Isostatica - Esforcos Cortantes e Momentos Fletores - UnB

Isostática Esforços Cortantes e Momentos Fletores ET MF Seção Artur Portela UnB Departamento de Engenharia Civil e Ambiental Equações de Equilíbrio Diagramas de Esforços Motivação Ao verificar a segurança de uma estrutura é necessário saberse em que seção atuam os esforços mais elevados Sabendo como calcular os esforços numa seção é preciso agora traçar os diagramas de esforços ie o gráfico da variação dos esforços ao longo das barras onde facilmente se pode identificar as seções críticas para a segurança Com esse objetivo os esforços são tratados como funções cujos diagramas se obtêm pela integração das equações diferenciais de equilíbrio ao longo das barras Esforços O esforço definese numa seção de uma peça em equilíbrio e representa a ação que uma das partes da estrutura exerce sobre a outra através dessa seção O esforço é calculado pelos elementos de redução no centróide da seção das cargas atuantes numa das partes da estrutura Desta forma os esforços têm representação vetorial simétrica nas faces positiva e negativa de cada seção Elementos de redução Elementos de redução de um sistema de vetores num ponto são as componentes vetoriais que representam a ação que o sistema de vetores tem nesse ponto isto é a sua capacidade de translação e de rotação Vetor Resultante capacidade de translação Momento Resultante capacidade de rotação RO Σ Fi MO Σ ri Fi rn r2 r1 O RO MO F1 F2 Fn x y z RO e MO são estaticamente equivalentes em O ao sistema de vetores Fi Esforços convenção de sinais A convenção de sinais dos esforços no caso plano pode representarse com o esquema face positiva x3 V N M V N M face negativa esforços positivos dx3 face positiva face negativa Diagramas de esforços Os esforços são agora tratados como funções cujos diagramas ao longo das barras se obtêm pela integração das equações diferenciais de equilíbrio com as apropriadas condições de contorno Equações de Equilíbrio x2 x3 px3 dx3 x2 x3 p dx3 M V MdM VdV x1 x2 x3 Peça linear sujeita à ação de uma carga distribuída com densidade px3 positiva atenção ao referencial local DCL do trecho elementar dx3 com o esforço cortante Vx3 e momento fletor Mx3 A presença da carga elementar pdx3 dá origem aos esforços elementares dV e dM Equações de Equilíbrio x2 x3 p dx3 M V MdM VdV A Atenção ao referencial Como variam as funções Vx3 e Mx3 ao longo do eixo da peça O equilíbrio do DCL desprezando infinitésimos de segunda ordem dá origem às seguintes equações diferenciais Equações de Equilíbrio De forma semelhante o DCL para uma carga distribuída nx3 na direção do eixo x3 o equilíbrio das forças atuantes no trecho elementar permite conhecer a variação da função Nx3 ao longo da peça Resumo das equações diferenciais de equilíbrio x2 x3 n dx3 N NdN Equações de Equilíbrio Como as funções px3 Vx3 e Mx3 estão definidas ao longo do eixo x3 da barra verificase o seguinte Significado numa seção x3 a taxa de variação de Vx3 na direção do eixo ie a derivada é igual ao valor negativo da carga distribuída px3 Permite concluir 1 A variação de V entre duas seções é igual ao valor negativo da área do diagrama de cargas distribuídas px3 entre essas seções p l 2 A B pl 2 pl 2 l 2 C x3 x2 pl 2 pl 2 x3 V VC VApl2 VC0 Equações de Equilíbrio Como as funções px3 Vx3 e Mx3 estão definidas ao longo do eixo x3 da barra verificase 2 Andamento de Vx3 ao longo do eixo da barra p