·
Biomedicina ·
Processamento Digital de Sinais
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Recomendado para você
Texto de pré-visualização
EBook Apostila Esse arquivo é uma versão estática Para melhor experiência acesse esse conteúdo pela mídia interativa Unidade 2 OUTRAS SEQUÊNCIAS E SISTEMAS EBook Apostila EBook Apostila 2 49 Introdução da unidade Neste material compreenderemos as sequências básicas que servem para representar os sinais discretos no tempo sequência de números digitais contemplando a descrição de sequências exponenciais reais e complexas discretas no tempo e a descrição e o emprego da decomposição em sequências par e ímpar Além disso serão analisadas as sequências exponenciais reais e complexas discretas no tempo e a decomposição em sequências par e ímpar Logo após será abordada a representação dos sinais discretos no domínio do tempo e da frequência e a aplicação da transformação de Fourier para a representação de sinais discretos e contínuos no domínio da frequência Por fim serão contempladas as propriedades dos sistemas discretos lineares invariantes no tempo e os conceitos da convolução linear e da equação de diferenças seguidos da aplicação de conceitos da convolução linear Por isso a relevância do entendimento sobre as regras que orientam os sinais que compreendem funções de variáveis discretas e sistemas utilizados em seu processamento Outras sequências básicas No processamento analógico de sinais tomamos um sinal que varia continuamente representando uma quantidade física que varia continuamente e o passamos por um sistema que modifica o sinal com um certo propósito Essa modificação também é em geral continuamente variável por natureza isto é pode ser descrita por equações diferenciais DINIZ SILVA NETTO 2014 p 24 EBook Apostila 3 49 No processamento digital de sinais sequências de números são processadas fazendo uso de um certo hardware digital Geralmente tais sequências são denominadas de sinais no tempo discreto ou ainda números de sinais digitais Vale destacar que existindo uma sequência de números para o hardware digital adequado é possível a prática de qualquer tipo de processamento numérico sobre essa sequência Outras sequências básicas são utilizadas na representação de sinais discretos no tempo como sequências reais e sequências complexas Elas são de suma importância para caracterizar e analisar sistemas discretos e invariantes no tempo Um sinal de tempo discreto é estabelecido somente para certos instantes de tempo ele é comumente representado por uma sequência de números conforme demonstrado a seguir É importante destacar que os sinais abrangem funções de uma ou mais variáveis independentes que transportam informações Seu uso é destinado a ações como comunicação entre indivíduos e comunicação entre máquinas e indivíduos Os sinais também ajudam a identificar características de difícil observação e no controle e uso da energia e da informação É importante destacar ainda que os sistemas são utilizados no processamento de sinais que portam imagens dados voz que são representados por uma função ou uma sequência de valores que variam no tempo e no conteúdo de frequência e que têm frequência contínua ou discreta Sequências exponenciais reais discretas no tempo EBook Apostila 4 49 O valor xn é a representação de um sinal discreto em que n é uma variável de valor inteiro que atua representando os instantes temporais por isso cabe chamar sinal discreto no tempo uma sequência de números que é representada conforme demonstrado a seguir com a posição da amostra em n 0 Esta forma uma sequência exponencial real que trabalha com números reais desempenhando um papel essencial no processamento digital de sinais discretos no que se refere à análise de sistemas lineares pois representa e analisa sistemas discretos e invariantes no tempo A sequência exponencial real apresenta a seguinte forma geral E o que determina a sequência real é a condição de que A e a sejam números reais Portanto temos as seguintes situações Clique nos cards para visualizar o conteúdo EBook Apostila 5 49 Recurso Externo Recurso é melhor visualizado no formato interativo Uma sequência exponencial real é uma das sequências básicas e ao utilizála é importante ter em mente que se o valor elevado a n estiver entre zero e um então haverá uma sequência decrescente que pode ser somável para n 0 fazendo com que haja a transformada de Fourier de tal sequência Logo temse Clique nas setas para avançar ou voltar o conteúdo 1 sequência xn crescente 1 sequência xn decrescente 0 amostras da sequência xn têm o mesmo sinal de A 0 amostras da sequência xn têm de forma intercalada sinais positivos e negativos As sequências exponenciais complexas discretas no tempo Diferentemente da sequência exponencial real uma sequência exponencial complexa compreende uma função contínua em que A e são complexos E sendo complexos ao serem decompostos temse EBook Apostila 6 49 Portanto Baseada na relação de Euler temse que EBook Apostila 7 49 Dessa forma ao aplicar essa relação é possível reescrever xn e chegar a Em que a frequência da exponencial é e a fase da exponencial complexa é Se a for um número complexo então a sequência será complexa Podemos escrever e se também considerarmos a constante A como um número complexo temos EBook Apostila 8 49 A exponencial complexa representará portanto uma sequência com oscilação de algum tipo A frequência dessa oscilação é o argumento da constante A sequência dará origem a uma função senoidal amortecida ou ampliada ao longo do tempo Quando a função discreta é chamada de sequência exponencial complexa NALON 2009 Logo considerando temse Portanto uma sequência exponencial complexa tem a forma EBook Apostila 9 49 Isso significa que as partes real e imaginária de modificamse senoidalmente com n As sequências exponenciais complexas são funções características de sistemas LIT Linear Invariante no Tempo que atendem aos atributos de linearidade e invariância no tempo paralelamente e a definição de tais sistemas conduz ao uso da convolução uma operação entre sinais discretos no tempo para analisar sistemas A decomposição e sua aplicação em sequência par e sequência ímpar Considere xn com qualquer valor Então temse Clique nas setas para avançar ou voltar o conteúdo xn é par somente xn xn xn é ímpar somente xn xn Uma sequência par e uma sequência ímpar têm respectivamente a seguinte representação gráfica EBook Apostila 10 49 FIGURA 1 Sequência par e sequência ímpar Fonte ROSA 2014 Adaptada A decomposição nas sequências par e ímpar funciona da seguinte forma declarando um xn qualquer é possível a decomposição de qualquer sequência em duas partes em que uma é par e a outra ímpar por meio da relação a seguir í EBook Apostila 11 49 í Considerando por exemplo a representação gráfica de uma sequência colocada a seguir EBook Apostila 12 49 FIGURA 1 Sequência aleatória a ser decomposta Fonte ROSA 2014 Adaptada Temse que essas representações contemplam respectivamente as porções par e ímpar da sequência após a decomposição EBook Apostila 13 49 FIGURA 1 Porções par e ímpar originadas Fonte ROSA 2017 Adaptada Em suma considerando funções contínuas temse A função par é definida por portanto compreendem funções pares A função ímpar é definida por portanto compreendem funções ímpares Portanto uma sequência discreta xn é considerada simétrica ou seja par q u a n d o e uma sequência discreta xn é considerada assimétrica ou seja ímpar quando Isso indica que a descrição de qualquer sinal real pode ser estabelecida da seguinte forma considerando EBook Apostila 14 49 Em síntese qualquer sinal pode ser decomposto para uma soma de dois sinais em que um é par e o outro é ímpar lembrando que um sinal xn tratase de um sinal de tempo discreto quando se encontra definido apenas para instantes isolados de tempo n EBook Apostila 15 49 REFLITA Um sinal discreto é representado por uma sequência numérica que pode ser vista como uma função contínua isto é assumindo qualquer valor em um intervalo de uma variável discreta Convencionalmente o domínio da sequência é representado por n sendo que n pertence aos Inteiros ou seja n é um número inteiro Essa variável é chamada de tempo discreto Outros domínios adequados dependendo do sinal podem existir Por exemplo uma imagem digitalizada é função não do tempo mas das distâncias na horizontal e na vertical de um ponto tomado como a origem ou seja para imagens o domínio é o espaço bidimensional NALON 2009 p 5 Logo uma sequência facultativa de valores reais xn tem a possibilidade de ser decomposta em seus componentes pares e ímpares De forma análoga temse considerando um sinal xt sua decomposição pode ser compreendida por uma componente par e uma componente ímpar em que EBook Apostila 16 49 I II Em t consta A soma de I e II possibilita A subtração de I e II possibilita EBook Apostila 17 49 Sequências básicas Geralmente os problemas complexos são decompostos em diversos problemas menores que apresentam soluções e características conhecidas isso acontece com a intenção de se diminuir a complexidade e aumentar a capacidade de análise do problema No estudo de sequências complexas é preciso decompôlas em sequências mais básicas e essa possibilidade é justamente de onde deriva o poder do processamento de sinais digitais Para exemplificar a decomposição de sinais complexos em senoides de frequências conhecidas tem uma importante função na análise de sistemas permitindo o conhecimento do conteúdo de frequência de um sinal NALON 2009 Alguns sinais discretos são aplicados no desenvolvimento da teoria de processamento digital de sinais são os sinais de tempo discreto básicos como a sequência amostra unitária a sequência degrau unitário a sequência exponencial e a sequência senoidal Impulso unitário Também chamada de função impulso ou pulso unitário essa sequência