Isostatica e Sistemas de Vetores - Apresentacao Power Point para Engenharia Civil

Isostática Artur Portela UnB Departamento de Engenharia Civil e Ambiental Sistemas de Vetores Grandezas vetoriais Elementos de redução Condições de equilíbrio Sistemas distribuídos Sistemas de Vetores Grandezas vetoriais Elementos de redução Condições de equilíbrio Sistemas distribuídos Projeto de Estruturas Concepção Geral da Estrutura definir tipo e geometria finalidade materiais e recursos disponíveis Definição das Ações Normas técnicas brasileiras definem e quantificam as ações a considerar PréDimensionamento definir dimensões dos elementos estruturais experiência e sensibilidade do projetista Resposta Verificação da Segurança da estrutura às ações definidas Normas técnicas brasileiras estabelecem os critérios para a verificação da segurança Ações e segurança ABNT NBR 8681 Ação do vento ABNT NBR 6123 Ação dos sismos ABNT NBR 15421 Ações nas Estruturas Uma ação é qualquer causa capaz de provocar tensões ou deformações na estrutura NBR 86812004 São exemplos de ações nas estruturas o vento as variações de temperatura o peso próprio dos elementos da estrutura o peso dos equipamentos os sismos etç Ação do veículo sobre a ponte Ação do vento sobre as edificações Ação dos sismos sobre as edificações Ações nas Estruturas As ações a serem consideradas no projeto das estruturas NBR 86812004 podem ser Permanentes peso próprio e dos equipamentos Variáveis cargas de serviço térmicas vento e sismos Excepcionais explosões choques incêndios Independentemente da sua classificação todas as ações são assimiláveis a forças que se representam por sistemas de vetores Ações nas estruturas Forma de atuação das forças sistemas de vetores nas estruturas forças concentradas e distribuídas Sistemas de Vetores Grandezas básicas da Física Grandeza escalar definese só com módulo ou intensidade e representase por um valor algébrico Exemplos massa comprimento tempo temperatura Grandeza vetorial definese com módulo direção sentido e ponto de aplicação Requer um referencial Exemplos força deslocamento Grandeza tensorial é uma generalização do conceito de grandeza vetorial Exemplos tensor de inércia das tensões das deformações x y z referencial direção sentido módulo ponto de aplicação Grandezas Vetoriais Para o estudo da Isostática consideramse as seguintes grandezas vetoriais que serão analisadas em seguida Vetor Representa a intensidade direção e sentido de uma força aplicada sobre um corpo Momento Representa o efeito de rotação produzido por um vetor em relação a um ponto Binário Representa um par de vetores com a mesma intensidade sentidos opostos e linhas de ação paralelas que causam apenas rotação Vetor Quanto à sua origem os vetores podem ser Vetor livre definido com módulo direção e sentido o ponto de aplicação é arbitrário Vetor deslizante cursor definido com módulo direção e sentido o ponto de aplicação é arbitrado sobre a linha de ação Usase na representação das cargas atuantes nas estruturas Vetor fixo são fixos todos os parâmetros do vetor linha de ação direção Vetor Quanto à forma os vetores podem ser Coplanares estão no mesmo plano Concorrentes as linhas de ação têm um ponto comum Colineares têm a mesma linha de ação Vetor Quais os movimentos ações mecânicas que se podem associar a um vetor Um vetor tem capacidade de efetuar movimentos de Translação na direção e sentido do vetor Rotação em relação a qualquer ponto que esteja fora da linha de ação do vetor Exemplos dos movimentos associados a um vetor ações mecânicas Translação na direção e sentido do vetor Rotação em relação a um ponto fora da linha de ação do vetor Vetor Graus de Liberdade Graus de liberdade de uma estrutura são os movimentos independentes que ela pode ter no espaço ou no plano Vetor No plano quais os movimentos ações que se podem definir com um vetor Como o