Análise de Estruturas Isostáticas e Hiperestáticas

Estruturas Isostáticas e Hiperestáticas Análise Estrutural Conceitos Bibliografia HIBBELER R C Resistência dos Materiais São Paulo Pearson Education 2012 Base de Dados BVU UAM 2012 MELCONIAN Sarkis Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais São Paulo Érica 18 ed 2011 GERE J M GOODNO B J Mecânica dos Materiais 7e São Paulo CENGAGE 2010 Beer Johnston DeWolf Mazurek Estática e Mecânica dos Materiais Bookman 2013 Conceitos Básicos 1 Quantidades Básicas Comprimento é necessário para localizar a posição de um ponto no espaço e por meio dele descrever a dimensão de um sistema físico No SI em metros m Tempo é concebido como uma sucessão de eventos No SI em segundos s Massa é uma propriedade da matéria pela qual se pode comparar a ação de um corpo com a de outro atração da gravidade entre dois corpos No SI em quilograma Kg Força é considerada um empurrão ou puxão exercido por um corpo sobre o outro Caracterizada por sua intensidade direção e ponto de aplicação No SI em Newton N Prefixos usados no Sistema Internacional de Unidades Ponto material possui massa porém suas dimensões são desprezíveis Corpo rígido possui massa e suas dimensões não são desprezíveis Idealizações Planeta Terra em relação ao Sol a Terra será tratada como corpo rígido Planeta Terra em relação ao Universo a Terra será tratada como um ponto material Ponto material possui massa porém suas dimensões são desprezíveis Por exemplo para treliças o nó é tratado como ponto material Corpo rígido possui massa e suas dimensões não são desprezíveis Por exemplo uma viga é tratada como um corpo rígido Por exemplo olhando para treliça como um todo ela é tratada como um corpo rígido Essas leis se aplicam ao movimento do ponto material medido a partir de um sistema de referência não acelerado Primeira Lei Um ponto material inicialmente em repouso ou movendose em linha reta com velocidade constante permanece nesse estado desde que não seja submetido a uma força desequilibrada As três Leis de Newton Segunda Lei Um ponto material sob a ação de uma força desequilibrada 𝑭 sofre uma aceleração 𝒂 que tem a mesma direção da força e grandeza diretamente proporcional a ele Se 𝑭 for aplicada a um ponto material de massa 𝒎 essa lei pode ser expressa matematicamente por 𝑭 𝒎𝒂 Força Peso Quaisquer dois pontos materiais ou corpos têm uma força de atração mútua gravitacional que atua entre eles Entretanto no caso de um ponto material localizada sobre a superfície da Terra ou próxima dela a única força de gravidade com intensidade mensurável é aquela entre a Terra e o ponto material Essa força é denominada peso 𝑾 𝑾 𝒎𝒈 Onde 𝒎 é a massa e 𝒈 é a aceleração da gravidade que vale aproximadamente 980665 ms² Terceira Lei As forças mútuas de ação e reação entre dois pontos materiais são iguais opostas e colineares Quando eu aplico uma força na parede minha mão dói porque a parede devolve a força com a mesma intensidade mesma direção porém sentido contrário O contato entre o pilar e a viga vai me dar um par ação reação Força concentrada carga atuando em um ponto do corpo a área sobre a qual a carga é aplicada é pequena comparada às dimensões totais do corpo Exemplo Força concentrada dada em Newton N Tipos de carregamento V2 RV3 Força distribuída várias cargas atuando ao longo do corpo Exemplo Quantidade de força por metros Nm Força Resultante da Carga Distribuída Intensidade área abaixo da curva 𝐹𝑅 න 𝐿 𝑤 𝑥 𝑑𝑥 න 𝐴 𝑑𝐴 𝐴 Localização posição do centro de gravidade da área abaixo da curva ҧ𝑥 𝐿 𝑥𝑤 𝑥 𝑑𝑥 𝐿 𝑤 𝑥 𝑑𝑥 𝐴 𝑥𝑑𝐴 𝐴 𝑑𝐴 Carga distribuída constante Carga distribuída triangular linear Exemplo 𝐹𝑅 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 8𝑚 25 𝐾𝑁 𝑚 200 𝐾𝑁 Localizada no CG à 4 m dos apoios 𝐹𝑅 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 91440 2 6480 𝐾𝑁 Localizada no CG à 3 m do apoio da direita O momento de uma força em relação a um ponto ou a um eixo fornece uma medida da tendência dessa força de provocar a rotação de um corpo em torno do ponto ou do eixo Momento de uma força 𝑀 𝐹 𝑑 Cada um está localizado em um eixo Temos 3 eixos x y e z 𝑀 𝐹 e 𝑑 são ortogonais 𝑀 𝐹 𝑑 z x y Momento é um vetor Intensidade 𝑀 𝐹 𝑑 Direção eixo z Sentido antihorário Observe que