Variável Aleatoria Continua

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE CATALÃO Instituto de Matemática e Tecnologia Profa Layane Rodrigues de Souza de Queiroz Avidade Avaliava de Elementos de Probabilidade e Esta3sca Aluno a Matrícula A a1vidade avalia1va é INDIVIDUAL Todas as questões devem ser jus1ficadas A ausência desta implicará em ZERO Deve ser anexado o arquivo em pdf com as repostas no SIGAA até terça feira 270224 às 2359h Não serão aceitos trabalhos enviados por email ou após datahora limite 1 Uma variável aleatória X tem distribuição no intervalo 02 se sua fdp for dada por 𝑓𝑥 0 𝑠𝑒 𝑥 0 𝐶𝑥 𝑠𝑒 0 𝑥 1 𝐶1 𝑥𝑠𝑒 1 𝑥 2 0 𝑠𝑒 𝑥 2 a Valor 10 Qual valor deve ter a constante C b Valor 10 Faça o gráfico de f x c Valor 10 Determine 𝑃𝑋 12 𝑃𝑋 12 e 𝑃14 𝑋 34 d Valor 10 Calcule a esperança a variância e a fda da variável aleatória X 2 As alturas dos alunos de determinada escola são normalmente distribuídas com média 160 m e desviopadrão 030 m Encontre a probabilidade de um aluno medir a Valor 10 entre 150 e 180 m b Valor 10 menos de 148 m c Valor 10 Qual deve ser a medida mínima para escolhermos 10 dos mais altos 3 As vendas de gasolina num depósito de atacado acusam a média de 40000 galões diários com um mínimo de 30000 galões Supondo adequada a distribuição uniforme a Valor 10 Determine a venda diária máxima b Valor 10 Qual a percentagem do número de dias em que a venda excede 34000 galões 4 Valor 10 Um produto pesa em média 10 g com desviopadrão de 2 g É embalado em caixas com 50 unidades Sabese que as caixas vazias pesam 500 g com desviopadrão de 25 g Admitindose uma distribuição normal dos pesos e independência entre as variáveis dos pesos do produto e da caixa calcular a probabilidade de uma caixa cheia pesar mais de 1050 g Questão 01 a Qual o valor da constante C Vamos calcular a integral da fdp fx no intervalo 02 e igualála a 1 para encontrar o valor de C 0² fx dx 1 0¹ Cx dx 1² C 1x dx 1 Cx²20¹ Cx x²21² 1 C2 C2 32 C1 12 1 C2 C2 1 C C 1 2C 1 C 12 b c fx 0 se x 0 Cx se 0 x 1 C1x se 1 x 3 0 se x 3 Lembrando que C 12 i PX 12 PX 12 0¹2 12 x dx PX 12 14 x² 12 0 PX 12 14 12² PX 12 14 14 PX 12 116 ii PX 12 PX 12 1 PX 12 PX 12 1 116 PX 12 1516 iii P14 X 34 P14 X 34 14³4 12 x dx 14³4 12 1x dx P14 X 34 14 x²14³4 12 x 14 x²14³4 P14 X 34 14 34² 14 14² 12 34 12 14 P14 X 34 916 164 38 18 P14 X 34 5164 d Esperança μ μ x fx dx Variância σ² x μ² fx dx Para 0 x 1 0¹ x Cx dx C x³30¹ C 13 613 Para 1 x 3 ¹³ x C 1x dx C ¹³ x x² dx C x²2 x³3¹³ C 92 3 12 13 C 43 Esperança μ μ xfx dx 01 xCx dx 13 xC1x dx C3 C56 C3 4C3 3C 12C 6 5C 3 Variação σ² σ² xμ²fx dx 01 x 4C3²Cx dx 13 x 4C3²C1x dx 01 x 4C3²Cx dx 13 x 4C3²C1x dx 01 x³ 83 x² 169 x dx 13 x³ 83 x² 169 x dx 14 23 827 14 23 1627 118 Questão 02 a Este problema pode ser resolvido utilizando a Tabela de Distribuição Normal Padrão em anexo Sendo Z X μ onde μ é a média e σ é o desviopadrão Para determinar a probabilidade de um aluno medir entre 150 e 180 m vamos padronizar ambos as alturas Z1 150 160 030 133 Z2 180 160 030 067 Logo consultando a Tabela temos P150 X 180 PZ1 Z Z2 P033 Z 067 01293 024857 03779 3779 A probabilidade de um aluno medir 150 e 180 m é de 3779 Questão 03 Vamos usar a Distribuição Uniforme Sendo o mínimo 30000 galões e a média é 40000 galões vamos usar essa informação para determinar o valor máximo a A média da distribuição uniforme μ é dada por μ a b 2 sendo μ 40000 e a 30000 40000 30000 b 2 80000 30000 b b 50000 A venda diária máxima é de 50000 galões b A porcentagem de dias em que a venda excede 34000 galões é a probabilidade PX 34000 PX 34000 b 34000 b a PX 34000 50000 34000 50000 30000 08 A venda excede 34000 galões em 80 dos dias BEST FRIENDS Forever Ilustração 04 Para calcular a probabilidade de uma caixa cheia pesar mais de 1050 g precisamos considerar a distribuição normal dos pesos e usar a propriedade de soma de variáveis aleatórias independentes Temos os seguintes dados X 10 g 2g peso de um produto individual y 500 g 25 g peso de uma caixa vazia Z peso total de uma caixa cheia com 50 produtos Podemos então calcular a média e o desviopadrão de Z Peso médio caixa cheia µ 5010 500 1000 Desviopadrão caixa cheia σ 502²25² σ 825 2872 Calculando o valor de Z para X 1050 g Z X μ σ 10501000 2872 174 Procurando em uma Tabela de Distribuição Normal Padrão em Anexo temos que PX 1050 PZ 174 05 P0 Z 174 PZ 174 05 045907 004093 4093