Análise Estrutural: Estruturas Isostáticas e Hiperestáticas

Estruturas Isostáticas e Hiperestáticas a Análise Estrutural Conceitos Bibliografia SUSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural Globo vol 1 1980 HIBBELER R C Resistência dos Materiais BEER F P Resistência dos Materiais São Paulo Makron Books 1996 Capítulo 12 Linha elástica Linha elástica da flexão LE é a curva formada pelo eixo de uma viga inicialmente retilíneo devido à aplicação de momentos de flexão Introdução M A curva da superfície neutra representa a deformação de toda a viga Esta curva se denomina curva elástica e por simplicidade é representada pela interseção do plano de simetria com a superfície neutra Momento interno positivo concavidade para cima a Desta forma a curva elástica representa os deslocamentos dos centros de gravidade de todas as seções transversais que formam a viga Matematicamente a curva elástica se representa pela equação no plano de simetria Se representarmos o eixo das deflexões por 𝒗 a curva elástica se torna uma função 𝒗𝒙 que dependerá também das cargas aplicadas e das propriedades mecânicas do material que compõe a viga M Momento interno negativo concavidade para baixo b compressão tração REPRESENTAR A LINHA ELÁSTICA Devido aos apoios móvel e fixo o deslocamento em B e D deve ser nulo Dentro da região de momento negativo AC a linha elástica deve ser côncava para baixo Dentro da região de momento positivo CD ela deve ser côncava para cima Por consequência deve haver um ponto de inflexão em C no qual a curva passa de côncava para cima a côncava para baixo visto que o momento nesse ponto é nulo Considere a barra de eixo originalmente reto que mediante a atuação de um momento fletor M se torna curva Equação Diferencial da LE Para barras retas com pequena curvatura o ângulo de curvatura inclinação𝜃𝑥 pode ser obtido através da equação diferencial 𝐸𝐼 𝑑𝜃 𝑑𝑥 Mx Onde 𝐸 módulo de Elasticidade 𝐼 momento de inércia em relação ao eixo de simetria 𝑀 momento interno Para barras retas com pequena curvatura a equação da linha elástica poderá ser obtida através da equação diferencial 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝜃 Como 𝐸𝐼 𝑑𝜃 𝑑𝑥 Mx têmse 