Treliças Isostáticas UnB - Análise e Aplicações na Engenharia Civil

Isostática Artur Portela UnB Departamento de Engenharia Civil e Ambiental Treliças Treliças São estruturas articuladas fundamentalmente trianguladas ie com malha triangular Todos os nós são articulados e as cargas são forças concentradas nos nós São de aplicação corrente na engenharia civil por constituírem sistemas práticos e econômicos de sustentação Treliças Esquema de uma cobertura com treliças Treliças Esquema de uma ponte com treliças Treliças Diagrama de uma treliça de cobertura nó montante diagonal pendural linha perna ou empena Treliças Diagramas de treliças de pontes de via inferior e de via superior alma mesa ou banzo superior mesa ou banzo inferior diagonal montante painel Treliças Dimensões nas treliças os valores da relação vãoaltura estão geralmente compreendidos entre 5 e 10 Estes valores são cerca de metade dos valores numa viga de alma cheia o que faz das treliças sistemas de sustentação econômicos que usam menos material Viga vãoaltura 20 Treliça vãoaltura 5 Treliça vãoaltura 10 Treliças Estabilidade As treliças são estruturas articuladas estáveis Lembrar que a estabilidade de uma estrutura significa que os seus elementos não têm movimentos livres A estabilidade de uma treliça é garantida desde que a estrutura seja formada pela associação de triângulos com 1 nó 2 barras que são a figura geométrica estável mais simples Treliças Estabilidade do triângulo Resulta da sua formação pela associação de 1 nó e 2 barras Exemplos de estruturas articuladas instáveis Treliças Estabilidade das treliças A associação de triângulos é uma condição suficiente para a estabilidade das treliças Uma estrutura articulada pode ser formada por conjuntos isoladamente estáveis formados por triângulos e conjuntos isoladamente instáveis dispostos de modo a formar um conjunto globalmente estável É este por exemplo o caso das seguintes estruturas articuladas Treliças Estabilidade das treliças Nestas estruturas as figuras isoladamente instáveis assinaladas com têm na estrutura global os seus movimentos livres impedidos pelos triângulos contíguos incondicionalmente estáveis A B C D E F G H I J A G C B E D F Treliças Hipóteses simplificadoras o cálculo dos esforços nas barras das treliças baseiase em duas hipóteses simplificadoras H1 a estrutura está sujeita a cargas concentradas aplicadas apenas nos nós O peso próprio das barras da estrutura é geralmente desprezável quando comparado com as outras cargas atuantes Para se incluir o peso próprio de uma barra na análise é aceitável considerar duas cargas verticais concentradas iguais a metade do peso da barra aplicadas em cada nó das extremidades da barra Treliças Hipóteses simplificadoras H1 a estrutura é solicitada por cargas concentradas aplicadas apenas nos nós Treliças Hipóteses simplificadoras H2 os nós da estrutura são articulações perfeitas e portanto têm momento fletor nulo Na realidade os nós não são perfeitamente articulados e portanto desenvolvem esforços de flexão No entanto numa primeira aproximação estes esforços secundários são desprezáveis por serem geralmente pequenas as rotações relativas dos nós Nas estruturas de madeira e na maioria das estruturas de aço assim acontece realmente mas nas estruturas de concreto armado já não se pode em geral desprezar os esforços de flexão Treliças Hipóteses simplificadoras H2 os nós da estrutura são articulações perfeitas e portanto têm momento fletor nulo Treliças Hipóteses simplificadoras H2 os nós da estrutura são articulações perfeitas e portanto têm momento fletor nulo Treliças Esforços nas barras Com base nas hipóteses simplificadoras não há momentos fletores nos nós da estrutura O diagrama de corpo livre de uma barra é dado por O equilíbrio estático permite