dVdx3 V 0 0 decrescente 0 0 estacionária 0 0 crescente grau n grau n1 p l 2 A B pl 2 pl 2 l 2 C x3 x2 pl 2 pl 2 x3 V V é decrescente de grau 1 Equações de Equilíbrio Como as funções px3 Vx3 e Mx3 estão definidas ao longo do eixo x3 da barra verificase Significado numa seção x3 a taxa de variação de Mx3 na direção do eixo ie a derivada é igual ao valor do esforço cortante Vx3 Permite concluir 1 A variação de M entre duas seções é igual à área do diagrama de esforço cortante Vx3 entre essas seções P l 2 A B P 2 P 2 l 2 C x3 x2 P 2 P 2 x3 V P Pl 4 x3 M MCMAP2l2 Equações de Equilíbrio Como as funções px3 Vx3 e Mx3 estão definidas ao longo do eixo x3 da barra verificase 2 Andamento de Mx3 ao longo do eixo da barra V dMdx3 M 0 0 crescente 0 0 estacionária 0 0 decrescente grau n grau n1 P l 2 A B P 2 P 2 l 2 C x3 x2 P 2 P 2 x3 V P Pl 4 x3 M AC M de grau 1 crescente CB M de grau 1 decrescente Equações de Equilíbrio Como as funções nx3 e Nx3 estão definidas ao longo do eixo x3 da barra temse Significado numa seção x3 a taxa de variação de Nx3 ao longo do eixo ie a derivada é igual ao valor negativo da carga distribuída nx3 Permite concluir 1 A variação de N entre duas seções é igual ao valor negativo da área do diagrama de cargas distribuídas nx3 entre essas seções l 2 A B nl l 2 C x3 x2 nl x3 N NB NA nl NB0 n Equações de Equilíbrio Como as funções nx3 e Nx3 estão definidas ao longo do eixo x3 da barra temse 2 Andamento de Nx3 ao longo do eixo da barra n dNdx3 N 0 0 decrescente 0 0 estacionária 0 0 crescente grau n grau n1 N de grau 1 decrescente l 2 A B nl l 2 C x3 x2 nl x3 N n Equações de Equilíbrio Numa seção x3 o valor negativo do diagrama de carga é igual à segunda derivada do diagrama de momento fletor permite definir se um ponto de estacionaridade de M corresponde a um máximo 2ª derivada 0 ou a um mínimo 2ª derivada 0 p l 2 A B pl 2 pl 2 l 2 C x3 x2 pl2 8 x3 M pl 2 pl 2 x3 V p 0 2ªderivada de M 0 condição de máximo Equações de Equilíbrio Uma carga concentrada aplicada na seção x3 dá origem a uma descontinuidade igual ao valor da carga no diagrama do esforço cortante Vx3 e a um ponto anguloso no diagrama do momento fletor Mx3 P l 2 A B P 2 P 2 l 2 C x3 x2 P 2 P 2 x3 V P Pl 4 x3 M Seções A e B descontinuidade de V P2 Seção C descontinuidade de V P Seções A B e C de M pontos angulosos Equações de Equilíbrio Um momento aplicado na seção x3 dá origem a uma descontinuidade igual ao valor do momento no diagrama do momento fletor Mx3 Q l 2 A B Q l Q l l 2 C x3 x2 Q l x3 V Q 2 x3 M Q 2 Seção C descont de M Q Diagramas dos Esforços Para o traçado dos diagramas dos esforços ao longo do eixo de cada barra é necessário considerar 1 Definição do sentido positivo do eixo x3 de cada barra para aplicação da convenção de sinais dos esforços Diagramas dos Esforços Para o traçado dos diagramas dos esforços ao longo do eixo de cada barra é necessário considerar 2 Convenções no traçado dos diagramas de cargas distribuídas p e n e concentradas P e Q são positivas segundo o sentido positivo dos eixos da barra dos esforço cortante V e normal N os esforços positivos são traçados do lado de cima do eixo do momento fletor M o esforço positivo é traçado do lado de baixo do eixo x2 x3 M x3 N e V x3 eixo da barra Diagramas dos Esforços Traçado do diagrama do momento fletor A convenção do diagrama do momento flector contrária à dos outros esforços facilita a visualização da deformada