realiza a mesma tarefa que a função impulso unitário em sistemas contínuos no tempo A função impulso em tempo discreto atua de forma que considerando qualquer sequência discreta é possível descrevêla como um somatório de funções impulsos como demonstrado a seguir EBook Apostila 18 49 Degrau unitário Corresponde à sua representação analógica e não depende de operações matemáticas complexas Pode ser descrito da seguinte forma Degrau unitário é a acumulação do impulso e o impulso é a primeira diferença do degrau Esses vínculos são semelhantes à integração e à diferenciação das versões contínuas dessas duas funções Essas duas funções relacionamse devido às operações de acumulação e diferenças Sequências exponenciais Definidas como EBook Apostila 19 49 São amplamente utilizadas no processamento digital de sinais marcando presença constante no estudo de sistemas lineares de tempo discreto um sistema linear de primeira ordem apresenta como resposta ao impulso uma função exponencial Quando A e comportam números reais a sequência é real Ocorrendo 0 1 e A como positivo temse uma sequência com valores positivos e decrescentes Ocorrendo 1 0 temse uma sequência decrescente em magnitude com sinais de suas amostras alternando Se então a sequência é crescente em magnitude Quando for um número complexo temse uma sequência complexa Uma exponencial complexa representa uma sequência que comporta algum tipo de oscilação cuja frequência é o argumento da constante portanto a sequência origina uma função senoidal amortecida ao decorrer do tempo Se a função discreta é chamada de sequência exponencial complexa Representação de sinais e sistemas discretos A definição de um sinal pode ser compreendida como uma quantidade física que varia no tempo e conduz informações em relação ao comportamento de um sistema geralmente sua representação matemática acontece por meio de uma função de uma ou mais variáveis independentes como espaço ou tempo por exemplo Sinais de tempo contínuo caracterizamse por uma variável independente que pode assumir um valor dentro de uma faixa contínua e se estende ao infinito tais sinais levam o nome de analógicos Os sinais de tempo discreto caracterizamse por serem definidos em momentos de tempos discretos em que a variável independente pode ter valores discretos possivelmente não enumeráveis sendo dessa forma representados por uma sequência de números EBook Apostila 20 49 Um sistema compreende um dispositivo que faz uma operação matemática em um determinado sinal como no caso de um filtro usado que consegue diminuir ruídos ou interferências no sinal aplicado em sua entrada A classificação dos sistemas abrange sistemas contínuos ou analógicos que são aqueles em que as entradas e saídas são sinais de tempo contínuo em sistemas discretos em que as entradas e saídas são sinais de tempo discreto e por fim os sistemas digitais em que as entradas e saídas são sinais digitais É importante ressaltar que ao se passar um sinal por meio de um sistema podese afirmar que ele foi processado originando o nome de processamento de sinais Sinais discretos no domínio do tempo Os sistemas discretos são constituídos por entradas e saídas discretas por exemplo o computador digital Assim um sinal discreto no tempo é definido como uma sequência de números presentes em ocasiões discretas no tempo Para exemplificar podem ser citados os estudos populacionais que auxiliam na verificação da realidade quantitativa e qualitativa da população O nésimo número na sequência expressado por x compreende Já um sinal discreto oriundo de uma amostragem é representado por sendo T o intervalo da amostragem Portanto Portanto um sinal de tempo discreto indica uma sequência de amostradas recolhidas a cada T segundos por isso a representação no domínio do tempo corresponde às sequências discretas representadas como uma sequência de números Essa sequência é representada matematicamente da seguinte forma Vale destacar que a sequência é definida para valores de n inteiros EBook Apostila 21 49 Em termos de representação gráfica uma sequência discreta é representada por impulsos que se localizam em valores de n inteiros que correspondem a uma área equivalente à amplitude da amostra A figura a seguir demonstra o gráfico de uma sequência discreta FIGURA 1 Uma sequência discreta Fonte MENDES 2011 Adaptada Sinais discretos no domínio da frequência O mapeamento de acontecimentos sinais discretos nos domínios de tempo e frequência envolve a periodicidade do comportamento no que diz respeito ao tempo o que significa sua repetição em intervalos iguais a T em que T representa o período de tempo que contempla um ciclo do sinal da frequência Isso determina a relação de mapeamento entre estes dois domínios tempo e frequência da seguinte forma EBook Apostila 22 49 A representação do sinal no domínio da frequência contém somente seus parâmetros pressupondo a função senoidal colocada como referência na decomposição E caso a função periódica de referência esteja implícita no domínio da frequência a representação do sinal precisa somente de parâmetros resultantes da decomposição conforme A representação do sinal no domínio da frequência contém somente seus parâmetros pressupondo a função senoidal colocada como referência na decomposição E caso a função periódica de referência esteja implícita no domínio da frequência a representação do sinal precisa somente de parâmetros resultantes da decomposição veja Amplitude A Frequência Ângulo EBook Apostila 23 49 Em termos de representação gráfica no domínio da frequência temse FIGURA 1 Representação de senoide no domínio da frequência Fonte DECKMANN POMILIO 2020 Adaptada Sistemas lineares invariantes com o tempo resposta ao impulso e à soma de convolução Pensando na temática sistemas lineares invariantes com o tempo resposta ao impulso e soma de convolução contextualizada até o momento o conteúdo do vídeo oferecerá um importante horizonte de aprendizado para o que estamos estudando Vamos assistir Recurso Externo Recurso é melhor visualizado no formato interativo EBook Apostila 24 49 A partir do vídeo assistido você consegue identificar quais outros conhecimentos foram adquiridos com ele Transformação de Fourier O autovalor gerado a partir da convolução entre a resposta ao impulso de um sistema linear e invariante no tempo com uma sequência de entrada do tipo exponencial complexa para uma única frequência é representado por Sendo assim esse valor equivale à resposta na ocasião da frequência do sistema A representação contínua no domínio da frequência de uma sequência discreta no domínio do tempo é a transformada de Fourier vale lembrar que a integral de Fourier decompõe uma função contínua em uma série que comporta componentes complexos que descrevem a função contínua Dessa forma temse que a representação de Fourier de uma sequência xn transformada de Fourier discreta no tempo é dada por meio de duas equações em que a primeira DTFT é a transformada de Fourier discreta no tempo e a segunda IDTFT é a transformada inversa de Fourier discreta no tempo demonstradas a seguir EBook Apostila 25 49 A transformada discreta de Fourier A semelhança entre a transformada de Fourier e a série de Fourier de uma sequência periódica é que as duas são definidas em termos de somatórios de exponenciais complexas já a diferença concentrase no fato de a série de Fourier estar definida apenas para frequências harmônicas múltiplas da frequência fundamental As sequências periódicas não satisfazem aos critérios de convergência que determinam a existência da transformada de Fourier mas como em outras sequências tornase útil e direto definir uma representação equivalente na frequência para essas sequências Desse modo cada amostra de uma série de Fourier representa uma exponencial complexa com frequência isto é No domínio da frequência contínua esse coeficiente corresponde a um impulso contínuo posicionado na frequência ou seja Como compreende uma sequência é possível representála de forma analítica por meio de um somatório de impulsos deslocados das frequências adequadas com amplitude e fase determinadas por NALON 2009 Matematicamente falando temse O principal problema de uma representação computacional da transformada de Fourier é o domínio da definição da sequência analisada A transformada de Fourier segundo sua definição presume que a sequência existe para todos os instantes de tempo de a Sinais do mundo real que são amostrados para processamento no entanto não têm essa característica sinais do mundo real são naturalmente finitos limitados de alguma forma a um domínio que varia tipicamente de 0 a N 1 NALON 2009 p 111 EBook Apostila 26 49 O quadro a seguir mostra pares de tranformadas de Fourier EBook Apostila 27 49 Sequência Transformada de Fourier 1 á QUADRO 1 Pares de transformadas de Fourier Fonte JOAQUIM 2010 Adaptado Aqui estão relacionadas algumas sequências básicas que frequentemente são aplicadas no processamento de sinais em conjunto com suas respectivas transformadas de Fourier EBook Apostila 28 49 O conteúdo indicado a seguir acerca dos principais conceitos e propriedades para sinais e sistemas de tempo discreto vai ajudar no entendimento da amplitude do sinal e no que acontece com ela nas situações discretas e faixas contínuas de valores SAIBA MAIS Para aprofundar seus conhecimentos convidamos você para a leitura da dissertação Processamento digital de sinais de Marcelo Basílio Joaquim Leia da página 1 Sinais de tempo discreto até a página 10 Sistemas lineares invariantes ao deslocamento Esse trabalho enfatiza tópicos básicos relacionados ao processamento digital de sinais apresentando sinais e sistemas de tempo discreto Clique em Expandir PDF para conferir a leitura Como pôde ser observado na leitura do material indicado os sistemas realizam operações matemáticas no sinal E tais sinais