plano tem 3 graus de liberdade podem definirse os seguintes 3 movimentos 2 translações relativas às componentes do vetor 1 rotação relativa a qualquer ponto do plano fora da linha de ação do vetor Momento Momento MO vetor fixo que traduz a capacidade de rotação dum vetor em relação ao ponto O definese por um produto externo ou vetorial x y z Módulo MO r F F r sin θ F d Direção regra da mão direita ou regra do saca rolhas r vetor posição de um ponto qq da linha de ação de F d braço do vetor F para fora para dentro Convenção MO r F F r sin θ F d F d r sin θ r O MO Momento Produto externo ou vetorial Regra da Mão Direita C A B para fora para dentro Convenção A B C Apontador Médio Resultado Polegar C A Bpara fora Regra do Saca Rolhas com a direção de C tem o sentido da progressão do saca rolhas quando roda de A para B Momento Exemplos d r sin θ F r MO r F O x y z Momento Exemplos d r sin θ F r MO r F O x y z Momento Exemplos d r sin θ F r MO r F O x y z Quais as forças que fazem momento no ponto O y x O F1 F2 F3 d1 d2 Momento Representações do momento No plano para o vetor posição r e o vetor F usase o vetor curvo e no espaço usase o vetor duplo r F MO O Momento Binário ou Conjugado Binário ou conjugado MP vetor livre que traduz o momento de 2 forças paralelas F não colineares com o mesmo módulo e sentidos opostos em qualquer ponto P MP Fda Fa Fd P ponto arbitrário d braço do binário x y z a d da P MP F F Binário ou Conjugado Exemplo Ações de um vetor Ações de um vetor em relação a um ponto translação na direção e sentido do vetor e rotação desde que o ponto esteja fora da linha de ação do vetor Vetor Binário Vetor e Momento Adicionar 2 vetores iguais e opostos em B Vetor Ações de FA em B 1 2 1 2 Resumo Todas as ações aplicadas nas estruturas representamse por sistemas de vetores As ações de um vetor são a capacidade de representar movimentos de Translação na direção e sentido do vetor Rotação em relação a qualquer ponto que esteja fora da linha de ação do vetor momento vetor fixo Um binário é um vetor momento vetor livre que só tem capacidade de rotação Graus de liberdade de uma estrutura são os movimentos que ela pode ter no espaço ou no plano Elementos de Redução de um sistema de vetores num ponto Elementos de redução Elementos de redução de um sistema de vetores num ponto são as grandezas vetoriais que traduzem as ações que o sistema de vetores tem nesse ponto isto é a capacidade de translação e de rotação Vetor Resultante capacidade de translação Momento Resultante capacidade de rotação p A B l x3 x2 x1 p d x2 x1 x3 Elementos de redução ações de FA em B Elementos de redução Num ponto O um sistema de vetores Fi tem como elementos de redução Vetor Resultante vetor livre dado pela soma dos vetores do sistema Momento Resultante vetor fixo dado pela soma dos momentos dos vetores do sistema RO Σ Fi MO Σ ri Fi Significado físico RO ação de translação MO ação de rotação rn r2 r1 O RO MO F1 F2 Fn x y z RO Σ Fi MO Σ ri Fi Elementos de redução Dois sistemas de vetores dizemse equipolentes ou estaticamente equivalentes num ponto quando têm as mesmos elementos de redução ações nesse ponto Consequentemente um sistema de vetores é estaticamente equivalente aos seus elementos de redução em qualquer ponto têm as mesmas capacidades de ação rn r2 r1 O RO MO F1 F2 Fn x y z RO Σ Fi e MO Σ ri Fi Elementos de redução Quais são os elementos de redução de um sistema de vetores coplanar num ponto desse plano Um vetor 2 componentes e um momento que correspondem aos 3 graus de liberdade do plano Quais os elementos de redução de um sistema constituído por um único vetor num ponto colinear e num ponto não colinear Quais os elementos de redução de um sistema constituído por um binário num ponto Quais os elementos de redução de um sistema constituído por um momento num ponto Exemplo calcular os os elementos de redução da