da barra Assim quando a estrutura se deforma por flexão o diagrama do momento flector fica sempre do lado das trações da barra Assim convém recordar as convenções adoptadas Momento flector positivo diagrama do lado de baixo do eixo da barra lado das trações Momento flector negativo diagrama do lado de cima do eixo da barra lado das trações M x3 M x3 Diagramas dos Esforços Exemplo Traçar os diagramas dos esforços e a deformada de flexão aproximada da viga simplesmente apoiada p l 2 A B pl 2 pl 2 l 2 C Diagramas dos Esforços Resolução x3 x2 diagrama de carga p constante 0 deformada aproximada curvatura de acordo com M p l 2 A B pl 2 pl 2 l 2 C x3 x2 pl2 8 x3 M pl 2 pl 2 x3 V diagrama do esforço cortante V do 1º grau decrescente bastam 2 pontos VA e VB descontinuidades em A e B diagrama do momento fletor M do 2º grau crescente em AC tangente horizontal em C e decrescente em CB bastam 3 pontos MA MC e MB Diagramas dos Esforços Perguntas x3 x2 p l 2 A B pl 2 pl 2 l 2 C x3 x2 pl2 8 x3 M pl 2 pl 2 x3 V Qual é o declive do diagrama do esforço cortante V Qual é o declive da tangente ao diagrama do momento fletor M na seção A Diagramas dos Esforços Exemplo Traçar os diagramas dos esforços e a deformada de flexão aproximada na viga simplesmente apoiada P l 2 A B P 2 P 2 l 2 C Diagramas dos Esforços Resolução P l 2 A B P 2 P 2 l 2 C x3 x2 x3 x2 diagrama de carga em AC p 0 em CB p 0 diagrama do esforço cortante AC constante basta 1 ponto VA CB constante basta 1 ponto VB descontinuidades em A C e B diagrama do momento fletor AC do 1º grau crescente bastam 2 pontos MA e MC CB do 1º grau decrescente bastam 2 pontos MC e MB deformada aproximada curvatura de acordo com M P 2 P 2 x3 V P Pl 4 x3 M Diagramas dos Esforços Perguntas P l 2 A B P 2 P 2 l 2 C x3 x2 x3 x2 P 2 P 2 x3 V P Pl 4 x3 M O diagrama do momento fletor M tem um ponto anguloso na seção C Quais os declives à esquerda e à direita do ponto anguloso Diagramas dos Esforços Exemplo Diagramas dos esforços e deformada de flexão Q l 2 A B Q l Q l l 2 C x3 x2 x3 x2 Q l x3 V Q 2 x3 M Q 2 diagrama de carga em AB p 0 diagrama do esforço cortante AB constante basta 1 ponto VA descontinuidades em A e B diagrama do momento fletor AC do 1º grau crescente bastam 2 pontos MA e MC CB do 1º grau crescente bastam 2 pontos MC e MB descontinuidade em C deformada aproximada curvatura de acordo com M Diagramas dos Esforços Perguntas Q l 2 A B Q l Q l l 2 C x3 x2 x3 x2 Q l x3 V Q 2 x3 M Q 2 As retas do diagrama do momento fletor M são paralelas Qual é o declive dessas retas Diagramas dos Esforços Exemplo Diagramas dos esforços e deformada de flexão aproximada diagrama de carga p 1º grau 0 diagrama do esforço cortante V 2º grau decrescente com tg horizontal em A diagrama do momento fletor M 3º grau crescente com tg horizontal em B deformada aproximada p A B pl 2 l x3 x2 pl2 3 x3 x2 pl 2 x3 V x3 M pl2 3 Diagramas dos Esforços Em estruturas constituídas por mais do que uma barra ou por barras inclinadas os diagramas dos esforços marcamse directamente sobre as barras Observar a necessidade de previamente arbitrar o sentido positivo do eixo de cada barra para a interpretação do sinal dos esforços Finalmente notar que na prática só muito raramente é necessário definir a equação algébrica de um esforço ao longo de uma barra Diagramas dos Esforços Resumo p dVdx3 V dMdx3 M x3 x2 x3 V x3 VA VB VA VB Isostática Muito obrigado pela atenção LIKE