compreendem filtros que atuam por exemplo na redução de interferências no sinal aplicado em sua entrada Tais sistemas podem ser contínuos ou analógicos discretos ou digitais Independentemente da classificação ao passar um sinal por meio de um sistema esse sinal é processado o que leva ao termo processamento de sinais Sistemas discretos lineares invariantes no tempo Para aprofundar um pouco mais o conhecimento obtido até aqui a partir de nossas discussões sobre o conteúdo assista ao vídeo sobre sistemas discretos lineares invariantes no tempo que apresentará importantes considerações sobre a temática da unidade Recurso Externo EBook Apostila 29 49 Recurso é melhor visualizado no formato interativo Com base no que você acabou de assistir as fundamentações discutidas na unidade fazem uma correlação melhor com o que até então havia sido apresentado Pense sobre isso Conceitos da convolução linear A convolução linear compreende uma operação matemática que considera dois sinais em tempo discreto criando um novo sinal em tempo discreto resultando na resposta de um sistema LIT diante de uma entrada que lhe foi feita no que se refere à resposta do sistema ao impulso unitário Tratase portanto de uma operação matemática que é aplicada sobre dois sinais para provocar um terceiro sinal Isso indica que é possível afirmar que a resposta de um LIT discreto a uma determinada entrada é a convolução linear de tal entrada junto à resposta impulsional do sistema Por se tratar de uma operação entre sinais discretos no tempo a convolução entre dois sinais é descrita como O terceiro sinal é gerado diante da execução da operação matemática como soma sobre dois sinais Sucintamente conhecendo a resposta para um impulso de um sistema LIT é possível fazer o cálculo da saída de qualquer sinal de entrada Conceitualmente ocorre como demonstrado a seguir EBook Apostila 30 49 FIGURA 1 Processo da convolução linear Fonte Elaborada pela autora O conceito de convolução é um dos mais relevantes na engenharia elétrica por servir de fundamento para todos os estudos que envolvem sistemas lineares invariantes no tempo pois para identificar a saída yn de um sistema LIT a um dado sinal de entrada xn basta realizar a operação de convolução estabelecida entre o sinal de entrada xn e a resposta ao impulso hn do sistema LIT A partir de então conseguese a resposta hn de um sistema LIT ao colocar uma única amostra de valor unitário na entrada do sistema isto é um impulso e então constatase a sequência resultante hn na saída do sistema Vale lembrar que os sistemas LIT são caraterizados no domínio tempo discreto pela sua resposta ao impulso hn ALEXANDER SADIKU 2013 A convolução linear e equação de diferenças O entendimento da convolução linear fundamentase na soma de funções que são respostas ao impulso de um sistema LIT em que cada função é disposta e descolada no tempo conforme as amostras de xn Para fazer a convolução linear entre N e M duas sequências de comprimento diferentes o resultado produzido será uma sequência de comprimento NM1 em que inicialmente formamse duas novas sequências de comprimento NM1 acrescentando zeros nas anteriores e após tal operação efetuase a convolução circular a partir dessas novas sequências Tendo os sinais do mesmo tamanho é necessário o acréscimo de zeros nas duas sequências para que as duas fiquem com comprimento 2L Em seguida determinando a convolução circular temse como resultado a convolução linear entre as duas sequências originais JOAQUIM 2010 Isso pode ser verificado na figura a seguir EBook Apostila 31 49 FIGURA 1 Exemplo de convolução linear Fonte JOAQUIM 2010 Adaptada É possível utilizar a transformada discreta de Fourier para obter a convolução linear entre duas sequências xn e yn de tamanhos N e M respectivamente da seguinte forma JOAQUIM 2010 Clique nas setas para avançar ou voltar o conteúdo Acrescentando zeros nas duas sequências para que elas apresentem o mesmo tamanho L NM1 Calculando as TDFs das duas novas sequências EBook Apostila 32 49 Multiplicando as TDFs para formar o produto XkYk Calculando a TDF inversa do produto acima para obter a convolução linear entre xn e yn Um sistema LID pode ser descrito por meio de sua resposta ao impulso e dessa forma por meio também da convolução mas vale lembrar que em grande parte dos casos é interessante que seja expresso o comportamento do sistema em termos dos valores presente e passados do sinal de entrada assim como os valores passados do sinal de saída Os sistemas discretos podem ser representados por meio da equação linear de diferenças essa é uma equação que relaciona o valor yk no ponto k com os valores em outros pontos tratase portanto de um conjunto de equações que se destina unitariamente para cada valor de k vale ressaltar que uma importante especificação abrange o grupo de valores de k para os quais a equação é válida Na equação linear de diferenças o sistema é produzido com elementos como blocos somadores multiplicadores e de atraso servindo dessa forma para fundamentar a obtenção da resposta em frequência do sistema Um sistema LID com coeficientes e que são parâmetros constantes do sistema pode ser representado por uma equação linear de diferenças com a forma geral a seguir Essa é a forma geral de uma equação linear de diferenças e representa um sistema em que a resposta ao impulso é infinita Há uma forma proporcional à forma geral apresentada para descrever o sistema em que é assumido como 1 e o limite N da somatória leva o nome de ordem do sistema como segue EBook Apostila 33 49 A forma geral da equação linear de diferenças apresentada evidencia a resposta do sistema à soma efetuada dos valores que foram passados para yn yn1 yn 2 ynN juntamente com os valores de xn xn1 xnM Isso justifica a equação linear de diferenças também ser chamada de recursiva devido ao fato de que é preciso conhecer as condições iniciais do sistema ou seja conhecer y1 y2 yN Para sistemas em que a resposta ao impulso é finita a saída está sujeita apenas aos valores presentes e passados da entrada sendo assim 0 com k 1 2 N Por isso a resposta ao impulso hn é concedida pelos coeficientes o que indica á Considerando o sistema acumulador a seguir EBook Apostila 34 49 Para determinar a equação de diferenças basta fazer Portanto uma equação linear de diferenças pode ser definida como um conjunto de equações em que cada uma é direcionada para cada valor de k Isso significa que uma especificação importante contempla o conjunto de valores de k para os quais a equação é válida Aplicando conceitos da convolução linear O processamento de sinais pelos sistemas lineares invariantes no tempo pode ser realizado por meio de um processo discreto Logo considerando um sistema linear invariante no tempo com resposta impulsiva temse que é a resposta do sistema ao sinal na sua entrada A integral a seguir demonstra a convolução entre dois sinais como e EBook Apostila 35 49 É necessário o entendimento de que a execução da integral de convolução acontece em relação à variável em que t é considerada uma constante Como resultado a convolução sempre produz uma função temporal o que justifica o uso da notação simplificada para apontar que a função resultante depende de t3 Para compreender a importância da transformada de Fourier leia o conteúdo a seguir que apresenta a atuação da transformada de Fourier nas funções não periódicas pois se trata de uma ferramenta de análise de sinais e sistemas por meio de representações no domínio da frequência Sua utilidade enfoca o estudo de sinais ilimitados no tempo EBook Apostila 36 49 DICA Leia da página 29 à 38 do livro Introdução ao processamento digital de sinais de José Alexandre Nalon Para conferir a leitura copie o link em seu navegador e acesse a Minha Biblioteca httpsintegradaminhabibliotecacombrreaderbo oks9788521626152 Conforme pôde ser visto na leitura anterior o par transformada de Fourier decompõe funções contínuas no domínio do tempo em funções contínuas no domínio da frequência e viceversa pois intuitivamente são necessárias infinitas componentes espectrais para representar uma função temporal não periódica EBook Apostila 37 49 FIGURA 1 Cálculo da convolução a Função vt b Função wt c Resultado da convolução vwt é a superposição das retas desenhadas Fonte HIGUTI KITANO 2003 Adaptada Para encontrar a solução do cálculo da convolução vwt considerando o sinal vt demonstrado em a e o sinal wt demonstrado em b é necessário Descrever as funções vt e wt da seguinte forma EBook Apostila 38 49 E consequentemente Portanto o cálculo da convolução Clique nas setas para avançar ou voltar o conteúdo a Função vt b Função wt c Resultado da convolução vwt é a superposição das retas desenhadas E assim caroa estudante chegamos ao fim desta unidade Vamos agora às considerações finais Considerações finais Nesta unidade você teve a oportunidade de EBook Apostila 39 49 identificar sequências exponenciais reais e complexas discretas no tempo reconhecer a representação de sinais e sistemas discretos reconhecer sistemas discretos lineares invariantes no tempo No material você identificou as sequências exponenciais reais e complexas discretas no tempo distinguindo a real da complexa pois a primeira trabalha com números reais ocupando um importante papel no processamento digital de sinais discretos na análise dos sistemas lineares por trabalhar com sistemas discretos e invariantes no tempo Essa sequência quando utilizada tendo o valor elevado a n entre zero e um indica a existência de uma sequência decrescente o que provoca a transformada de Fourier em tal sequência Já a segunda sequência abordada a exponencial representa uma sequência que contempla alguma oscilação e tratase de funções características de sistemas LIT Linear Invariante no Tempo que atende aos atributos de linearidade e invariância no tempo de forma mútua Em