𝜙 e a região definida no exemplo 21 a Determine 𝛾𝑂𝐴𝐵𝑂 𝐹 𝑑𝑙 ou seja determine a circulação de 𝐹 pelo caminho 𝛾 b Encontre 𝐹 e calcule o fluxo do rotacional pela superfície cuja borda é a curva 𝛾 para verificar o teorema de Stokes ou seja calcule 𝐴 𝑑𝑠 𝑆 onde 𝑆 𝛾 R a6 b 2 𝜌 cos𝜙 𝑒 𝑧 4 Complementos importantes O teorema fundamental do cálculo e o teorema de Stokes generalizado 𝑑𝜔 ℛ 𝜔 ℛ 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑓𝑏 𝑓𝑎 𝑓 𝑑𝑙 𝑏 𝑎 𝑓𝑏 𝑓𝑎 𝐴 𝑑𝑠 𝑆 𝐴 𝑑𝑙 𝑆𝐶 𝐴 𝑑𝑣 ℛ 𝐴 𝑑𝑠 ℛ𝑆 7 Teorema de Helmholtz para campos vetoriais Se 𝐴 𝑒 𝐴 são conhecidos o campo está determinado Identidades importantes campos irrotacionais conservativos e campos solenoidais 𝑓 0 𝑆𝑒 𝐸 0 𝐸 𝑓 𝐸 é campo irrotacional ou conservativo 𝐴 0 𝑆𝑒 𝐵 0 𝐵 𝐴 𝐵 é campo solenoidal Laplaciano de um campo escalar 𝑉𝑟 Coordenadas cartesianas 𝑉𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑒 𝑥 𝑦 𝑒 𝑦 𝑧 𝑒 𝑧 𝑉 𝑥 𝑒 𝑥 𝑉 𝑦 𝑒 𝑦 𝑉 𝑧 𝑒 𝑧 2𝑉𝑥 𝑦 𝑧 2𝑉 𝑥2 2𝑉 𝑦2 2𝑉 𝑧2 𝑥𝑥𝑉 𝑦𝑦𝑉 𝑧𝑧𝑉 Coordenadas cartesianas cilíndricas e esféricas conhecendo os coeficientes métricos 𝑉𝑥1 𝑥2 𝑥3 1 ℎ1 𝑥1 𝑒 1 1 ℎ2 𝑥2 𝑒 2 1 ℎ3 𝑥3 𝑒 3 𝑉𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝐴 1 ℎ1ℎ2ℎ3 𝑥1 ℎ2ℎ3𝐴1 𝑥2 ℎ1ℎ3𝐴2 𝑥3 ℎ1ℎ2𝐴3 𝑉 2𝑉 1 ℎ1ℎ2ℎ3 𝑥1 ℎ2ℎ3 1 ℎ1 𝑉 𝑥1 𝑥2 ℎ1ℎ3 1 ℎ2 𝑉 𝑥2 𝑥3 ℎ1ℎ2 1 ℎ3 𝑉 𝑥3 8 5 Exercícios Exercício 1 Estime cálculo aproximado o gradiente do campo escalar Φ𝑥 𝑦 nos pontos 𝑃1 𝑒 𝑃2 Veja a figura abaixo R Φ𝑃1 313𝑒 𝑥 Φ𝑃2 769𝑒 𝑥 714𝑒 𝑦 Exercício 2 Considere que 𝑉 𝑥𝑦 2𝑦𝑧 encontre no ponto 𝑃 236 a a direção e a magnitude do maior aumento de 𝑉 e b a taxa espacial de variação de 𝑉 em direção a origem R a 3𝑒 𝑥 10𝑒 𝑦 6𝑒 𝑧 b 60 7 Exercício 3 Escreva fórmulas para o gradiente de um campo escalar nos três sistemas de coordenadas Exercício 4 a Calcule o fluxo do campo vetorial 𝐴 1 𝑟2 𝑒 𝑟 que atravessa a esfera 𝑟 𝑎 0 𝜃 𝜋 0 𝜙 2𝜋 b Calcule o fluxo desse campo através do cubo de lado 1 𝑚 com centro na origem R 4𝜋 Exercício 5 Escreva fórmulas para a divergência de um campo vetorial nos três sistemas de coordenadas Exercício 6 Resolva o problema do exemplo 11 em coordenadas cilíndricas Exercício 7 a Verificar o teorema da divergência para o campo vetorial 𝐴 1 𝑟 𝑒 𝑟 considerando a superfície de uma esfera de raio 𝑎 com centro na origem b Verificar o teorema considerando a superfície de cone de raio 𝑎 e ângulo de abertura 𝜃0 R𝑎4𝜋𝑎 𝑏2𝜋𝑎1 cos 𝜃0 Exercício 8 Encontre a circulação do campo vetorial 𝐴 𝑥𝑦𝑒 𝑥 2𝑥𝑒 𝑦 no sentido horário do caminho quadrado com centro na origem e lados de comprimento 4 unidades R 32 Exercício 9 Desenhar alguns valores dos campos 𝐴 𝑟 𝐵 𝐵0𝑒 𝑧 𝑒 𝐶 𝑦𝑒 𝑥 𝑥𝑒 𝑦 e calcular o rotacional de cada campo Nas expressões dos campos 𝐵0 é uma constante e 𝑟 é o vetor posição de um ponto Exercício 10 Escreva fórmulas para o rotacional de um campo vetorial nos três sistemas de coordenadas 9 Exercício 11 Classificar os campos abaixo como solenoidal eou irrotacional ou nenhum dos dois 𝐴 𝑥𝑦𝑒 𝑥 𝑦2𝑒 𝑦 𝑥𝑧𝑒 𝑧 𝐵 𝜌sin 𝜙 𝑒 𝜌 2 cos 𝜙 𝑒 𝜙 𝐶 𝑥𝑒 𝑥 2𝑦𝑒 𝑦 𝑧𝑒 𝑧 𝐷 𝑘 𝑟 𝑒 𝑟 R nenhum solenoidal solenoidal e irrotacional irrotacional Exercício 12 Use coordenadas cartesianas para mostrar 𝑓 0 𝑒 𝐴 0 Exercício 13 Escreva fórmulas para o laplaciano de um campo escalar nos três sistemas de coordenadas 10 6 Problemas Problemas A 31 Complementação do Exemplo 6 Calcule o trabalho para mover uma partícula de 𝐴001 a 𝐵241 no campo de força 𝐹 2𝑦𝑒 𝑥 2𝑥𝑒 𝑦 𝑧𝑒 𝑧 inicialmente movendo a partícula paralelamente ao eixo 𝑥 de 0 𝑎 2 depois movendoa paralelamente ao eixo 𝑦 de 𝑦 0 a 𝑦 4 Mostre que 𝐹 é um campo conservativo 32 Encontre o fluxo do campo vetorial 𝐴 𝑒 𝜌 𝜌 através a da esfera 𝑟 𝑎 centrada na origem b do cubo de lado 2𝑎 centrado na origem com faces paralelas aos eixos cartesianos c do cilindro 0 𝜌 2𝑎 0 𝜙 2𝜋 𝑎 𝑧 𝑎 33 Mostre que a divergência de 𝐴 1 𝑟2 𝑒 𝑟 exceto em 𝑟 0 Encontre a divergência de 𝐴 em 𝑟 0 usando uma esfera de raio 𝑟 𝑎 e a equação que define a divergência como uma integral de fluxo e fazendo o limite de 𝑎 0 O resultados concordam Qual a implicação dos resultados 34 Encontre 𝐶 se 35 Usando um vetor unitário encontre a direção na qual o campo escalar 𝑇 𝑥2𝑦 𝑧𝑥 10 varia nmais rápidamente Qual é a maior taxa de variação em 111 36 Seja Φ 10𝑥2 𝑦 a Encontre Φ em 000 b Repita o problema