Isostatica - Esforcos Cortantes Momentos Fletores - UnB

Isostática Esforços Cortantes e Momentos Fletores ET MF Seção Artur Portela UnB Departamento de Engenharia Civil e Ambiental Equações de Equilíbrio DCL do trecho elementar dx3 com esforço cortante Vx3 momento fletor Mx3 e esforço normal Nx3 sujeito às cargas px3 e nx3 Peça linear sujeita à ação de duas cargas distribuídas de densidades px3 e nx3 respectivamente transversal e axial positivas Diagramas de Esforços Os diagramas de esforços permitem identificar seções críticas onde atuam os maiores esforços Nos diagramas os esforços são tratados como funções que se obtêm pela integração das equações diferenciais de equilíbrio ao longo do eixo das peças com apropriadas condições de contorno Derivadas de uma função Relembrar Esforços O esforço definese numa seção de uma peça em equilíbrio e representa a ação que uma das partes da estrutura exerce sobre a outra O esforço é calculado pelos elementos de redução no centróide da seção das cargas atuantes numa das partes da estrutura Desta forma o esforço tem representação vetorial elementos de redução simétrica nas faces positiva e negativa de cada seção Esforços Sejam R força e M momento os elementos de redução no centróide C das cargas que atuam à direita da seção S As resultantes R e M são os esforços na face positiva de S ou esforços à direita da seção S F1 F2 C x3 x1 x2 R M S F3 F4 R e M são os elementos de redução de F3 e F4 em C Elementos de redução Elementos de redução de um sistema de vetores num ponto são as componentes vetoriais que representam a ação que o sistema de vetores tem nesse ponto isto é a sua capacidade de translação e de rotação Vetor Resultante capacidade de translação Momento Resultante capacidade de rotação RO Σ Fi MO Σ ri Fi rn r2 r1 O RO MO F1 F2 Fn x y z RO e MO são estaticamente equivalentes em O ao sistema de vetores Fi Elementos de redução e esforços Elementos de redução e esforços à direita de E e à esquerda de D A B l l l C D P P P E x y z 2 P 3 P 4 P C D P E 2P 3P Pl 4P 2P 2Pl Esforços NE 2P VE 3P ME Pl Esforços ND 4P VD 2P MD 2Pl elementos de redução ações das cargas da parte suprimida Convenções no traçado dos diagramas de cargas distribuídas p e n e concentradas P e Q são positivas segundo o sentido positivo dos eixos da barra dos esforço cortante V e normal N os esforços positivos são traçados do lado de cima do eixo do momento fletor M o esforço positivo é traçado do lado de baixo do eixo x2 x3 M x3 N e V x3 eixos da barra Diagramas de Esforços Equações de Equilíbrio Como as funções px3 Vx3 e Mx3 estão definidas ao longo do eixo x3 da barra temse Significado numa seção x3 a taxa de variação de Vx3 na direção do eixo ie a derivada é igual ao valor negativo da carga distribuída px3 Permite concluir 1 A variação de V entre duas seções é igual ao valor negativo da área do diagrama de cargas distribuídas px3 entre essas seções p l 2 A B pl 2 pl 2 l 2 C x3 x2 pl 2 pl 2 x3 V VC VApl2 Equações de Equilíbrio Como as funções px3 Vx3 e Mx3 estão definidas ao longo do eixo x3 da barra temse Significado 2 Andamento de Vx3 ao longo do eixo da barra p dVdx3 V 0 0 decrescente 0 0 estacionária 0 0 crescente grau n grau n1 p l 2 A B pl 2 pl 2 l 2 C x3 x2 pl 2 pl 2 x3 V V de grau 1 decrescente Equações de Equilíbrio Como as funções px3 Vx3 e Mx3 estão definidas ao longo do eixo x3 da barra temse Significado numa seção x3 a taxa de variação de Mx3 na direção do eixo ie a derivada é igual ao valor do esforço cortante Vx3 Permite concluir 1 A variação de M entre duas seções é igual à área do diagrama de esforço cortante Vx3 entre essas seções P l 2 A B P 2 P 2 l 2 C x3 x2 P 2 P 2 x3 V P Pl 4 x3 M MCMAP2l2 Equações de Equilíbrio Como as funções px3 Vx3 e Mx3 estão definidas ao longo do eixo x3 da barra temse Significado 2 Andamento de Mx3 ao longo do eixo da barra V dMdx3 M 0 0 crescente 0 0 estacionária 0 0 decrescente grau n grau n1 P l 2 A