seguida foi abordada a representação de sinais e sistemas discretos indicando que um sinal pode ser entendido como uma quantidade física variável no tempo que transporta informações em relação ao comportamento de um sistema e que geralmente sua representação matemática acontece por meio de uma função de uma ou mais variáveis independentes como espaço ou tempo E por sistema foi apresentado que ele compreende um dispositivo que realiza uma operação matemática em um determinado sinal como um filtro usado que consegue diminuir ruídos ou interferências no sinal aplicado em sua entrada Importante relembrar que passando um sinal por meio de um sistema é possível afirmar que ele foi processado o que dá origem ao termo processamento de sinais Os sistemas discretos foram apresentados como sistemas formados por entradas e saídas discretas como o computador digital dessa forma um sinal discreto no tempo é definido como uma sequência de números em ocasiões discretas no tempo Como exemplos para melhor entendimento foram citados os estudos populacionais O material também trouxe a transformada de Fourier vale lembrar que a integral de Fourier decompõe uma função contínua em uma série que comporta componentes complexas que descrevem a função contínua A transformada de Fourier é a representação contínua no domínio da frequência de uma sequência discreta no domínio do tempo por isso existem sequências básicas que podem ser aplicadas no processamento de sinais em conjunto com suas respectivas transformadas de Fourier EBook Apostila 40 49 Por fim foi abordado o sistema invariante no tempo que compreende um sistema em que um deslocamento ou atraso no tempo presente na sequência de entrada provoca um deslocamento proporcional na sequência de saída produzida Agora que finalizamos este conteúdo vamos testar seus conhecimentos com o quiz a seguir QUIZ Leia o trecho a seguir Há uma operação matemática que examina dois sinais em tempo discreto e produz um novo sinal também em tempo discreto e isso gera como resultado a resposta de um sistema LIT diante de uma entrada que lhe foi feita considerando a resposta do sistema ao impulso unitário Assinale a alternativa que indica a operação matemática citada no enunciado Estabilidade a EBook Apostila 41 49 Resposta Incorreta A operação matemática citada no enunciado é a convolução que possibilita a resposta hn de um sistema LIT colocando apenas uma amostra de valor unitário na entrada do sistema isto é um impulso então constatase a sequência resultante hn na saída do sistema Resposta Correta O conceito de convolução é um dos mais relevantes na engenharia elétrica por servir de fundamento em todos os estudos que envolvem sistemas lineares invariantes no tempo pois para identificar a saída yn de um sistema LIT a um dado sinal de entrada xn basta realizar a operação de convolução entre o sinal de entrada xn e a resposta ao impulso hn do sistema LIT Resposta Incorreta A operação matemática citada no enunciado é a convolução que possibilita a resposta hn de um sistema LIT colocando apenas uma amostra de valor unitário na entrada do sistema isto é um impulso então constatase a sequência resultante hn na saída do sistema Convolução b Cascateamento c EBook Apostila 42 49 Resposta Incorreta A operação matemática citada no enunciado é a convolução que possibilita a resposta hn de um sistema LIT colocando apenas uma amostra de valor unitário na entrada do sistema isto é um impulso então constatase a sequência resultante hn na saída do sistema Resposta Incorreta A operação matemática citada no enunciado é a convolução que possibilita a resposta hn de um sistema LIT colocando apenas uma amostra de valor unitário na entrada do sistema isto é um impulso então constatase a sequência resultante hn na saída do sistema Leia o trecho a seguir Causalidade d Comutativa e EBook Apostila 43 49 Sistemas lineares discretos e invariantes ao deslocamento ou LID são os mais importantes por se caracterizarem no domínio do tempo por sua resposta à função amostra Essa resposta deve ser conhecida para que seja possível descrever o comportamento do sistema quando sua entrada for uma sequência diferente Assinale a alternativa que indica a resposta citada no enunciado Resposta Correta Conhecer a resposta ao impulso permite descrever o comportamento do sistema quando sua entrada for uma sequência diferente pois sistemas LIT podem ser descritos por meio da sequência conseguida na sua saída quando é alimentado por uma sequência impulso unitária por isso ao conhecer a resposta do sistema ao impulso é possível que se descreva seu comportamento no momento em que sua entrada for outra sequência diferente Resposta Incorreta A resposta correta é resposta ao impulso pois com a resposta do sistema ao impulso é possível conseguir a resposta a qualquer outro sinal de entrada por meio da execução da operação dada A soma da convolução resulta na expressão geral que relaciona a entrada e a saída de tais sistemas Resposta ao impulso a Resposta à frequência b EBook Apostila 44 49 Resposta Incorreta A resposta correta é resposta ao impulso pois com a resposta do sistema ao impulso é possível conseguir a resposta a qualquer outro sinal de entrada por meio da execução da operação dada A soma da convolução resulta na expressão geral que relaciona a entrada e a saída de tais sistemas Resposta Incorreta A resposta correta é resposta ao impulso pois com a resposta do sistema ao impulso é possível conseguir a resposta a qualquer outro sinal de entrada por meio da execução da operação dada A soma da convolução resulta na expressão geral que relaciona a entrada e a saída de tais sistemas Resposta à sequência c Resposta ao tempo d Resposta ao domínio e EBook Apostila 45 49 Resposta Incorreta A resposta correta é resposta ao impulso pois com a resposta do sistema ao impulso é possível conseguir a resposta a qualquer outro sinal de entrada por meio da execução da operação dada A soma da convolução resulta na expressão geral que relaciona a entrada e a saída de tais sistemas Leia o trecho a seguir Há uma integral com a capacidade de decompor uma função contínua em uma série que contempla componentes complexas para descrever uma função contínua e é definida em termos de somatórios de exponenciais complexas por isso considerando uma sequência xn sua representação compreende duas equações Assinale a alternativa que indica a integral citada no enunciado Integral de fração a EBook Apostila 46 49 Resposta Incorreta A resposta correta é integral de Fourier que se caracteriza pela decomposição de uma função contínua em uma série que comporta componentes complexas para descrever a função contínua assim a representação de Fourier de uma sequência xn é dada por meio de duas equações em que a primeira DTFT é a transformada de Fourier discreta no tempo e a segunda IDTFT é a transformada inversa de Fourier discreta no tempo Resposta Incorreta A resposta correta é integral de Fourier que se caracteriza pela decomposição de uma função contínua em uma série que comporta componentes complexas para descrever a função contínua assim a representação de Fourier de uma sequência xn é dada por meio de duas equações em que a primeira DTFT é a transformada de Fourier discreta no tempo e a segunda IDTFT é a transformada inversa de Fourier discreta no tempo Integral de Feynman b Integral de função par c EBook Apostila 47 49 Resposta Incorreta A resposta correta é integral de Fourier que se caracteriza pela decomposição de uma função contínua em uma série que comporta componentes complexas para descrever a função contínua assim a representação de Fourier de uma sequência xn é dada por meio de duas equações em que a primeira DTFT é a transformada de Fourier discreta no tempo e a segunda IDTFT é a transformada inversa de Fourier discreta no tempo Resposta Incorreta A resposta correta é integral de Fourier que se caracteriza pela decomposição de uma função contínua em uma série que comporta componentes complexas para descrever a função contínua assim a representação de Fourier de uma sequência xn é dada por meio de duas equações em que a primeira DTFT é a transformada de Fourier discreta no tempo e a segunda IDTFT é a transformada inversa de Fourier discreta no tempo Integral de função ímpar d Integral de Fourier e EBook Apostila 48 49 Resposta Correta A representação contínua no domínio da frequência de uma sequência discreta no domínio do tempo é a transformada de Fourier vale lembrar que a integral de Fourier decompõe uma função contínua em uma série que comporta componentes complexas que descrevem a função contínua Referências ALEXANDER C K SADIKU M N Fundamentos de circuitos elétricos Porto Alegre AMGH Editora 2013 DECKMANN S M POMILIO J A Avaliação da qualidade da energia elétrica Campinas Unicamp 2020 Disponível em httpswwwdscefeeunicampbrantenorpdffilesqualidadea1pdf Acesso em 06 maio 2023 DINIZ P S R SILVA E A B NETTO S L Processamento digital de sinais projeto e análise de sistemas Bookman 2014 HIGUTI R T KITANO C Sinais e sistemas São Paulo UNESP 2003 Disponível em httpswwwfeisunespbrHomedepartamentosengenhariaeletricaoptoeletronica sinaisesistemaspdf Acesso em 06 maio 2023 JOAQUIM M B Processamento digital de sinais São Carlos 2010 MENDES L L Processamento digital de sinais In MITRA S K Digital signal processing a computerbased approach New York NY USA McGrawHill 2011 NALON J A Introdução ao processamento digital de sinais São Paulo Grupo GenLTC 2000 Disponível na Minha Biblioteca NALON J A Introdução ao processamento digital de sinais Rio de Janeiro LTC 2009 Disponível na Minha Biblioteca EBook Apostila 49 49 NAWAB S H OPPENHEIM A V WILLSKY A S Sinais e sistemas São Paulo Pearson 2010 ROSA M de O Curso de processamento digital de sinais versão 104 2014 Disponível em httpwwwlabsomctutfpredubrmrosapdsapostilaapostilapdf Acesso em 06 maio 2023