usando a definição de gradiente definida por Φ lim 𝑣0 1 𝑣 Φ ds 𝑠𝑢𝑝 quando o volume é um paralelepípedo retangular centrado na origem com lados 𝑎 𝑏 𝑒 𝑐 paralelos aos eixos coordenados 37 Determine quais dos seguintes campos são conservativos 11 38 Use a idéia de uma pequena hélice como sonda para explorar os seguintes campos e determinar se os rotacionais são nulos 39 Obtenha as fórmulas para o gradiente a divergência e o rotacional em coordenadas cilíndricas e esféricas a partir das fórmulas em coordenadas cartesianas 310 Use coordenadas cartesians para mostrar que 311 Use coordenadas cartesianas para mostrar que 312 Encontre o fluxo do campo vetorial 𝐴 𝑒 𝜌 𝜌 para fora das seguintes superfícies a esfera 𝑟 𝑎 b hemisfério superior 𝑟 𝑎 0 𝜃 𝜋 2 c hemisfério inferior 𝑟 𝑎 𝜋 2 𝜃 𝜋 2 d cilindro 𝜌 01 𝑎 2 𝑧 𝑎 2 313 Verifique o teorema da divergência para o campo vetorial 𝐴 𝑟𝑒 𝑟 quando a superfície fechada é a a esfera 𝑟 𝑎 b o cilindro 𝜌 𝑎 0 𝑧 ℎ 314 Repita o problema 313 para o campo 𝐴 5𝑒 𝜌 315 Repita o problema 313 para o campo 𝐴 10𝑒 𝑧 316 Verifique o teorema de Stokes para o campo 𝐴 𝑟𝑒 𝜙 quando a curva fechada é o circulo 𝜌 𝑎 em 𝑧 0 e a superfície aberta é a o disco 0 𝜌 𝑎 𝑧 0 b o hemisfério inferior 𝑟 𝑎 𝜋 2 𝜃 𝜋 12 Problemas B 317 Denote o vetor posição do ponto 𝑃𝑥 𝑦 𝑧 por 𝑅 Determine 1 𝑅 em a coordenadas cartesianas e b coordenadas esféricas R 𝑎 𝑥𝑒 𝑥 𝑦𝑒 𝑦 𝑧𝑒 𝑧 𝑅3 𝑏 1 𝑅2 𝑒 𝑅 318 Dado o campo escalar 𝑉 2𝑥𝑦 𝑦𝑧 𝑥𝑧 a encontre o vetor representando a direção e magnitude da taxa máxima de aumento de 𝑉 no ponto 𝑃 2 10 e b a taxa de variação de 𝑉 no ponto 𝑃 na direção ao ponto 𝑄 026 R 𝑎 2𝑒 𝑥 4𝑒 𝑦 3𝑒 𝑧 𝑏 34 7 319 Encontre a divergência dos seguintes campos radiais 𝑘 é uma constante 𝑎 𝑓𝑟 𝑟𝑛𝑒 𝑟 𝑏𝑔𝑟 𝑘 𝑟2 𝑒 𝑟 R 𝑎𝑛 2𝑟𝑛1 𝑏0 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑟 0 320 Considere o campo vetorial 𝐹 𝑥𝑦𝑒 𝑥 𝑦𝑧𝑒 𝑦 𝑧𝑥𝑒 𝑧 e um cubo unitário que está no primeiro octante com um vértice na origem a Calcule o fluxo de 𝐹 pela superfície do cubo e b calcule a divergência de 𝐹 e verifique o teorema da divergência R 𝑎 3 2 𝑏 𝐹 𝑦 𝑧 𝑥 3 2 321 Considere o campo vetorial 𝐴 𝜌2𝑒 𝜌 2𝑧𝑒 𝑧 para verificar o teorema da divergência na região cilíndrica circular encoberta por 𝜌 5 𝑧 0 𝑒 𝑧 4 R 𝐴 3𝜌 2 1200𝜋 322 Seja o campo vetorial 𝐴 𝑧𝑒 𝑧 Verifique o teorema da divergência considerando a superfície da região hemisférica formada pelo hemisfério superior da esfera de raio 3 centrada na origem com sua base plana que é o disco circular no plano 𝑥𝑦 definido pelo corte da esfera com o plano R 𝐴 1 18𝜋 323 O campo 𝐷 cos2 𝜙 𝑟3 𝑒 𝑟 existe na região entre duas cascas esféricas definidas por 𝑟 2 𝑒 𝑟 3 Calcule o fluxo do campo vetorial pela superfície definida pelas duas esferas e verifique o teorema da divergência R 𝐷 cos2 𝜙 𝑟4 𝜋 3 324 Seja o campo vetorial 𝐹 𝑦𝑒 𝑥 𝑥𝑒 𝑦 para calcular a integral de linha 𝐹 𝑑𝑙 𝐶 desde o ponto 𝐴 21 1 até o ponto 𝐵 82 1 ao longo da curva C a reta que liga os dois pontos e b parábola 𝑥 2𝑦2 O campo 𝐹 é um campo conservativo Explique R 𝑎14 𝑏14 𝑆𝑖𝑚 𝐹 𝑑𝑙 𝐶 0 𝑜𝑢 𝐴 0 325 Seja 𝐴 2𝑥2 𝑦2𝑒 𝑥 𝑥𝑦 𝑦2𝑒 𝑦 a Calcule 𝐴 𝑑𝑙 o longo do contorno triangular da figura e b Calcule 𝐴 𝑑𝑠 sobre a região triangular c O campo 𝐴 pode ser expresso como o gradiente de um campo escalar Explique R 𝑎 𝑒 𝑏 4 3 𝑐𝑁ã𝑜 𝐴 𝑑𝑙 0 𝑜𝑢 𝐴 𝑦𝑒 𝑧 0 13 326 Seja o campo 𝐹 5𝜌 sin 𝜙 𝑒 𝜌 𝜌2 cos 𝜙 𝑒 𝜙 a Calcule a circulação do campo 𝐹 ao longo do contorno 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴 na direção indicada na figura b Calcule o fluxo do rotacional do campo 𝐹 sobre a região sombreada e compare com o resultado do item a R 𝑎 1 2 𝑏 𝐹 3𝜌 5 cos 𝜙 𝑒 𝑧 1 2 327 Seja a função vetorial 𝐴 3 sin𝜙 2 𝑒 𝜙 Verifique o teorema de Stokes sobre a superfície de um hemisfério inferior de uma esfera de raio 4 e sua borda circular no plano 𝑥𝑦 328 Considere a função vetorial 𝐴 𝑥 3𝑦 𝑎𝑧𝑒 𝑥 𝑏𝑥 5𝑧𝑒 𝑦 2𝑥 𝑐𝑦 𝑑𝑧𝑒 𝑧 aDetermine 𝑎 𝑏 𝑒 𝑐 se 𝐴 for campo irrotacional e b determine 𝑑 se 𝐴 for também campo solenoidal 329 Regra do produto com o operador Considere uma função escalar 𝑓 e uma função vetorial 𝐴 mostre que 𝑎 𝑓𝐴 𝑓 𝐴 𝐴 𝑓 𝑒 𝑏 𝑓𝐴 𝑓 𝐴 𝐴 𝑓 330 Vimos que num sistema curvilíneo de coordenadas a diferenciação de um versor de base pode levar a um novo vetor em uma nova direção