Isostatica - Esforcos Cortantes e Momentos Fletores - UnB

Isostática Esforços Cortantes e Momentos Fletores Artur Portela UnB Departamento de Engenharia Civil e Ambiental Estruturas Reticuladas Equilíbrio e Estabilidade Cálculo de Reações Elementos Estruturais As peças estruturais podem classificarse pelas suas dimensões relativas Maciças 3D nenhuma das dimensões é preponderante sobre as outras Laminares 2D uma das dimensões é muito menor do que as outras duas Se a peça for plana e estiver carregada no seu próprio plano é uma chapa Se a peça for plana e a carga estiver num plano perpendicular ao seu é uma placa Se a peça não for plana é uma casca Lineares ou barras 1D uma das dimensões é maior do que as outras duas Elementos Estruturais Exemplos de peças maciças Elementos Estruturais Exemplos de peças maciças Elementos Estruturais Exemplos de peças laminares Placa Laje Casca Chapa Elementos Estruturais Exemplos de peças laminares Elementos Estruturais Peça linear ou barra elemento estrutural 1D em que O eixo tem dimensões muito maiores do que as da seção transversal A seção transversal é perpendicular ao eixo no centróide da seção A barra ou peça linear representase apenas pelo seu eixo ao logo do qual se definem as equações da Mecânica dos Sólidos diagrama eixo secção transversal centróide Elementos Estruturais Barra prismática peça linear 1D com seção transversal constante ao longo do eixo reto x y z x y z x y z representação Elementos Estruturais Exemplos de peças lineares Coluna Barra biarticulada Elementos Estruturais Exemplos de peças lineares Elementos Estruturais Os edifícios combinam peças lineares laminares e maciças simultaneamente Estruturas Reticuladas São constituídas por peças lineares 1D ligadas entre si e ao exterior nos nós Estruturas Reticuladas Uma estrutura reticulada dizse contínua se tiver os nós rígidos Pórtico estrutura reticulada contínua constituída principalmente por barras verticais e horizontais Treliça estrutura reticulada descontínua com nós articulados constituída principalmente por malhas triangulares nós rígidos nós articulados Estruturas Reticuladas Exemplos Pórtico Treliças Ações aplicadas As cargas aplicadas são representadas por sistemas de vetores deslizantes O vetor tem capacidade de translação e rotação Um sistema de vetores tem Elementos de redução ações em O Condições de equilíbrio Sistemas distribuídos para efeitos de equilíbrio RO 0 e MO 0 F1 F2 Fn x y z rn r2 r1 O RO MO x y R al2 área do diagrama b 2 l 3 centróide RO e MO Como se estabelece o equilíbrio das estruturas Sabese que os graus de liberdade da estrutura são os movimentos que a estrutura pode apresentar gerados pelas ações Estabelecer o equilíbrio é tirar os graus de liberdade da estrutura para isso ligase a estrutura ao exterior através de apoios ou vínculos onde se geram as reações forças e momentos devidas aos movimentos por eles impedidos Assim as reações conjuntamente com as ações permitem estabelecer o equilíbrio das estruturas As reações do exterior sobre a estrutura equilibram as ações aplicadas na estrutura como estabelece a 3ª lei de Newton princípio de igualdade entre ação e reação Como se estabelece o equilíbrio das estruturas Como trabalham as estruturas Estruturas conjunto das peças resistentes de uma construção cuja função é transmitir as cargas aplicadas ações para a fundação Como trabalham as estruturas Estruturas conjunto das peças resistentes de um edifício cuja função é transmitir as cargas aplicadas ações para a fundação Ligações da Estrutura ao Exterior A fundação de uma estrutura é o