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥² 𝑀𝑥 Então para se determinar 𝒗𝒙 basta resolver a equação diferencial 𝑬𝑰 𝒅𝟐𝒗 𝒅𝒙² 𝑴 𝒙 Para esta equação a linha elástica é positiva para cima a inclinação é positiva no sentido antihorário Integrando uma vez a equação diferencial 𝑬𝑰 𝒅𝟐𝒗 𝒅𝒙² 𝑴 𝒙 têmse a equação da inclinação da LE e integrando duas vez essa equação têmse a equação da LE As constantes de integração são determinadas a partir da consideração das Condições de contorno apoios essas condições representam os valores conhecidos das funções em determinados pontos da viga Condições de compatibilidade no caso de analisar mais de um trecho no ponto comum entre os trechos a LE e a inclinação serão compatíveis Condições de contorno 01 Definir a equação da LE da viga simplesmente apoiada com carga distribuída Exemplo O momento fletor à distancia 𝑥 do apoio da esquerda será 𝑀𝑥 𝑞𝐿𝑥 2 𝑞𝑥² 2 1 𝐸𝐼 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑀𝑥 𝐸𝐼 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑞𝐿𝑥 2 𝑞𝑥² 2 2 Integrando temse 𝐸𝐼 𝑑𝜃 𝑞𝑙𝑥 2 𝑞𝑥² 2 𝑑𝑥 3 𝐸𝐼𝜃 𝑞𝑙𝑥2 4 𝑞𝑥3 6 𝐶1 4 Substituindo 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝜃 na expressão 4 e integrandose ambos os membros temse 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑞𝐿𝑥2 4 𝑞𝑥3 6 𝐶1 𝑑𝑥 5 Integrando temse 𝐸𝐼𝑣 𝑞𝐿𝑥3 12 𝑞𝑥4 24 𝐶1𝑥 𝐶2 6 Onde 𝐶1 e 𝐶2 são constantes de integração Para determinar as constantes de integração 𝐶1 e 𝐶2 nas equações 4 e 6 vamos usar as condições de contorno Através dos apoios temos 𝑣 𝑥 0 0 𝑣 𝑥 𝐿 0 Devido a simetria da viga sabemos que a inclinação no meio da viga será zero 𝜃 𝑥 𝐿 2 0 Então podemos substituir na equação 6 𝑣 𝑥 0 0 𝐸𝐼0 𝑞𝐿03 12 𝑞04 24 𝐶10 𝐶2 𝐶2 0 7 𝑣 𝑥 𝐿 0 𝐸𝐼0 𝑞𝐿𝐿3 12 𝑞𝐿4 24 𝐶1𝐿 𝐶1 𝑞𝐿³ 24 8 Então as equações da LE 6 e da inclinação 4 serão respectivamente 𝑣𝑥 𝑞𝐿𝑥3 12 𝑞𝑥4 24 𝑞𝐿³ 24 𝑥 1 𝐸𝐼 9 𝜃𝑥 𝑞𝑙𝑥2 4 𝑞𝑥3 6 𝑞𝐿³ 24 1 𝐸𝐼 10 A equação 9 permite obter a deflexão em qualquer ponto ao longo da viga O valor máximo de 𝑣 ocorre no meio do vão e é calculado fazendose 𝑥 𝐿2 𝑣𝑚𝑎𝑥 5𝑞𝐿4 384𝐸𝐼 A inclinação máxima ocorre nas extremidades da viga Na extremidade esquerdaa é 𝜃𝑎 𝜃 𝑥 0 𝑞𝐿³ 24𝐸𝐼 Na extremidade direita b é 𝜃𝑏 𝜃𝑥 𝐿 𝑞𝐿³ 24𝐸𝐼 Supondo vigas biapoiadas e vigas engastada e livre