a Determine 𝑒 𝜌 𝜙 𝑒 𝑒 𝜙 𝜙 em coordenadas cilíndricas b Use o resultado da parte a para encontrar uma fórmula para 𝐴 em coordenadas cilíndricas utilizando as equações 1 ℎ1 𝑥1 𝑒 1 1 ℎ2 𝑥2 𝑒 2 1 ℎ3 𝑥3 𝑒 3 𝑒 𝐴 𝐴𝜌𝑒 𝜌 𝐴𝜙𝑒 𝜙 𝐴𝑧𝑒 𝑧 R a 𝑒 𝜙 𝑒 𝜌 Problemas C 14 Problemas D 36 Encontre o volume de um cone seccionado de uma esfera de raio r a limitado por β α Calcule o volume quando α π3 e α π2 37 Se a integral AB F dl for considerada como o trabalho realizado para deslocar uma partícula de A até B encontre o trabalho realizado pelo campo de força F 2xy ax x2 z2 ay 3xz2 az sobre uma partícula que se desloca de A000 até B213 ao longo a do segmento 000 010 210 213 b da linha reta entre 000 até 213 38 Se H x y ax x2 zy ay 5yz az calcule H dl ao longo do contorno da Figura 328 Figura 328 Referente ao Problema 38 39 Se V x y z calcule V dS onde S é a superfície de uma fatia cilíndrica definida por 0 ϕ π2 0 z 2 e dS é normal à essa superfície 310 Seja A 2xy ax πx ay y az Calcule A dν sobre a uma região retangular dada por 0 x 2 0 y 2 0 z 2 b uma região cilíndrica dada por ρ 3 0 z 5 c uma região esférica dada por r 4 311 A aceleração de uma partícula é dada por a 24 ax ms2 A posição inicial da partícula é r 000 enquanto sua velocidade inicial é v 2 ax 5 az ms a Determine a posição da partícula no tempo t 1 b Determine a velocidade da partícula como uma função do tempo t 312 Encontre o gradiente dos seguintes campos escalares a U 4x2 3yz b W 2ρ z2 1 cos ϕ c H r cos cos ϕ 313 Determine o gradiente dos seguintes campos e calcule seu valor nos pontos especificados a V e2x3y cos 5x 0102 04 b T 5ρe2x sen ϕ 2 π3 0 c Q sen θ sen ϕ r2 1 π6 π2 314 Determine o vetor unitário normal à Sxyz x2 y2 z no ponto 130 315 A temperatura em um auditório é dada por T x2 y2 z Um mosquito localizado em 112 dentro do auditório deseja voar em uma orientação tal que ele se aqueça o mais rápido possível Em qual orientação ele deve voar 316 Encontre a divergência e o rotacional dos seguintes vetores a A ey ax sen xy ay cos2 x az b B ρ z cos ϕ aρ z sen2 ϕ aϕ c C r cos θ ar 1 r sen θ aϕ 2 r2 sen θ aφ 317 Calcule x A e x A se a A x3 y ax y3 ay 2x z az b A ρ2 aρ ρ3 aϕ 3z2 az c A sen ϕ r2 ar cos ϕ r2 318 Considere o vetor fluxo de calor H k T onde T é a temperatura e k é a condutividade térmica Mostre que onde T 50 senπx2 coshπy2 então H 0 319 a Demonstre que VA VA AV onde V é um campo escalar e A é um campo vetorial b Calcule VA quando A 2x ax 3y ay 4z az e V xyz 320 a Verifique a identidade x VA V x A V x A onde V e A são respectivamente campo escalar e campo vetorial b Calcule x VA quando V 1 r2 e A r cos θ ar r sen θ aφ sen θ cos ϕ aϕ 321 Se U xc x2 y y2 z calcule div grad U 322 Demonstre que ln ρ x ϕ az 324 Calcule V V e x V se a V 3x2 y xz b V ρ z cos ϕ c V 4r2 cos θ sen ϕ 325 Se r x ax y ay z az e T 2xy ax x y2 ay x2 y2 az determine a r T b r T c r r T d r r2 326 Se r x ax y ay z az é o vetor posição do ponto xyz r r e n é um inteiro mostre que a rn n 3 rn1 b x r 0 327 Considerando r c r do problema anterior prove que a ln r r r b 2 ln r 1 r2 328 Para cada um dos seguintes campos escalares determine 2 V a V1 x3 y3 z3 b V2 ρ2 sen 2ϕ c V3 r2 1 cos θ sen ϕ 329 Encontre o laplaciano dos seguintes campos escalares e calcule seu valor nos pontos indicados a U x2 y ez 111 b V ρ2 z cos ϕ sen ϕ 5 π6 2 c W ez sen θ cos ϕ 1 π3 π6 330 Se V x2 y2 z e e A x2 y ax x z ay y2 z az encontre a 2 V b 2 A c grad div A d rot rot A 331 Dado F x2 yax y ay encontre a L F dl onde L é o da Figura 329 b S V dS onde S é a área limitada por L c O teorema de Stokes é satisfeiro para esse caso Figura 329 Referente ao Problema 331 332 Seja D 2ρ2 ax ρ cos2 φaφ Calcule a s D dS b v D dv na região definida por 0 ρ 5 1 z 1 0 φ 2π 333 Se F x2 ax y2 ay z2 1 az encontre s F dS onde S é definido por ρ 2 0 z 2 0 φ 2π 334 a Dado que A xyax yzay xzaz calcule s A dS onde S é a superfície de um cubo definido por 0 x 1 0 y 1 0 z 1 b Resolva novamente a parte a considerando que S permaneça o mesmo e A yzax xz ay xyaz 335 Verifique o teorema da divergência s A dS v A dv para cada um dos seguintes casos a A xy ax y2 ay y2 az e S é a superfície de um cuboide definido por 0 x 