força P nos pontos A B C e D Exemplo calcular os os elementos de redução da força P nos pontos A B C e D Exemplo Determine os elementos de redução do sistema de vetores momento M nos pontos A e C Exemplo Determine os elementos de redução do sistema de vetores momento M nos pontos A e C Exemplo Determine os elementos de redução do sistema de vetores momento M nos pontos A e C Exemplo Em que condições os dois sistemas de forças são estaticamente equivalentes Como se chamam estes sistemas de forças Exemplo Em que condições os dois sistemas de forças são estaticamente equivalentes Como se chamam estes sistemas de forças Resumo As cargas aplicadas nas estruturas representamse por sistemas de vetoresgrandezas vetores momentos e binários As ações de um vetor são a capacidade de efetuar movimentos de Translação na direção e sentido do vetor Rotação em relação a um ponto fora da linha de ação do vetor Elementos de redução de um sistema de vetores num ponto são as grandezas vetoriais que traduzem as ações que o sistema de vetores tem nesse ponto Vetor Resultante capacidade de translação Momento Resultante capacidade de rotação Resumo Um sistema de vetores é estaticamente equivalente aos seus elementos de redução em qualquer ponto têm as mesmas capacidades de ação nesse ponto Graus de liberdade de uma estrutura são os movimentos que ela pode definir no espaço ou no plano RO ação de translação MO ação de rotação rn r2 r1 O RO MO F1 F2 Fn x y z RO Σ Fi MO Σ ri Fi Sistemas de Vetores Grandezas vetoriais Elementos de redução Condições de equilíbrio Sistemas distribuídos Isostática Muito obrigado pela atenção LIKE Isostática Esforços Cortantes e Momentos Fletores Artur Portela UnB Departamento de Engenharia Civil e Ambiental Sistemas de Vetores Grandezas vetoriais Elementos de redução Condições de equilíbrio Sistemas distribuídos Resumo As ações aplicadas nas estruturas representamse por sistemas de vetores elementos vetores momentos e binários As ações de um vetor são a sua capacidade de efetuar movimentos de Translação na direção e sentido do vetor Rotação em relação a um ponto fora da linha de ação do vetor Elementos de redução de um sistema de vetores num ponto são os elementos vetoriais que traduzem as ações do sistema de vetores nesse ponto Vetor Resultante capacidade de translação Momento Resultante capacidade de rotação Resumo Um sistema de vetores é estaticamente equivalente aos seus elementos de redução em qualquer ponto têm as mesmas ações nesse ponto Graus de liberdade de uma estrutura são os movimentos que ela pode definir no espaço ou no plano de referência RO ação de translação MO ação de rotação rn r2 r1 O RO MO F1 F2 Fn x y z RO Σ Fi MO Σ ri Fi Condições de equilíbrio A noção de equilíbrio estático está ligada à ausência de movimento repouso ou velocidade constante0 Então as condições de equilíbrio de um sistema de vetores terão que ser o anulamento dos seus elementos de redução ou seja da sua capacidade de translação e de rotação Condições de equilíbrio Num ponto arbitrário O um sistema de vetores Fi tem como elementos de redução Vetor Resultante vetor livre dado pela soma dos vetores do sistema Momento Resultante vetor fixo dado pela soma dos momentos dos vetores do sistema RO Σ Fi MO Σ ri Fi F1 F2 Fn rn r2 r1 O RO MO x y z Significado físico RO ação de translação MO ação de rotação Condições de equilíbrio Num outro ponto P o mesmo sistema de vetores Fi tem como elementos de redução Vetor Resultante vetor livre dado pela soma dos vetores do sistema Momento Resultante vetor fixo dado pela soma dos momentos dos vetores do sistema RP Σ Fi RO MP Σ ri Fi MO PO RO Notar que os 3 sistemas são estaticamente equivalentes rn r2 r1 O RO MO F1 F2 Fn x y z RO Σ Fi e MO Σ ri Fi P RP MP PO RP RO e MP MO PO RO Condições de equilíbrio Assim verificase que se os elementos de redução forem nulos num ponto O então