concluir que a ação da estrutura sobre cada barra limitase a um esforço normal constante ao longo da barra N NA NB NA VA VB NB A B Σ MA0 VB0 Σ Fy0 VA0 Σ Fx0 NA NB x y z N N Tração N N Compressão Diagramas de corpo livre Treliças Diagramas dos esforços O diagrama do esforço normal constante em cada barra representase diretamente na estrutura pela ação que a barra exerce sobre os respetivos nós através de um par de setas a tracionar ou a comprimir os nós das extremidades da barra N N N N N N Tração Compressão Diagramas de corpo livre Treliças Análise qualitativa dos esforços Retirar a barra em análise e avaliar qualitativamente a deformação da estrutura Quando os nós se aproximam a barra é comprimida Treliças Análise qualitativa dos esforços Retirar a barra em análise e avaliar qualitativamente a deformação da estrutura Quando os nós se afastam a barra é tracionada Treliças Análise qualitativa dos esforços A análise qualitativa dos esforços em todas as barras da estrutura permite obter o seguinte diagrama de esforços normais Treliças Exemplo traçar o diagrama dos esforços qualitativos nas barras das estruturas Treliças Análise quantitativa dos esforços As hipóteses simplificadoras consideradas permitiram concluir que as barras das estruturas articuladas só têm esforço normal constante Com base nesta conclusão o valor dos esforços nas barras pode determinarse a partir dos diagramas de corpo livre dos nós Método dos nós de um conjunto de barras Método das seções Treliças Método dos nós Consideramse diagramas de corpo livre de cada nó obtidas pelo corte de todas as barras desse nó As forças exteriores atuantes num nó e o esforço normal nas barras ligadas a esse nó são todas concorrentes no nó Para que um sistema de forças concorrentes num ponto fique em equilíbrio basta que a resultante seja nula já que o momento resultante é sempre nulo Treliças Método dos nós Assim no caso plano para se estabelecer o equilíbrio das forças concorrentes num nó ou seja para se tirar os graus de liberdade do nó há apenas duas equações Consequentemente se num nó convergem mais do que duas barras em que não se conhecem os esforços as 2 equações de equilíbrio não são suficientes para achar os esforços em todas as barras ΣFx0 e ΣFy0 Treliças Exemplo Análise qualitativa e quantitativa dos esforços nas barras da estrutura com o método dos nós P P P P l l A B C Treliças Análise qualitativa P A B C P A B C Treliças Análise quantitativa Σ Fx0 PNBC22 NBC2P2 Σ Fy0 NBA NBC22 NBAP x y z P P P P l l A B C nó com 2 incógnitas P NBA NBC B diagrama de corpo livre Treliças Análise quantitativa Σ Fx0 NACP x y z nó com 1 incógnita P P P P l l A B C P NBAP NAC A diagrama de corpo livre P Treliças Análise quantitativa Diagrama dos esforços P P P P P A B C P 2 P P P P P P A B C P 2 P Diagramas de corpo livre de todos os elementos estruturais Treliças Exemplo Com o método dos nós calcular os esforços nas barras da estrutura tg α 12 sen α 04472 cos α 08944 tg β 45 sen β 07071 cos β 07071 Treliças Resolução Nó 1 ΣX0 N₁₃ senα 3 0 ΣY 0 N₁₂ N₁₃ cosα 0 Resolvendo N₁₃ 6708kN compressão e N₁₂ 6000kN tração Nó 2 ΣX 0 N₂₄ 6000kN tração ΣY 0 N₂₃ 0 Nó 3 ΣX 0 N₃₅ cosα N₃₄ cosα 6708 cosα 0 ΣY 0 N₃₅ senα N₃₄ senα 6708 senα 1 0 Resolvendo N₃₅ 5590kN compressão e N₃₄ 1118kN compressão Treliças Resolução Nó 4 ΣX 0 N₄₆ 6 1118 cosα 0 ΣY 0 N₄₅ 1118 senα 0 Resolvendo N₄₆ 5000kN tração e N₄₅ 0500kN tração Nó 5 ΣX 0 N₅₇ cosα N₅₆ cosβ 5590 cosα 0 ΣY 0 N₅₇ senα N₅₆ senβ 5590 senα 1 05 0 Resolvendo N₅₇ 4472kN compressão e N₅₆ 1414kN compressão Nó 7 ΣX 0 N₇₉ cosα 4472 cosα 0 ΣY 0 N₆₇ N₇₉ senα 2 0 Resolvendo N₇₉ 4472kN compressão e N₆₇ 2000kN tração Treliças Método das seções Consideramse diagramas de corpo livre obtidos pelo corte de algumas barras que não sejam todas concorrentes no mesmo nó Treliças