Conceitos de Vetores: Definições e Operações Básicas

Cálculo Vetorial e Álgebra Linear 1 1 Vetor Para iniciarmos o estudo sobre vetores vamos primeiramente caracterizar reta segmento de reta e segmento orientado r B AB B A 𝐀𝐁 reta segmento de reta A segmento orientado 11 Conceitos Definições e Notações Definição 1 Dois segmentos orientados não nulos possuem a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas ou coincidentes Definição 2 Vetor é um objeto da matemática representado graficamente por um segmento orientado A 𝐯 𝐀𝐁 B Definição 3 A norma ou módulo de um vetor é o comprimento do segmento orientado que o representa Notação 𝐯 ou 𝐯 Definição 4 Dois vetores representados por segmentos orientados que possuem a mesma direção sentido e comprimento são iguais Definição 5 Vetor nulo é aquele cujo representante é o segmento nulo e será indicado por 0 Definição 6 Dado um vetor 𝒗 𝐴𝐵 o vetor 𝐵𝐴 é o oposto de 𝐴𝐵 e será indicado por 𝒗 Definição 7 Um vetor 𝒗 é unitário se 𝒗 1 Prof Robson Rodrigues email robsonsilvaumcbr 2 Definição 8 Um versor de um vetor não nulo 𝒗 é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de 𝒗 Definição 9 Dois vetores são colineares ou paralelos se tiverem a mesma direção 12 Operações com vetores 121 Adição de vetores Vamos agora definir uma operação chamada adição de vetores que a cada par de vetores 𝑢 e 𝑣 associará o vetor soma 𝑢 𝑣 Para isso procedemos da seguinte forma a Fixamos um ponto A b Encontramos um representante para o vetor 𝑢 com origem em A c Determinamos o ponto B d Com origem em B encontramos um representante para o vetor 𝑣 e Determinamos o ponto C f O vetor resultante ou vetor soma será o vetor 𝐴𝐶 𝑢 A B 𝑢 𝑣 𝑣 C 122 Diferença de vetores A diferença entre dois vetores 𝑢 e 𝑣 será definida por 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 Exemplo Represente graficamente a diferença entre os vetores citados anteriormente 𝑢 𝑣 Prof Robson Rodrigues email robsonsilvaumcbr 3 123 Multiplicação de um número real escalar por um vetor Observe os vetores abaixo 𝑣 𝑢 2 𝑢 𝑣 2 𝑢 Assim podemos definir Dado um vetor 𝑣 0 e a um número real não nulo o produto de a por 𝑣 é um vetor 𝑢 a𝑣 tal que a 𝑢 e 𝑣 são paralelos ou seja possuem a mesma direção b 𝑢 e 𝑣 possuem mesmo sentido se a é positivo c 𝑢 e 𝑣 possuem sentido contrário se a é negativo d 𝑢 a𝑣 Exercícios 1 Dados os vetores 𝑢 𝑣 e 𝑤 encontre um representante para os seguintes vetores a 𝑢 𝑣 b 𝑢 2 𝑣 c 𝑣 05 𝑤 d 𝑣 3 𝑢 𝑤 𝑢 𝑤 𝑣 Prof Robson Rodrigues email robsonsilvaumcbr 4 2 Encontre a soma dos vetores indicados na figura a 𝐴𝐸 𝐸𝐻 𝐻𝐹 H G E F D C A B b 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐹 H G E F D C A B Prof Robson Rodrigues email robsonsilvaumcbr 5 13 Ângulo entre dois vetores O ângulo entre dois vetores 𝑢 e 𝑣 não nulos é o ângulo 𝜃 formado pelas semiretas AO e OB e tal que 0 𝜃 180 𝑢 A 𝜃 O 𝑣 B Observações a Quando 𝜃 180 os vetores 𝑢 e 𝑣 possuem mesma direção e sentidos opostos b Quando 𝜃 0 os vetores 𝑢 e 𝑣 possuem mesma direção e sentido c Quando 𝜃 90 dizemos que os vetores 𝑢 e 𝑣 são ortogonais e escrevemos 𝑢 𝑣 Observe que nesse caso utilizando o Teorema de Pitágoras temos 𝑢 𝑣2 𝑢 2 𝑣2 Exercício 3 Sabendo que o ângulo entre os vetores 𝑢 e 𝑣 é 60 determine o ângulo formado pelos vetores a 𝑢 e 𝑣 b 𝑢 e 𝑣 c 𝑢 e 𝑣 d 2𝑢 e 2𝑣