1 0 y 1 0 z 1 b A 2ρzaz 3z sen φ aφ 4ρ cos φ aρ e S é a superfície da fatia definida por 0 ρ 2 0 φ 45º 0 z 5 c A r ˆar r sen θ cos φ aφ e S é a superfície de um quarto de uma esfera definida por 0 r 3 0 φ π2 0 θ π2 336 O momento da inércia em torno do eixo z de um corpo rígido é proporcional a x2 y2 dx dy dz Expresse esse momento como o fluxo de algum campo vetorial A através da superfície do corpo 337 Seja A ρ sen φ aρ r2 aφ Calcule L A dl dado que a L é o contorno da Figura 330a b L é o contorno da Figura 330b Figura 330 Referente ao Problema 337 339 Encontre o fluxo do rotacional do campo T 1r2 cos θ ar r sen θ cos φ aφ cos θ aα através do hemisfério r 4 e z 0 340 Um campo vetorial é dado por Q x² y² z²x² y² x y ax x y ay Calcule as seguintes integrais a L Q dl onde L é a borda circular do volume na forma de uma casquinha de sorvete mostrado na Figura 331 b s1 Q dS onde S1 é a superfície no topo desse volume c s2 Q dS onde S2 é a superfície da lateral cônica desse volume d s Q dS e s1 Q dS f v Q dv Como os resultados nos itens a até f podem ser comparados entre si Figura 331 Volume na forma de uma casquinha de sorvete referente ao Problema 340 341 Um corpo rígido gira em torno de um eixo fixo que atravessa o seu centro com uma velocidade angular ω Se u é a velocidade em qualquer ponto no corpo mostre que ω 12 u 342 Sejam U e V campos escalares mostre que L U V dl L V U dl 343 Mostre que rn dv 1n3 rn1 dr onde r r e n são definidos como no Problema 326 344 Dado o campo vetorial G 16 γ z ax 8x² ay x az a G é irrotacional ou conservativo b Encontre o fluxo líquido de G através do cubo 0 x y z 1 c Determine a circulação de G no contorno do quadrado z 0 0 x y 1 Considere o sentido antihorário 345 Se o campo vetorial T αxy βz² ax 3x² γz ay 3x² y az é rotacional determine α β e γ Encontre T em 2 1 0 19 Respostas dos Problemas C Respostas dos Problemas D 121 Dado A x² y ax y z ay y z² az determine a a magnitude de A no ponto T2 1 3 b o vetor distância de T até S caso S esteja a 56 unidades de distância afastado de T e com a mesma orientação de A em T c o vetor posição de S 111 Calcule os ângulos que o vetor H 3ax 5ay 8az faz com os eixos x y e z 1 Eletromagnetismo Aula 01 e 02 Introdução coordenadas cartesianas e álgebra vetorial 1 Introdução Eletromagnetismo Medida dos campos elétrico e magnético Força de Lorentz e equações constitutivas Equações de Maxwell Consequências equação da continuidade e equação de onda para os campos elétrico e magnético Potenciais elétrico e magnético Aplicações tecnológicas Modelo padrão e gravitação quântica Invariância de calibre 2 Vetores Representação geométrica 𝐴 𝐴𝑒𝐴 𝐴𝑒𝐴 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒𝐴 𝐴 𝐴 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜𝑟 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐴 Se 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝑒 𝑒𝐴 𝑒𝐵 Adição e subtração de vetores regra do paralelogramo leis comutativa e associativa 𝐶 𝐴 𝐵 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑒 𝐷 𝐴 𝐵 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎çã𝑜 Vetores posição dos pontos 𝑃 𝑒 𝑄 em relação a origem 𝑟𝑃 𝑟𝑂𝑃 𝑒 𝑟𝑄 𝑟𝑂𝑄 Vetor posição relativa deslocamento 𝑅𝑃𝑄 𝑟𝑄 𝑟𝑃 posição relativa de 𝑃 em relação a 𝑄 3 Sistema de coordenadas cartesianas 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥 𝑦 𝑧 Superfícies coordenadas são planos infinitos paralelos aos planos 𝑦𝑧 𝑥𝑧 𝑒 𝑥𝑦 cujas interseções identificam o ponto 𝑃 𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝑥 𝑥0 𝑦 𝑦0 𝑧 𝑧0 2 Versores coordenados constituem um triedro direito são perpendiculares às superfícies coordenadas e apontam no sentido do aumento da coordenada 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧 Componente escalar e componente vetorial de vetores 𝐴 𝐴𝑥𝑒𝑥 𝐴𝑦𝑒𝑦 𝐴𝑧𝑒𝑧 Módulo do vetor 𝐴 𝐴𝑥2 𝐴𝑦2 𝐴𝑧2 Soma e subtração de vetores em componentes 𝐴 𝐵 𝐴𝑥 𝐵𝑥𝑒𝑥 𝐴𝑦 𝐵𝑦𝑒𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑧𝑒𝑧 Campos escalares 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 e campos vetoriais 𝑉𝑥 𝑦 𝑦𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑦 4 Multiplicação vetorial Multiplicação por escalar 𝛼 𝛼𝐴 