Lista de Atividades 8 Questões - Eletromagnetismo

5 06 Pontos Determinar o VETOR campo elétrico ao longo de uma região na qual o potencial elétrico varia como indicado na figura a seguir Potencial Elétrico V 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 xm 2 r 1 40 V 1 r 2 40 V V Q4πε0 r 40 Q 4πε01 Q 445nC 40 Q4πε02 89 nC Vab PL ρL 2πε0 ln AB 40V ρL2πε0 ln12 ρL 40 2πε0 069 322 109 C E ρL ρL 2πε0 ρ ax E ρL 322 109 2πε0 r 5788 r ar PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Curso de Engenharia Elétrica Disciplina Eletromagnetismo Turno Noite Prim Sem 2024 Prof Rose Mary de Souza Batalha Aluno Arthur Almeida Maia Nota 06 ATENÇÃO SÓ É PERMITIDO O USO DE CALCULADORA CIENTÍFICA E SEM CARTÃO DE MEMÓRIA NÃO É PERMITIDO DESGRAMPEAR AS FOLHAS O FORMULÁRIO FAZ PARTE DA PROVA NÃO SE ESQUEÇA DE ENTREGÁLO ORIENTAÇÃO DESENVOLVER TODAS AS QUESTÕES PASSO A PASSO DETALHADAMENTE E APRESENTAR AS RESPOSTAS COM O MÁXIMO DE SIMPLIFICAÇÃO Primeira Prova 30 pontos 11042024 2050h 1 Uma carga Q0 posicionada na origem no espaço livre produz um campo elétrico para o qual Ey 25 kVm no ponto P221 a 04 pontos Calcule Q0 2503 μC b 04 pontos Calcule o campo elétrico E em S145 em coordenadas cartesianas a Q0 000 Ê20 25 kVm E Q1 4πε0 R1P 2 ây 25 K Q0 4πε0 9 ây R Q0 P Rf 000 221 Rf 221 Rf 22 22 12 de 2500 4πτ 8854 1012 9 R1 3 de 2503 108 2503 μC b E 2503 106 4πε0 64812 âos E 2503 106 4πτ 8854 1012 42 âos E 535627 0154 âx 0617 ây 0771 âz E 82486 âx 330482 ây 412968 âz Vm âos 0154 âx 0617 ây 0771 âz E 82486 âx 330482 ây 412968 âz Vm 10 Pontos Sejam duas configurações cilíndricas e coaxiais de carga no espaço livre com as seguintes características Comprimento 100 m Raio do cilindro interno 2 mm Raio do cilindro externo 3 mm Densidade superficial de carga no cilindro interno 25 µCm² Utilizando a Lei de Gauss DESENVOLVER uma equação 03 pontos para cálculo do campo elétrico em qualquer ponto entre o cilindro interno e o cilindro externo e calcular a 02 pontos o campo elétrico na superfície do condutor interno b 02 pontos a densidade de fluxo elétrico em um ponto a 25 mm do eixo do cabo c 03 pontos a tensão existente entre o condutor interno e a capa zd1000 Yint 210³ z Yext 310³ p5 25 10⁶ Cm² D ds D p d y dz ar 06 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Curso de Engenharia Elétrica Seg Sem 2024 Disciplina Eletromagnetismo Turno Noite Prof Rose Mary de Souza Batalha Nota 04 Aluno Arthur Almeida Maia ATENÇÃO SÓ É PERMITIDO O USO DE CALCULADORA CIENTÍFICA E SEM CARTÃO DE MEMÓRIA NÃO É PERMITIDO DESGRAMPEAR AS FOLHAS O FORMULÁRIO FAZ PARTE DA PROVA NÃO SE ESQUEÇA DE ENTREGÁLO ORIENTAÇÃO DESENVOLVER TODAS AS QUESTÕES PASSO A PASSO DETALHADAMENTE E APRESENTAR AS RESPOSTAS COM O MÁXIMO DE SIMPLIFICAÇÃO Primeira Prova 35 pontos 10102024 2050h 1 06 Pontos Determine a densidade de fluxo elétrico D no ponto 604 se houver uma distribuição superficial de cargas de 70 pCm² no plano z 15 e uma carga pontual de 250 nC em 600 ps 70 1012 Cm² S 0015 P 600 ES ps2ε or 70 1012 2ε0 az 726 Cm2 az Ep Q 4πε0 Rpf2 ârz 250 109 4πε0 42 âz 14043 âz RpfP campo P fonte 604 600 004 42 4 R RR âz Rs 604 0015 R 145 R 1 âx 4 ây 5 âz R 12 42 52 42 6481 âos 1 âx 4 ây 5 âz 6481 0154 âx âos 0154 