para diversos tipos de carregamento carga distribuída carga pontual aplicada momento aplicado é possível tabelar o comportamento da flecha linha elástica e sua inclinação correspondente a cada viga Uso da tabela para calcular LE Viga Inclinação Deslocamento Linha elástica Viga Viga Viga Observação Para vigas biapoiadas com trechos em balanços a LE poderá ser calculada usando a tabela através da decomposição indicada abaixo Para representar o efeito que a carga de P gera no trecho biapoiado a força foi reduzida ao ponto B Para isso junto com a força foi levado o momento que ela gera nesse ponto M 𝑃𝐿2 A B C 02 Desenhar a linha elástica da viga da Figura abaixo indicando os valores principais 𝑣𝐶 𝑣𝐸 𝑣𝐷 𝜃𝐴 e 𝜃𝐵 Dado Seção transversal da viga retangular igual 24X50cm e módulo de elasticidade igual a 40GPa Exemplo Dado Seção transversal da viga retangular igual 24X50cm e módulo de elasticidade igual a 40GPa 24 cm 50 cm LN LNlinha neutra passa pelo CG na horizontal 𝐼𝐿𝑁 02405³ 12 00025 𝑚4 𝐸 40 𝐺𝑃𝑎 40 106𝐾𝑃𝑎 𝐸𝐼 00025 40 106 105 𝐾𝑁𝑚² 𝑣𝐸 𝑣𝑚á𝑥 𝑃𝐿³ 48𝐸𝐼 3083 48105 00032 𝑚 para baixo 𝜃𝐴 𝑃𝐿² 16𝐸𝐼 3082 16105 00012 𝑟𝑎𝑑 horário 𝜃𝐵 𝑃𝐿² 16𝐸𝐼 3082 16105 00012 𝑟𝑎𝑑 antihorário tan 𝜃𝐴 𝑣𝐶 3 𝑣𝐶 00012 3 00036 𝑚 para cima 𝑣𝐷 00036 𝑚 para cima 𝜃𝐴 𝑣𝐶 3 A tangente de um ângulo muito pequeno em radianos é aproximadamente o próprio ângulo 03 Calcular 𝜃𝐴 𝜃𝐵 𝑣𝐶 𝑣𝐷 e 𝜃𝐷 para a viga da Figura abaixo dado 𝐸𝐼 105 kNm² constante Usando sobreposição de efeitos através da tabela Para representar o efeito que a carga de 20 KN gera no trecho AB a força foi reduzida ao ponto B Para isso junto com a força foi levado o momento que ela gera nesse ponto Sobreposição de efeitos 1 2 3 1 A B C D 𝑣𝐶 𝑣𝑚á𝑥 5𝑤𝐿4 384𝐸𝐼 51084 384105 000533 𝑚 para baixo 𝜃𝐴 𝜃𝑚𝑎𝑥 𝑤𝐿³ 24𝐸𝐼 108³ 24105 000213 𝑟𝑎𝑑 horário 𝜃𝐵 000213 𝑟𝑎𝑑 antihorário 𝑣𝐷 tan 𝜃𝐵 2 000426 𝑚 para cima 𝜃𝐵 2 𝑣𝐷 2 A B C D 𝑣𝐶 𝑣 𝑥 4 𝑀𝑥 6𝐸𝐼𝐿 𝑥2 3𝐿𝑥 2𝐿2 404 61058 42 3 8 4 2 82 00016 𝑚 para cima 𝜃𝐴 𝑀𝐿 6𝐸𝐼 408 6105 0000533 𝑟𝑎𝑑 antihorário 𝜃𝐵 𝑀𝐿 3𝐸𝐼 408 3105 000107 𝑟𝑎𝑑 horário 𝑣𝐷 tan 𝜃𝐵 2 000214 𝑚 para baixo 𝜃𝐵 2 𝑣𝐷 Como a força de 20 KN está aplicada no apoio B o apoio absorve toda essa força logo a viga não sofrerá deformações 3 D B 𝑣𝐷 𝑣𝑚á𝑥 𝑃𝐿³ 3𝐸𝐼 202³ 3105 000053 𝑚 𝜃𝐷 𝜃𝑚á𝑥 𝑃𝐿2 