Isostatica - Esforcos Cortantes e Momentos Fletores em Estruturas Reticuladas

Isostática Esforços Cortantes e Momentos Fletores ET MF Seção Artur Portela UnB Departamento de Engenharia Civil e Ambiental Ligações das Barras Ligações das Barras As barras de uma estrutura reticulada ligamse entre si e aos apoios nos nós P l l P 2 P 2 P x y z nós Ligações das Barras Os nós classificamse com base nos esforços que transmitem Contínuos ou rígidos não permitem movimentos relativos entre as seções imediatamente à esquerda e à direita do nó resistem a todos os esforços transmitindoos entre as barras que a eles se ligam Descontínuos permitem movimentos relativos entre as seções imediatamente à esquerda e à direita do nó não resistem aos esforços correspondentes aos movimentos permitidos entre as barras que a eles se ligam ou seja libertam anulam esses esforços transmitindo os restantes Ligações das Barras Exemplo de nó contínuo ou rígido P l l P 2 P 2 P x y z Sem movimentos relativos entre as seções imediatamente à esquerda e à direita do nó contínuo resistem a todos os esforços transmitindo os às barras adjacentes N esq V dir V esq N dir M esq M dir Ligações das Barras Exemplo de nós descontínuos com libertação de um esforço momento fletor M0 esforço normal N0 esforço cortante V0 rótula ou articulação Com movimentos relativos entre duas seções vizinhas do nó o esforço correspondente é nulo ou seja o nó liberta anula esse esforço o que representa uma equação adicional para o equilíbrio estático Permite rotações relativas M0 Permite deslocamentos axiais relativos N0 Permite deslocamentos transversais relativos V0 Ligações das Barras Exemplo de nós descontínuos com libertação de um esforço momento fletor M0 esforço normal N0 esforço cortante V0 Ppl A B Ppl C D V0 M0 p Ppl N0 A B rótula ou articulação Ligações das Barras Equações adicionais além das equações do equilíbrio da estrutura cada descontinuidade dos nós permite considerar uma equação adicional N0 ou V0 ou M0 que traduz o esforço libertado pelo nó Exemplo calcular as reações na viga articulada viga Gerber P l 2 A B VA l 2 l 2 l 2 VB VD HA C D x y z 4 incógnitas HA VA VB e VD 3 equações de equilíbrio ΣFx0 ΣFy0 e ΣMA0 1 equação de momento fletor nulo na rótula C MC0 por ações à direita ou à esquerda de C Esforços O esforço definese numa seção de uma peça em equilíbrio e representa a ação que uma das partes da estrutura exerce sobre a outra através dessa seção O esforço é calculado pelos elementos de redução no centróide da seção das cargas atuantes numa das partes da estrutura Desta forma o esforço tem representação vetorial simétrica nas faces positiva e negativa de cada seção Elementos de redução Elementos de redução de um sistema de vetores num ponto são as componentes vetoriais que representam a ação que o sistema de vetores tem nesse ponto isto é a sua capacidade de translação e de rotação Vetor Resultante capacidade de translação Momento Resultante capacidade de rotação RO Σ Fi MO Σ ri Fi rn r2 r1 O RO MO F1 F2 Fn x y z RO e MO são estaticamente equivalentes em O ao sistema de vetores Fi Esforços convenção de sinais A convenção de sinais dos esforços no caso plano pode representarse com o esquema face positiva x3 V N M V N M face negativa esforços positivos dx3 face positiva face negativa Ligações das Barras Equações adicionais além das equações do equilíbrio da estrutura cada descontinuidade dos nós permite considerar uma equação adicional N0 ou V0 ou M0 que traduz o esforço libertado pelo nó Exemplos Ppl A B Ppl C D V0 M0 p Ppl N0 A B Ligações das Barras Exemplo rótula Ligações das Barras Exemplo rótula Ligações das Barras Exemplo rótula Ligações das Barras Exemplo rótula Ligações das Barras Fazendo o balanço de incôgnitas e equações disponíveis verificar que as estruturas são isostáticas P l 2 A B l 2 l C D P E l 2 l 2 Ppl A B l C D E l 2 l 2 Ppl l 2 F G H p l 2 l 2 x y z MD dir 0 ou MD esq 0 MG dir 0 ou MG esq 0 e VD dir 0 ou VD esq 0 Estaticidade Global No exemplo anterior da viga Gerber a estrutura é exteriormente