Método das seções Para que um sistema de forças não concorrentes num único nó esteja em equilíbrio é necessário que a resultante e o momento resultante sejam nulos Assim no caso plano temse ΣFx0 ΣFy0 e ΣM0 Treliças Método das seções Consequentemente se o corte abrangir mais do que três barras não convergentes num único nó em que não se conheçam os esforços as equações de equilíbrio estático não são suficientes para determinar os esforços em todas as barras cortadas Treliças Método das seções As equações de equilíbrio de translação podem ser substituídas por conveniência por equações de equilíbrio de rotação desde que todas as equações sejam linearmente independentes Assim no plano podem usarse as seguintes três equações em alternativa ao caso geral Se a direção de AB não é prependicular à direcção s de projecção Se os pontos A B e C não são colineares Rs 0 MA 0 MB 0 MC 0 MA 0 MB 0 s A B F1 F2 F3 A B F1 F2 F3 B Treliças Exemplo Análise qualitativa e quantitativa com o método das seções dos esforços nas barras EG EH e FH da estrutura P 4l l A B C D E F G H I J Treliças Análise qualitativa Esforços nas barras EG EH e FH da estrutura P 4l l A B C D E F G H I J Treliças Análise quantitativa esforços nas barras EG EH e FH com o método das seções G H I J P2 NGE NHE NHF diagrama de corpo livre P2 P 4l l A B C D E F G H I J P2 substrutura com seção de 3 barras não concorrentes no mesmo nó Treliças Análise quantitativa esforços nas barras EG EH e FH com o método das seções Σ MH0 l NGE l P20 NGE P2 Σ Fy0 NHE22 P20 NHE P2 Σ Fx0 NGENHFNHE220 NHF P G H I J P2 NGE NHE NHF diagrama de corpo livre x y z Treliças Resolução para se obter uma incógnita por equação podem usarse equações de momentos em relação aos pontos de convergência de cada duas barras em vez das equações de projeção Σ MH0 l NGE l P20 NGE P2 Σ ME0 l NHF 2 l P20 NHF P Σ Fy0 NHE22P20 NHE P2 x y z G H I J P2 NGE NHE NHF diagrama de corpo livre Treliças Barras que não trabalham Um nó sem cargas aplicadas onde convergem duas barras nãocolineares fica em equilíbrio com forças nulas Neste exemplo as barras DE CD AF e AB não trabalham pelo que podem ser retiradas na análise da estrutura Treliças Barras que não trabalham Um nó sem cargas aplicadas onde convergem três barras sendo duas delas colineares fica em equilíbrio com forças nulas na barra nãocolinear Neste exemplo as barras DA e CA não trabalham pelo que podem ser retiradas na análise da estrutura Treliças Barras com o mesmo esforço Apenas duas barras situadas sobre a mesma linha de ação isto é duas barras colineares Neste caso os esforços nas barras são iguais isto é ambos de tração ou compressão e mesmo módulo Apenas quatro barras colineares duas a duas Neste caso os esforços nas barras colineares são iguais não obstante cada conjunto de barras colineares possa ter valor diferente C C T T ou T T1 T1 2 T2 Treliças Exemplo tg α 26 sen α 03162 cos α 09487 Equilíbrio do nó 7 N cosα 15 N 1581kN N₁ N senα 05kN Treliças Estaticidade pode usarse o método das estruturas em árvore na determinação do grau de hiperestaticidade Ligação cortada Ligação introduzida 3 cortes libertam 33 esforços 9 9 ligações adicionais introduzem 9 esforços 9 Grau de indeterminação estática global 9 9 0 2 estruturas arborescentes Treliças Estaticidade um método alternativo mais simples do que o anterior baseiase no balanço entre incógnitas e equações disponíveis a número de reações de apoio b número de barras n número de nós g grau de indeterminação estática global a b 2n e grau de indeterminação estática exterior a 3 i grau de indeterminação estática interior g e g 4 6 25 0 e 4 3 1 i 1 Treliças Exemplo determinar o grau de indeterminação estática global da estrutura a número de reacções de apoio b número de barras n número de nós g grau de indeterminação