são nulos em qualquer outro ponto P e o sistema de vetores Fi está em equilíbrio RO 0 e MO 0 RP 0 e MP 0 RP RO 0 visto que MP MO PO RO 0 e ainda rn r2 r1 O RO MO F1 F2 Fn x y z RO Σ Fi e MO Σ ri Fi P RP MP PO RP RO e MP MO PO RO Sistema sem capacidade de movimento Equilíbrio Notar que os 3 sistemas são estaticamente equivalentes Condições de equilíbrio Então para se estabelecer as condições de equilíbrio dum sistema de vetores basta impôr que em qualquer ponto do espaço os elementos de redução do sitema de vetores se anulem isto eque se verifiquem as equações vetoriais que significam que em equilíbrio um sistema de vetores não tem capacidade de movimento isto é são nulas todas as ações de translação R0 e de rotação M 0 R 0 e M 0 Condições de equilíbrio No plano a estrutura tem 3 graus de liberdade translações segundo x e y e rotação em torno de z As equações de equilíbrio são 3 projeção das equações vetoriais nos eixos coordenados e representam o anulamento dos respectivos graus de liberdade R 0 Rx Σ Fix 0 Ry Σ Fiy 0 M 0 MzΣxiFiyyiFixΣMiz 0 xi yi coordenadas de um ponto qualquer da linha de acção de Fi x y z Anulamento translações Anulamento rotações Condições de equilíbrio No espaço um corpo tem 6 graus de liberdade translações segundo os 3 eixos e rotações em torno dos 3 eixos As equações de equilíbrio são 6 projeção das equações vetoriais nos eixos coordenados e representam o anulamento dos respectivos graus de liberdade R 0 Rx Σ Fx 0 Ry Σ Fy 0 Rz Σ Fz 0 M 0 MxΣyiFizziFiyΣMix 0 MyΣziFixxiFizΣMiy 0 MzΣxiFiyyiFixΣMiz 0 x y z xi yi coordenadas de um ponto qualquer da linha de acção de Fi Anulamento das translações Anulamento das rotações Condições de equilíbrio Nota as equações de equilíbrio de translação R0 podem ser substituídas se conveniente por equações de equilíbrio de rotação desde que todas as equações sejam linearmente independentes No plano s t podem usarse as seguintes 3 equações em alternativa ao caso geral Se a direcção de AB não é prependicular à direção s de proj Se os pontos A B e C não são colineares Rs 0 MA 0 MB 0 MC 0 MA 0 MB 0 s A B F1 F2 F3 A B F1 F2 F3 C Rs 0 Rt 0 MB 0 Rs 0 Rt 0 MC 0 Resumo Condições de equilíbrio um sistema de vetores está em equilíbrio se forem nulos os seus elementos de redução em qualquer ponto o sistema não tem capacidade de movimento isto é são nulas as ações de translação R0 e de rotação M 0 em qualquer ponto No plano As equações de equilíbrio são 3 e representam o anulamento dos respectivos graus de liberdade da estrutura translações segundo os eixos x e y e rotação em torno de z Sistemas Distribuídos Sistemas distribuídos Sistema de vetores distribuídos Sistemas distribuídos Só para efeitos de equilíbrio os sistemas distribuídos podem ser substituídos pelos seus elementos de redução num ponto qualquer lembrar que são estaticamente equivalentes F1 F2 Fn rn r2 r1 O RO MO x y z Sistemas distribuídos No caso particular desse ponto ser o centróide da distribuição mostrase que o momento resultante do sistema distribuído é nulo nesse ponto Centróide C de um objeto é o centro geométrico da respectiva forma do objeto V V dV V r dV V G com 1 Youtube centróide1 Youtube centróide2 Sistemas distribuídos Elementos de redução vetor e momento resultantes do sistema de vetores distribuídos wx no ponto O W dW 0 L ò wdx 0 L ò dA 0 L ò A Vetor resultante Momento resultante em O M dM 0 L ò x dW 0 L ò xw dx 0 L ò Linha de carga wx Carga elementar dW w dx dA Momento elementar em O dM x dW x w dx Sistemas distribuídos Exemplo elementos de redução do sistema de vetores triangular nos pontos A B e C centróide do triângulo l a Linha de carga p a x l x y A B b 2 l 3 R x y R a l 2 área do diagrama R R R MA MB MA a l2 3 R 2 l 3 MBR l MA a l2 6 R l 3 R vetor resultante no centróide o momento é nulo M dM 0 l ò xp dx 0 l ò R dA 0 l ò A vetor livre vetor fixo A A B C MC MA R 2 