âx 0617 ây 0771 âz E 82486 âx 330482 ây 412968 âz Vm Ê 82486 âx 330482 ây 412968 âz Vm 07 Pontos Dada uma densidade superficial de cargas de 95 pCm² no plano x3 e uma densidade linear de carga de 18 nCm na linha x1 y2 determinar a diferença de potencial entre os pontos A440 e B501 DS 9510¹² cm² 𝒟 𝜺₀ 𝐄 𝐄 𝒟 𝜺₀ E5 95 10¹² 𝜺₀ 1073 vm EL 18 10⁹ 𝜺₀ 2033 kVm 01 07 Pontos Uma linha infinita de cargas com distribuição uniforme de 400 pCm está posicionada ao longo do eixo x Uma superfície de referência com potencial igual a 15 V passa através do ponto x0 y5 z12 m Encontre o potencial no ponto x2 y3 z 4 X DZ VB E dxdydz X VB E dx dy dz X VB E 2 a x 2 a y 16 a z VB 2E a x 2E a y 16E a z 00 4 07 Pontos Uma casca esférica de raio a centrada na origem contendo uma distribuição superficial de carga uniforme tem o potencial definido por V Vo para r a e V Vo a r para r a para referência zero no infinito Encontre a expressão da energia armazenada que este potencial representa DICA Determine o campo elétrico primeiro 2 Uma distribuição de cargas no espaço livre tem ρv 35r nCm³ para 0 r 6 m e é zero em todos os outros pontos do espaço a 04 pontos Calcular o campo elétrico em r4 m e r18 m b 04 pontos Esboçar o gráfico E x r do módulo do campo elétrico em função da distância radial para 0 r 18 m 2 Seja uma casca esférica de espessura infinitesimal e raio igual a 7 m contendo uma carga distribuída uniformemente sobre sua superfície totalizando 40 nC A casca esférica está posicionada no vácuo a 04 Pontos Calcular o campo elétrico dentro e fora da casca esférica b 02 Pontos Esboçar o gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância radial E x r Resolucao da Questao 1 Pagina 1 do PDF Queremos determinar a densidade de fluxo eletrico D no ponto P 6 0 4 considerando os seguintes elementos Uma distribuicao superficial de cargas com densidade σ 70 pCm2 localizada no plano z 15 Uma carga pontual Q 250 nC localizada no ponto 6 0 0 Sabemos que a densidade de fluxo eletrico esta relacionada ao campo eletrico por D ε0E onde ε0 8854 1012 C2N m2 e a permissividade do vacuo 1 Contribuicao do plano com carga superficial A distribuicao superficial de cargas em um plano infinito gera um campo eletrico uniforme perpendicular ao plano dado por Eplano σ 2ε0 ˆn onde ˆn e o vetor unitario normal ao plano Como o plano esta em z 15 e o ponto P 6 0 4 esta abaixo dele o vetor normal ao plano aponta na direcao ˆz e o campo tambem aponta para baixo na direcao positiva de ˆz por ser uma carga negativa Portanto Eplano 70 1012 2 8854 1012ˆz 70 2 8854 ˆz 3952 ˆz Vm 2 Contribuicao da carga pontual A carga pontual esta localizada em 6 0 0 diretamente abaixo do ponto P 6 0 4 O vetor posicao entre a carga e o ponto P e r 6 0 4 6 0 0 0 0 4 com modulo r 4 e vetor unitario ˆr ˆz 1 O campo eletrico devido a uma carga pontual e dado por Epontual 1 4πε0 Q r2 ˆr Substituindo os valores Epontual 9 109 250 109 42 ˆz 9 250 16 ˆz 140625 ˆz Vm 3 Campo eletrico total e densidade de fluxo Somando as contribuicoes Etotal Eplano Epontual 3952 ˆz 140625 ˆz 136673 ˆz Vm Assim a densidade de fluxo eletrico no ponto e D ε0 Etotal 8854 1012 136673 ˆz 1210 106 ˆz Cm2 D6 0 4 121 µCm2 ˆz 4 Representacao grafica