2𝐸𝐼 2022 2105 00004 𝑟𝑎𝑑 𝑣𝐶 𝑣𝐶1 𝑣𝐶2 000533 00016 000373 𝑚 para baixo 𝜃𝐴 𝜃𝐴1 𝜃𝐴2 000213 0000533 00016 𝑟𝑎𝑑 horário 𝜃𝐵 𝜃𝐵1 𝜃𝐵2 000213 000107 000106 𝑟𝑎𝑑 antihorário 𝑣𝐷 𝑣𝐷1 𝑣𝐷2 𝑣𝐷3 000426 000214 000053 00016 𝑚 para cima 𝜃𝐷 𝜃𝐷1 𝜃𝐷2𝜃𝐷3 000213 000107 00004 000066 𝑟𝑎𝑑 antihorário 03 Calcular 𝜃𝐴 𝜃𝐵 e 𝑣𝐶 para a viga da Figura abaixo dado 𝐸𝐼 2 105 kNm² constante Usando sobreposição de efeitos através da tabela 1 2 𝜽𝑨 𝜽𝑩 e 𝒗𝑪 A B C 1 𝑣𝐶1 𝑣 𝑥 25 𝑀𝑥 6𝐸𝐼𝐿 𝑥2 3𝐿𝑥 2𝐿2 2025 621055 252 3 5 25 2 52 0000156 𝑚 𝜃𝐴1 𝜃1 𝑀𝐿 3𝐸𝐼 205 32105 0000167 𝑟𝑎𝑑 𝜃𝐵1 𝜃2 𝑀𝐿 6𝐸𝐼 205 62105 00000833 𝑟𝑎𝑑 C B A O momento na tabela está aplicado em A e rotaciona no sentido horário O momento na viga está também no ponto A e também rotaciona no sentido horário Então temos na viga exatamente o que está na tabela 2 C B A 𝑣𝐶2 𝑣 𝑥 25 𝑀𝑥 6𝐸𝐼𝐿 𝑥2 3𝐿𝑥 2𝐿2 3025 621055 252 3 5 25 2 52 0000234 𝑚 𝜃𝐴2 𝜃2 𝑀𝐿 6𝐸𝐼 305 62105 0000125 𝑟𝑎𝑑 𝜃𝐵2 𝜃1 𝑀𝐿 3𝐸𝐼 305 32105 000025 𝑟𝑎𝑑 O momento na tabela está aplicado em A e rotaciona no sentido horário O momento na viga está aplicado em B e rotaciona no sentido antihorário Então se espelharmos a tabela teremos o momento na tabela aplicado no ponto B e também estará no sentido antihorário 𝑣𝐶 𝑣𝐶1 𝑣𝐶2 0000156 0000234 000039 𝑚 𝜃𝐴 𝜃𝐴1 𝜃𝐴2 0000167 0000125 0000292 𝑟𝑎𝑑 𝜃𝐵 𝜃𝐵1 𝜃𝐵2 00000833 000025 0000333 𝑟𝑎𝑑 04 Calcular 𝜃𝐴 𝜃𝐵 𝜃𝐶 𝜃𝐷 𝑣𝐶 𝑣𝐸 e 𝑣𝐷 para a viga da Figura abaixo dado 𝐸𝐼 7200 kNm² constante Usando sobreposição de efeitos através da tabela A viga é simétrica 𝜃𝐴 𝜃𝐵 𝜃𝐶 𝜃𝐷 𝑣𝐶 𝑣𝐷 1 2 3 A B C D E 4 5 Para avaliar o trecho AB preciso criar um sistema equivalente para isso vou reduzir a carga de 20 KNm para o ponto A junto com ela preciso levar o momento que essa força gera no ponto A 𝑀𝐴 20 1 05 10 𝐾𝑁𝑚 1 1 1 2 2 A B C D E 𝑣𝐸1 𝑣𝑚á𝑥 5𝑤𝐿4 384𝐸𝐼 52044 3847200 000926 𝑚 𝜃𝐴1 𝜃𝑚á𝑥 𝑤𝐿3 24𝐸𝐼 2043 247200 000741 𝑟𝑎𝑑 𝜃𝐵1 𝜃𝐴1 000741 𝑟𝑎𝑑 𝑣𝐶1 tan 𝜃𝐴1 1 000741 𝑚 𝑣𝐷1 𝑣𝐶1 000741 𝑚 𝜃𝐶1 𝜃𝐴1 000741 𝑟𝑎𝑑 𝜃𝐷1 𝜃𝐵1 000741 𝑟𝑎𝑑 𝑣𝐶 1 𝜃𝐴 tan 𝜃𝐴1 𝑣𝐶1 1 𝑣𝐶1 tan 𝜃𝐴1 1 2 5 1 A B C D 1 𝑣𝐶2 𝑣𝑚á𝑥 𝑤𝐿4 8𝐸𝐼 2014 87200 0000347 𝑚 𝜃𝐶2 𝜃𝑚á𝑥 𝑤𝐿³ 6𝐸𝐼 201³ 67200 0000463 𝑟𝑎𝑑 𝑣𝐷5 𝑣𝐶2 0000347 𝑚 𝜃𝐷5 𝜃𝐶2 0000463 𝑟𝑎𝑑 3 4 A B C D E A B C D E 1 1 2 2 1 1 2 2 𝑣𝐸3 𝑣 𝑥 2 𝑀𝑥 6𝐸𝐼𝐿 𝑥2 3𝐿𝑥 2𝐿2 102 672004 22 3 4 2 2 42 000139 𝑚 𝜃𝐴3 𝜃1 𝑀𝐿 3𝐸𝐼 104 37200 000185 𝑟𝑎𝑑 𝜃𝐵3 