l 3 0 MC MB R l 3 0 Sistemas distribuídos Cálculo da abcissa do centróide do sistema de vetores distribuído W dW 0 L ò wdx 0 L ò dA 0 L ò A Vetor resultante M dM 0 L ò xdw 0 L ò xW x x dw 0 L ò W Momento da carga distribuída momento da resultante Momento resultante em O Sistemas distribuídos Exemplo calcular a abcissa b do centróide do sistema de cargas triangular l a p a x l x y x y R a l 2 área de carga b 2 l 3 centróide bR xp dx a 0 l ò l2 3 b 2 l 3 Momento da resultante Momento da carga Sistemas distribuídos Importante a resultante duma carga distribuída é sempre igual à área do diagrama de carga Sistemas distribuídos Exemplo cálculo da resultante F do sistema distribuído no centróide Vetor resultante F Momento em A 18 0 kN F kN 18 63 kN m X m 53 X 6m m N 2 4500 1500 F XF åXi Fi åXi Ai 63 Dist Centróide Sistemas distribuídos Exemplo cálcular a resultante F do sistema de vetores distribuído no centróide da distribuição Sistemas distribuídos Youtube httpswwwyoutubecomwatchvXrpGn2QVrT0listPLLbvVfERDon1pceRKOjAxiqFTEvghmZKhindex17 httpswwwyoutubecomwatchvXrpGn2QVrT0listPLLbv VfERDon1pceRKOjAxiqFTEvghmZKhindex17 Sistemas de vetores distribídos Exemplo Determine os elementos de redução do sistema de forças distribuídas nos pontos A B e C px 100 Nm 3m 3m Exemplo Determine os elementos de redução do sistema de forças distribuídas nos pontos A B e C Exemplo Determine os elementos de redução do sistema de forças distribuídas nos pontos A B e C Exemplo Determine os elementos de redução do sistema de forças distribuídas nos pontos A B e C Exemplo Determine os elementos de redução do sistema de forças distribuídas nos pontos A B e C Exemplo Determine os elementos de redução do sistema de forças distribuídas nos pontos A B e C Exemplo Determine os elementos de redução do sistema de forças da figura nos pontos A e B 30 kN p₀ 20 kNm q₀ 20 kNm 2m 7m 2m 3m Exemplo Decompor o sistema de densidade de distribuição p na soma dos sistemas distribuídos com densidades t e n Sistema de densidade de distribuição t Sistema de densidade de distribuição n Resumo As ações aplicadas nas estruturas representamse por sistemas de vetores elementos vetores momentos e binários As ações de um vetor são a sua capacidade de efetuar movimentos de Translação na direção e sentido do vetor Rotação em relação a um ponto fora da linha de ação do vetor Elementos de redução de um sistema de vetores num ponto são os elementos vetoriais que traduzem as ações que o sistema de vetores tem nesse ponto Vetor Resultante capacidade de translação Momento Resultante capacidade de rotação Resumo Um sistema de vetores é estaticamente equivalente aos seus elementos de redução em qualquer ponto têm as mesmas ações nesse ponto Graus de liberdade de uma estrutura são os movimentos que ela pode definir no espaço ou no plano RO ação de translação MO ação de rotação rn r2 r1 O RO MO F1 F2 Fn x y z RO Σ Fi MO Σ ri Fi Resumo Condições de equilíbrio anulamento dos elementos de redução em qualquer ponto isto é são nulas as ações de translação R0 e de rotação M 0 em qualquer ponto No plano As equações de equilíbrio são 3 e representam o anulamento dos respectivos graus de liberdade da estrutura translações segundo os eixos x e y e rotação em torno de z R 0 Rx Σ Fix 0 Ry Σ Fiy 0 M 0 MzΣxiFiyyiFixΣMiz 0 xi yi coordenadas de um ponto qualquer da linha de acção de Fi x y z Anulamento translações Anulamento rotações Resumo Só para efeitos de equilíbrio os sistemas distribuídos podem ser substituídos pelos seus elementos de redução num ponto qualquer lembrar que são estaticamente equivalentes Se o ponto for o centróide da distribuição o momento resultante do sistema distribuído é nulo F1 F2 Fn rn r2 r1 O RO MO x y z Estruturas Reticuladas Equilíbrio e Estabilidade Cálculo de reações l p l 2 P pl l 2 l 2 2l 3 P l 3 P x y z Isostática Muito obrigado pela atenção LIKE