o eixo do momento 𝑧 é perpendicular ao plano sombreado 𝑥 𝑦 o qual contém tanto 𝐹𝑥 quanto 𝑑𝑦 e que intercepta o plano no ponto O Generalizando o momento 𝑀𝑜 em relação ao ponto O ou ainda em relação a um eixo que passa por O perpendicularmente ao plano é uma quantidade vetorial uma vez que depende de sua intensidade ou módulo direção e sentido para ser determinado INTENSIDADE 𝑀0 𝐹𝑑 Onde 𝑑 é denominado braço do momento e é a distância perpendicular do ponto O até a linha de ação da força Observe que na figura a a força é perpendicular ao eixo y na figura b a força é obliqua ao eixo y e na figura c a força está no eixo y DIREÇÃO E SENTIDO Regra da mão direita Tem que usar a mão direita Polegar aponta paralelo para o eixo de rotação Posiciono a minha mão de acordo com o sentido da força Os demais dedos apontam para o sentido de rotação MOMENTO RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS COPLANARES 𝑀𝑅0 𝐹𝑑 Por convenção a seta indicada no sentido antihorário dessa equação significa que o momento de qualquer força será positivo se apontar ao longo do eixo 𝑧 e negativo se estiver direcionado ao longo do eixo 𝑧 1 Determine os momentos da força de 800N em relação aos pontos A B C e D Exemplo 𝑀 𝐹 𝑑 𝑀𝐴 800 25 2000 𝑁𝑚 sentido horário 𝑀𝐵 800 15 1200 𝑁𝑚 sentido horário 𝑀𝐶 800 0 0 𝑀𝐷 800 05 400 𝑁𝑚 sentido antihorário Momento fletor Momento torçor Força cortante Força normal Esforços Deformações associadas aos esforços Um corpo encontrase em equilíbrio estático se estiver em repouso 𝑭𝒙 𝟎 𝑭𝒚 𝟎 Equilíbrio Estático 𝑭𝒙 𝟎 𝑭𝒚 𝟎 𝑴𝒛 𝟎 𝐹𝑥 0 𝐹1𝑥 𝐹2𝑥 𝐹3𝑥 𝐹4𝑥 0 𝐹𝑦 0 𝐹1𝑦 𝐹2𝑦 𝐹3𝑦 𝐹4𝑦 0 𝐹𝑥 0 não há forças em x 𝐹𝑦 0 𝐹1 𝐹2 𝑅 0 𝑀 0 𝑀𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 0 𝐹1𝑑1 𝐹2𝑑2 0 𝑭𝟏 𝑭𝟐 𝑹 𝒅𝟏 𝒅𝟐 Para aplicarmos a equação de equilíbrio devemos fazer o Diagrama de Corpo Livre ou seja um esboço que mostra o corpo livre de seu entorno com todas as forças que atuam sobre ele conhecidas e desconhecidas Diagrama de corpo livre para uma das barra de apoio da placa Para a iésima partícula de um corpo rígido há duas forças que atuam na partícula esforços externos que representa por exemplo os efeitos das forças gravitacional elétrica magnética ou das forças de contato entre a iésima partícula e os corpos ou partículas vizinhos não incluídos no corpo esforços internos resultante que são provocado pela interação com as partículas adjacentes Equilíbrio dos corpos rígidos Esforços externos Reação de apoio Carregamento força distribuída força pontual momento aplicado Tipos de movimento Rotação girar o corpo sentido horário e antihorário Translação deslocar o corpo de lugar para cima para baixo para esquerda para direita Apoio serve para impedir movimentos Tipos de apoio no plano Móvel impede translação em 1 direção apenas Fixo impede translação em 2 direções Engaste impede translação em 2 direções e a rotação REAÇÕES DE APOIO EM VIGAS Como regra geral se um apoio impede a translação de um corpo em dada direção então uma força é desenvolvida sobre o corpo naquela direção para impedir esse movimento no ponto do apoio Da mesma forma se a rotação é impedida um momento é aplicado sobre o corpo para impedir este movimento no ponto do apoio Apoio móvel rolete ou apoio de primeiro gênero impede o movimento de translação em 1 direção Apoio fixo pino ou apoio de segundo gênero impede o movimento de translação em 2 direções Engaste ou apoio de terceiro gênero impede o movimento de translação em 2 direções e o movimento de rotação em 1 direção Estaticidade é o corpo ter estabilidade não se movimenta Para um corpo ter estabilidade é necessário que ele esteja impedido de se deslocar em pelo menos um ponto na horizontal e dois pontos na vertical ou dois pontos na horizontal e um ponto na vertical Equilíbrio Dizer que um corpo está em equilíbrio estático significa que ele não pode mover e nem girar ou seja ele está em repouso As condições para o equilíbrio em duas dimensões são ൞ 𝐹𝑦 0 𝐹𝑥 0 𝑀𝑧 0 2 Determine os componentes horizontal e vertical da reação para a viga carregada como mostrado na Figura Despreze o peso da viga em seus cálculos Exemplos 𝑨𝒚 𝑩𝒚 𝑩𝒙 600 N Cat Adj 𝐹𝑥 Cat Op 𝐹𝑦 sin 𝛼 𝑐𝑎𝑡𝑜𝑝 ℎ𝑖𝑝 𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝 sin 𝛼 ℎ𝑖𝑝 cos 𝛼 𝑐𝑎𝑡𝑎𝑑𝑗 ℎ𝑖𝑝 𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑗 cos 𝛼 ℎ𝑖𝑝 600 sin 45 42426 N 600 cos 45 42426 N Equações de equilíbrio 𝑀𝐵 0 𝐴𝑦 7 42426 5 100 2 0 𝐴𝑦 3316 𝑁 para cima 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 42426 100 200 𝐵𝑦 0 𝐵𝑦 3927 𝑁 para cima 𝐹𝑥 0 42426 𝐵𝑥 0 𝐵𝑥 42426 𝑁 para esquerda O sentido das forças de reação eu chuto A direção é de acordo com o apoio Positivo nas respostas significa que o sentido que eu adotei inicialmente está certo Estratégia para aplicar o momento escolho o ponto onde tenho mais forças como incógnita porque sei que neste ponto estas forças não geram momento desta forma tenho uma equação com apenas 1 incógnita 3 A haste mostrada na Figura é conectada por um pino em A e sua extremidade B tem o movimento limitado pelo apoio liso em B Calcule os componentes horizontal e vertical da reação no pino A Ay Ax O corpo está em equilíbrio 𝑀𝐴 0 𝐵 075 60 1 90 0 𝐵 200𝑁 𝐹𝑥 0 173205 𝐴𝑥 0 𝐴𝑥 173205 𝑁 𝐹𝑦 0 100 𝐴𝑦 60 0 𝐴𝑦 160 𝑁 B200N 𝐵𝑥 𝑐𝑜𝑠30 200 173205 𝑁 𝐵𝑦 𝑠𝑒𝑛30 200 100𝑁 30 60 4 Determine os componentes horizontal e vertical da reação para a viga carregada como mostrado na Figura A viga tem massa de 100 Kg Peso da viga W 𝑚 𝑔 100 10 1000 𝑁 𝑊 1000 𝑁 O corpo está em equilíbrio 𝑀𝐴 0 𝑀0 1200 2 1000 3 0 𝑀0 5400 𝑁𝑚 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 0 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 1200 1000 0 𝐴𝑦 2200 𝑁 3 m 𝑨𝒚 𝑨𝒙 𝑴𝟎 Obs 𝑀𝐷 0 𝑀0 𝐴𝑦 6 1200 4 1000 3 0 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 0 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 1200 1000 0 Note que se aplicar o momento no ponto D será necessário primeiro calcular o valor de 𝐴𝑦 para substituir na equação 𝑀𝐷 0 e obter 𝑀0 O sistema fica mais simples se o momento for aplicado em A ponto em que temos a maior quantidade de incógnitas 𝐴𝑥 𝐴𝑦 e 𝑀0 Aplicando o momento no ponto A 𝐴𝑥 e 𝐴𝑦 não geram momento em A assim temos a equação 𝑀𝐷 0 com apenas uma incógnita 𝑀0 Apoio em A engaste Significa que o ponto A não irá deslocar na vertical força de reação na vertical e não se desloca na horizontal força de reação na horizontal e não rotaciona em torno do eixo z momento de reação Classificação Isostática é quando o número de apoios vínculos é o suficiente para dar estabilidade Isso ocorre quando o número de equações é igual ao número de reações e tem estabilidade Hipostática é quando o corpo não tem estabilidade Isso ocorre quando o número de apoios é menor que o número de equações ou o corpo não tem estabilidade Hiperestática é quando o número de apoios vínculos é maior que a quantidade suficiente para dar estabilidade Isso ocorre quando o número de apoios é maior que o número de equações e o corpo possui estabilidade Tem estabilidade Isostática Hiperestática Não tem estabilidade Hipostática Exemplo de estruturas isostática Viga biapoiada com e sem balanço temos 3 reações de apoio temos 3 equações de equilíbrio O número de incógnitas é igual ao número de equações logo temos um sistema determinada ou seja o sistema tem solução Além disso essa viga tem estabilidade Logo ela é isostática Viga engastada e livre temos 3 reações de apoio temos 3 equações de equilíbrio O número de incógnitas é igual ao número de equações logo temos um sistema determinada ou seja o sistema tem solução Além disso essa viga tem estabilidade Logo ela é isostática Observa que temos 2 apoios móveis então temos 2 forças de reação Como o número de reação é menor que o número de equações essa viga é hipostática Observa que temos 3 apoios móveis então temos 3 forças de reação O número de reação é igual ao número de equações porém essa viga é instável qualquer força na horizontal desloca ela por isso essa viga é hipostática Exemplos de quando não temos vigas isostáticas Observa que temos 2 apoios fixos então temos 4 forças de reação Como o número de reação é maior que o número de equações e tem estabilidade essa viga é hiperestática Temos que Isostática número de reações de apoio número de equações Hiperestática número de reações de apoio número de equações Hipostática número de reações de apoio número de equações Nem sempre a estrutura tem estabilidade quando o número de reações de apoio número de equações Quando a estrutura não estabilidade ela será hipostática