𝛼𝐴𝑒𝐴 Produto escalar 𝐴 𝐵 𝑘 𝐴 𝐵 𝐴𝑥𝐵𝑥 𝐴𝑦𝐵𝑦 𝐴𝑧𝐵𝑧 𝐴 𝐴 𝐴𝑥 2 𝐴𝑦 2 𝐴𝑧 2 𝐴 2 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 cos 𝜃𝐴𝐵 Se 𝐴 𝐵 0 𝐴 𝐵 Produto escalar entre versores 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝑒𝑧 𝑒𝑥 0 𝑒 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝑒𝑧 1 Distância entre pontos 𝐴𝑥𝐴 𝑦𝐴 𝑧𝐴 𝑒 𝐵𝑥𝐵 𝑦𝐵 𝑧𝐵 𝑑𝐴𝐵 2 𝑥𝐵 𝑥𝐴2 𝑦𝐵 𝑦𝐴2 𝑧𝐵 𝑧𝐴2 Produto vetorial 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝑒𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝑒𝑦 𝐴𝑥 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑧 𝑒𝑧 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵𝑒𝑁 𝐴𝐵 sin 𝜃𝐴𝐵𝑒𝑁 𝑒𝑁 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑚ã𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 Interpretação geométrica 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 sin 𝜃𝐴𝐵 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚 Distributividade e não comutatividade 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 𝑒 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 Produto vetorial entre versores 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 𝑐í𝑐𝑙𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑥 𝑦 𝑒 𝑧 𝑒 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝑒𝑧 0 3 Produto misto 𝐶 𝐴 𝐵 𝑘 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶𝑥𝑒𝑥 𝐶𝑦𝑒𝑦 𝐶𝑧𝑒𝑧 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐶𝑥 𝐶𝑦 𝐶𝑧 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 Interpretação geométrica 𝐴 𝐵 𝐶 volume do paralelepípedo 𝐴 𝐵 𝐶 𝐵𝐶 sin 𝜃𝐵𝐶 𝑒𝑁 𝐴 𝐵𝐶 sin 𝜃𝐵𝐶 𝐴cos 𝜃𝐴𝑁 á𝑟𝑒𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 Aplicações geométricas importantes Componente vetorial paralela e componente vetorial perpendicular a uma direção 𝑒 vetor unitário 𝐴 𝐴𝑒 𝐴𝑒 𝐴𝑒 𝐴 𝑒 𝑒 Magnitudes das componentes paralelas e perpendiculares a direção 𝑒 cálculo de distâncias 𝐴𝑒 𝐴 𝑒 𝑒 𝐴𝑒 𝐴 𝑒 Exemplo 1 Sejam os vetores 𝐴 5𝑒𝑥 2𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝑒 𝐵 3𝑒𝑥 4𝑒𝑧 Determine a o produto escalar dos dois vetores b o produto vetorial dos dois vetores c o ângulo entre os dois vetores e d a área do paralelogramo que tem lados formados pelos dois vetores d decomponha o vetor 𝐴 em componentes paralela e perpendicular ao vetor 𝐵 e e calcule as magnitudes das componentes encontradas Exemplo 2 Considere os pontos 𝐴132 𝑒 𝐵3 24 Determine a os vetores posição relativa 𝑅𝐴𝐵 e 𝑅𝐵𝐴 b o comprimento da semireta pelos pontos 𝐴 𝑒 𝐵 e c a distância perpendicular da origem do sistema de coordenadas a reta que passa pelos dois pontos 5 Elementos da geometria diferencial Elementos diferenciais de linha 𝑑𝑙 superfície 𝑑𝑠 e volume 𝑑𝑣 𝑑𝑙 𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑦 𝑒𝑦 𝑑𝑧 𝑒𝑧 𝑑𝑠 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑒𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑒𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑒𝑧 𝑑𝑣 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Generalização O sistema de coordenadas 𝑥1 𝑥2 𝑥3 possui os coeficientes métricos ℎ1 ℎ2 ℎ3 𝑑𝑙 ℎ1𝑑𝑥1 𝑒1 ℎ2𝑑𝑥2 𝑒2 ℎ3𝑑𝑥3 𝑒3 𝑑𝑠 ℎ2ℎ3𝑑𝑥2𝑑𝑥3 𝑒1 ℎ1ℎ3𝑑𝑥3𝑑𝑥1 𝑒2 ℎ1ℎ2𝑑𝑥1𝑑𝑥2 𝑒3 𝑑𝑣 ℎ1ℎ2ℎ3𝑑𝑥1𝑑𝑥2𝑑𝑥3 As coordenadas cartesianas são 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥 𝑦 𝑧 e os coeficientes métricos são ℎ1 ℎ2 ℎ3 111 4 6 Exercícios Exercício 1 Três vetores 𝐴 𝐵 𝑒 𝐶 são colocados um após o outro formando os três lados de um triângulo Calcule a 𝐴 𝐵 𝐶 e b 𝐴 𝐵 𝐶 R 0 e 2𝐶 Exercício 2 Usar o produto escalar para encontrar a lei dos cossenos Exercício 3 Seja o vetor 𝐴 𝑒𝑥 2𝑒𝑦 2𝑒𝑧 Determine a a magnitude de 𝐴 b um vetor unitário na direção de 𝐴 e c o ângulo que 𝐴 faz com o eixo coordenado 𝑧 Exercício 4 Usar o produto vetorial para encontrar a lei dos senos Exercício 5 Conhecendose os vetores 𝐴 𝐵 𝑒 𝐶 verifique a seguinte igualdade para o produto misto 𝐴 𝐵 𝐶 𝐶 𝐴 𝐵 𝐵 𝐶 𝐴 Exercício 6 Seja o vetor 𝐸 2𝑒𝑥 6𝑒𝑦 3𝑒𝑧 encontre a a magnitude de 𝐸 b o vetor 𝑒𝐸 e c os ângulos diretores ou seja os ângulos que o vetor 𝐸 faz com os eixos coordenados 𝑥 𝑦 𝑧 R a 7 b 𝑒𝐸 0296𝑒𝑥 0857𝑒𝑦 0429𝑒𝑧 c 7340 14900 6460 Exercício 7 Considere os pontos 𝑃1120 𝑒 𝑃2340 no sistema cartesiano e seus respectivos vetores posição 𝑟1 e 𝑟2 encontre a o vetor posição