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Recomendado para você
Texto de pré-visualização
EBook Apostila Esse arquivo é uma versão estática Para melhor experiência acesse esse conteúdo pela mídia interativa Unidade 2 OUTRAS SEQUÊNCIAS E SISTEMAS EBook Apostila EBook Apostila 2 49 Introdução da unidade Neste material compreenderemos as sequências básicas que servem para representar os sinais discretos no tempo sequência de números digitais contemplando a descrição de sequências exponenciais reais e complexas discretas no tempo e a descrição e o emprego da decomposição em sequências par e ímpar Além disso serão analisadas as sequências exponenciais reais e complexas discretas no tempo e a decomposição em sequências par e ímpar Logo após será abordada a representação dos sinais discretos no domínio do tempo e da frequência e a aplicação da transformação de Fourier para a representação de sinais discretos e contínuos no domínio da frequência Por fim serão contempladas as propriedades dos sistemas discretos lineares invariantes no tempo e os conceitos da convolução linear e da equação de diferenças seguidos da aplicação de conceitos da convolução linear Por isso a relevância do entendimento sobre as regras que orientam os sinais que compreendem funções de variáveis discretas e sistemas utilizados em seu processamento Outras sequências básicas No processamento analógico de sinais tomamos um sinal que varia continuamente representando uma quantidade física que varia continuamente e o passamos por um sistema que modifica o sinal com um certo propósito Essa modificação também é em geral continuamente variável por natureza isto é pode ser descrita por equações diferenciais DINIZ SILVA NETTO 2014 p 24 EBook Apostila 3 49 No processamento digital de sinais sequências de números são processadas fazendo uso de um certo hardware digital Geralmente tais sequências são denominadas de sinais no tempo discreto ou ainda números de sinais digitais Vale destacar que existindo uma sequência de números para o hardware digital adequado é possível a prática de qualquer tipo de processamento numérico sobre essa sequência Outras sequências básicas são utilizadas na representação de sinais discretos no tempo como sequências reais e sequências complexas Elas são de suma importância para caracterizar e analisar sistemas discretos e invariantes no tempo Um sinal de tempo discreto é estabelecido somente para certos instantes de tempo ele é comumente representado por uma sequência de números conforme demonstrado a seguir É importante destacar que os sinais abrangem funções de uma ou mais variáveis independentes que transportam informações Seu uso é destinado a ações como comunicação entre indivíduos e comunicação entre máquinas e indivíduos Os sinais também ajudam a identificar características de difícil observação e no controle e uso da energia e da informação É importante destacar ainda que os sistemas são utilizados no processamento de sinais que portam imagens dados voz que são representados por uma função ou uma sequência de valores que variam no tempo e no conteúdo de frequência e que têm frequência contínua ou discreta Sequências exponenciais reais discretas no tempo EBook Apostila 4 49 O valor xn é a representação de um sinal discreto em que n é uma variável de valor inteiro que atua representando os instantes temporais por isso cabe chamar sinal discreto no tempo uma sequência de números que é representada conforme demonstrado a seguir com a posição da amostra em n 0 Esta forma uma sequência exponencial real que trabalha com números reais desempenhando um papel essencial no processamento digital de sinais discretos no que se refere à análise de sistemas lineares pois representa e analisa sistemas discretos e invariantes no tempo A sequência exponencial real apresenta a seguinte forma geral E o que determina a sequência real é a condição de que A e a sejam números reais Portanto temos as seguintes situações Clique nos cards para visualizar o conteúdo EBook Apostila 5 49 Recurso Externo Recurso é melhor visualizado no formato interativo Uma sequência exponencial real é uma das sequências básicas e ao utilizála é importante ter em mente que se o valor elevado a n estiver entre zero e um então haverá uma sequência decrescente que pode ser somável para n 0 fazendo com que haja a transformada de Fourier de tal sequência Logo temse Clique nas setas para avançar ou voltar o conteúdo 1 sequência xn crescente 1 sequência xn decrescente 0 amostras da sequência xn têm o mesmo sinal de A 0 amostras da sequência xn têm de forma intercalada sinais positivos e negativos As sequências exponenciais complexas discretas no tempo Diferentemente da sequência exponencial real uma sequência exponencial complexa compreende uma função contínua em que A e são complexos E sendo complexos ao serem decompostos temse EBook Apostila 6 49 Portanto Baseada na relação de Euler temse que EBook Apostila 7 49 Dessa forma ao aplicar essa relação é possível reescrever xn e chegar a Em que a frequência da exponencial é e a fase da exponencial complexa é Se a for um número complexo então a sequência será complexa Podemos escrever e se também considerarmos a constante A como um número complexo temos EBook Apostila 8 49 A exponencial complexa representará portanto uma sequência com oscilação de algum tipo A frequência dessa oscilação é o argumento da constante A sequência dará origem a uma função senoidal amortecida ou ampliada ao longo do tempo Quando a função discreta é chamada de sequência exponencial complexa NALON 2009 Logo considerando temse Portanto uma sequência exponencial complexa tem a forma EBook Apostila 9 49 Isso significa que as partes real e imaginária de modificamse senoidalmente com n As sequências exponenciais complexas são funções características de sistemas LIT Linear Invariante no Tempo que atendem aos atributos de linearidade e invariância no tempo paralelamente e a definição de tais sistemas conduz ao uso da convolução uma operação entre sinais discretos no tempo para analisar sistemas A decomposição e sua aplicação em sequência par e sequência ímpar Considere xn com qualquer valor Então temse Clique nas setas para avançar ou voltar o conteúdo xn é par somente xn xn xn é ímpar somente xn xn Uma sequência par e uma sequência ímpar têm respectivamente a seguinte representação gráfica EBook Apostila 10 49 FIGURA 1 Sequência par e sequência ímpar Fonte ROSA 2014 Adaptada A decomposição nas sequências par e ímpar funciona da seguinte forma declarando um xn qualquer é possível a decomposição de qualquer sequência em duas partes em que uma é par e a outra ímpar por meio da relação a seguir í EBook Apostila 11 49 í Considerando por exemplo a representação gráfica de uma sequência colocada a seguir EBook Apostila 12 49 FIGURA 1 Sequência aleatória a ser decomposta Fonte ROSA 2014 Adaptada Temse que essas representações contemplam respectivamente as porções par e ímpar da sequência após a decomposição EBook Apostila 13 49 FIGURA 1 Porções par e ímpar originadas Fonte ROSA 2017 Adaptada Em suma considerando funções contínuas temse A função par é definida por portanto compreendem funções pares A função ímpar é definida por portanto compreendem funções ímpares Portanto uma sequência discreta xn é considerada simétrica ou seja par q u a n d o e uma sequência discreta xn é considerada assimétrica ou seja ímpar quando Isso indica que a descrição de qualquer sinal real pode ser estabelecida da seguinte forma considerando EBook Apostila 14 49 Em síntese qualquer sinal pode ser decomposto para uma soma de dois sinais em que um é par e o outro é ímpar lembrando que um sinal xn tratase de um sinal de tempo discreto quando se encontra definido apenas para instantes isolados de tempo n EBook Apostila 15 49 REFLITA Um sinal discreto é representado por uma sequência numérica que pode ser vista como uma função contínua isto é assumindo qualquer valor em um intervalo de uma variável discreta Convencionalmente o domínio da sequência é representado por n sendo que n pertence aos Inteiros ou seja n é um número inteiro Essa variável é chamada de tempo discreto Outros domínios adequados dependendo do sinal podem existir Por exemplo uma imagem digitalizada é função não do tempo mas das distâncias na horizontal e na vertical de um ponto tomado como a origem ou seja para imagens o domínio é o espaço bidimensional NALON 2009 p 5 Logo uma sequência facultativa de valores reais xn tem a possibilidade de ser decomposta em seus componentes pares e ímpares De forma análoga temse considerando um sinal xt sua decomposição pode ser compreendida por uma componente par e uma componente ímpar em que EBook Apostila 16 49 I II Em t consta A soma de I e II possibilita A subtração de I e II possibilita EBook Apostila 17 49 Sequências básicas Geralmente os problemas complexos são decompostos em diversos problemas menores que apresentam soluções e características conhecidas isso acontece com a intenção de se diminuir a complexidade e aumentar a capacidade de análise do problema No estudo de sequências complexas é preciso decompôlas em sequências mais básicas e essa possibilidade é justamente de onde deriva o poder do processamento de sinais digitais Para exemplificar a decomposição de sinais complexos em senoides de frequências conhecidas tem uma importante função na análise de sistemas permitindo o conhecimento do conteúdo de frequência de um sinal NALON 2009 Alguns sinais discretos são aplicados no desenvolvimento da teoria de processamento digital de sinais são os sinais de tempo discreto básicos como a sequência amostra unitária a sequência degrau unitário a sequência exponencial e a sequência senoidal Impulso unitário Também chamada de função impulso ou pulso unitário essa sequência realiza a mesma tarefa