estática global a b 2n e grau de indeterminação estática exterior a 3 i grau de indeterminação estática interior g e g 4 7 25 1 e 4 3 1 i 0 Treliças Exemplo Grau de indeterminação estática análise qualitativa e quantitativa do esforço na barra AB P l A B l l 3 l2 3 l2 Treliças Resolução esforço na barra AB com o método das seções P l A B l l 3 l2 3 l2 P A NAB N1 N2 Σ Fx0 NAB P x y z Treliças Exemplo Com o método das seções calcular os esforços nas barras FC e FA com uma seção AB com outra seção e DF com outra seção P l2 A B l2 l2 P P C D E F G l2 l2 l2 Treliças Resolução esforços nas barras FC e FA P l2 A B l2 l2 P P C D E F G l2 l2 l2 P D F A C NFA NFC Σ MA0 NFClPl2 NFC P2 Σ MC0 NFAlPl2 NFA P2 x y z Treliças Resolução esforços na barra AB Σ MC0 NABl3Pl2Pl20 NAB P x y z P l2 A B l2 l2 P P C D E F G l2 l2 l2 C NAB B P E G 3P2 Treliças Resolução esforços na barra AB seção alternativa Σ MdireitaC0 NABl3Pl2Pl20 NAB P x y z P l2 A B l2 l2 P P C D E F G l2 l2 l2 C NAB B P E G 3P2 P Treliças Resolução esforços na barra DF Σ FDF0 NDF P22 x y z Σ MA0 NDFl22Pl2 NDF P22 P l2 A B l2 l2 P P C D E F G l2 l2 l2 S1 S2 S3 NDF P D Secção S1 Σ MC0 NDFl22Pl2 NDF P22 Secção S3 P P C D NDF S1 A P D 3P2 NDF Secção S2 Treliças Exemplos 01 2kN 3 3m 1 225m 2 4m 4 02 2kN 3 3m 1 225m 2 4m 4 03 2kN 3 2kN 3m 1 225m 2 4m 4 04 15kN 2kN 1 3 4 15m 2m 2m 2 05 06kN 3 15m 1 15m 2m 2 06 2kN 1 2 3 4 3 5 6 3m 3m 4m 5 Treliças Exemplos 07 3kN 1 3kN 3 3kN 5 3kN 6 15m 2m 2m 2m 2 4 2 09 06kN 06kN 06kN 06kN 06kN 10 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 4m 4m 4m 4m 4m 10 06kN 06kN 06kN 06kN 06kN 06kN 2 4 4 4 7 4 9 1 3 5 6 8 4m 4m 4m 4m 4m 4m Treliças Exemplos 11 15m 9 15m 11 15m 13 15m 14 6 5 7 12 1kN 1kN 1kN 1 2 3 4 6 8 1kN 1kN 2m 4m 4m 2m 9 10 1 3 5 7 8 9 2kN 4kN 2kN 13 14 06kN 12kN 06kN 4 5 6 1 3 7 8 9 15m 15m 15m 15m 15m 24m 24m 24m 24m 30m 18m Treliças Exemplos Ex 15 e 16 Assinalar as barras nulas e determinar N na barra marcada Treliças Exemplos Treliças Respostas Respostas tração Exercício 01 Barra Normal 12 096 24 096 13 160 34 120 23 0 Exercício 02 Barra Normal 12 128 24 128 13 120 34 160 23 0 Exercício 03 Barra Normal 12 224 24 224 13 040 34 280 23 0 Exercício 04 Barra Normal 12 25 13 20 34 20 24 25 23 20 Exercício 05 Barra Normal 12 1867 13 2031 23 2333 Exercício 06 Barra Normal 12 0 34 20 56 40 13 15 35 45 24 0 46 15 14 25 36 50 Exercício 07 Barra Normal 13 40 35 80 56 40 12 50 23 0 25 50 34 50 45 0 46 50 Exercício 08 Barra Normal 13 6000 35 4000 57 4000 24 8544 46 6408 67 4272 12 3000 34 075 56 0 14 25 36 2136 Exercício 09 Barra Normal 13 0 35 16 24 12 46 12 12 15 34 06 56 0 23 15 36 05 Simétrica Exercício 10 Barra Normal 13 16 35 05 24 12 45 12 12 15 34 06 23 15 Simétrica Exercício 11 Barra Normal 12244668 2500 89 4000 91111131314 3000 133557 4743 710 4216 10121214 3162 78 3536 79 0667 910 1202 As outras oito Nzero Exercício 12 Barra Normal 12 3162 24 4243 1334 2250 2335 3000 4668 2500 45 0559 56 1000 58 2795 78710 2250 As outras 4 Nzero Exercício 13 Barra Normal 12 1000 24 1667 45 1333 13 5000 35 3333 23 1333 34 1000 Simétrica Exercício 14 Barra Normal 12 0480 24 0640 45 0512 13 1584 35 1000 23 0800 34 0984 Simétrica Exercício 15 Barra Normal 34 15 Onze barras nulas Exercício 16 Barra Normal 34 2833 17 barras nulas Exercício 17 Barra Normal 24 8000 45 3000 57 8246 78 16971 68 12000 69 18000 Exercício 18 Barra Normal 12 P4 1314 P4 Exercício 19 Barra Normal 34 6667 1314 6667 Exercício 20 Barra Normal 34 zero 56 P 3 Treliças Mais exemplos esforços em todas as barras Treliças Mais exemplos esforços em todas as barras Treliças Mais exemplos esforços em todas as barras Treliças Mais exemplos esforços começando por N34 Treliças Mais exemplos esforço N34 Treliças Mais exemplos esforços N34 e N56 Isostática Muito obrigado pela atenção LIKE