𝜃2 𝑀𝐿 6𝐸𝐼 104 67200 0000926 𝑟𝑎𝑑 𝑣𝐶3 tan 𝜃𝐴3 1 000185 𝑚 𝑣𝐷3 tan 𝜃𝐵3 1 0000926 𝑚 𝜃𝐶3 𝜃𝐴3 000185 𝑟𝑎𝑑 𝜃𝐷3 𝜃𝐵3 0000926 𝑟𝑎𝑑 𝑣𝐸4 𝑣𝐸3 000139 𝑚 𝜃𝐴4 𝜃𝐵3 0000926 𝑟𝑎𝑑 𝜃𝐵4 𝜃𝐴3 000185 𝑟𝑎𝑑 𝑣𝐶4 𝑣𝐷3 0000926 𝑚 𝑣𝐷4 𝑣𝐶3 000185 𝑚 𝜃𝐶4 𝜃𝐴4 0000926 𝑟𝑎𝑑 𝜃𝐷4 𝜃𝐵4 000185 𝑟𝑎𝑑 𝑣𝐸 𝑣𝐸1 𝑣𝐸3 𝑣𝐸4 000926 000139 000139 000648 𝑚 𝜃𝐴 𝜃𝐴1 𝜃𝐴3 𝜃𝐴4 000741 000185 0000926 000463 𝑟𝑎𝑑 𝜃𝐵 𝜃𝐵1 𝜃𝐵3 𝜃𝐵4 000741 0000926 000185 000463 𝑟𝑎𝑑 𝑣𝐶 𝑣𝐶1 𝑣𝐶2 𝑣𝐶3 𝑣𝐶4 000741 0000347 000185 0000926 000429 𝑚 𝑣𝐷 𝑣𝐷1 𝑣𝐷5 𝑣𝐷3 𝑣𝐷4 000741 0000347 0000926 000185 000429 𝑚 𝜃𝐶 𝜃𝐶1 𝜃𝐶2 𝜃𝐶3 𝜃𝐶4 000741 0000463 000185 0000926 000417 𝑟𝑎𝑑 𝜃𝐷 𝜃𝐷1 𝜃𝐷5 𝜃𝐷3 𝜃𝐷4 000741 0000463 0000926 000185 000417 𝑟𝑎𝑑 Anexo A Dedução das equações Equação Diferencial da LE Considere a barra de eixo originalmente reto que mediante a atuação de um momento fletor M se torna curva 𝑑𝜃 ângulo entre as seções transversais após o momento fletor interno deformar a viga 𝑑𝑥 intercepta o eixo neutro para cada seção transversal 𝜌 raio de curvatura Qualquer arco interno exceto 𝑑𝑥 está sujeito a uma deformação normal ecosistema ânima A deformação do arco ds localizado em uma posição y em relação ao eixo neutro é 𝜖 𝑑𝑠𝑑𝑠 𝑑𝑠 Todavia 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝜌𝑑𝜃 E 𝑑𝑠 𝜌 𝑦 𝑑𝜃 Portanto 𝜖 𝜌𝑦 𝑑𝜃𝜌𝑑𝜃 𝜌𝑑𝜃 1 𝜌 𝜀 𝑦 Fórmula da flexão σ 𝑀 𝐼 𝑦 Lei de Hooke 𝜀 𝜎 𝐸 Combinando as duas ε 𝜎 𝐸 𝑀 𝐸𝐼 𝑦 Substituindo essa equação na equação 1 𝜌 𝜀 𝑦 temse a curvatura da barra 1 𝜌 𝑀 𝐸𝐼 Como 𝑑𝑥 𝜌𝑑𝜃 1 𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑀 𝐸𝐼 Para barras retas com pequena curvatura o ângulo de curvatura inclinação pode ser obtido através da seguinte equação diferencial 𝐸𝐼 𝑑𝜃 𝑑𝑥 Mx Seja a barra de eixo originalmente reto submetida ao carregamento 𝑞𝑥 𝑑ϕ é o incremento de inclinação correspondente à diferença entre as tangentes em T e S respectivamente graficamente verificamos que é equivalente à 𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝑑𝜃 𝜙 𝜃 Sendo tan𝜙 o coeficiente angular da reta tangente à LE 𝑣 numa posição 𝑥 e considerando a hipótese de pequenos deslocamentos e deformações temse 𝑡𝑎𝑛𝜙 𝜙 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 e 𝑑𝜙 𝑑𝑥 𝑑²𝑣 𝑑𝑥² Sendo 𝜙 𝜃 e 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑀 𝐸𝐼 têmse 𝜃 𝑑𝑣 𝑑𝑥 e 𝑑2𝑣 𝑑𝑥² 𝑀 𝐸𝐼