do problema x y z z 15 plano com carga superficial Carga Q 250 nC Ponto P 6 0 4 D 2 Resolução da Questão 2 Página 9 Campo Elétrico pela Lei de Gauss Como o sistema possui simetria esférica aplicamos a Lei de Gauss com superfícies esféricas concêntricas A lei nos fornece S E dA Qintε0 Er 4πr2 Qintrε0 Er Qintr4πε0r2 A função Qintr depende da posição do ponto de observação em relação à casca Região I Interior da Casca r R No interior da casca não há carga envolvida pela superfície gaussiana Qint 0 Er 0 Região II Exterior da Casca r R Toda a carga da casca está agora dentro da superfície gaussiana Er Q4πε0r2 40 1094π 8854 1012 r2 Er 40111264 103r2 03595 103r2 Er 3595r2 Vm r 7 m Resumo da Expressão do Campo Elétrico Er 0 se r 7 m 3595r2 se r 7 m Grafico do Campo Eletrico E r 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 100 200 300 400 500 r 7 m r m Er Vm r 7 m E 0 r 7 m E 3595 r2 Conclusao O campo eletrico e nulo dentro da casca pois nao ha carga no interior Fora da casca o campo se comporta como o de uma carga pontual concentrada no centro decaindo com 1 r2 O grafico apresenta uma discontinuidade no valor do campo ao atravessar a casca tıpica de uma distribuicao superficial 2 Resolução da Questão 4 Página 7 Considere uma casca esférica de raio a centrada na origem com uma distribuição superficial uniforme de carga O potencial elétrico gerado por esta casca é dado por Vr V0 para r a V0ar para r a Desejase calcular a energia eletrostática armazenada no sistema Para isso começamos determinando o campo elétrico Campo Elétrico a partir do Potencial Como a configuração é esfericamente simétrica o campo elétrico é puramente radial e obtido pela derivada negativa do potencial Er dVdr Para r a Vr V0 dVdr 0 Er 0 Para r a Vr V0ar dVdr V0ar2 Er V0ar2 Portanto o campo elétrico é Er 0 r a V0ar2 r a Energia Armazenada no Campo Elétrico A energia armazenada em um campo elétrico é dada por U ε02 R3 E2r dτ Como o campo só existe fora da casca r a usamos coordenadas esféricas dτ r2 sin θ dr dθ dφ Logo a energia será U ε02 a 0π 02π V0ar22 r2 sin θ dφ dθ dr ε0 V02 a22 a 1r2 dr 0π sin θ dθ 02π dφ Calculando cada parte 02π dφ 2π 0π sin θ dθ 2 a 1r2 dr 1ra 1a U ε0 V02 a22 1a 2 2π 2πε0 V02 a U 2πε0 V02 a Representacao Grafica da Casca e do Campo r a Er V0a r2 ˆr V V0 Conclusao A energia eletrostatica armazenada por uma casca esferica carregada uniformemente com potencial V0 no interior e referˆencia zero no infinito e dada por U 2πε0V 2 0 a 3 Resolução da Questão 2 Página 8 Considere uma distribuição de cargas com simetria esférica no espaço livre cuja densidade volumétrica é dada por ρv 35 nCcm³ 35 10⁶ Cm³ para 0 r 6 m 0 caso contrário Queremos 1 Calcular o campo elétrico em r 4 m e r 18 m 2 Esboçar o gráfico do módulo do campo elétrico Er para 0 r 18 m 1 Determinação do Campo Elétrico Como o sistema possui simetria esférica usamos a Lei de Gauss com uma superfície gaussiana esférica de raio r S E dA Qintε0 Er 4πr² Qintrε0 Er Qintr4πε0r² O valor de Qint depende da posição r ou seja se o ponto está dentro ou fora da distribuição de carga Campo para r 4 m dentro da carga Calculamos a carga contida dentro da esfera de raio r 4 m Qint ρv 43πr³ 3510⁶ 43π64 3510⁶2563π 