relativa de 2 em relação a 1 b a distância entre os pontos c o comprimento da projeção de 𝑟2 sobre 𝑟1 e d a área do triângulo cujos vértices são a origem 𝑂 𝑃1 𝑒 𝑃2 R a2236 b5 5 7 Problemas Problemas A 11 Encontre o ângulo 900 entre os vetores 𝐴 4𝑒𝑥 4𝑒𝑦 2𝑒𝑧 e 𝐵 3𝑒𝑥 15𝑒𝑦 𝑒𝑧 12 Encontre os ângulos que o vetor 𝐴 6𝑒𝑥 12𝑒𝑦 4𝑒𝑧 faz com os eixos coordenados 𝑥 𝑦 e 𝑧 R 𝜃𝑥 64620 𝜃𝑦 14900 𝜃𝑧 7340 13 a Determine a equação do plano que é perpendicular ao vetor 𝐴 2𝑒𝑥 3𝑒𝑦 6𝑒𝑧 e que passa pelo ponto final medido em relação à origem do vetor 𝐵 𝑒𝑥 5𝑒𝑦 3𝑒𝑧 b Qual a menor distância da origem ao plano R 𝑎2𝑥 3𝑦 6𝑧 35 𝑏𝐵 𝐴 𝐴 5𝑚 14 Encontre o volume do tetraedro definido pela interseção dos planos 𝑥 0 𝑦 0 𝑧 0 e 3𝑥 4𝑦 2𝑧 1 R 𝑉 12 𝑚3 Problemas B 15 O rombus é um paralelogramo equilátero Denote dois de seus lados vizinhos pelos vetores 𝐴 𝑒 𝐵 a Prove que as suas diagonais são 𝐴 𝐵 e 𝐴 𝐵 b Prove que as diagonais são perpendiculares entre si 16 Os três lados de um triângulo arbitrário são denotados pelos vetores 𝐴 𝐵 𝑒 𝐶 estejam eles direcionados no sentido horário ou antihorário então vale a equação 𝐴 𝐵 𝐶 0 Demonstre a lei dos senos Dica faça o produto vetorial separadamente para 𝐴 𝑒 𝐵 e examine a relação de magnitude entre os produtos 17 Considere os vetores 𝐴 6𝑒𝑥 2𝑒𝑦 3𝑒𝑧 𝐵 4𝑒𝑥 6𝑒𝑦 12𝑒𝑧 𝑒 𝐶 5𝑒𝑥 2𝑒𝑧 encontre a 𝑒𝐵 b 𝐵 𝐴 c a componente de 𝐴 na direção de 𝐵 d 𝐵 𝐴 e a componente de 𝐵 na direção de 𝐴 f 𝜃𝐴𝐵 g 𝐴 𝐶 h 𝐴 𝐵 𝐶 𝑒 𝐴 𝐵 𝐶 18 Considere os versores unitários 𝑒𝐴 𝑒 𝑒𝐵 definem as direções dos vetores 𝐴 𝑒 𝐵 no plano 𝑥𝑦 que fazem ângulos 𝛼 e 𝛽 respectivamente com o eixo 𝑥 a Obtenha uma fórmula para cos𝛼 𝛽 calculando o produto escalar 𝑒𝐴 𝑒𝐵 b Obtenha uma fórmula para sin𝛼 𝛽 calculando o produto vetorial 𝑒𝐵 𝑒𝐴 19 Os três vértices de um triângulo retângulo estão localizados nos pontos 𝑃1 102 𝑃2 315 𝑒 𝑃3 3 46 a Determine qual vértice é o do ângulo reto b Encontre a área do triângulo R a ângulo reto em 𝑃1 b 153 6 110 Considere os pontos 𝑃1 203 𝑒 𝑃2 04 1 encontre a o comprimento da linha que passa pelos pontos 𝑃1𝑒 𝑃2 e b a distância perpendicular entre o ponto 𝑃3 313 e a reta que passa pelos pontos 𝑃1𝑒 𝑃2 R𝑎6 𝑏453 111 Dado o vetor 𝐴 5𝑒𝑥 2𝑒𝑦 𝑒𝑧 encontre expressões para a um vetor unitário 𝑒𝐵 tal que 𝑒𝐵 𝐴 e b um vetor unitário 𝑒𝐶 do plano 𝑥𝑦 tal que 𝑒𝐶 𝐴 112 Decomponha o vetor 𝐴 2𝑒𝑥 5𝑒𝑦 3𝑒𝑧 nas componentes 𝐴𝐵 𝑒 𝐴𝐵 que são respectivamente as componentes paralela e perpendicular ao vetor 𝐵 𝑒𝑥 4𝑒𝑦 𝑅 𝐴𝐵 22 17 1 40 𝑒 𝐴𝐵 3 17 4117 113 Outro produto entre três vetores além do produto escalar triplo é o produto vetorial triplo 𝐴 𝐵 𝐶 Utilizando coordenadas cartesianas prove a seguinte identidade 𝐴 𝐵 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶𝐴 𝐵 7 Problemas C 8 Problemas D 9 10 Respostas Problemas C Respostas Problemas D 215 Descreva a interseção entre as seguintes superfícies a x 2 y 5 b x 2 y 1 z 10 c r 10 θ 30 d ρ 5 ϕ 40 e ϕ 60 z 10 f r 5 ϕ 90 21 Expresse os seguintes pontos em coordenadas cartesianas a P1 60 2 b Q2 90 4 c R3 45 210 d T4 π2 π6 23 a Resolva os versores eρ eΦ er e eθ em versores constantes b Com isto calcule as seguintes integrais ₀π dΦ eρ ₀π2 dΦ eΦ ₀¹ dz er ₀π2 dθ eθ a aρ ax cos ϕ ay sin ϕ aΦ ax sin ϕ ay cos ϕ ar ax sin θ cos ϕ ay sin θ sin ϕ az cos θ aθ ax cos θ cos ϕ ay cos θ sin ϕ az sin θ b ₀π2 aρ dϕ 2ay ₀π2 aΦ dϕ ax ay ₀¹ ar dz x ax y ay ln 1x² y² 112x² y²12 az x² y² 112 x² y²12 ₀π2 aθ dϕ aρ az 1 Eletromagnetismo Aula 03 e 04 Coordenadas cilíndricas e esféricas 1 Sistema de coordenadas cilíndricas 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝜌 𝜙 𝑧 Superfícies coordenadas cujas interseções identificam o ponto 𝑃 𝜌0 𝜙0 𝑧0 𝜌 𝜌0 cilindro circular de raio 𝜌0 com eixo central no eixo coordenado 𝑧 𝜙 𝜙0 semiplano com início no eixo coordenado 𝑧 e ângulo 𝜙0 no semiplano 𝑥𝑧 𝑧 𝑧0 plano infinito paralelo ao plano 𝑥𝑦 passando pelo ponto 𝑧0 Versores coordenados perpendiculares às superfícies coordenadas no sentido do aumento da coordenada 𝑒𝜌 𝑒𝜙 𝑒𝑧 Produto escalar 𝑒𝜌 𝑒𝜙 𝑒𝜙 𝑒𝑧 𝑒𝑧 𝑒𝜌 0 𝑒 𝑒𝜌 𝑒𝜌 𝑒𝜙 𝑒𝜙 𝑒𝑧 𝑒𝑧 1 Produto vetorial 𝑒𝜌 𝑒𝜙 𝑒𝑧 𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 𝑐í𝑐𝑙𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝜌 𝜙 𝑧 𝑒 𝑒𝜌 𝑒𝜌 𝑒𝜙 𝑒𝜙 𝑒𝑧 𝑒𝑧 0 Componente escalar e componente