B P 2 P 2 l 2 C x3 x2 P 2 P 2 x3 V P Pl 4 x3 M AC M grau 1 crescente CB M grau 1 decrescente Equações de Equilíbrio Como as funções nx3 e Nx3 estão definidas ao longo do eixo x3 da barra temse Significado numa seção x3 a taxa de variação de Nx3 ao longo do eixo ie a derivada é igual ao valor negativo da carga distribuída nx3 Permite concluir 1 A variação de N entre duas seções é igual ao valor negativo da área do diagrama de cargas distribuídas nx3 entre essas seções l 2 A B nl l 2 C x3 x2 nl x3 N NB NA nl n Equações de Equilíbrio Como as funções nx3 e Nx3 estão definidas ao longo do eixo x3 da barra temse Significado 2 Andamento de Nx3 ao longo do eixo da barra n dNdx3 N 0 0 decrescente 0 0 estacionária 0 0 crescente grau n grau n1 N de grau 1 decrescente l 2 A B nl l 2 C x3 x2 nl x3 N n Equações de Equilíbrio Uma carga concentrada aplicada na seção x3 dá origem a uma descontinuidade igual ao valor da carga no diagrama do esforço cortante Vx3 e a um ponto anguloso no diagrama do momento fletor Mx3 P l 2 A B P 2 P 2 l 2 C x3 x2 P 2 P 2 x3 V P Pl 4 x3 M Seção C de V descontinuidade de P Seção C de M ponto anguloso Equações de Equilíbrio Um momento aplicado na seção x3 dá origem a uma descontinuidade igual ao valor do momento no diagrama do momento fletor Mx3 Q l 2 A B Q l Q l l 2 C x3 x2 Q l x3 V Q 2 x3 M Q 2 Seção C de M descontinuidade Q Diagramas dos Esforços Resumo p dVdx3 V dMdx3 M x3 x2 x3 V x3 VA VB VA VB Diagramas de Esforços Considere a estrutura com apoio móvel de reação vertical em A e engaste em D Considere que o nó C na barra AC liberta o momento fletor mas que é rígido nas barras CD e CB l p l 2 pl l 2 l 2 A B C D pl Diagramas de Esforços Grau de hiperestaticidade método das estruturas arborescentes estruturas globalmente isostáticas exteriormente engastadas A B C D Ligação cortada Ligações introduzidas 1 corte liberta 13 esforços 3 3 ligações adicionais introduzem 3 esforços 3 Grau de indeterminação estática global 3 3 0 2 estruturas arborescentes 1 em cada apoio Diagramas de Esforços Cálculo das reações l p l 2 pl l 2 l 2 A B C D pl x y z Reações MC 0 VAlpl260 VApl6 S Fx 0 HDpl0 HDpl S Fy 0 VAVDplpl20 VD4pl3 S MD 0 MDlVA2pl22pl260 MDpl2 VD VA HD MD Diagramas de Esforços Esforço normal N x y z A B C D E 4pl3 Trechos ACB e CD carga n 0 N constante basta 1 ponto NA0 e ND4pl3 ndNdx3 Diagramas de Esforços Esforço cortante V Trecho AC carga p linear 0 V do 2º grau decrescente bastam 2 pontos e 1 tangente VApl6 e VCpl3 com tangente horizontal em A Trechos CB CE e ED carga p 0 V constante basta 1 ponto VBpl VCE0 e VEDpl x y z A B C D E pl pl pl6 pl3 l 𝟑 V pl6 px22l 0 x l 3 pdVdx3 Diagramas de Esforços Momento fletor M x y z Trecho AC V do 2º grau 00 M do 3º grau bastam 2 pontos MA0 e MC0 e tangente horizontal em l 𝟑 Trechos CB e ED V constante 0 M linear bastam 2 pontos MB0 MCpl22 e MDpl2 MEpl22 Trecho CE V0 M constante A B C D E l 𝟑 pl22 pl2 pl29 𝟑 VdMdx3 Diagramas de Esforços Verificação do equilíbrio DCL x y z N M pl pl22 4pl3 pl22 pl3 V C D pl pl 4pl3 pl2 4pl3 pl22 sentido dos esforços elementos de redução Diagramas de Esforços Deformada de flexão aproximada M A B C D Curvatura das barras baseada nos diagramas de momento fletor Nó rígido Nó com libertação do momento fletor A B C D Diagramas dos Esforços Grau de hiperestaticidade 0 Diagramas dos Esforços Reações pl 17 pl 12 7 pl 6 y x z Diagramas dos Esforços Referenciais locais Diagramas dos Esforços Esforços normais ndNdx3 Diagramas dos Esforços Esforços cortantes dV p dx3 𝐴 𝐵 dV VB VA VB 𝐴 𝐵 p dx3 𝑝𝑙4 Type equation here pdVdx3 Diagramas dos Esforços Momentos flectores pdVdx3 VdMdx3 dM V dx3 𝐸 𝐷 dM MDME MD 𝐸 𝐷 V dx3 17𝑝𝑙224 Diagramas dos Esforços DCL momentos flectores do nó D QPlpl2 17pl224 7pl212 7pl224 Equilíbrio S M 0 Diagramas dos Esforços 17pl12 7pl6 Equilíbrio S Fy 0 esforços normais pl4 esforços cortantes DCL esforços normais e cortantes do nó D Isostática Muito obrigado pela atenção LIKE