sistema de ligação da estrutura ao exterior que tem por função receber as ações transmitidas pela estrutura Ligações da Estrutura ao Exterior São estas ligações que tiram os graus de liberdade da estrutura Ao impedir os movimentos da estrutura gerados pelas ações as ligações ao exterior dão origem a reações do exterior sobre a estrutura que também se representam por sistemas de vetores As ações conjuntamente com as reações permitem estabelecer o equilíbrio Ligações da Estrutura ao Exterior Apoio ou vínculo é o sistema de ligação da estrutura ao exterior fundação Classificamse de acordo com o número de graus de liberdade que restringem ie pelo número de reações independentes que introduzem Ligações da Estrutura ao Exterior No caso plano uma estrutura tem 3 graus de liberdade 2 deslocamentos 1 rotação Podem definirse as seguintes ligações ao exterior Apoio simples ou móvel impede 1 deslocamento e introduz 1 força de reação na direção do deslocamento impedido Apoio duplo ou fixo impede os 2 deslocamentos e introduz 1 força de reação com 2 componentes nas direções coordenadas Engaste impede 2 deslocamentos e 1 rotação introduzindo 1 força de reação com 2 componentes e 1 momento de reação Ligações ao Exterior Esquema dos apoios Simples ou móvel Ligações ao Exterior Esquema dos apoios Simples ou móvel concreto armado Ligações ao Exterior Esquema dos apoios Duplo ou fixo Ligações ao Exterior Esquema dos apoios Duplo ou fixo concreto armado Ligações ao Exterior Esquema dos apoios Engaste Ligações ao Exterior Esquema dos apoios Engaste metálicas e de concreto armado Ligações da Estrutura ao Exterior Diagramas de representação dos apoios Simples ou móvel Duplo ou fixo estrutura estrutura estrutura estrutura biela curta estrutura estrutura estrutura Ligações da Estrutura ao Exterior Diagramas de representação dos apoios Engaste Outros sistemas de apoio estrutura estrutura estrutura estrutura estrutura Ligações da Estrutura ao Exterior Exemplo do apoio móvel Rhine River Bridge Frankfurt Germany Ligações da Estrutura ao Exterior Exemplos do apoio fixo Ligações da Estrutura ao Exterior Exemplo do apoio fixo Ponte Debilly rio Sena Paris Ligações da Estrutura ao Exterior Exemplo do engaste Henry Hudson Bridge New York USA Ligações da Estrutura ao Exterior No caso tridimensional há que verificar todos os constrangimentos que os apoios introduzem nos 6 graus de liberdade 3 deslocamentos 3 rotações Definemse as seguintes ligações Apoio móvel impede 1 deslocamento e introduz 1 força de reação na direção do deslocamento impedido Apoio fixo impede os 3 deslocamentos e introduz 3 forças de reação Engaste impede os 3 deslocamentos e as 3 rotações introduzindo 3 forças de reacção e 3 momentos Ligações da Estrutura ao Exterior Apoio móvel Apoio fixo Estrutura Estrutura Ligações da Estrutura ao Exterior Apoio fixo com rótula esférica Apoio fixo com rótula cilíndrica Ligações da Estrutura ao Exterior Exemplo de apoio fixo com rótula esférica Exemplo de apoio móvel Ligações da Estrutura ao Exterior Apoio móvel sobre bloco de neoprene Neoprene material semelhante à borracha mas que tem atrito quase nulo Assim se este tipo de apoio for empurrado na horizontal deforma se sem introduzir forças na estrutura Na vertical transmite as forças à fundação Em termos de momentos como o neoprene é muito deformável a viga pode rodar livremente Como resultado este apoio é modelado como um APOIO SIMPLES em que a única reação é uma força vertical Resumo Graus de liberdade da estrutura movimentos que a estrutura pode apresentar induzidos pelas cargas aplicadas No