vetorial de vetores 𝐴 𝐴𝜌𝑒𝜌 𝐴𝜙𝑒𝜙 𝐴𝑧𝑒𝑧 Transformação de coordenadas e vetores Transformação entre coordenadas 𝑅 𝑥 𝑒𝑥 𝑦 𝑒𝑦 𝑧 𝑒𝑧 𝑅 𝜌 cos 𝜙 𝑒𝑥 𝜌 sin 𝜙 𝑒𝑦 𝑧 𝑒𝑧 Transformação entre versores cartesianos e cilíndricos 𝑒𝜌 𝑅 𝜌 𝑒𝜙 1 𝜌 𝑅 𝜙 𝑒𝑧 𝑅 𝑧 Matriz de transformação entre versores 𝑒𝑖 𝑒𝑖 𝑒𝑗𝑒𝑗 𝑎𝑖𝑗𝑒𝑗 onde 𝑎𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝑒𝜌 𝑒𝑥 cos 𝜙 𝑒𝜙 sin 𝜙 𝑒𝑧 0 𝑒𝑦 sin 𝜙 cos 𝜙 0 𝑒𝑧 0 0 1 Transformação das componentes covariância das equações vetoriais 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴𝑥𝑒𝑥 𝐴𝑦𝑒𝑦 𝐴𝑧𝑒𝑧 𝐴𝑖𝑒𝑖 3 𝑖1 𝑒 𝐴 𝐴𝜌𝑒𝜌 𝐴𝜙𝑒𝜙 𝐴𝑧𝑒𝑧 𝐴𝑖𝑒𝑖 3 𝑖1 𝐴𝑖 𝐴 𝑒𝑖 𝑜𝑢 𝐴𝑖 𝐴 𝑒𝑖 2 Exemplo 1 Um campo vetorial definido em coordenadas cilíndricas é 𝐵 3 cos 𝜙 𝑒𝜌 2𝜌𝑒𝜙 𝑧 𝑒𝑧 a Qual é o campo no ponto 𝑃4 600 5 b Expresse a localização do ponto 𝑃 em coordenadas cartesianas e c expresse o campo 𝐵𝑃 em coordenadas cartesianas Distância entre pontos 𝑑𝐴𝐵 2 𝑥𝐵 𝑥𝐴2 𝑦𝐵 𝑦𝐴2 𝑧𝐵 𝑧𝐴2 transformar as coordenadas Elementos diferenciais de linha 𝑑𝑙 superfície 𝑑𝑠 e volume 𝑑𝑣 As coordenadas são 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝜌 𝜙 𝑧 e os coeficientes métricos são ℎ1 ℎ2 ℎ3 1 𝜌 1 𝑑𝑙 𝑑𝜌 𝑒𝜌 𝜌𝑑𝜙 𝑒𝜙 𝑑𝑧 𝑒𝑧 𝑑𝑠 𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧 𝑒𝜌 𝑑𝑧𝑑𝜌 𝑒𝜙 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙 𝑒𝑧 𝑑𝑣 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧 Exemplo 2 A componente diferencial de área normal à superfície de um cilindro é 𝑑𝑠𝜌 𝑑𝑠 𝑒𝜌 Considere um cilindro de raio 𝑅 e altura 𝐻 Use o elemento diferencial apropriado para encontrar uma fórmula para a área da superfície e outro elemento diferencial para encontrar seu volume Calcule a área do disco que forma a superfície cilíndrica fechada 2 Sistema de coordenadas esféricas 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑟 𝜃 𝜙 Superfícies coordenadas cujas interseções identificam o ponto 𝑃 𝑟0 𝜃0 𝜙0 𝑟 𝑟0 esfera de raio 𝑟0 com centro na origem 𝜃 𝜃0 cone circular com vértice na origem e ângulo de abertura 𝜃0 em relação ao eixo 𝑧 𝜙 𝜙0 semiplano com início no eixo coordenado 𝑧 e ângulo 𝜙0 no semiplano 𝑥𝑧 Versores coordenados perpendiculares às superfícies coordenadas no sentido do aumento da coordenada formando um triedro direito 𝑒𝑟 𝑒𝜃 𝑒𝜙 Produto escalar 𝑒𝑟 𝑒𝜃 𝑒𝜃 𝑒𝑧 𝑒𝜙 𝑒𝑟 0 𝑒 𝑒𝑟 𝑒𝑟 𝑒𝜃 𝑒𝜃 𝑒𝜙 𝑒𝜙 1 3 Produto vetorial 𝑒𝑟 𝑒𝜃 𝑒𝜙 𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 𝑐í𝑐𝑙𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑟 𝜃 𝜙 𝑒 𝑒𝑟 𝑒𝑟 𝑒𝜃 𝑒𝜃 𝑒𝜙 𝑒𝜙 0 Componente escalar e componente vetorial de vetores 𝐴 𝐴𝑟𝑒𝑟 𝐴𝜃𝑒𝜃 𝐴𝜙𝑒𝜙 Transformação de coordenadas e vetores Transformação entre coordenadas 𝑅 𝑥 𝑒𝑥 𝑦 𝑒𝑦 𝑧 𝑒𝑧 𝑅 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜙 𝑒𝑥 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙 𝑒𝑦 𝑟 cos 𝜃 𝑒𝑧 Transformação entre versores cartesianos e esféricos 𝑒 𝑟 𝑅 𝑟 𝑒𝜃 1 𝑟 𝑅 𝜃 𝑒𝜙 1 𝑟 sin 𝜃 𝑅 𝜙 Matriz de transformação entre versores 𝑒𝑖 𝑒𝑖 𝑒𝑗𝑒𝑗 𝑎𝑖𝑗𝑒𝑗 onde 𝑎𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝑒 𝑟 𝑒𝑥 sin 𝜃 cos 𝜙 𝑒𝜃 cos 𝜃 cos 𝜙 𝑒𝜙 sin 𝜙 𝑒𝑦 sin 𝜃 sin 𝜙 cos 𝜃 sin 𝜙 cos 𝜙 𝑒𝑧 cos 𝜃 sin 𝜃 0 Transformação das componentes covariância das equações vetoriais 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴𝑥𝑒𝑥 𝐴𝑦𝑒𝑦 𝐴𝑧𝑒𝑧 𝐴𝑖𝑒𝑖 3 𝑖1 𝑒 𝐴 𝐴𝑟𝑒𝑟 𝐴𝜃𝑒𝜃 𝐴𝜙𝑒𝜙 𝐴𝑖𝑒𝑖 3 𝑖1 𝐴𝑖 𝐴 𝑒𝑖 𝑜𝑢 𝐴𝑖 𝐴 𝑒𝑖 Exemplo 3 Considerando o ponto 1 1 2 dado em coordenadas cartesianas calcule o valor do campo vetorial 𝐴𝑥 𝑦 𝑧 2𝑒𝑥 𝑥2𝑒𝑦 𝑥𝑦𝑒𝑧 em a coordenadas cartesianas b coordenadas cilíndricas e c coordenadas esféricas Distância entre pontos 𝑑𝐴𝐵 2 𝑥𝐵 𝑥𝐴2 𝑦𝐵 𝑦𝐴2 𝑧𝐵 𝑧𝐴2 transformar as coordenadas Elementos diferenciais de linha 𝑑𝑙 superfície 𝑑𝑠 e volume 𝑑𝑣 As coordenadas são 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑟 𝜃 𝜙 e os coeficientes métricos são ℎ1 ℎ2 ℎ3 1 𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑙 𝑑𝑟 𝑒𝑟 𝑟𝑑𝜃 𝑒𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜙 𝑒𝜙 𝑑𝑠 𝑟2 sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙 𝑒𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜙 𝑒𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑒𝜙 𝑑𝑣 𝑟2 sin 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙 4 Exemplo 4 A componente diferencial de área normal à superfície da esfera é 𝑑𝑠𝑟 𝑑𝑠 𝑒𝑟 Considere uma esfera de raio 𝑅 Use o elemento diferencial apropriado