Transformada Z - Guia Completo sobre Processamento Digital de Sinais

PDS Processamento Digital de Sinais Aula 14 Transformada Z 1º Semestre2022 Transformação Z A Transformada Z é de grande importância na análise de sinais digitais aplicase para sinais discretos tais como aqueles advindos da conversão analógicodigital A Transformada Z é utilizada no projeto de filtros e sistemas de controle digitais Wikipédia Motivação Mesmo papel que a transformada de Laplace Facilita a manipulação de funções diferenciais Permite manipulações algébricas simples Pode existir para muitas sequências em que a TFTD não existe Função de transferência de sistemas de tempo discreto Transformada Z Definição Definese a TZ da sequencia xn como sendo z ℂ Com z rejω podese escrever que pode ser interpretada como a TFTD da sequência xnrn Em particular se for possível tomar r 1 a TZ de xn se reduz a TFTD Determinando a Transformada Z NÚMEROS DISCRETOS xn TFTD XejΩ XejΩn xnejΩn ejΩn NÚMERO COMPLEXO EM n 1ejΩn cosΩn jsenΩn rcosΩn2 senΩn2 1 φ arctg senΩncosΩn Xzn xn zn onde z rejΩ Determinando a Inversa de Z SINAIS DISCRETOS NO TEMPO xn 12π ππ XejΩ ejΩn dΩ xn 12π ππ Xz zn dΩ z rejΩ z rcosΩjsen Ω z r z r ππ r dzdΩ drejΩdΩ jrejΩ jz dzdΩ jz dΩ dzjz SINAIS DISCRETOS NA FREQUÊNCIA XejΩ n xnejΩn Xz n xn zn sendo z rejΩ xn 12π r Xz zn dzjz xn 12jπ r Xz zn1 dz Sinais Discretos no Tempo SINAIS DISCRETOS NO TEMPO xn12π π π XejΩejΩndΩ Transformada de Fourier Tempo Discreto TFTD SINAIS DISCRETOS NA FREQUÊNCIA XejΩn xn ejΩn SINAIS DISCRETOS NO TEMPO xn12jπ r Xzzn1dz sendo zrejΩ TRANSFORMADA Z Z SINAIS DISCRETOS NA FREQUÊNCIA Xzn xnzn sendo zrejΩ Região de Convergência e Polos Para que a transformada Z seja convergente é necessário Xzn xnzn Como Xz n xnzn então um condição suficiente para a convergência é dada por Xzn xnzn n xnrnejωn n xnrn Reg circulares Região de Convergência e Polos Exemplo xn 2nun xn DIVERGENTE NÃO HÁ TFTD Xzn xnzn sendo zrejΩ TRANSFORMADA Z Xz0 2n rejΩn TFTD r1 Xz 0 2n ejΩn Xz0 2ejΩn 0 2n1 XejΩn xn ejΩn Região de Convergência Exemplo xn 2n un DIVERGENTE Há transformada de Z Xz n xn zn TRANSFORMADA Z DETERMINAÇÃO DA RC Xz n xn zn sendo z r ejΩ Xz n 2n z1n Xz n 2n 1zn Xz n 2zn se z r ejΩ Xz n 2r ejΩn se ejΩ 1 e r z Xz n 2rn qual o valor de r para Xz existir 2r 1 r 2 Rx z 2 REGIÃO DE CONVERGÊNCIA Transformada Z Exemplo xn 2n un DIVERGENTE Há transformada de Z Xz n xn zn TRANSFORMADA Z Xz n xn zn sendo z r ejΩ Xz n 2n z1n Xz n 2n 1zn Xz n 2zn Xz n 2z0 2z1 2z2 2z3 2z PG a11 q2z PG a1 1 q Xz 112z zz Xz zz 2 para r 2 sendo z r ejΩ se ejΩ 1 e r z z 2 Rx z 2 Região de Convergência Polos Importância da Região de Convergência Seja x1n 2n un Rx1 z a X1z n0 2n z1n X1z n0 2n 1zn X1z n 2zn CAUSAL Sequência Lateral Direita PG a11 q2z X1z 112z zz X1z zz2 x2n 2n un 1 X2z n1 2n z1n X2z n1 2n 1zn X2z n1 z2n Não CAUSAL Sequência Lateral Esquerda PG a1 z2 q z2 X2z z2 1 z2 22 Rx2 z a X2z zz2 r2 r2 Região de Convergência Sequências Finitas Região de Convergência Sequências Infinitas TZ Degrau Unitário Seja x₁n un o degrau unitário X₁z 1 1 z¹ z 1 Considerando agora a sequência nãocausal x₂n un 1 X₂z 