3510⁶26808 93810⁴ C Substituindo E4 938 10⁴ 4π 8854 10¹² 16 527 300 Vm 5273 kVm Campo para r 18 m fora da carga Toda a carga esta confinada ate r 6 m Qint ρv 4 3π 63 35 106 4 3π 216 35 106 288π 317 103 C E18 317 103 4π 8854 1012 182 317 103 4π 8854 1012 324 881 200 Vm 8812 kVm 2 Grafico do Campo Eletrico Er Sabemos que Para r 6 temos Qintr r3 e Er r Para r 6 Qint e constante entao Er 1r2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 02 04 06 08 1 106 r m Er Vm Er ρvr 3ε0 r 6 Er Q 4πε0r2 r 6 Conclusao O campo eletrico aumenta linearmente de r 0 ate r 6 m atingindo o valor maximo no limite da distribuicao Para r 6 m o campo decresce com a lei do inverso do quadrado da distˆancia Er ρvr 3ε0 r 6 m Qtotal 4πε0r2 r 6 m 2 Resolução da Questão 4 Página 6 1 Campo Elétrico de uma Linha Infinita de Carga A linha está ao longo do eixo x o que implica simetria cilíndrica Aplicando a Lei de Gauss com uma superfície cilíndrica coaxial à linha temos S E dA Qintε0 E2πrL λLε0 Er λ2πε0r Esse campo é radial apontando perpendicularmente ao eixo x e depende apenas da distância r ao eixo 2 Potencial Gerado por uma Linha Infinita de Carga Sabemos que dV E dl Er dr dV λ2πε0r dr Integrando entre uma superfície de referência distância rref e um ponto qualquer distância r Vr Vrref λ2πε0 rrefr 1r dr λ2πε0 lnrrref Reescrevendo Vr Vref λ2πε0 lnrrefr 3 Aplicando ao Problema Distância do ponto de referência ao eixo x rref y² z² 5² 12² 169 13 m Distância do ponto de interesse P 2 3 4 ao eixo x r 3² 4² 9 16 25 5 m Potencial de referência Vref 15 V 4 Substituindo na Fórmula do Potencial V 15 400 10¹²2π 8854 10¹² ln 135 Calculando os termos λ2πε0 4005563 7194 V e ln 135 09555 Multiplicando V 15 7194 09555 15 687 2187 V 5 Representação Gráfica Resposta Final V 2 3 4 2187 V 3 Resolução da Questão 3 Página 5 Desejase calcular a diferença de potencial entre os pontos A 4 4 0 e B 5 0 1 gerada por duas distribuições de carga Uma densidade superficial de carga σ 95 pCm² 95 10¹² Cm² localizada no plano x 3 Uma densidade linear de carga λ 18 nCm 18 10⁹ Cm localizada ao longo da linha x 1 y 2 isto é ao longo do eixo z A diferença de potencial é VA VB VA VBplano VA VBlinha Contribuição do plano carregado x 3 Sabemos que o campo elétrico gerado por um plano infinito uniformemente carregado é constante e dado por Eσ σ 2ε₀ n Neste caso como o plano está em x 3 o vetor normal é na direção x e os pontos A e B estão do lado direito do plano então o campo aponta para x Como a carga é positiva o campo aponta para fora Eσ σ 2ε₀ x Substituindo Eσ 95 10¹² 2 8854 10¹² x 5364 x Vm Como o campo é constante a contribuição do plano para o potencial entre A e B é VA VB BA Eσ dl Eσ rA rB rA rB 4 4 0 5 0 1 1 4 1 VA VB 5364 1 5364 V VA VBplano 536 V Contribuição da linha de carga ao longo de z O potencial gerado por uma linha infinita de carga no ponto r é dado por Vr 1 4πε₀ λ dz x1² y2² zz² Como a linha está ao longo de z e os pontos A e B estão fora dela podemos calcular diretamente a diferença de potencial entre os dois pontos como VA VB λ 4πε₀ 1 RA² z² 1 RB² z² dz Onde RA xA 1² yA 2² 9 4 13 e RB xB 1² yB 2² 16 4 20 Sabemos que 1 a² z² dz 2 ln z a 1 za² 2 ln 2L a para L grande Mas no caso da diferença