que a função impulso unitário em sistemas contínuos no tempo A função impulso em tempo discreto atua de forma que considerando qualquer sequência discreta é possível descrevêla como um somatório de funções impulsos como demonstrado a seguir EBook Apostila 18 49 Degrau unitário Corresponde à sua representação analógica e não depende de operações matemáticas complexas Pode ser descrito da seguinte forma Degrau unitário é a acumulação do impulso e o impulso é a primeira diferença do degrau Esses vínculos são semelhantes à integração e à diferenciação das versões contínuas dessas duas funções Essas duas funções relacionamse devido às operações de acumulação e diferenças Sequências exponenciais Definidas como EBook Apostila 19 49 São amplamente utilizadas no processamento digital de sinais marcando presença constante no estudo de sistemas lineares de tempo discreto um sistema linear de primeira ordem apresenta como resposta ao impulso uma função exponencial Quando A e comportam números reais a sequência é real Ocorrendo 0 1 e A como positivo temse uma sequência com valores positivos e decrescentes Ocorrendo 1 0 temse uma sequência decrescente em magnitude com sinais de suas amostras alternando Se então a sequência é crescente em magnitude Quando for um número complexo temse uma sequência complexa Uma exponencial complexa representa uma sequência que comporta algum tipo de oscilação cuja frequência é o argumento da constante portanto a sequência origina uma função senoidal amortecida ao decorrer do tempo Se a função discreta é chamada de sequência exponencial complexa Representação de sinais e sistemas discretos A definição de um sinal pode ser compreendida como uma quantidade física que varia no tempo e conduz informações em relação ao comportamento de um sistema geralmente sua representação matemática acontece por meio de uma função de uma ou mais variáveis independentes como espaço ou tempo por exemplo Sinais de tempo contínuo caracterizamse por uma variável independente que pode assumir um valor dentro de uma faixa contínua e se estende ao infinito tais sinais levam o nome de analógicos Os sinais de tempo discreto caracterizamse por serem definidos em momentos de tempos discretos em que a variável independente pode ter valores discretos possivelmente não enumeráveis sendo dessa forma representados por uma sequência de números EBook Apostila 20 49 Um sistema compreende um dispositivo que faz uma operação matemática em um determinado sinal como no caso de um filtro usado que consegue diminuir ruídos ou interferências no sinal aplicado em sua entrada A classificação dos sistemas abrange sistemas contínuos ou analógicos que são aqueles em que as entradas e saídas são sinais de tempo contínuo em sistemas discretos em que as entradas e saídas são sinais de tempo discreto e por fim os sistemas digitais em que as entradas e saídas são sinais digitais É importante ressaltar que ao se passar um sinal por meio de um sistema podese afirmar que ele foi processado originando o nome de processamento de sinais Sinais discretos no domínio do tempo Os sistemas discretos são constituídos por entradas e saídas discretas por exemplo o computador digital Assim um sinal discreto no tempo é definido como uma sequência de números presentes em ocasiões discretas no tempo Para exemplificar podem ser citados os estudos populacionais que auxiliam na verificação da realidade quantitativa e qualitativa da população O nésimo número na sequência expressado por x compreende Já um sinal discreto oriundo de uma amostragem é representado por sendo T o intervalo da amostragem Portanto Portanto um sinal de tempo discreto indica uma sequência de amostradas recolhidas a cada T segundos por isso a representação no domínio do tempo corresponde às sequências discretas representadas como uma sequência de números Essa sequência é representada matematicamente da seguinte forma Vale destacar que a sequência é definida para valores de n inteiros EBook Apostila 21 49 Em termos de representação gráfica uma sequência discreta é representada por impulsos que se localizam em valores de n inteiros que correspondem a uma área equivalente à amplitude da amostra A figura a seguir demonstra o gráfico de uma sequência discreta FIGURA 1 Uma sequência discreta Fonte MENDES 2011 Adaptada Sinais discretos no domínio da frequência O mapeamento de acontecimentos sinais discretos nos domínios de tempo e frequência envolve a periodicidade do comportamento no que diz respeito ao tempo o que significa sua repetição em intervalos iguais a T em que T representa o período de tempo que contempla um ciclo do sinal da frequência Isso determina a relação de mapeamento entre estes dois domínios tempo e frequência da seguinte forma EBook Apostila 22 49 A representação do sinal no domínio da frequência contém somente seus parâmetros pressupondo a função senoidal colocada como referência na decomposição E caso a função periódica de referência esteja implícita no domínio da frequência a representação do sinal precisa somente de parâmetros resultantes da decomposição conforme A representação do sinal no domínio da frequência contém somente seus parâmetros pressupondo a função senoidal colocada como referência na decomposição E caso a função periódica de referência esteja implícita no domínio da frequência a representação do sinal precisa somente de parâmetros resultantes da decomposição veja Amplitude A Frequência Ângulo EBook Apostila 23 49 Em termos de representação gráfica no domínio da frequência temse FIGURA 1 Representação de senoide no domínio da frequência Fonte DECKMANN POMILIO 2020 Adaptada Sistemas lineares invariantes com o tempo resposta ao impulso e à soma de convolução Pensando na temática sistemas lineares invariantes com o tempo resposta ao impulso e soma de convolução contextualizada até o momento o conteúdo do vídeo oferecerá um importante horizonte de aprendizado para o que estamos estudando Vamos assistir Recurso Externo Recurso é melhor visualizado no formato interativo EBook Apostila 24 49 A partir do vídeo assistido você consegue identificar quais outros conhecimentos foram adquiridos com ele Transformação de Fourier O autovalor gerado a partir da convolução entre a resposta ao impulso de um sistema linear e invariante no tempo com uma sequência de entrada do tipo exponencial complexa para uma única frequência é representado por Sendo assim esse valor equivale à resposta na ocasião da frequência do sistema A representação contínua no domínio da frequência de uma sequência discreta no domínio do tempo é a transformada de Fourier vale lembrar que a integral de Fourier decompõe uma função contínua em uma série que comporta componentes complexos que descrevem a função contínua Dessa forma temse que a representação de Fourier de uma sequência xn transformada de Fourier discreta no tempo é dada por meio de duas equações em que a primeira DTFT é a transformada de Fourier discreta no tempo e a segunda IDTFT é a transformada inversa de Fourier discreta no tempo demonstradas a seguir EBook Apostila 25 49 A transformada discreta de Fourier A semelhança entre a transformada de Fourier e a série de Fourier de uma sequência periódica é que as duas são definidas em termos de somatórios de exponenciais complexas já a diferença concentrase no fato de a série de Fourier estar definida apenas para frequências harmônicas múltiplas da frequência fundamental As sequências periódicas não satisfazem aos critérios de convergência que determinam a existência da transformada de Fourier mas como em outras sequências tornase útil e direto definir uma representação equivalente na frequência para essas sequências Desse modo cada amostra de uma série de Fourier representa uma exponencial complexa com frequência isto é No domínio da frequência contínua esse coeficiente corresponde a um impulso contínuo posicionado na frequência ou seja Como compreende uma sequência é possível representála de forma analítica por meio de um somatório de impulsos deslocados das frequências adequadas com amplitude e fase determinadas por NALON 2009 Matematicamente falando temse O principal problema de uma representação computacional da transformada de Fourier é o domínio da definição da sequência analisada A transformada de Fourier segundo sua definição presume que a sequência existe para todos os instantes de tempo de a Sinais do mundo real que são amostrados para processamento no entanto não têm essa característica sinais do mundo real são naturalmente finitos limitados de alguma forma a um domínio que varia tipicamente de 0 a N 1 NALON 2009 p 111 EBook Apostila 26 49 O quadro a seguir mostra pares de tranformadas de Fourier EBook Apostila 27 49 Sequência Transformada de Fourier 1 á QUADRO 1 Pares de transformadas de Fourier Fonte JOAQUIM 2010 Adaptado Aqui estão relacionadas algumas sequências básicas que frequentemente são aplicadas no processamento de sinais em conjunto com suas respectivas transformadas de Fourier EBook Apostila 28 49 O conteúdo indicado a seguir acerca dos principais conceitos e propriedades para sinais e sistemas de tempo discreto vai ajudar no entendimento da amplitude do sinal e no que acontece com ela nas situações discretas e faixas contínuas de valores SAIBA MAIS Para aprofundar seus conhecimentos convidamos você para a leitura da dissertação Processamento digital de sinais de Marcelo Basílio Joaquim Leia da página 1 Sinais de tempo discreto até a página 10 Sistemas lineares invariantes ao deslocamento Esse trabalho enfatiza tópicos básicos relacionados ao processamento digital de sinais apresentando sinais e sistemas de tempo discreto Clique em Expandir PDF para conferir a leitura Como pôde ser observado na leitura do material indicado os sistemas realizam operações matemáticas no sinal E tais sinais compreendem filtros que