hiperestática de grau 1 pois tem 4 reações uma a mais do que o número de graus de liberdade do plano 3 Através da equação adicional MC0 na rótula podem determinarse os esforços em qualquer seção o que permite dizer que a estrutura é globalmente isostática P l 2 A B VA l 2 l 2 l 2 VB VD HA C D x y z Uma estrutura é isostática se os esforços em qualquer seção podem ser determinados só com base no equilíbrio estático dos seus elementos Estaticidade Global A estatia global hiper ou hipo corresponde à soma algébrica das estatias exterior e interior Portanto a viga globalmente isostática analisada atràs é interiormente hipostática de grau 1 o que resulta do grau de liberdade interior dado pela rotação relativa das duas barras permitido pela sua ligação através da rótula C P l 2 A B l 2 l 2 l 2 C D x y z Estaticidade Global Numa estrutura globalmente isostática as condições de equilíbrio são suficientes para se determinar os esforços em qualquer seção Como determinar o grau de estatia ou estaticidade global de uma estrutura reticulada A avaliação da estaticidade global ou do grau de indeterminação estática global pode fazerse através do método das estruturas arborescentes usandose o conceito de diagrama de corpo livre DCL Estaticidade Global Uma estrutura arborescente está ligada ao exterior por um engaste exteriormente isostática e tem as barras ligadas entre si com nós rígidos como os ramos de uma árvore sem circuitos fechados interiormente isostática É assim globalmente isostática ou seja tem grau de indeterminação estática 0 Estaticidade Global O método das estruturas arborescentes consiste em transformar a estrutura original em estruturas arborescentes uma em cada apoio através do corte de ligações ou introdução de ligações adicionais Cortar ligação é libertar fixar em zero os esforços ou reações na ligação suprimida Introduzir ligação é considerar um esforço ou reação adicional que torna rígida fixa em zero os deslocamentos ou rotações a ligação introduzida O grau de indeterminação estática global resulta do balanço entre o número de esforços das ligações cortadas e das ligações introduzidas Estaticidade Global Exemplo calcular o grau de indeterminação estática global das estruturas planas Estaticidade Global Estrutura isostática Ligação cortada Ligação introduzida 1 corte liberta 13 esforços 3 3 ligações adicionais introduzem 3 esforços 3 Grau de indeterminação estática global 3 3 0 2 estruturas arborescentes Estaticidade Global Estrutura hiperestática do 1º grau Ligação cortada Ligação introduzida 3 cortes libertam 33 esforços 9 8 ligações adicionais introduzem 8 esforços 8 Grau de indeterminação estática global 9 8 1 4 estruturas arborescentes Estaticidade Global Exemplo calcular o grau de indeterminação estática global da estrutura plana rótula plana x y z Estaticidade Global Estrutura isostática rótula plana x y z 3 estruturas arborescentes 1 em cada apoio Ligação cortada Ligação introduzida 4 cortes 43 12 esforços 12 ligações extra 12 esforços Grau de indeterminação estática 12 12 0 Estaticidade Global Exemplo determinar o grau de indeterminação estática global da estrutura espacial rótula esférica x y z Esforços Traçar DCL do nó B do arco de 3 rótulas x y z l 2 l 2 3pl p A B C Reações S MA 0 l VCpl220 VCpl2 S Fy 0 VAVCpl0 VApl2 MB 0 VC l2HC l2pl280 HCpl4 S Fx 0 HA3plHC 0 HA13pl4 VC VA HC HA pl4 pl4 DCL Elementos de redução das cargas da parte suprimida Esforços N pl4 Esforços Diagrama de corpo livre DCL do nó B 11pl8 pl 7pl8 x y z 11pl8 7pl8 pl28 pl2 pl28 Note a continuidade do momento fletor e a descontinuidade 11pl8 do esforço cortante em B VBesqpl2 VBdir7pl8 Elementos de redução das cargas da parte suprimida Esforços DCL do nó C ações de AC de CB e de CD l p l 2 pl l 2 l 2 A B C D pl x y z Reações MC 0 VA l pl260 VApl6 S Fx 0 HDpl0 HDpl S Fy 0 VAVDplpl20 VD4pl3 S MD 0 MDlVA2pl22pl260 MDpl2 DCL pl pl22 4pl3 pl22 pl3 VD VA HD MD Quais são os esforços correspondentes Elementos de redução das cargas da parte suprimida Isostática Muito obrigado pela atenção LIKE