temos VA VB λ 2πε₀ ln RB RA VA VB 18 10⁹ 2π 8854 10¹² ln 20 13 18 10⁹ 5563 10¹² 0215 3237 0215 696 V VA VBlinha 696 V Diferenca de Potencial Total Somando as contribuicoes VA VB 536 V 696 V 7496 V 75 V Representacao Grafica x y Plano x 3 Linha de carga A4 4 0 B5 0 1 3 Resolução da Questão 3 Página 4 Campo Elétrico entre os Cilindros Utilizamos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento L com a r b A Lei de Gauss nos dá E dA Qint ε₀ Como E é radial e constante sobre a superfície lateral Er 2πrL σ 2πaL ε₀ Er σa ε₀r Esta é a equação que descreve o campo elétrico entre os cilindros a Campo Elétrico na Superfície do Condutor Interno Para r a temos Ea σa ε₀a σ ε₀ Ea 25 10⁶ 8854 10¹² 2823 10⁶ Vm Ea 282 MVm b Densidade de Fluxo Elétrico a r 25 mm Sabemos que D r ε₀E r ε₀ σa ε₀r σa r Substituindo D 25 106 2 103 25 103 50 109 25 103 20 106 Cm2 D25 mm 20 μCm2 c Diferença de Potencial entre os Condutores A diferença de potencial entre o condutor interno e a capa é dada por V ab Er dr ab σa ε0 r dr σa ε0 ln b a Substituindo os valores V 25 106 2 103 8854 1012 ln 3 2 50 109 8854 1012 ln15 5645 103 04055 229 103 V V 229 kV do condutor interno para a capa Representação Gráfica Superfície gaussiana Ēr Resolução da Questão 1 Página 3 Sabemos que o campo elétrico produzido por uma carga pontual Q em uma posição vecr é dado por Ēvecr 1 4πε0 Q r3 vecr onde ε0 8854 1012 C2N m2 e 1 4πε0 9 109 N m2C2 Letra a Vamos aplicar a fórmula no ponto P2 2 1 A posição relativa é vecrP 2 hatx 2 haty 1 hatz r 22 22 12 9 3 Aplicando na fórmula do campo elétrico ĒP 1 4πε0 Q0 33 2 hatx 2 haty 1 hatz 1 4πε0 Q0 27 2 hatx 2 haty 1 hatz Sabemos que a componente y do campo elétrico vale Ey 25 kVm 2500 Vm então 2500 1 4πε0 Q0 27 2 Q0 2500 27 2 1 4πε0 67500 18 109 Q0 3750 109 375 106 C 375 μC Letra b Desejamos o vetor campo elétrico no ponto S145 Calculamos vecrS 1 hatx 4 haty 5 hatz r 12 42 52 42 r3 42 42 Aplicando na fórmula ES 1 4πε0 Q0 r3 rS 9 109 375 106 42 42 1 ˆx 4 ˆy 5 ˆz Calculando o fator escalar k 9 375 103 42 42 33750 2725 12383 Multiplicando componente a componente ES 12383 ˆx 49532 ˆy 61915 ˆz Vm ES 1238 ˆx 4953 ˆy 6192 ˆz Vm Representacao Grafica x y z Carga Q0 P2 2 1 S1 4 5 2 Resolucao da Questao 5 Pagina 2 Dado o grafico do potencial eletrico V x ao longo do eixo x desejase determinar o vetor campo eletrico E em cada regiao Sabemos que o campo eletrico e o negativo da derivada do potencial E dV dx ˆx Como o grafico e formado por segmentos de reta podemos calcular dV dx diretamente como o coeficiente angular da reta que liga dois pontos consecutivos O sinal negativo inverte a direcao para obter o vetor E Trecho 1 de x 3 a x 2 Os pontos sao 3 0 e 2 40 O coeficiente angular e dV dx 40 0 2 3 40 1 40 Vm Portanto E 40 ˆx Vm Trecho 2 de x 2 a x 1 Os pontos sao 2 40 e 1 40 Como o potencial e constante dV dx 0 E 0 Trecho 3 de x 1 a x 1 Os pontos sao 1 40 e 1 40 Calculando dV dx 40 40 1 1 80 2 40 Vm E 40 ˆx 40 ˆx Vm Trecho 4 de x 1 a x 2 1 Os pontos sao 1 40 e 2 40 Potencial constante novamente dV dx 0 E 0 Trecho 5 de x 2 a x 3 Os pontos sao 2 40 e 3 0 dV dx 0 40 3 2 40 1 40 Vm E 40 ˆx Vm Resumo Final Ex 40 ˆx Vm x 3 2 0 x 2 1 40 ˆx Vm x 1 1 0 x 1 2 40 ˆx Vm x 2 3 2