plano 2 translações e 1 rotação No espaço 3 translações e 3 rotações Estabelecer o equilíbrio tirar os graus de liberdade da estrutura ligandoa ao exterior através dos apoios Reações forças e momentos que se geram nos apoios devidas aos movimentos impedidos São as reações que permitem equilibrar as ações Diagrama de Projecto Diagrama de projecto ou diagrama de cálculo ou diagrama de análise representação da estrutura reticulada pelo eixo das barras 1D e das respectivas forças de ação e reação A estrutura é representada pelos eixos das suas barras ligados entre si nos nós e ligados ao exterior pelos apoios F F F Diagrama de Projecto Exemplo Análise do Equilíbrio A análise do equilíbrio fazse na configuração não deformada da estrutura com base na hipótese simplificadora da linearidade geométrica A linearidade geométrica é uma consequência de outra hipótese simplificadora a hipótese dos pequenos deslocamentos a qual considera que ao longo do eixo das barras da estrutura são pequenas as taxas de variação derivadas dos deslocamentos e rotações das seções o que implica que sejam pequenas as diferenças de deslocamentos e rotações entre duas seções Análise do Equilíbrio A linearidade geométrica é uma simplificação usada na Mecânica dos Corpos Deformáveis Na Mecânica dos Corpos Rígidos e portanto na Isostática admitese que as barras da estrutura são indeformáveis rígidas Admitindo as barras rígidas só são possíveis movimentos de corpo rígido translações e rotações compatíveis com as ligações internas e externas da estrutura Análise do Equilíbrio Sobreposição dos efeitos é outra consequência da linearidade geométrica se uma estrutura for submetida à ação independente de várias cargas qualquer efeito de uma combinação linear destas cargas é igual à mesma combinação linear dos efeitos homólogos das ações primitivas F F F Análise do Equilíbrio Resumindo para estabelecer o equilíbrio admite se que a estrutura é rígida e as equações do equilíbrio escrevemse na configuração não deformada dando origem a um sistema de equações algébricas Pode ser feito para toda a estrutura ou apenas para uma parte dela subestrutura Análise do Equilíbrio Fluxograma F F F Estrutura Diagrama de Projecto Equações de Equilíbrio Incógnitas Eixos das Barras Ações Reações Linearidade Geométrica O equilíbrio estático é feito na configuração da estrutura não deformada Análise do Equilíbrio Procedimento 1 Adotar um referencial para o equilíbrio 2 Arbitrar os sentidos das incógnitas ações do exterior ações de outras estruturas 3 Substituir cargas distribuídas pelas resultantes aplicadas nos respectivos centróides 4 Estabelecer as equações de equilíbrio A ordem pela qual são estabelecidas é importante para simplificar a análise Na aplicação das equações de equilíbrio uma ordem eficiente permite em geral obter uma equação a uma incógnita de cada vez menos esforço de cálculo em lugar de um sistema de equações simultâneas mais esforço de cálculo 5 Trocar o sentido arbitrado das incógnitas negativas Estatia ou Estaticidade Exterior No cálculo das reações incógnitas nas ligações exteriores numa estrutura o sistema de equações obtido pode ser Possível e determinado igual número de incógnitas e equações estrutura isostática exterior Possível e indeterminado mais incógnitas do que equações estrutura hiperestática exterior As incógnitas em excesso chamamse redundantes e dão o grau de indeterminação estática da estrutura Impossível menos incógnitas do que equações hipostática exterior ou igual número de incógnitas e equações isostática exterior mas com o determinante do sistema