para encontrar uma fórmula para a área da superfície da esfera e outro elemento diferencial para encontrar seu volume R4𝜋𝑅2 4 3 𝜋𝑅3 3 Resumo das coordenadas coeficientes métricos e versores 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥 𝑦 𝑧 𝜌 𝜙 𝑧 𝑟 𝜃 𝜙 ℎ1 ℎ2 ℎ3 𝑒1 𝑒2 𝑒3 111 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧 1 𝜌 1 𝑒𝜌 𝑒𝜙 𝑒𝑧 1 𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝑒𝑟 𝑒 𝜃 𝑒𝜙 4 Exercícios Exercício 1 Expresse o vetor posição do ponto 𝑄345 em coordenadas cilíndricas R 5𝑒𝜌 5 𝑒𝑧 Exercício 2 As coordenadas cilíndricas de dois pontos são 𝐴4 600 1 𝑒 𝐵3 1800 1 Encontre a distância entre os pontos R41 Exercício 3 Transforme as coordenadas cartesianas 4 612 em coordenadas esféricas R 14 310 30370 Exercício 4 Expressar o vetor 𝑒𝑦 em coordenadas esféricas e o vetor 𝑒𝜃 em coordenadas cartesianas Exercício 5 a Encontre a transformação entre as coordenadas cilíndricas e esféricas e b encontre a matriz de transformação entre os versores cilíndricos e esféricos Exemplo 6 Uma nuvem de elétrons está confinada na região entre duas esferas de raios 2 𝑐𝑚 𝑒 5𝑐𝑚 Determine a carga total na casca esférica se a densidade volumétrica de carga é dada por 𝜌𝑣 3 108 cos2 𝜙 𝑟4 𝐶 𝑚3 5 5 Problemas Problemas A 21 Sobre um objeto atuam três forças 𝐹1 10𝑒𝑥 𝐹2 15𝑒𝑦 e 𝐹3 20𝑒𝜌 na direção 𝜙 2𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 Encontre uma quarta força que deve ser aplicada ao objeto que irá mantêlo sem movimento R 𝐹4 3232𝑒𝑦 22 Sejam os campos vetoriais 𝐴 10 𝜌 𝑒𝜌 5𝑒𝜙 2𝑒𝑧 e 𝐵 5𝑒𝜌 cos 𝜙 𝑒𝜙 𝜌𝑒𝑧 a Encontre 𝐴 𝐵 no ponto 111 b Encontre 𝐴 𝐵 no ponto 111 23 a Resolva os versores 𝑒𝜌 𝑒𝜙 𝑒𝑟 𝑒 𝑒𝜃 em versores constantes b Com isto calcule as seguintes integrais 𝑑𝜙𝑒𝜌 𝜋 0 𝑑𝜙𝑒𝜙 𝜋 2 0 𝑑𝑧𝑒𝑟 1 0 𝑑𝜃𝑒𝜃 𝜋2 0 24 a Encontre o volume da fatia cilíndrica definida por 𝜌 1 0 𝜙 𝜋 3 0 𝑧 1 b Encontre a área da superfície definida pela fatia cilíndrica 25 a Determine o volume do cone de altura ℎ e raio da base 𝑎 b Determine a área total da superfície do cone Problemas B 26 Encontre a componente do vetor 𝐴 𝑧𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑧 no ponto 𝑃1 102 que é direcionada ao ponto 𝑃2 3 1500 1 12 32 1 27 A posição de um ponto em coordenadas cilíndricas é 3 4𝜋 3 4 Especifique a localização do ponto em a coordenadas cartesianas e b em coordenadas esféricas 28 Encontre o resultado dos seguintes produtos entre versores coordenados 𝑎𝑒𝜙 𝑒𝑥 𝑏𝑒 𝑟 𝑒𝑦 𝑐𝑒 𝑧 𝑒𝑟 𝑑𝑒𝜙 𝑒𝑥 𝑒𝑒𝜌 𝑒𝑟 𝑓 𝑒𝜃 𝑒 𝑧 6 29 Expresse a componente radial cilíndrica 𝐴𝜌 do vetor 𝐴 a em termos de 𝐴𝑥 𝑒 𝐴𝑦 em coordenadas cartesianas b em termos de 𝐴𝑟 𝑒 𝐴𝜃 em coordenadas esféricas 210 Expresse a componente polar esférica 𝐸𝜃 do vetor 𝐸 a em termos de 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝑒 𝐸𝑧 em coordenadas cartesianas e b em termos de 𝐸𝜌 𝑒 𝐸𝑧 em coordenadas cilíndricas 211 Seja o vetor 𝐹 12 𝑟 𝑒𝑟 a encontre 𝐹 𝑒 𝐹𝑦 no ponto 𝑃 2 44 e b encontre o ângulo que 𝐹 faz com o vetor 𝐴 2𝑒𝑥 3𝑒𝑦 6𝑒𝑧 no ponto 𝑃 7 Problemas C 8 Problemas D 9 218 Dado G x y²aₓ xz ay z² zyaz determine a componente vetorial de G ao longo de aₓ no ponto P8 30º 60º Sua resposta deve ser dada em coordenadas cartesianas 219 Se J r sen θ cos ϕ ar cos 2θ sen ϕ aθ tg θ2 ln r aφ a em T2 π2 3π2 determine a componente vetorial de J que seja a paralela à aφ b normal à superfície ϕ 3π2 c tangencial à superfície esférica r 2 d paralela à linha y 2 z 0 220 Seja H 5p sen ϕ aρ ρz cos ϕ aρ 2 ρaφ No ponto P2 30º 1 determine a um vetor unitário ao longo de H b a componente de H paralela à aφ c a componente de H normal a p 2 d a componente de H tangencial a ϕ 30º 221 Seja A ρz² 1aρ ρz cos ϕ aφ ρ²z² az e B r² cos ϕ ar 2r sen θ aθ Calcule em T3 4 1 a A e B b a componente vetorial de A ao longo de B em T em coordenadas cilíndricas c o vetor unitário perpendicular tanto a A quanto a B em T em coordenadas esféricas 222 Uma outra maneira de definir um ponto P no espaço é através de r α β γ onde as variáveis estão indicadas na Figura 211 Utilizando essa definição determine r α β γ para os seguintes pontos a 2 3 6 b 4 30º 3 c 3 30º 60º Dica r é o r de coordenadas esféricas 0 α β γ 2π Figura 211 Referente ao Problema 222 11 Respostas dos Problemas C Respostas dos Problemas D