1 1 z¹ z 1 Sequência Causal Lateral Direita Sequência Não Causal Lateral Esquerda Exercício 131 Determine a transformada Z da função xn dada por xn 12ⁿ un Xz xn zⁿ n to Xz 12ⁿ zⁿ n0 to Xz 12ⁿ 1ⁿ z n0 to Xz 12zⁿ n0 to Xz 1 2z ⁿ n0 to PG a1 1 q 1 2z PG a1 1 q Xz 1 1 1 2z z z Xz z z 12 REGIÃO DE CONVERGÊNCIA 12z 1 12 z z 12 z 0 onde z rejΩ Rx z 0 Xz z z 12 Rx z 0 𝒙 𝒏 𝟏 𝟐 𝒏 𝐮 𝐧 𝟑 𝟐 𝒏 𝐮 𝐧 𝟏 𝑥𝑛 Determine a transformada Z e a região de convergência RX para xn definida abaixo 𝑢𝑛 𝑛 𝑢𝑛 1 𝑛 DOIS SINAIS CONVERGENTES 𝑥𝑛 EXERCICIO 2 Exercício 132 Exercício 132 Determine a transformada Z e a região de convergência RX para xn definida abaixo xn 12ⁿ un 32ⁿ un 1 Xz 12ⁿ zⁿ n0 to 1 2zⁿ PG a1 1 q 1 2z PG a1 1 q xz 1 1 1 2z z z Xz z z 12 RX z 12 Xz 32ⁿ zⁿ n1 to 3 2zⁿ n1 to 3 2z¹ 3 2z² 3 2zⁿ 2z 3 2z² 3 2zⁿ 3 PG a1 2z 3 q 2z 3 PG a1 1 q Xz 2z 3 3 2 1 2z 3 3 2 Xz z z 3 2 3 2z 1 z 3 2 RX z 3 2 Exercício 132 Determine a transformada Z e a região de convergência RX para xn definida abaixo xn 12n un 32n un1 Xz Σ n from to xn zn Xz zz 12 RX z 12 Xz zz 32 RX z 32 Xz Xz Xz Xz zz 12 zz 32 Xz zz 32 zz 12 z 12z 32 Xz z2 32 z z2 12 z z 12z 32 zz 12z 32 Xz zz 12z 32 RX 32 z 12 Propriedades da Transformada Z LINEARIDADE SOMA xn x1 x2 TZ Xz X1z X2z ESCALAR yn 4x1 5x2 TZ Yz 4X1z 5X2z REGIÃO DE CONVERGENTE RYz RX1z RX2z EXEMPLO xn 12n un 32n un1 INVERSÃO NO TEMPO xn TZ Xz xn TZ Xz1 REGIÃO DE CONVERGENTE Rxn Rxn DESLOCAMENTO NO TEMPO xn Xz xn n0 zn0 Xz Propriedades da Transformada Z EXPONENCIAL xn TZ Xz an xn TZ Xza REGIÃO DE CONVERGENTE RX a FUNÇÃO δ xn aδn bδn1 cδn2 Xz a bz1 cz2 GERAL EM N Σ nxn TZ z dXzdz Exercício 133 Determine a transformada Z da função xn dada por xn n 12 n un Xz xn zn Xz n 12 n zn Xz n 12z n nxn TZ z dXzdz Xz 12z n PG a11 q12z PG a11q Xz 11 12z zz Xz zz 12 dXzdz DERIVAÇÃO DE UMA RAZÃO fg fg gfg2 fz f 1 g z 12 g 1 fg 1z 12 1zz 122 dXdz 12z 122 Xz 12 zz 122 Rx z 0 Exercício 134 Determine a transformada Z da função xn dada por xn 14n un Xz xn zn xn TZ Xz xn TZ Xz1 REGIÃO DE CONVERGENTE Rxn Rxn xn 14n un Xz1 xn zn Xz1 14n un zn Xz1 14zn PG a1 1 q 14z PG a11q Xz1 11 14z Xz1 11 14 z1 Xz 11 14 z zz Xz zz 14 Rx z 4 REGIÃO DE CONVERGÊNCIA Rx Rx para z1 14z 1 z 14 Rx para z 14 1z 1 z 4 Exercício 135 Determine a transformada Z da função xn dada por xt 2t xn δn 2 δn1 4 δn2 Xz xn zn xn a δn b δn1 c δn2 Xz a b z1 c z2 Xz 1z0 2z1 4z2 Xz 1 2 z1 4 z2 Exercício 136 Determine a transformada Z da função xn dada por xn 02n un 06n un Xz n to xn zn Xz n0 to 02n zn n0 to 06n zn Xz n0 to 02n zn Xz n0 to 06n zn Xz n0 to 02n zn Xz n0 to 02n z Xz z z 02 RC 02 Xz n0 to 06n z Xz z z 06 RC 06 Xz z z 02 z z 06 RC 06 Σ PG a1 1 q REFERÊNCIAS 1 A V Oppenheim R W Schafer Discretetime Signal Processing PrenticeHall 3a edição 2009 esse assunto está no Capítulo 3 e 5 2 YOUNG Paul H Técnicas de comunicação eletrônica Pearson Education 2006 3 MEDEIROS Júlio C O Princípios de Telecomunicações 5 ed São Paulo Érica 2016 4 HAYKIN SS MOHER M Introdução aos Sistemas de Comunicação 2ed Porto Alegre Bookman 2011 Algumas figuras e exemplos utilizados nesta apresentação foram retiradas das referências citadas acima