de equações nulo em virtude de graus de liberdade mal restringidos Estatia Exterior Exemplos Hipostática exterior Menos incógnitas do que equações Impossível Hiperstática exterior Mais incógnitas do que equações Possível e indeterminado Isostática exterior Mesmo número de incógnitas e de equações mas constrangida incorretamente Impossível Estabilidade da Estrutura Uma estrutura é estável quando as suas ligações lhe tiram todos os graus de liberdade As estruras hipostáticas são instáveis As estruturas isostáticas mal constrangidas também são instáveis Exemplos Menos incógnitas do que equações instável Mesmo número de incógnitas e equações mas constrangimento incorrecto instável Mais incógnitas do que equações estável Cálculo de Reações Resumo 1 Adotar um referencial para o equilíbrio 2 Arbitrar os sentidos das reações 3 Substituir cargas distribuídas pelas resultantes aplicadas nos respectivos centróides 4 Estabelecer as equações de equilíbrio A ordem pela qual são estabelecidas é importante para simplificar a análise Na aplicação das equações de equilíbrio uma ordem eficiente permite em geral obter uma equação a uma incógnita de cada vez menos esforço de cálculo em lugar de um sistema de equações simultâneas mais esforço de cálculo 5 Trocar o sentido arbitrado das incógnitas negativas Cálculo de Reações Para estruturas exteriormente isostáticas estáveis 3 reações estruturas planas 3 equações 6 reações estruturas tridimensionais 6 equações equações gerais equações alternativas equações alternativas s A B F1 F2 F3 A B F1 F2 F3 C Resumo Cálculo de Reações l p l 2 P pl l 2 l 2 2l 3 P l 3 P Exemplos calcular as reações nas estruturas x y z Isostática Muito obrigado pela atenção LIKE Isostática Artur Portela UnB Departamento de Engenharia Civil e Ambiental Cálculo de Reações 1 Adotar um referencial para o equilíbrio 2 Arbitrar os sentidos das reações 3 Substituir cargas distribuídas pelas resultantes aplicadas nos respectivos centróides 4 Estabelecer as equações de equilíbrio A ordem pela qual são estabelecidas é importante para simplificar a análise Na aplicação das equações de equilíbrio uma ordem eficiente permite em geral obter uma equação a uma incógnita de cada vez menor esforço de cálculo em lugar de um sistema de equações simultâneas maior esforço de cálculo 5 Trocar o sentido arbitrado das incógnitas negativas Cálculo de Reações Para estruturas exteriormente isostáticas estáveis 3 reações estruturas planas 3 equações É fundamental que todas as equações sejam linearmente independentes equações gerais equações alternativas equações alternativas s A B F1 F2 F3 A B F1 F2 F3 C Resumo Cálculo de Reações Exemplo Calcular as reações na viga simplesmente apoiada de vão l sujeita aos 3 carregamentos independentes indicados P l Pl 2 P l Pl 2 P l 2 l 2 A B Cálculo de Reações Resolução P l Pl 2 P l Pl 2 P l 2 l 2 A B Observase que os 3 carregamentos definem 3 sistemas de vetores equipolentes pois têm os mesmos elementos de redução em qualquer ponto Assim as reações serão iguais nos 3 casos pelo que basta resolver apenas um deles rn r2 r1 O RO MO F1 F2 Fn x y z RO Σ Fi MO Σ ri Fi elementos de redução Cálculo de Reações Resolução P l 2 l 2 A B x y z P l 2 l 2 A B HA VA VB P HA VA VB Lembrar que os vetores são deslizantes Cálculo de Reações Exemplo Calcular as reações na viga simplesmente apoiada de vão l sujeita aos 3 carregamentos independentes indicados l 2 l 2 A B Q l Q l Q Cálculo de Reações Resolução l 2 l 2 A B Q l Q l Q Também aqui os 3 carregamentos definem 3 sistemas de vetores equipolentes pois têm os mesmos elementos