atuam por exemplo na redução de interferências no sinal aplicado em sua entrada Tais sistemas podem ser contínuos ou analógicos discretos ou digitais Independentemente da classificação ao passar um sinal por meio de um sistema esse sinal é processado o que leva ao termo processamento de sinais Sistemas discretos lineares invariantes no tempo Para aprofundar um pouco mais o conhecimento obtido até aqui a partir de nossas discussões sobre o conteúdo assista ao vídeo sobre sistemas discretos lineares invariantes no tempo que apresentará importantes considerações sobre a temática da unidade Recurso Externo EBook Apostila 29 49 Recurso é melhor visualizado no formato interativo Com base no que você acabou de assistir as fundamentações discutidas na unidade fazem uma correlação melhor com o que até então havia sido apresentado Pense sobre isso Conceitos da convolução linear A convolução linear compreende uma operação matemática que considera dois sinais em tempo discreto criando um novo sinal em tempo discreto resultando na resposta de um sistema LIT diante de uma entrada que lhe foi feita no que se refere à resposta do sistema ao impulso unitário Tratase portanto de uma operação matemática que é aplicada sobre dois sinais para provocar um terceiro sinal Isso indica que é possível afirmar que a resposta de um LIT discreto a uma determinada entrada é a convolução linear de tal entrada junto à resposta impulsional do sistema Por se tratar de uma operação entre sinais discretos no tempo a convolução entre dois sinais é descrita como O terceiro sinal é gerado diante da execução da operação matemática como soma sobre dois sinais Sucintamente conhecendo a resposta para um impulso de um sistema LIT é possível fazer o cálculo da saída de qualquer sinal de entrada Conceitualmente ocorre como demonstrado a seguir EBook Apostila 30 49 FIGURA 1 Processo da convolução linear Fonte Elaborada pela autora O conceito de convolução é um dos mais relevantes na engenharia elétrica por servir de fundamento para todos os estudos que envolvem sistemas lineares invariantes no tempo pois para identificar a saída yn de um sistema LIT a um dado sinal de entrada xn basta realizar a operação de convolução estabelecida entre o sinal de entrada xn e a resposta ao impulso hn do sistema LIT A partir de então conseguese a resposta hn de um sistema LIT ao colocar uma única amostra de valor unitário na entrada do sistema isto é um impulso e então constatase a sequência resultante hn na saída do sistema Vale lembrar que os sistemas LIT são caraterizados no domínio tempo discreto pela sua resposta ao impulso hn ALEXANDER SADIKU 2013 A convolução linear e equação de diferenças O entendimento da convolução linear fundamentase na soma de funções que são respostas ao impulso de um sistema LIT em que cada função é disposta e descolada no tempo conforme as amostras de xn Para fazer a convolução linear entre N e M duas sequências de comprimento diferentes o resultado produzido será uma sequência de comprimento NM1 em que inicialmente formamse duas novas sequências de comprimento NM1 acrescentando zeros nas anteriores e após tal operação efetuase a convolução circular a partir dessas novas sequências Tendo os sinais do mesmo tamanho é necessário o acréscimo de zeros nas duas sequências para que as duas fiquem com comprimento 2L Em seguida determinando a convolução circular temse como resultado a convolução linear entre as duas sequências originais JOAQUIM 2010 Isso pode ser verificado na figura a seguir EBook Apostila 31 49 FIGURA 1 Exemplo de convolução linear Fonte JOAQUIM 2010 Adaptada É possível utilizar a transformada discreta de Fourier para obter a convolução linear entre duas sequências xn e yn de tamanhos N e M respectivamente da seguinte forma JOAQUIM 2010 Clique nas setas para avançar ou voltar o conteúdo Acrescentando zeros nas duas sequências para que elas apresentem o mesmo tamanho L NM1 Calculando as TDFs das duas novas sequências EBook Apostila 32 49 Multiplicando as TDFs para formar o produto XkYk Calculando a TDF inversa do produto acima para obter a convolução linear entre xn e yn Um sistema LID pode ser descrito por meio de sua resposta ao impulso e dessa forma por meio também da convolução mas vale lembrar que em grande parte dos casos é interessante que seja expresso o comportamento do sistema em termos dos valores presente e passados do sinal de entrada assim como os valores passados do sinal de saída Os sistemas discretos podem ser representados por meio da equação linear de diferenças essa é uma equação que relaciona o valor yk no ponto k com os valores em outros pontos tratase portanto de um conjunto de equações que se destina unitariamente para cada valor de k vale ressaltar que uma importante especificação abrange o grupo de valores de k para os quais a equação é válida Na equação linear de diferenças o sistema é produzido com elementos como blocos somadores multiplicadores e de atraso servindo dessa forma para fundamentar a obtenção da resposta em frequência do sistema Um sistema LID com coeficientes e que são parâmetros constantes do sistema pode ser representado por uma equação linear de diferenças com a forma geral a seguir Essa é a forma geral de uma equação linear de diferenças e representa um sistema em que a resposta ao impulso é infinita Há uma forma proporcional à forma geral apresentada para descrever o sistema em que é assumido como 1 e o limite N da somatória leva o nome de ordem do sistema como segue EBook Apostila 33 49 A forma geral da equação linear de diferenças apresentada evidencia a resposta do sistema à soma efetuada dos valores que foram passados para yn yn1 yn 2 ynN juntamente com os valores de xn xn1 xnM Isso justifica a equação linear de diferenças também ser chamada de recursiva devido ao fato de que é preciso conhecer as condições iniciais do sistema ou seja conhecer y1 y2 yN Para sistemas em que a resposta ao impulso é finita a saída está sujeita apenas aos valores presentes e passados da entrada sendo assim 0 com k 1 2 N Por isso a resposta ao impulso hn é concedida pelos coeficientes o que indica á Considerando o sistema acumulador a seguir EBook Apostila 34 49 Para determinar a equação de diferenças basta fazer Portanto uma equação linear de diferenças pode ser definida como um conjunto de equações em que cada uma é direcionada para cada valor de k Isso significa que uma especificação importante contempla o conjunto de valores de k para os quais a equação é válida Aplicando conceitos da convolução linear O processamento de sinais pelos sistemas lineares invariantes no tempo pode ser realizado por meio de um processo discreto Logo considerando um sistema linear invariante no tempo com resposta impulsiva temse que é a resposta do sistema ao sinal na sua entrada A integral a seguir demonstra a convolução entre dois sinais como e EBook Apostila 35 49 É necessário o entendimento de que a execução da integral de convolução acontece em relação à variável em que t é considerada uma constante Como resultado a convolução sempre produz uma função temporal o que justifica o uso da notação simplificada para apontar que a função resultante depende de t3 Para compreender a importância da transformada de Fourier leia o conteúdo a seguir que apresenta a atuação da transformada de Fourier nas funções não periódicas pois se trata de uma ferramenta de análise de sinais e sistemas por meio de representações no domínio da frequência Sua utilidade enfoca o estudo de sinais ilimitados no tempo EBook Apostila 36 49 DICA Leia da página 29 à 38 do livro Introdução ao processamento digital de sinais de José Alexandre Nalon Para conferir a leitura copie o link em seu navegador e acesse a Minha Biblioteca httpsintegradaminhabibliotecacombrreaderbo oks9788521626152 Conforme pôde ser visto na leitura anterior o par transformada de Fourier decompõe funções contínuas no domínio do tempo em funções contínuas no domínio da frequência e viceversa pois intuitivamente são necessárias infinitas componentes espectrais para representar uma função temporal não periódica EBook Apostila 37 49 FIGURA 1 Cálculo da convolução a Função vt b Função wt c Resultado da convolução vwt é a superposição das retas desenhadas Fonte HIGUTI KITANO 2003 Adaptada Para encontrar a solução do cálculo da convolução vwt considerando o sinal vt demonstrado em a e o sinal wt demonstrado em b é necessário Descrever as funções vt e wt da seguinte forma EBook Apostila 38 49 E consequentemente Portanto o cálculo da convolução Clique nas setas para avançar ou voltar o conteúdo a Função vt b Função wt c Resultado da convolução vwt é a superposição das retas desenhadas E assim caroa estudante chegamos ao fim desta unidade Vamos agora às considerações finais Considerações finais Nesta unidade você teve a oportunidade de EBook Apostila 39 49 identificar sequências exponenciais reais e complexas discretas no tempo reconhecer a representação de sinais e sistemas discretos reconhecer sistemas discretos lineares invariantes no tempo No material você identificou as sequências exponenciais reais e complexas discretas no tempo distinguindo a real da complexa pois a primeira trabalha com números reais ocupando um importante papel no processamento digital de sinais discretos na análise dos sistemas lineares por trabalhar com sistemas discretos e invariantes no tempo Essa sequência quando utilizada tendo o valor elevado a n entre zero e um indica a existência de uma sequência decrescente o que provoca a transformada de Fourier em tal sequência Já a segunda sequência abordada a exponencial representa uma sequência que contempla alguma oscilação e tratase de funções características de sistemas LIT Linear Invariante no Tempo que atende aos atributos de linearidade e invariância no tempo de forma mútua Em seguida foi abordada a