de redução em qualquer ponto Assim as reações serão iguais nos 3 casos pelo que basta resolver apenas um deles rn r2 r1 O RO MO F1 F2 Fn x y z RO Σ Fi MO Σ ri Fi elementos de redução Cálculo de Reações Resolução x y z l 2 l 2 A B HA VA VB Q l 2 l 2 A B Q l Q Q l Como VB é negativa significa que o sentido foi mal arbitrado e após se estabelecer o equilíbrio deverá ser trocado no diagrama de projeto HA VA VB Q Lembrar que os vetores são deslizantes l 2 l 2 A B Q Cálculo de Reações Exemplo Calcular as reações nas vigas simplesmente apoiadas AB e CD de vão l sujeitas à força P vertical a meio vão P l 2 l 2 A B P l 2 l 2 C D 30 Cálculo de Reações Resolução embora as estruturas sejam diferentes observase que os sistemas de forças ação e reação de cada uma das estruturas são equipolentes pois os vetores são deslizantes Assim as reações são iguais nas duas estruturas P l 2 l 2 A B P l 2 l 2 C D 30 P l 2 l 2 A B HA VA VB x y z P HA VA VB Cálculo de Reações Exemplo Calcular as reações na viga simplesmente apoiada AB de vão l sujeita à carga distribuída triangular indicada l A B p Cálculo de Reações Resolução Nas equações de equilíbrio as forças distribuídas substituemse pelas suas resultantes a atuar nos respetivos centróides Assim considera se l A B p x y z HA VA VB pl 2 2l 3 A B pl 2 l 3 HA VA VB Cálculo de Reações Exemplos calcular as reações nas estruturas l p l 2 P pl l 2 l 2 l 2 l 2 3pl p x y z HA VA VB pl 3pl4 HA VA MA Fx HA 3pl 0 HA 𝟑𝐩𝐥 VB l l2 pl 0 VB pl2 FY VA VB pl 0 VA pl2 MA Fx P HA 0 HA P 𝐩𝐥 MA Pl2 0 MA pl2 2 FY VA 3pl4 0 VA 3pl4 MA Cálculo de Reações Exemplos calcular as reações nas estruturas 2l 3 P l 3 2l 3 P l 3 x y z 2l 3 P l 3 Cálculo de Reações Resolução 2l 3 P l 3 x y z HA VA VB Fx 0 HA 0 VB l P 2l3 0 VB 2P3 FY VA VB P 0 VA P3 MA Cálculo de Reações Resolução x y z HA VA VB Fx 0 HA 0 VB l P 2l3 0 VB 2P3 FY VA VB P 0 VA P3 MA 2l 3 P l 3 Cálculo de Reações Resolução x y z HC VA VB Fx 0 HC 0 VB l P 2l3 0 VB 2P3 FY VA VB P 0 VA P3 MA 2l 3 P l 3 Cálculo de Reações Exemplo calcular as reações na estrutura x y z P l 2 l 2 30 A B 30 RB RB cos 30 RB 32 RB sin 30 RB2 HA VA Momentos em A RB2 l 33 RB 32 l P l 2 0 RB P 𝟑4 Forças em x HA RB2 0 HA P 𝟑8 Forças em y VA RB 32 P 0 VA P 58 Cálculo de Reações l p l 2 P pl l 2 l 2 2l 3 P l 3 P Exemplos calcular as reações nas estruturas x y z Cálculo de Reações A resultante de uma carga distribuída é sempre igual à área do diagrama de carga Cálculo de Reações Exemplo calcular as reações na estrutura x y z Cálculo de Reações Exemplo calcular as reações na estrutura x y z Cálculo de Reações Exemplo calcular as reações na estrutura x y z Cálculo de Reações Exemplo calcular as reações na estrutura x y z Cálculo de Reações Exemplo calcular as reações na estrutura x y z Cálculo de Reações Exemplo Calcular as reações no engaste da estrutura plana conhecida a reação no apoio fixo F150 kN 150 kN Cálculo de Reações Resolução 0 150kN 57 54 0 x x E F x 90 0 kN E 0 150kN 57 6 4 20kN 0 y y E F y 200 kN E 0 ME 0 m 54 150kN 57 6 m 81 20kN m 63 kN 20 m 45 20kN kN 72m 20 E M 180 0 kN m E M x y z Esforços o que são As peças estruturais transmitem as ações aplicadas de umas para as outras até à fundação Os esforços são as cargas transmitidas pelas peças estruturais Esforços Formalmente o esforço definese numa seção de uma peça em equilíbrio e representa a ação que uma das partes da estrutura exerce sobre a outra através dessa seção O esforço é calculado pelos elementos de redução no centróide da seção das cargas atuantes numa das partes da estrutura Isostática Muito obrigado pela atenção LIKE