representação de sinais e sistemas discretos indicando que um sinal pode ser entendido como uma quantidade física variável no tempo que transporta informações em relação ao comportamento de um sistema e que geralmente sua representação matemática acontece por meio de uma função de uma ou mais variáveis independentes como espaço ou tempo E por sistema foi apresentado que ele compreende um dispositivo que realiza uma operação matemática em um determinado sinal como um filtro usado que consegue diminuir ruídos ou interferências no sinal aplicado em sua entrada Importante relembrar que passando um sinal por meio de um sistema é possível afirmar que ele foi processado o que dá origem ao termo processamento de sinais Os sistemas discretos foram apresentados como sistemas formados por entradas e saídas discretas como o computador digital dessa forma um sinal discreto no tempo é definido como uma sequência de números em ocasiões discretas no tempo Como exemplos para melhor entendimento foram citados os estudos populacionais O material também trouxe a transformada de Fourier vale lembrar que a integral de Fourier decompõe uma função contínua em uma série que comporta componentes complexas que descrevem a função contínua A transformada de Fourier é a representação contínua no domínio da frequência de uma sequência discreta no domínio do tempo por isso existem sequências básicas que podem ser aplicadas no processamento de sinais em conjunto com suas respectivas transformadas de Fourier EBook Apostila 40 49 Por fim foi abordado o sistema invariante no tempo que compreende um sistema em que um deslocamento ou atraso no tempo presente na sequência de entrada provoca um deslocamento proporcional na sequência de saída produzida Agora que finalizamos este conteúdo vamos testar seus conhecimentos com o quiz a seguir QUIZ Leia o trecho a seguir Há uma operação matemática que examina dois sinais em tempo discreto e produz um novo sinal também em tempo discreto e isso gera como resultado a resposta de um sistema LIT diante de uma entrada que lhe foi feita considerando a resposta do sistema ao impulso unitário Assinale a alternativa que indica a operação matemática citada no enunciado Estabilidade a EBook Apostila 41 49 Resposta Incorreta A operação matemática citada no enunciado é a convolução que possibilita a resposta hn de um sistema LIT colocando apenas uma amostra de valor unitário na entrada do sistema isto é um impulso então constatase a sequência resultante hn na saída do sistema Resposta Correta O conceito de convolução é um dos mais relevantes na engenharia elétrica por servir de fundamento em todos os estudos que envolvem sistemas lineares invariantes no tempo pois para identificar a saída yn de um sistema LIT a um dado sinal de entrada xn basta realizar a operação de convolução entre o sinal de entrada xn e a resposta ao impulso hn do sistema LIT Resposta Incorreta A operação matemática citada no enunciado é a convolução que possibilita a resposta hn de um sistema LIT colocando apenas uma amostra de valor unitário na entrada do sistema isto é um impulso então constatase a sequência resultante hn na saída do sistema Convolução b Cascateamento c EBook Apostila 42 49 Resposta Incorreta A operação matemática citada no enunciado é a convolução que possibilita a resposta hn de um sistema LIT colocando apenas uma amostra de valor unitário na entrada do sistema isto é um impulso então constatase a sequência resultante hn na saída do sistema Resposta Incorreta A operação matemática citada no enunciado é a convolução que possibilita a resposta hn de um sistema LIT colocando apenas uma amostra de valor unitário na entrada do sistema isto é um impulso então constatase a sequência resultante hn na saída do sistema Leia o trecho a seguir Causalidade d Comutativa e EBook Apostila 43 49 Sistemas lineares discretos e invariantes ao deslocamento ou LID são os mais importantes por se caracterizarem no domínio do tempo por sua resposta à função amostra Essa resposta deve ser conhecida para que seja possível descrever o comportamento do sistema quando sua entrada for uma sequência diferente Assinale a alternativa que indica a resposta citada no enunciado Resposta Correta Conhecer a resposta ao impulso permite descrever o comportamento do sistema quando sua entrada for uma sequência diferente pois sistemas LIT podem ser descritos por meio da sequência conseguida na sua saída quando é alimentado por uma sequência impulso unitária por isso ao conhecer a resposta do sistema ao impulso é possível que se descreva seu comportamento no momento em que sua entrada for outra sequência diferente Resposta Incorreta A resposta correta é resposta ao impulso pois com a resposta do sistema ao impulso é possível conseguir a resposta a qualquer outro sinal de entrada por meio da execução da operação dada A soma da convolução resulta na expressão geral que relaciona a entrada e a saída de tais sistemas Resposta ao impulso a Resposta à frequência b EBook Apostila 44 49 Resposta Incorreta A resposta correta é resposta ao impulso pois com a resposta do sistema ao impulso é possível conseguir a resposta a qualquer outro sinal de entrada por meio da execução da operação dada A soma da convolução resulta na expressão geral que relaciona a entrada e a saída de tais sistemas Resposta Incorreta A resposta correta é resposta ao impulso pois com a resposta do sistema ao impulso é possível conseguir a resposta a qualquer outro sinal de entrada por meio da execução da operação dada A soma da convolução resulta na expressão geral que relaciona a entrada e a saída de tais sistemas Resposta à sequência c Resposta ao tempo d Resposta ao domínio e EBook Apostila 45 49 Resposta Incorreta A resposta correta é resposta ao impulso pois com a resposta do sistema ao impulso é possível conseguir a resposta a qualquer outro sinal de entrada por meio da execução da operação dada A soma da convolução resulta na expressão geral que relaciona a entrada e a saída de tais sistemas Leia o trecho a seguir Há uma integral com a capacidade de decompor uma função contínua em uma série que contempla componentes complexas para descrever uma função contínua e é definida em termos de somatórios de exponenciais complexas por isso considerando uma sequência xn sua representação compreende duas equações Assinale a alternativa que indica a integral citada no enunciado Integral de fração a EBook Apostila 46 49 Resposta Incorreta A resposta correta é integral de Fourier que se caracteriza pela decomposição de uma função contínua em uma série que comporta componentes complexas para descrever a função contínua assim a representação de Fourier de uma sequência xn é dada por meio de duas equações em que a primeira DTFT é a transformada de Fourier discreta no tempo e a segunda IDTFT é a transformada inversa de Fourier discreta no tempo Resposta Incorreta A resposta correta é integral de Fourier que se caracteriza pela decomposição de uma função contínua em uma série que comporta componentes complexas para descrever a função contínua assim a representação de Fourier de uma sequência xn é dada por meio de duas equações em que a primeira DTFT é a transformada de Fourier discreta no tempo e a segunda IDTFT é a transformada inversa de Fourier discreta no tempo Integral de Feynman b Integral de função par c EBook Apostila 47 49 Resposta Incorreta A resposta correta é integral de Fourier que se caracteriza pela decomposição de uma função contínua em uma série que comporta componentes complexas para descrever a função contínua assim a representação de Fourier de uma sequência xn é dada por meio de duas equações em que a primeira DTFT é a transformada de Fourier discreta no tempo e a segunda IDTFT é a transformada inversa de Fourier discreta no tempo Resposta Incorreta A resposta correta é integral de Fourier que se caracteriza pela decomposição de uma função contínua em uma série que comporta componentes complexas para descrever a função contínua assim a representação de Fourier de uma sequência xn é dada por meio de duas equações em que a primeira DTFT é a transformada de Fourier discreta no tempo e a segunda IDTFT é a transformada inversa de Fourier discreta no tempo Integral de função ímpar d Integral de Fourier e EBook Apostila 48 49 Resposta Correta A representação contínua no domínio da frequência de uma sequência discreta no domínio do tempo é a transformada de Fourier vale lembrar que a integral de Fourier decompõe uma função contínua em uma série que comporta componentes complexas que descrevem a função contínua Referências ALEXANDER C K SADIKU M N Fundamentos de circuitos elétricos Porto Alegre AMGH Editora 2013 DECKMANN S M POMILIO J A Avaliação da qualidade da energia elétrica Campinas Unicamp 2020 Disponível em httpswwwdscefeeunicampbrantenorpdffilesqualidadea1pdf Acesso em 06 maio 2023 DINIZ P S R SILVA E A B NETTO S L Processamento digital de sinais projeto e análise de sistemas Bookman 2014 HIGUTI R T KITANO C Sinais e sistemas São Paulo UNESP 2003 Disponível em httpswwwfeisunespbrHomedepartamentosengenhariaeletricaoptoeletronica sinaisesistemaspdf Acesso em 06 maio 2023 JOAQUIM M B Processamento digital de sinais São Carlos 2010 MENDES L L Processamento digital de sinais In MITRA S K Digital signal processing a computerbased approach New York NY USA McGrawHill 2011 NALON J A Introdução ao processamento digital de sinais São Paulo Grupo GenLTC 2000 Disponível na Minha Biblioteca NALON J A Introdução ao processamento digital de sinais Rio de Janeiro LTC 2009 Disponível na Minha Biblioteca EBook Apostila 49 49 NAWAB S H OPPENHEIM A V WILLSKY A S Sinais e sistemas São Paulo Pearson 2010 ROSA M de O Curso de processamento digital de sinais versão 104 2014 Disponível em httpwwwlabsomctutfpredubrmrosapdsapostilaapostilapdf Acesso em 06 maio 2023